Phân loại tôpô các mặt compact

1 Luận văn tốt nghiệp Phân loại tôpô mặt compact LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Mục lục Một số kí hiệu Phần mở đầu Phần nội dung Chương I: Kiến thức chuẩn bị I Tôpô, không gian tôpô II Ánh xạ liên tục, đồng phôi III Tổng, tích, thương phép dán khơng gian tôpô Chương II: Đa tạp tôpô I Đa tạp n-chiều II Mặt, mặt compact 12 III Mặt định hướng không định hướng 17 IV Tổng liên thông 18 Chương III: Phân loại mặt compact 20 I Dạng tắc mặt cầu, tổng liên thông mặt xuyến tổng liên thông mặt phẳng xạ ảnh 20 II Phép tam giác phân mặt compact 24 III Định lí phân loại tơpơ mặt compact 28 IV Hệ 34 V Ví dụ minh hoạ 34 VI Sơ lược hướng chứng minh khác định lí 43 Phần kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỘT SỐ KÍ HIỆU Kí hiệu Giải thích Trang xuất A Biên tập A Rn Không gian Euclide n-chiều X Y Hai không gian đồng phôi f-1(U) Tạo ảnh tập U Dn Hình cầu đơn vị mở (đĩa mở) n-chiều 10 S n Bán cầu bắc n-chiều 10 idA Ánh xạ đồng A 10 u Chuẩn Euclide u 11 Sn Mặt cầu n-chiều 12 S2 Mặt cầu (2-chiều) 13 Hình cầu mở tâm x, bán kính  13 Mặt phẳng xạ ảnh (thực) 15 Nửa mặt cầu 15 Hình trịn đơn vị đóng (đĩa đóng) 15 D2 Hình trịn đơn vị mở (đĩa mở) 15 S1 # S2 Tổng liên thông S1 S2 19 Đặc trưng Euler mặt S 44 B(x,  ) P2 S D (S) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phần mở đầu I Lí chọn đề tài Tơpơ ngành tốn học nghiên cứu bất biến qua nhóm phép biến đổi liên tục Một đối tượng nghiên cứu tôpô học đa tạp tôpô Đây khái hoá nhiều chiều từ khái niệm đường mặt không gian Euclide 3-chiều Việc nghiên cứu đa tạp cơng nhận có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác như: Hình học, Giải tích phức, Đại số, Hình học đại số, Cơ học cổ điển, Thuyết tương đối, Thuyết lượng tử,… Việc phân lớp đa tạp xem vấn đề quan trọng ngành tôpô Đối với trường hợp đa tạp 2-chiều vấn đề giải với “định lí phân loại đa tạp compact 2-chiều” phát biểu chứng minh H.R.Barahana vào năm 1922 Trường hợp đa tạp 2-chiều không compact phân loại Đối với đa tạp có số chiều cao tình hình khó khăn Trong nổ lực phân loại đa tạp 3-chiều, Poincaré, nhà toán học vĩ đại người Pháp, phát biểu rằng: Một đa tạp compact 3-chiều mà nhóm nhóm tầm thường đồng phơi với mặt cầu Tuy nhiên ơng khơng chứng minh điều nhà tốn học giới quan tâm với tên gọi “giả thuyết Poincaré” Suốt thời gian dài kể từ giả thuyết Poincaré đời (1904) nổ lực chứng minh khơng có kết đáng kể Trong đó, giả thuyết tương tự với số chiều cao giải Stephen Smale (trường hợp n > 4, năm 1961) Michael Freedman (trường hợp n = 4, năm 1982) Năm 1958, A.A.Markov chứng minh không tồn thuật toán để phân loại đa tạp có số chiều lớn Đây bất ngờ thú vị toán học, giải vấn đề cách triệt để trường hợp tổng quát (n  4), lại không giải trường hợp cụ thể (n = 3) gần với sống Năm 2000, Viện Toán học Clay (Mỹ) đưa giả thuyết Poincaré vào danh sách toán mở quan trọng cần giải tầm quan trọng tốn học vũ trụ Vào năm 1970, William Thurston đề xuất giả thuyết khác, giả thuyết hình học hóa: Mọi đa tạp compact 3-chiều cắt làm phần mà phần thuộc dạng Đây tổng quát