Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG…………………… Luận văn thạc sỹ Mối liên hệ số phân hoạch, số tất phân hoạch chẵn , số tất phân hoạch lẻ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các quy tắc đếm 1.2 Một số toán đếm kết tổ hợp 10 1.2.1 Chỉnh hợp - hoán vị - tổ hợp 10 1.2.2 Phân hoạch tập hợp Số Stirling loại hai số Bell 13 1.2.3 Bài toán đếm tất hàm từ tập hữu hạn vào tập hữu hạn 1.2.4 Bài toán đếm tất hàm đơn ánh từ tập hữu hạn vào tập hữu hạn 1.2.5 15 16 Bài toán đếm tất hàm toàn ánh từ tập hữu hạn lên tập hữu hạn Hàm sinh công thức sàng 16 20 2.1 Hàm sinh 20 2.2 Hàm sinh mũ 23 2.3 Công thức sàng 32 2.3.1 Nguyên lý bù trừ 32 2.3.2 Công thức ngược 35 2.3.3 Công thức sàng 40 Biến thể công thức sàng Kết luận 45 62 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com tài liệu tham khảo 63 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com mở đầu lý thuyết tổ hợp xuất vào kỷ 17 Trong thời gian dài nằm ngồi hướng phát triển chung ứng dụng toán học Song tình hình thay đổi hẳn sau máy tính điện tử đời sau phát triển nhảy vọt toán học hữu hạn Cùng với phát triển với tốc độ nhanh công nghệ thông tin, lý thuyết tổ hợp trở thành lĩnh vực toán học quan trọng cần thiết cho nhiều lĩnh vực khoa học ứng dụng Một ảnh hưởng mạnh mẽ lý thuyết tổ hợp phần tính tốn với tập hữu hạn Trong chương trình tốn bậc phổ thơng nay, có trọng đặc biệt đến phần kiến thức tổ hợp Các toán tổ hợp thường xuất kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia quốc tế Hướng nghiên cứu luận văn giới thiệu phương pháp dùng hàm sinh, hàm sinh mũ để giải số tốn tổ hợp giới thiệu cơng thức sàng lọc số phần tử tập hữu hạn theo hướng phần tử có mặt chẵn (lẻ) tập tập cho mà ta gọi cơng thức sàng Từ tính hữu dụng kỹ thuật hàm sinh ý tưởng việc sàng lọc theo hướng chẵn (lẻ) công thức sàng, luận văn đưa công thức tính cho số phân hoạch chẵn (lẻ) tập hợp hữu hạn cho trước mà gọi biến thể công thức sàng Đặc biệt, mối liên hệ số tất phân hoạch, số tất phân hoạch chẵn, số tất phân hoạch lẻ (thành tập không rỗng) tập hữu hạn vấn đề mà chúng tơi quan tâm Luận văn gồm có ba chương, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số quy tắc đếm, tốn đếm vài kết tổ hợp Chương Hàm sinh công thức sàng Chương gồm ba phần - Hàm sinh thường: Giới thiệu hàm sinh thường áp dụng vào giải LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com vài tốn tổ hợp điển hình - Hàm sinh mũ: Giới thiệu hàm sinh mũ áp dụng vào giải vài tốn tổ hợp điển hình - Công thức sàng: Dùng công thức ngược cho đồng thức tổ hợp, kết hợp với nguyên lý bù trù trừ để xây dựng công thức sàng Chương Biến thể công thức sàng Trong chương này, chúng tơi đưa cách tính số tất cách phân hoạch tập hợp hữu hạn thành tập khơng rỗng cho tập có số chẵn (một số lẻ) phần tử cách áp dụng kỹ thuật hàm sinh mũ kết hợp với phép biến đổi giải tích Hơn nữa, chúng tơi xác định số đường sơ cấp qua cơng thức tính truy hồi Mối liên hệ số tất phân hoạch chẵn, số tất phân hoạch lẻ với số tất phân hoạch tập hữu hạn thành tập không rỗng mà biết số tài liệu tổ hợp đưa Sau vài ví dụ Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Thái Hòa -Trường ĐHQN Thầy tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ trình nghiên cứu hoàn chỉnh luận văn Tác giả xin bày lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Phạm Xuân Bình -Trường ĐHQN Các vấn đề luận văn thực dựa ý tưởng ban đầu mà thầy gợi ý cho tác giả Tác giả xin chân thành cám ơn đến Ban lãnh đạo Trường Đại Học Quy Nhơn, Phòng quản lý khoa học, Phòng đào tạo, thầy cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học tốn khóa 8, Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Bình Định, Trường THPT An Lương - Bình Định, tất bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện, giúp đỡ cho tác giả suốt thời gian học tập thực luận văn Quy Nhơn, 2008 Phạm Triều Đại LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số quy tắc đếm, toán đếm số kết liên quan đến số tất phân hoạch tập hợp hữu hạn thành tập không rỗng - số Stirling loại (Xem [1], [3], [4], [6], [9]) 1.1 Các quy tắc đếm Quy tắc tương ứng -một ([1], tr 46) Cho hai tập hợp hữu hạn X Y : X = {1, 2, , n}, Y = {a1 , a2 , , am }, |X| = n |Y | = m Một ánh xạ ϕ từ X vào Y phép tương ứng, ký hiệu ··· n ϕ= ai1 ai2 · · · ain cho ứng phần tử j ∈ X với phần tử aij ∈ Y, j = 1, n - Ánh xạ ϕ gọi toàn ánh a ∈ Y , tồn i ∈ X cho a = ϕ(i) Nếu tồn tồn ánh từ X đến Y |X| ≥ |Y | - Ánh xạ ϕ gọi đơn ánh với i, j ∈ X i = j ϕ(i) = ϕ(j) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nếu tồn đơn ánh từ X đến Y |X| ≤ |Y | - Ánh xạ ϕ gọi song ánh (hoặc tương ứng 1-1) ϕ đơn ánh toàn ánh Quy tắc tương ứng 1-1: Nếu tồn tương ứng 1-1 phần tử tập hữu hạn X Y X Y có số phần tử Ví dụ 1.1 Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt Có cách chọn phần tử tập hợp X Chứng minh Gọi A số cách chọn phần tử tập hợp X Bây mặt phẳng, cho n điểm A1 , A2 , , An cho khơng có điểm thẳng hàng nối tất điểm lại với đơi Ta nhận xét rằng: với điểm nối với n − điểm lại ta n − đoạn thẳng Vì có n điểm nên ta có n(n − 1) đoạn thẳng đoạn thẳng n(n − 1) đoạn thẳng Gọi B tập hợp tất đoạn n(n − 1) thẳng này, |B| = Rõ ràng tồn song ánh (một tương ứng 1-1) hai tập hợp A B Do ta có tính hai lần, có |A| = |B| = n(n − 1) Quy tắc cộng ([3], tr 27) Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1 , m2 cách chọn đối tượng x2 , , mn cách chọn đối tượng xn cách