tuyệt vời từ giả thuyết Poincaré, giải (tất nhiên kéo theo giải giả thuyết Poincaré) vấn đề phân loại hồn tất Năm 2003, Grigory Perelman, nhà tốn học người Nga, xuất sắc hoàn thành chứng minh giả thuyết hình học hóa giả thuyết Poincaré nhờ sử dụng phương trình dịng Ricci Chứng minh ơng nhà toán học giới kiểm chứng công nhận việc đề nghị trao cho ông huy chương Fields (2006), ông từ chối nhận giải LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Với ý nghĩa bước đầu nghiên cứu đa tạp, chọn đề tài “Phân loại tôpô mặt compact” Đây đề tài nghiên cứu phân loại đa tạp 2-chiều compact, liên thơng II Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu đa tạp 2-chiều compact, liên thông phân loại chúng III Nhiệm vụ nghiên cứu Phát biểu chứng minh định lí phân loại đa mặt compact, nêu vài ví dụ minh hoạ cho định lí IV Phạm vi nghiên cứu Các đa tạp 2-chiều compact, liên thông V Đối tượng nghiên cứu Định lí phân loại mặt compact VI Phương pháp nghiên cứu -Sưu tầm tài liệu từ sách, báo, internet -Phân tích, tổng hợp, khái qt hố, trừu tượng hố, cụ thể hoá VII Cấu trúc đề tài Bản luận văn gồm có: Phần mở đầu, phần nội dung phần kết luận Phần nội dung trình bày chương Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức tôpô cần dùng cho chương sau Chương II: Đa tạp tôpô Giới thiệu chung đa tạp, sau sâu nghiên cứu đa tạp 2-chiều compact, liên thông (mặt compact) xây dựng tổng liên thông chúng Chương III: Phân loại tơpơ mặt compact Đây chương luận văn, phát biểu chứng minh định lí phân loại mặt compact Nêu vài ví dụ minh họa cho định lí Ngồi ra, chương giới thiệu sơ lược cách khác để chứng minh định lí cách dùng hai bất biến tơpơ tính định hướng đặc trung Euler mặt Mặc dù cố gắng trình nghiên cứu trình bày chắn luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong ý kiến đóng góp q báu thầy bạn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phần nội dung CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I Tôpô, không gian tôpô I.1 Tôpô Cho tập X   Một họ  tập X gọi tôpô X thoả mãn điều kiện: ( 1 ) X  thuộc  (  ) Hợp tuỳ ý tập thuộc  thuộc  (  ) Giao hữu hạn tập thuộc  thuộc  I.2 Không gian tôpô Một tập X tôpô  X gọi khơng gian tơpơ, kí hiệu ( X,  ) Khi khơng có nhầm lẫn, ta kí hiệu gọn lại X Khi đó, tập G   gọi tập mở X Tập F X gọi tập đóng X \ F tập mở Các phần tử không gian tôpô X thường gọi điểm I.3 So sánh tôpô Cho hai tôpô   X ,    ta nói  yếu   mạnh  I.4 Lân cận, phần Cho điểm x thuộc không gian tôpô X tập A X Khi đó:  Tập V X gọi lân cận điểm x tồn tập mở G cho x G  V Nếu V tập mở ta nói V lân cận mở x  Điểm x gọi điểm A x có lân cận V cho V  A Tập gồm tất điểm A gọi phần A  Điểm x gọi điểm biên A lân cận V x có V  A   V  (X \ A)   Tập gồm tất điểm biên A gọi biên A , kí hiệu A I.5 Không gian Cho không gian tôpô ( X,  ) A tập X Khi đó, họ  A  {G  A | G } tôpô A , gọi tôpô cảm sinh  A Không gian A với tôpô cảm sinh  A gọi không gian không gian tôpô X I.6 Không gian Hausdorff Định nghĩa LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Không gian tôpô X gọi không gian Hausdorff (hay T2 – không