chọn đối tượng xi không trùng với cách chọn đối tượng xj (i = j, i, j = 1, n) có m1 + m2 + · · · + mn cách chọn đối tượng cho Ta chứng minh quy tắc cộng sở lý thuyết tập hợp sau Định lý 1.1 Cho n tập hợp hữu hạn Xi (i = 1, n) với |Xi | = mi , Xi ∩ Xj = ∅, i = j n Khi số cách chọn phần tử thuộc tập n Xi i=1 n n |Xi | Xi = i=1 Xi i=1 (1.1) i=1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo n với n ≥ Nếu n = |X1 ∪ X2 | = |X1 | + |X2 | − |X1 ∩ X2 | = |X1 | + |X2 | (do X1 ∩ X2 = ∅) Giả sử (1.1) với n = k, (k ≥ 2) Ta chứng minh (1.1) với n = k + 1, nghĩa k+1 k+1 |Xi | Xi = i=1 (1.2) i=1 Thật ta có X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xk ∪ Xk+1 = (X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xk ) ∪ Xk+1 Vì Xi ∩ Xj = ∅, i = j; i, j = 1, 2, , k, k + nên (X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xk ) ∩ Xk+1 = (X1 ∩ Xk+1 ) ∪ (X2 ∩ Xk+1 ) ∪ · · · ∪ (Xk ∩ Xk+1 ) = ∅ Vậy |X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xk ∪ Xk+1 | = |(X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xk ) ∪ Xk+1 | = |X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xk | ∪ |Xk+1 | k |Xi | + |Xk+1 | = i=1 k+1 |Xi | = i=1 Suy (1.2) chứng minh Theo nguyên lý quy nạp toán học, quy tắc cộng với n ∈ N, n ≥ Ví dụ 1.2 Từ chữ số 1, 2, lập số khác có chữ số khác Chứng minh Từ chữ số 1, 2, lập được: - Ba số khác có chữ số 1, 2, Trong trường hợp có cách lập - Sáu số khác nhau, số có hai chữ số 12, 13, 21, 23, 31 32 Trong trường hợp có cách lập - Sáu số khác nhau, số có ba chữ số 123, 132, 213, 231, 312 321 Trong LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com trường hợp có cách lập Các cách lập đôi không trùng Vậy theo quy tắc cộng có + + = 15 cách lập số khác có chữ số khác từ chữ số 1, 2, Quy tắc nhân ([3], tr 28.) Nếu tồn tương ứng 1-1 phần tử tập hữu hạn X Y X Y có số phần tử Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1 , sau với cách chọn đối tượng x1 có m2 cách chọn đối tượng x2 , sau với cách chọn x1 x2 có m3 cách chọn đối tượng x3 , , cuối cùng, với cách chọn x1 , x2 , , xn−1 có mn cách chọn đối tượng xn , có m1 m2 mn cách chọn dãy đối tượng "x1 x2 x3 xn " Ta chứng minh quy tắc nhân sở lý thuyết tập hợp sau Định lý 1.2 Giả sử có n tập hữu hạn Xi , i = 1, n, |Xi | = mi Chọn gồm n phần tử (a1 , a2 , , an ) với ∈ Xi Khi số cách chọn khác |X1 × X2 × · · · × Xn | n |X1 × X2 × · · · × Xn | = mi (1.3) i=1 Chứng minh Ta chứng minh (1.3) phương pháp quy nạp theo n, n ≥ sau Với n = 2, ta có |X1 | = m1 , |X2 | = m2 Giả sử X1 = {a1 , a2 , , am1 } X2 = {b1 , b2 , , bm2 } X1 × X2 = {(ai , bj ) : ≤ i ≤ m1 , ≤ j ≤ m2 , ∈ X1 , bj ∈ X2 } Ta viết X1 × X2 dạng bảng sau (a1 , b1 ) (a1 , b2 ) · · · · · · (a1 , bm2 ) (a2 , b1 ) (a2 , b2 ) · · · · · · (a2 , bm2 ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (am1 , b1 ) (am1 , b2 ) · · · · · · (am1 , bm2 ) Đặt Ei = {(ai , b1 ), (ai , b2 ), , (ai , bm2 ) : ≤ i ≤ m1 } =⇒ |Ei | = m2 Ta có X1 × X2 = E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ Em1 với Ei ∩ Ej = ∅, i = j Theo quy tắc cộng ta m1 |X1 × X2 | = |E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ Em1 | = |Ei | = m1 m2 i=1 Vậy công thức (1.3) cho trường hợp n = Giả sử (1.3) với trường hợp n = k, (k ≥ 2), tức |X1 × X2 × · · · × Xk | = m1 m2 mk Ta chứng minh (1.3) cho trường hợp n = k + 1, có nghĩa |X1 × X2 × · · · × Xk × Xk+1 | = m1 m2 mk mk+1 Thật vậy, xét phần tử (a1 , a2 , , ak , ak+1 ) tích Descartes X1 × X2 × · · · × Xk × Xk+1 Đặt α = (a1 , a2 , , ak ) Rõ ràng tập hợp có dạng (a1 , a2 , , ak , ak+1 ) tập hợp cặp có dạng (α, ak+1 ) có tương ứng − Vậy có (a1 , a2 , , ak , ak+1 ) có nhiêu cặp (α, ak+1 ) Nếu ta ký hiệu tập hợp tất α X , ta nói tập hợp X1 × X2 × · · · × Xk × Xk+1 có phần tử tập hợp X × Xk+1 có nhiêu phần tử, tức |X1 × X2 × · · · × Xk × Xk+1 | = |X × Xk+1 | Theo chứng minh cho trường hợp n = ta có |X × Xk+1 | = |X||Xk+1 | Theo cách dựng X tích Descartes X1 × X2 × · · · × Xk Áp dụng giả thiết quy nạp ta có |X × Xk+1 | = |X||Xk+1 | = |X1 × X2 × · · · × Xk | × |Xk+1 | = m1 m2 mk mk+1 Vậy |X1 × X2 × · · · × Xk × Xk+1 | = m1 m2 mk mk+1 Theo nguyên lý quy nạp toán học, công thức (1.3) với n ∈ N, n ≥ Ví dụ 1.3 Có số gồm chữ số khác lập từ chữ số 0, 2, 4, 6, LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 49 Đẳng thức et(shx) = dãy {Qn (t)}∞ n=0 ∞ Qn (t) n=0 xn cho ta kết luận et.shx hàm sinh mũ n! Bằng phương pháp hàm sinh ta chứng minh mệnh đề cho cơng thức tính số Pn Qn Mệnh đề 3.3 Ta có cơng thức sau ∞ (i) Pn = e k=0 ∞ k k! (ii) Qn = k=0 k k k! Ckj (k − 2j)n (3.3) j=0 k (−1)j Ckj (k − 2j)n (3.4) j=0 Chứng minh (i) Theo mệnh đề 3.2, et(chx−1) hàm sinh mũ dãy {Pn (t)}∞ n=0 ∞ Do ta viết et(chx−1) = Pn (t) n=0 xn n! Mặt khác, ∞ etchx = k=0 ∞ = k=0 ∞ = k=0 tk x k (e + e−x ) k k! tk 2k k! tk 2k k! k Ckj e−jx e(k−j)x j=0 k Ckj e(k−2j)x j=0 ∞ tk = 2k k! k=0 ∞ = Ckj (k − 2j)n j=0 n=0 tk 2k k! k ∞ n=0 ∞ k k=0 xn n! Ckj (k − 2j)n j=0 xn n! Suy ∞ et(chx−1) = e−t n=0 ∞ ∞ k=0 ∞ e−t = n=0 k=0 tk 2k k! tk 2k k! k Ckj (k − 2j)n j=0 k Ckj (k j=0 n − 2j) xn n! xn n! LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 50 Do ∞ −t Pn (t) = e k=0 Cho t = ta Pn (1) = e−1 tk 2k k! k Ckj (k − 2j)n j=0 ∞ k j Ck (k − 2j)n k k=0 k! j=0 n Hơn Pn (1) = En,k = Pn k=1 ∞ k j C (k − 2j)n e k=0 2k k! j=0 k (ii) Theo mệnh đề 3.2, et.shx hàm sinh mũ dãy {Qn (t)}∞ n=0 Tức n ∞ x et.shx = Qn (t) Mặt khác n! n=0 Do Pn = ∞ t.shx e tk x k (e − e−x ) k k! k=0 ∞ k k t = (−1)j Ckj e−jx e(k−j)x k k! j=0 k=0 ∞ k k t = (−1)j Ckj e(k−2j)x k k! j=0 k=0 ∞ k ∞ k n t j j nx = (−1) C (k − 2j) k n! 2k k! n=0 j=0 k=0 ∞ ∞ k k n t j j n x = (−1) C (k − 2j) k n! 2k k! = n=0 j=0 k=0 Do ∞ Qn (t) = k=0 tk 2k k! k (−1)j Ckj (k − 2j)n (3.5) j=0 ∞ Cho t = ta Qn (1) = k (−1)j Ckj (k − 2j)n k k! j=0 k=0 n Hơn Qn (1) = On,k k=0 ∞ Do Qn = k (−1)j Ckj (k − 2j)n k k! j=0 k=0 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 51 n Nhận xét Theo công thức biết : (−1)k (k + a)m Cnk = 0, m = 0, , n− k=0 1; ( [7], tr 609) ta thấy ∞ Qn (t) = k=n tk 2k k! k (−1)j Ckj (k − 2j)n (3.6) j=0 Do cơng thức cho Qn mệnh đề 3.3 viết lại sau: ∞ Qn = k=n k k! k (−1)j Ckj (k − 2j)n j=0 Trong phần trước ta biết đến số Bell Bn Một điều thú vị số Bell số Pn , Qn có mối liên hệ với Mệnh đề 3.4 Ta có n Cnk Pk Qn−k Bn = (3.7) k=0 n Chứng minh Trong ví dụ 2.7 (chương 2), ta đặt en (t) = x chứng minh et(e Sn,k tk k=0 −1) hàm sinh dãy {en (t)}∞ n=0 , tức ∞ t(ex −1) e = en (t) n=0 xn n! t.shx hàm Theo mệnh đề 3.2, et(chx−1) hàm sinh dãy {Pn (t)}∞ n=0 e sinh dãy {Qn (t)}∞ n=0 Để ý x et(e −1) = et(chx−1) etshx Vì chx − + shx = ex + e−x −1+ ex − e−x = ex − 1) Do ∞ en (t) n=0 xn = n! ∞ Pn (t) n=0 ∞ n xn n! ∞ Qn (t) n=0 Cnk Pk (t)Qn−k (t) = n=0 k=0 xn n! xn n! (3.8) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 52 Suy n Cnk Pk (t)Qn−k (t) en (t) = k=0 Thay t = vào đẳng thức ta nhận n Cnk Pk (1)Qn−k (1) en (1) = k=0 n Hơn nữa, en (1) = Sn,k = Bn ; Pk (1) = Pk ; Qn−k (1) = Qn−k Do k=0 n Cnk Pk Qn−k Bn = k=0 Ta có điều cần chứng minh Như vậy, với công thức (3.3) (3.4) ta tính số phân hoạch chẵn số phân hoạch lẻ tập hữu hạn cho trước Tuy nhiên, việc tính tốn với công thức tương đối phức tạp Vấn đề đặt ra: Tìm phương pháp đơn giản để xác định số phân hoạch chẵn số phân hoạch lẻ tập hữu hạn n Ta biết Pn = n En,k Qn = k=0 On,k Do đó, xác định k=0 số phân hoạch thành k tập chẵn(En,k ) số phân hoạch thành k tập lẻ (On,k ) xác định Pn Qn Sau đây, thiết lập công thức truy hồi cho số En,k On,k Trước hết ta có trường hợp đơn giản sau Mệnh đề 3.5 Ta có (i) E2m,2 = 22(m−1) − (ii) E2m,m = (2m − 1)!! LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 53 Chứng minh (i) Mỗi cách phân hoạch tập 2m phần tử thành hai tập không rỗng gồm hai bước : 2j + Bước : Chọn 2j phần tử từ 2m phần tử cho tập thứ nhất, có C2m cách + Bước : Chọn 2m − 2j phần tử cịn lại cho tập thứ hai, có cách Do j nhận giá trị 1, 2, , m − số cách chọn ứng với j tính lần nên ta có E2m,2 = m−1 2j C2m j=1 Khai triển nhị thức (1 + x)2m sau cho x = 1, x = −1 ta nhận E2m,2 = m−1 2j C2m = 22(m−1) − j=1 (ii) Ta có 2 C C · · · C42 C22 m! 2m 2m−2 (2m)! (2m − 2)! 4! 2! · · ··· = m! 2!(2m − 2)! 