gian) hai điểm x, y khác X ln tồn lân cận U x lân cận V y cho U  V   Tính chất Giả sử A tập mở tuỳ ý khơng gian Hausdorff Khi A với tơpơ cảm sinh tôpô X không gian Hausdorff I.7 Không gian compact, compact địa phương Phủ, phủ mở Cho A tập không gian tôpô X Một họ V   I tập X gọi phủ A A   V Nếu V tập mở ta nói I V I phủ mở A Tập compact, không gian compact, không gian compact địa phương Tập A không gian tôpô X gọi tập compact phủ mở A X có phủ hữu hạn Không gian tôpô X gọi không gian compact X tập compact X Không gian tôpô X gọi không gian compact địa phương điểm có lân cận U tập compact Tính chất Mọi tập đóng bị chặn Rn tập compact I.8 Không gian liên thông Định nghĩa Không gian tôpô X gọi liên thông X không biểu diễn dạng hợp hai tập mở khác rỗng rời nhau, tức không tồn hai tập mở, khác rỗng U V cho X  U  V U  V   Tính chất Khơng gian tơpơ X liên thơng X không biểu diễn dạng hợp hai tập đóng khác rỗng, rời II Ánh xạ liên tục, đồng phôi II.1 Ánh xạ liên tục Định nghĩa Cho hai không gian tôpô X, Y ánh xạ f : X  Y , đó: i) Ánh xạ f liên tục điểm x thuộc X lân cận mở V f (x ) Y tồn lân cận mở U x cho f ( U)  V ii) Ánh xạ f liên tục X (hay nói tắt liên tục) liên tục điểm thuộc X Tính chất i) Cho f ánh xạ từ không gian tôpô X vào khơng gian tơpơ Y Khi f liên tục X tạo ảnh tập đóng (hoặc mở) Y tập đóng (hoặc mở) X ii) Ánh xạ hợp hai ánh xạ liên tục ánh xạ liên tục iii) Ảnh tập compact (hoặc liên thông) qua ánh xạ liên tục tập compact (hoặc liên thông) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mệnh đề n Cho không gian tôpô X thoả X = X i với Xi tập đóng X i 1 ánh xạ liên tục fi: Xi  Y (i = 1, n ) cho với i, j  1, n , X i  X j   f i |X i  X j  f j | Xi  X j Khi ánh xạ f: X  Y xác định f | X  f i (i = 1, n ) ánh xạ liên tục i II.2 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng Định nghĩa Cho ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y i) f ánh xạ mở ảnh tập mở X tập mở Y ii) f ánh xạ đóng ảnh tập đóng X tập đóng Y Mệnh đề Cho f ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y Nếu X compact Y Hausdorff f ánh xạ đóng II.3 Đồng phơi Cho f song ánh từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y Nếu f f liên tục ta nói f phép đồng phơi từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y Hai không gian tôpô X Y gọi đồng phơi (kí hiệu X  Y ) tồn phép đồng phôi chúng Quan hệ đồng phôi làm quan hệ tương đương 1 III Tổng, tích, thương phép dán khơng gian tơpơ III.1 Tổng, tổng trực tiếp Cho X i ,  i i I họ không gian tôpô Đặt X   X i , xét họ  iI tập G X thoả mãn G  X i   i ,  i  I Khi  tơpơ X Không gian tôpô X,   gọi lả tổng họ khơng gian tơpơ cho, kí hiệu X   X i Nếu họ X i ,  i i I rời X,  gọi tổng trực tiếp, kí iI hiệu X   X i iI III.2 Tích Descartes Định nghĩa Cho X i ,  i i I họ không gian tôpô Đặt X   X i iI  i : X  X i phép chiếu thứ i Ta gọi tơpơ tích X tôpô yếu để  i liên tục với i  I Tập X với tơpơ tích gọi tích họ khơng gian tơpơ cho Tính chất i) Tích hai khơng gian Hausdorff khơng gian Hausdorff ii) Tích hai không gian compact không gian compact III.3 Tôpô thương Định nghĩa Cho f toàn ánh từ không gian tôpô ( X,  ) vào tập Y Xét LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  Y  {U  Y | f 1 ( U )  } Dễ dàng chứng minh  Y tôpô Y gọi tôpô thương Y cảm sinh f Tính chất i) Tơpơ thương tơpơ lớn làm f liên tục ii) Tập V đóng (Y,  Y ) f 1 (V) đóng ( X,  ) iii) Giả sử không gian tôpô Y với tôpô cảm sinh f : X  Y Khi đó, X compact (liên thơng) Y compact (liên thơng) iv) Cho khơng gian tơpơ X, Y, Z tồn ánh f : X  Y , g : Y  Z Nếu Y có tơpơ thương cảm sinh f Z có tơpơ thương cảm sinh g tơpơ Z tơpơ cảm sinh g  f Mệnh đề Cho f tồn ánh liên tục từ khơng gian tơpơ X vào không gian tôpô Y Nếu f ánh xạ mở (hoặc đóng) tơpơ Y tơpơ sinh f III.4 Không gian thương Định nghĩa Cho không gian tôpô X ~ quan hệ tương đương X Đặt Y  X / ~ tập thương X theo quan hệ ~ Kí hiệu ~ x lớp tương đương chứa x X Xét  phép chiếu tắc từ X vào Y xác định (x )  ~x Khi khơng gian tơpơ Y với tơpơ cảm sinh  gọi không gian thương X Định nghĩa Cho A tập không gian tôpô X , xét quan hệ tương đương ~ xác định bởi: x, y  A x~ y (với x, y  X ) x  y Không gian thương X / ~ (với ~ xác định trên) gọi không gian tơpơ thương X theo tập A (kí hiệu X / A ) Tính chất Cho A, B hai tập rời cua không gian tôpô X ~ quan hệ tương đương xác định bởi: x, y  A x ~ y   x , y  B (với x , y  X )  x  y Khi (X / A ) / B  (X / B) / A  X / ~ III.5 Phép dán không gian tôpô Cho hai không gian tôpô X, Y , A tập X ánh xạ liên tục f : X  Y Gọi Z không gian tổng X Y Trên Z ta định nghĩa quan hệ tương đương ~ sau: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 10  u  A, v  f (u )  v  A , u  f ( v)  u ~ v   u  f (A), v  f 1 (u ) (với u, v  Z )  1  v  f (A ), u  f ( v)  u  v  A  f (A)  Khi không gian thương Z / ~ gọi không gian nhận nhờ phép dán X với Y ánh xạ f (kí hiệu X  Y ) f CHƯƠNG II: ĐA TẠP TÔPÔ I Đa tạp n -chiều I.1 Định nghĩa Một đa tạp n -chiều ( n nguyên dương) không gian Hausdorff mà điểm có lân cận mở đồng phơi với đĩa mở n -chiều D n  n    với D n  x  (x , x , , x n )  R n x    x i2    i1    Một đa tạp n -chiều cịn gọi n -đa tạp Ví dụ: R n n -đa tạp   1   Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy n-đa tạp compact địa phương Thật vậy, điểm n-đa tạp tồn lân cận mở đồng phôi với Dn mà Dn compact Vậy n-đa tạp compact địa phương I.2 Bổ đề Các không gian D n , S n , R n đồng phơi với S n  ( x ,, x n , x n 1 )  R n 1 | x  1, x n 1  0 Chứng minh Ta chứng minh D n đồng phôi với S n D n đồng phôi với R n cách phép đồng phôi chúng Xét ánh xạ: f1 : Dn  xn+1 S+ n S n Dn ( x ,, x n )  ( x ,, x n ,  ( x 12    x 2n ) ) f2 : S n M  x1 f2 (M) Dn ( x ,, x n , x n 1 )  ( x ,, x n ) x2 Dễ dàng chứng minh f1, f2 ánh xạ liên Hình tục Mặt khác, với điểm x (x , , x n ) tuỳ ý thuộc D n ta có   f  f1 ( x)  f ( x ,, x n ,  ( x 12    x 2n ) )  x Suy f  f1  id D n (1) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 35 Tiếp tục, ta cắt đa giác dọc theo d dán chúng lại theo b (xem hình 43) c d c b b b d d c c Hình 43a Hình 43b Đa giác ta thu hai cặp cạnh loại không xen kẽ thay vào hai cặp cạnh loại xen kẽ cdc-1d-1 Chú ý: - Quá trình không không