2!(2m − 4)! 2!2! 2! (2m)! = · m = (2m − 1)!! m! E2m,m = Mệnh đề 3.6 Ta có (i) O2n,2 = 22(n−1) (3.9) (ii) On,n−2 = Cn3 = n(n − 1)(n − 2) , n≥4 (3.10) Chứng minh (i) Lập luận tương tự cách tính E2n,2 ta có cơng thức O2n,2 = n 2j−1 C2n = 22(n−1) j=1 (ii) Khi phân hoạch tập n phần tử thành n − tập khơng rỗng mà tập có số lẻ phần tử có tập có phần tử n − tập lại tập có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 54 phần tử + Có Cn3 cách chọn phần tử để tạo thành tập có phần tử + Có cách phân hoạch n − phần tử thành n − tập không rỗng, tập có phần tử Do theo quy tắc nhân ta có On,n−2 = Cn3 = n(n − 1)(n − 2) , n ≥ Tiếp theo ta chứng minh công thức truy hồi cho số Pn,k Qn,k Mệnh đề 3.7 Ta có n 2j C2n (E2j+2,2 − − 2E2j,2 )E2n−2j,k−1 , E2n+2,k+1 = E2n,k + (k + 1)E2n,k+1 + j=1 ∀n ∈ N, ∀k ∈ N (3.11) Chứng minh: Xét phép phân hoạch tập có 2n+2 phần tử thành k+1 tập khơng rỗng cho tập có số chẵn phần tử Ta xem tập gồm 2n + phần tử tập có 2n phần tử thêm vào hai phần tử a b Tùy theo có mặt a b tập phép phân hoạch mà ta có trường hợp sau : a) Trường hợp 1: {a, b} tập riêng lẻ phép phân hoạch Khi đó, số phép phân hoạch xét số phép phân hoạch tập 2n phần tử thành k tập con, tập có chẵn phần tử Tức E2n,k cách b) Trường hợp 2: Cả a b có mặt tập (với phần tử khác 2n phần tử lại) phép phân hoạch Có E2n,k+1 cách phân hoạch tập 2n phần tử thành k + tập Với cách phân hoạch thế, a b nằm tập số k + tập phép phân hoạch Do đó, có tất (k + 1)E2n,k+1 cách phân hoạch c) Trường hợp 3: a b có mặt hai tập khác số (k + 1) tập phép phân hoạch Gọi 2j + số phần tử hai tập chứa a b ( bao gồm a b, j = 1, 2, n) Ta tìm số cách phân hoạch tập gồm 2j + phần tử thành tập có chẵn phần tử, cho a b nằm hai tập khác + Gọi A tập tất phép phân hoạch tập 2j + phần tử thành tập LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 55 có chẵn phần tử Khi |A| = E2j+2,2 + A1 = {f ∈ A : {a, b} tập phép phân hoạch f } =⇒ |A1 | = + A2 = {f ∈ A : a b với phần tử khác tạo thành tập phép phân hoạch f } =⇒ |A2 | = 2E2j,2 + A3 = {f ∈ A : a b nằm hai tập khác phép phân hoạch f } Rõ ràng A = A1 ∪ A2 ∪ A3 Ai ∩ Aj = ∅ ∀i = j; i, j ∈ {1, 2, 3} Do |A| = |A1 | + |A2 | + |A3 | =⇒ |A3 | = |A| − |A1 | − |A2 | = E2j+2,2 − − 2E2j,2 Như vậy, số phép phân hoạch tập có 2j + phần tử thành tập có chẵn phần tử, cho a b nằm hai tập khác E2j+2,2 − − 2E2j,2 Khi đó, 2n − 2j phần tử lại phải phân hoạch thành k − tập con, tập có chẵn phần tử số cách phân hoạch E2n−2j,k−1 2j Hơn nữa, Với j = 1, 2, 3, , n ta có C2n cách chọn 2j phần tử từ 2n phần tử Do đó, số cách phân hoạch trường hợp n 2j C2n (E2j+2,2 − − 2E2j,2 )E2n−2j,k−1 j=1 Từ ba trường hợp trên, ta có điều cần chứng minh Mệnh đề 3.8 Ta có ✔n✕ Cn2j (O2j+2,2 − 