làm cạnh dạng aa cdc-1d-1 (nếu có trước đó) bị tách - Q trình làm xuất cặp cạnh kề loại 1, ta quay lại bước để khử hết cặp cạnh kề loại trở lại bước khử cặp cạnh kề loại không làm ảnh hưởng đến kết bước bước Tất nhiên sau khử cặp cạnh kề loại số cạnh đa giác giảm đi, quay lại hữu hạn Nếu đa giác hai cặp cạnh loại khơng xen kẽ ta tiếp tục q trình Cuối ta có hai trường hợp  Trường hợp 1: Đa giác cuối khơng có cặp cạnh loại 2, tức gồm cặp cạnh loại xen kẽ dạng a b1a 11 b11 , a b a 21 b 21 , , a n b n a n1b n1 Khi S tổng liên thông n mặt xuyến  Trường hợp Đa giác cuối có cặp cạnh loại xen kẽ có cặp cạnh loại Giả sử đa giác có m bốn (mỗi bốn gồm hai cặp cạnh loại xen kẽ nhau) n cặp cạnh loại 2, tất nhiên cặp cạnh loại phải kề dạng aa thực xong bước bước khơng làm tách cặp cạnh Khi đó, mặt S tổng liên thơng m mặt xuyến n mặt phẳng xạ ảnh Từ bổ đề II.5 ta suy S đồng phôi với tổng liên thông 2m + n mặt phẳng xạ ảnh Như định lí chứng minh xong IV Hệ Mỗi mặt compact định hướng đồng phôi với mặt cầu tổng liên thông mặt xuyến Mỗi mặt compact không định hướng đồng phôi với tổng liên thơng mặt phẳng xạ ảnh V Ví dụ minh họa V.1 Ví dụ Xét mặt compact S có phép tam giac phân LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 36 123 134 145 152 623 634 645 452 S mô tả hình vẽ sau 1 Hình 44 Đa giác với cạnh đồng đôi ứng với phép tam giác phân cho d a d a 1 c b c b Hình 45 Sau khử cặp cạnh kề loại dd-1, cc-1, bb-1 ta đa giác hình 46a, 46b, 46c 1 a a c c d 5 a a c c b b b 1 b 4 Hình 46a LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 37 1 b a b a b a b a 1 Hình 46b a b a a a Hình 46c Hình 46c cho thấy mặt cho mặt cầu V.2 Ví dụ Cho mặt S có phép tam giác phân 124 246 236 367 317 174 465 658 678 689 649 495 581 812 892 923 853 531 S mô tả hình vẽ dây Hình 47 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 38 Đa giác với cặp cạnh đồng đôi ứng với phép tam giác phân cho b a e c f d 1 b a c e f d Hình 48 Đa giác có cặp cạnh loại khơng có cặp cạnh loại Cắt đa giác theo đường g (xem hình 49a), sau dán lại theo cạnh b ta đa giác hình 49b 1 b a a e g e c 3 g f f d 1 b a b a c e c e 3 f f d d g c d Hình 49a g a e a f e g f 1 d d c c Hình 49b LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 39 Đa giác hình 49b có cặp cạnh kề loại c-1c, khử cặp cạnh xuất cặp cạnh kề loại d -1d, tiếp tục khử d -1d ta đa giác hình 50b a e 3 1 f f a a 1 2 g g e e 3 d d f d d e g g f a Hình 50a 2 a a e g e g f 1 f 1 g a e g a d e f f 3 Hình 50b Trở lại bước 5, cắt đa giác theo đường h dán lại theo cạnh a (hình 51) a f 2 e h g e f h a e g f a e e f e g f h f 1 g g g h h 1 Hình 51 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 40 Đa giác hình 51 xuất cặp cạnh kề loại ee-1, khử cặp cạnh ta thấy xuất cặp cạnh kề loại khác ff-1, tiếp tục khử cặp cạnh ff-1 ta đa giác hình 52b f h e 1 g g g h f 1 h f g f h Hình 52a h 1 f g g g h 1 h g h Hình 52b Vậy mặt cho mặt xuyến V.3 Ví dụ Cho mặt S có phép tam giác phân 123 134 145 156 126 425 253 536 364 642 Có thể mơ tả mặt S hình vẽ sau 4 Hình 53 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 41 Đa giác với cặp cạnh đồng đôi ứng với phép tam giác phân cho b a c 2 a c b Hình 54 Cắt đa giác theo đường d sau dán chúng lại theo cạnh a ta đa giác hình 55 b a d d c c 2 2 c a a c 4 d b b b Hình 55 Khử cặp cạnh kề loại b-1b đa giác hình 55 ta đa giác hình 56 d c c d 2 c b d c d Hình 56 Vậy mặt cho mặt phẳng xạ ảnh V.4 Ví dụ Cho mặt S có phép tam giác phân LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 42 127 273 735 351 512 416 167 678 785 854 542 246 263 638 384 314 Mặt S mơ tả hình vẽ sau 2 Hình 57 Đa giác với cặp cạnh đồng đôi ứng với phép tam giác phân cho b c a a e d 4 d e b c Hình 58 Cắt đa giác theo f dán chúng lại theo cạnh d (hình 59a), sau khử cặp cạnh kề loại e-1e ta đa giác hình 59b b c a e c a a b d e e e f f b b d f c d a c 1 Hình 59a LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 43 b c a a f b f c Hình 59b Ta tiếp tục cắt đa giác theo g dán chúng lại theo b (hình 59c), sau khử cặp cạnh kề loại c-1c ta đa giác hình 59d b c a a g a 1 f f b g b f f c c g c a Hình 59c g a g f a f Hình 59d Đa giác hình 59d có hai cặp cạnh loại có cặp cạnh loại 1(không kề), điều không trái với kết bước chứng minh định lí LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 44 đơn giản chưa biến đổi đa giác với tất đỉnh đồng Sau làm cơng việc Ta cắt đa giác theo h dán chúng theo f (hình 59e) g a g 2 h h f a 1 f a f a a g 2 h g g g 2 a h h Hình 59e Cắt đa giác hình 59e theo r dán chúng theo h (hình 59f) g 2 h g g g r a h 2 h r g r r a 2 a g 2 r a a a Hình 59f Đa giác hình 59f xuất cặp cạnh kề loại a-1a, khử cặp cạnh ta đa giác hình 59g g r 2 g r 2 g g a r r Hình 59g Vậy mặt cho chai Klein (tổng liên thông hai mặt phẳng xạ ảnh) VI Sơ lược hướng chứng minh khác định lí LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 45 Trong phần ta dùng phương pháp “cắt dán” để chứng minh định lí Sau sơ lược cách khác dùng hai bất biến tơpơ đặc trưng Euler tính định hướng để phân loại mặt compact VI.1 Đặc trưng Euler Trước hết nói sơ lược đồ thị Một đồ thị tập gồm đỉnh cạnh, đỉnh cạnh mặt phẳng ta nói đồ thị phẳng Cúng ta xét đồ thị hữu hạn liên thông, tức đồ thị có hữu hạn số đỉnh số cạnh, từ đỉnh tới đỉnh qua cạnh đồ thị Khi đó, đồ thị chia mặt phẳng thành hữu hạn miền, ta gọi mặt Kí hiệu Đ, M, C số đỉnh, số mặt số cạnh đồ thị Ta có đặc trưng Euler mặt phẳng Đ – C + M = Xét đồ thị mặt cầu ta có đặc trưng Euler mặt cầu Đ – C + M = Tương tự, đặc trưng Euler mặt xuyến Đ – C + M = đặc trưng Euler mặt phẳng xạ ảnh Đ – C + M = Để cho gọn, ta kí hiệu đặc trưng Euler  Ví dụ  (S2) = 2,  (T) = 0,  (P2) = VI.2 Xây dựng mặt tiêu chuẩn Mặt định hướng tiêu chuẩn Xuất phát từ mặt cầu, ta khoét hai lỗ trịn nhỏ sau dán với mặt trụ theo biên lỗ tròn biên mặt trụ (hình vẽ) Nếu dán mặt cầu với p mặt trụ (mỗi lần dán mặt trụ ta phải khoét hai lỗ tròn nhỏ mặt cầu) ta mặt định hướng tiêu chuẩn loại p Mặt không định hướng tiêu chuẩn Xuất phát từ mặt cầu, ta khoét lỗ tròn nhỏ dán vào Mobius theo biên lỗ trịn Hình 60 biên Mobius Nếu dán vào q Mobius (tất nhiên lần dán Mobius ta phải khoét lỗ tròn nhỏ mặt cầu) ta mặt không định hướng tiêu chuẩn loại q Đặc trưng Euler mặt tiêu chuẩn Nếu Mp mặt định hướng tiêu chuẩn loại p  (Mp) = – 2p Nếu Nq mặt khơng định hướng tiêu chuẩn loại q  (Nq) = – q VI.3 Phân lớp mặt Ta cần hai khẳng định sau Khẳng định 1: Đặc trưng Euler mặt không vượt Khẳng định 2: Mặt mà đường cong kín chia thành hai phần rời đồng phơi với mặt cầu Do phần mang tính chất giới thiệu nên ta nêu mà không chứng minh hai khẳng định Xét mặt S tuỳ ý, ta vẽ đường cong kín (nếu có thể) cho khơng chia S làm hai phần rời (nếu không ta dừng lại) Sau ta cắt mặt S dọc theo đường cong kín Nếu vết cắt tạo S lỗ trịn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 46 ta dán vào hình trịn dọc theo biên chúng đánh dấu vào đường trịn khơng có mũi tên Nếu vết cắt tạo S hai lỗ trịn ta dán vào hai hình trịn theo biên chúng Chúng ta đánh dấu mũi tên chiều kim đồng hồ vào hai đường tròn Đối với đường tròn lại, mũi tên ngược chiều hay chiều kim đồng hồ phụ thuộc vào việc ta dán mặt trụ vào hai lỗ tròn (theo biên chúng) có cần phải xoay mặt trụ 180 hay không để không gian tạo thành đồng phôi với không gian ban đầu Sau bước cắt dán trên, đặc trưng Euler mặt S tăng thêm tuỳ thuộc vào vết cắt tạo lỗ tròn Dựa vào khẳng định ta kết luận số bước cắt dán hữu hạn Chúng ta dừng lại khơng tìm thấy đường cong kín mà khơng chia mặt thành hai phần rời Do đó, dựa vào khẳng định ta kết luận mặt cuối thu mặt cầu Bây ta tiến hành ngược lại dựa vào đường tròn ta đành dấu Nếu có hai đường trịn ngược chiều ta cắt dán vào mặt trụ (giống lúc ta xây dựng mặt tiêu chuẩn) Nếu có đường trịn khơng có mũi tên ta cắt dán vào Mobius Nếu có hai đường trịn chiều ta cắt dán vào mặt trụ với đầu bị xoay 1800 Tuy nhiên việc hoàn tồn tương đương với việc dán chai Klein vào Ta biết chai Klein có nhờ dán hai Mobius lại với theo biên chúng, việc dán vào mặt trụ với đầu bị xoay 180 tương đương với việc dán vào hai Mobius Sau hồn thành việc dán ta không gian đồng phôi với mặt S ban đầu Nếu S mặt định hướng bước ngược lại, ta khơng dán Mobius vào (vì dán vào Mobius trở thành mặt không định hướng được) mà dán vào mặt trụ S mặt định hướng tiêu chuẩn loại p Nếu S mặt khơng định hướng bước ngược lại ta phải dán vào mặt cầu Mobius Nếu có đường trịn với mũi tên ngược chiều ta di chuyển số chúng dọc theo Mobius Khi di chuyển đường tròn sau vòng đường trịn đổi chiều cuối ta có tất đường tròn chiều Tức ta dán Mobius vào mặt cầu, mặt S mặt khơng định hướng tiêu chuẩn Như mục đích phân loại đạt được, mặt tuỳ ý ba dạng: mặt cầu, mặt định hướng tiêu chuẩn mặt không định hướng tiêu chuẩn Nhận xét: - Mặt định hướng tiêu chuẩn tổng liên thông mặt xuyến - Mặt không định hướng tiêu chuẩn tổng liên thông mặt phẳng xạ ảnh VI.4 Nhận dạng mặt compact qua phép tam giác phân Giả sử có phép tam giác phân đó, ta hồn tồn tính đặc trưng Euler dễ dàng, biết thêm mặt có định hướng hay khơng ta nhanh chóng biết mặt cho mặt thay phải biến đổi phức tạp ví dụ phần V LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 47 Từ phép tam giác phân mặt S ví dụ V.1 (xem hình 44, 45), ta tính Đ = 6, M = 8, C = 12, suy  (S) = Ta kết luận S mặt cầu (chỉ có mặt cầu có đặc trưng Euler 2) Từ phép tam giác phân mặt S ví dụ V.2 (xem hình 47, 48), ta tính Đ = 9, M = 18, C = 27, suy  (S) = Suy S mặt xuyến chai Klein Nếu biết thêm S định hướng ta khẳng định S mặt xuyến Từ phép tam giác phân mặt S ví dụ V.3 (xem hình 53, 54), ta tính Đ = 6, M = 10, C = 15, suy  (S) = Vậy S mặt phẳng xạ ảnh (chỉ mặt phẳng xạ ảnh có đặc trưng Euler 1) Từ phép tam giác phân mặt S ví dụ V.3 (xem hình 57, 58), ta tính Đ = 8, M = 16, C = 24, suy  (S) = Nếu biết thêm S mặt khơng định hướng ta kết luận S chai Klein Phần kết luận I Kết đạt Qua trình nghiên cứu với hướng dẫn tận tình thầy Lê Anh Vũ, đề tài đạt kết sau Trình bày sơ lược đa tạp n-chiều, sâu nghiên cứu mặt compact, tính định hướng khơng định hướng mặt Phát biểu chứng minh định lí phân loại mặt compact vài ví dụ minh hoạ cho định lí Giới thiệu sơ lược hướng khác để chứng minh định lí dùng tính định hướng đặc trưng Euler II Hạn chế đề tài - Ở nhiều chổ, thay cho lập luận lơgic chặt chẽ đưa hình ảnh minh hoạ - Một số tính chất, định lí nêu mà không chứng minh việc chứng minh dài dòng nhiều vượt nội dung nghiên cứu luận văn III.Hướng phát triển đề tài Bản luận văn nghiên cứu phân loại đa tạp compact 2-chiều, liên thông, không bờ Đây tảng cho việc nghiên cứu phân loại đa tạp 2-chiều nói chung đa tạp có số chiều cao Cuối xin chân thành cảm ơn Nhà trường khoa Toán học tạo điều kiện với hướng dẫn tận tình thầy Lê Anh Vũ để luận văn hoàn thành LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Trần Đức Trí (1986), Những khái niệm toán học đại tập II, Nxb Khoa học kĩ thuật, Hà Nội Nguyễn Bá Đơ (2003), Các câu chuyện tốn học, Nxb Giáo dục, Đà Nẵng Đậu Thế Cấp (2005), Tôpô đại cương, NXB Giáo dục, TP.Hồ Chí Minh Tiếng Anh W.S.Massey (1967), Algebraic Topology: An Introduction, Nxb Yale University, New York Oleg Efimov (1985), Introduction Topology, Nxb Mir Publishers, Moscow Donald W.Kahn (1995), Topology An Introduction to the Point-Set and Algebraic Areas, Dover Publications, New York IR.Aitchison (1999), Geometry & Topology Monographs Jean Gallier (2005), The Classification Theorem for Compact Surfaces and A Detour on Fractals, Nxb University of Pennsylvania LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 49 Eszter Kónya (2005), On the fundamental theorem of compact and noncompact surfaces W.J.Havey, On the classifications of surface Homeomorphisms LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... tạp 2-chiều compact, liên thông (mặt compact) xây dựng tổng liên thông chúng Chương III: Phân loại tôpô mặt compact Đây chương luận văn, phát biểu chứng minh định lí phân loại mặt compact Nêu... chọn đề tài ? ?Phân loại tôpô mặt compact? ?? Đây đề tài nghiên cứu phân loại đa tạp 2-chiều compact, liên thông II Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu đa tạp 2-chiều compact, liên thông phân loại chúng III... thông mặt phẳng xạ ảnh III Định lí phân loại tơpơ mặt compact Mỗi mặt compact S đồng phơi với ba loại mặt sau: mặt cầu, tổng liên thông mặt xuyến, tổng liên thông mặt phẳng xạ ảnh Chứng minh III.1