2O2j,2 )On−2j,k−1 , On+2,k+1 = (k + 1)On,k+1 + (3.12) j=0 ký hiệu [x] dùng để phần nguyên x Chứng minh Ta thấy O2n,1 = 0, O2n+1,1 = 1, O2n+1,2 = Để thiết lập công thức (3.12), ta xem tập n + phần tử tập ban đầu có n phần tử thêm vào hai phần tử mới, giả sử a b Tùy theo phân bố a b tập phép phân hoạch, ta có trường hợp sau LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 56 a) Trường hợp 1: a b với phần tử khác tạo thành tập phép phân hoạch Có On,k+1 cách phân hoạch tập có n phần tử thành k + tập Do a b nằm tập số k + tập nên có tất (k + 1)On,k+1 cách b) Trường hợp 2: a b nằm hai tập khác Gọi 2j + số phần tử hai tập ( bao gồm a b) Ta phân hoạch tập gồm 2j + phần tử thành tập mà tập có số lẻ phần tử + Gọi B tập tất phân hoạch tập 2j + phần tử thành tập mà tập có số lẻ phần tử Khi |B| = O2j+2,2 + Gọi B1 = {f ∈ B :a b với phần tử khác tạo thành tập phép phân hoạch f } Khi |B1 | = 2O2j,2 + Gọi B2 = {f ∈ B : a b nằm hai tập khác phép phân hoạch f } Rõ ràng B = B1 ∪ B2 B1 ∩ B2 = ∅ Suy |B2 | = |B| − |B1 | = O2j+2,2 − 2O2j,2 Do số cách phân hoạch tập gồm 2j + phần tử thành tập cho tập có số lẻ phần tử mà a b nằm hai tập khác O2j+2,2 − 2O2j,2 Khi đó, n − 2j phần tử lại phân hoạch thành k − tập cho tập có số lẻ phần tử, có On−2j,k−1 cách Hơn nữa, có Cn2j cách chọn 2j phần tử từ n phần tử Do tập có số lẻ phần tử nên {a}, {b} tập, j nhận giá trị 0, 1, , n Do số cách phân hoạch trường hợp ✔n✕ Cn2j (O2j+2,2 − 2O2j,2 )On−2j,k−1 j=0 Từ hai trường hợp a) b) ta có ✔n✕ Cn2j (O2j+2,2 − 2O2j,2 )On−2j,k−1 On+2,k+1 = (k + 1)On,k+1 + j=0 Từ kết ta tính truy hồi cho số phân hoạch chẵn lẻ Dưới bảng số phân hoạch chẵn (lẻ) cho giá trị n, k LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 57 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 58 * Bảng phân hoạch chẵn : En,k k=0 k=1 k= k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 Pn n=0 1 n=1 0 n=2 n=3 0 0 n=4 0 n=5 0 0 0 n=6 15 15 0 n=7 0 0 0 0 n=8 63 210 105 0 0 379 31 * Bảng phân hoạch lẻ : On,k k=0 k=1 k= k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 Qn n=0 1 n=1 n=2 0 n=3 1 n=4 0 n=5 10 n=6 0 16 20 n=7 91 35 128 n=8 0 64 366 56 457 12 37 Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ số Sn,k , En,k On,k LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 59 Mệnh đề 3.9 k n Cni Ei,j On−i,k−j Sn,k = j=0 i=0 Chứng minh Trong số n phần tử phân hoạch thành k tập khơng rỗng, gồm có i phần tử phần hoạch chẵn thành j tập không rỗng n − i phần tử phần hoạch lẻ thành k−j tập không rỗng, i = 0, 1, · · · , n j = 0, 1, · · · , k Do ta có k n Cni Ei,j On−i,k−j Sn,k = j=0 i=0 Từ kết mệnh đề 4.9 ta suy hệ sau Hệ 3.10 n n k n Cni Ei,j On−i,k−j Sn,k = Bn = k=0 k=0 j=0 i=0 Sau đưa vài ví dụ thực tế, mang tính chất áp dụng, liên quan đến vấn đề tính số phân hoạch chẵn số phân hoạch lẻ tập hữu hạn Ví dụ 3.1 Phân phối n cầu phân biệt vào m hộp giống Có cách phân phối cho hộp có chứa số chẵn cầu cách phân phối cho hộp có chứa số lẻ cầu? Chứng minh Vì cầu phân biệt hộp giống nên số cách phân phối để hộp có số chẵn (lẻ) phần tử số cách phân hoạch tập n phần tử thành m tập cho tập có số chẵn (lẻ) phần tử Do số cách phân phối cho hộp có chứa số chẵn cầu En,m cách số cách phân phối cho hộp có chứa số lẻ cầu On,m cách LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 60 Ví dụ 3.2 Phân phối n cầu phân biệt vào k hộp phân biệt Có cách phân phối cho hộp có chữa số chẵn cầu có cách phân phối cho hộp có chứa số lẻ cầu? Chứng minh Giả sử hộp giống Theo trên, số cách phân phối cho hộp có chứa số chẵn cầu En,k số cách phân phối cho hộp có chứa số lẻ cầu On,k Với cách phân phối này, cách hoán vị, lần hoán vị ta phân phối vào k hộp khác Do đó, số cách phân phối n cầu phân biệt vào k hộp phân biệt cho hộp có chứa số chẵn cầu k!En,k số cách phân phối n cầu phân biệt vào k hộp phân biệt cho hộp có chứa số lẻ cầu k!On,k Ví dụ 3.3 Có cách phân phối đồ vật khác vào hộp giống cho hộp chứa số chẵn đồ vật? Có cách phân phối đồ vật khác vào hộp giống cho hộp chứa số lẻ đồ vật? Chứng minh Vì đồ vật khác hộp giống nên số cách phân phối đồ vật khác cho tập có số chẵn phần tử vào hộp khác số cách phân hoạch tập có phần tử phân biệt thành tập cho tập có số chẵn phần tử E5,3 = Tương tự, số cách phân phối đồ vật khác vào hộp giống cho hộp có số lẻ phần tử O5,3 = 10 Ví dụ 3.4 Trong giải bóng đá, vịng 1/8 ban tổ chức cần chia 16 đội thành cặp thi đấu đội tiến hành bốc thăm Hỏi có trường hợp thế? Chứng minh Số trường hợp đội bắt thăm số phân hoạch tập gồm có phần tử phân biệt thành tập khơng rỗng cho tập có chẵn phần tử Do số trường hợp đội bốc thăm E16,8 = 15!! = 2027025 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 61 Ví dụ 3.5 Có 20 vận động viên thi đấu cầu lông Ban tổ chức cần chia vận động viên thành 10 cặp thi đấu Hỏi ban tổ chức có cách chia ? Chứng minh Số cách chia 20 vận động viên thành 10 cặp thi đầu số phân hoạch tập 20 phần tử thành 10 tập cho tập có số chẵn phần tử Do số cách chia E20,10 = 19!! = 654729075 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 62 kết luận Trong luận văn, chúng tơi trình bày số vấn đề sau Các quy tắc đếm, số toán đếm số kết liên quan đến vấn đề số phân hoạch tập hợp hữu hạn thành tập không rỗng (số Stirling loại 2, số Bell) Khái niệm hàm sinh, hàm sinh mũ ví dụ điển hình mà áp dụng kỹ thuật hàm sinh, hàm sinh mũ để giải chúng Công thức ngược áp dụng công thức ngược để thiết lập công thức sàng Chứng minh cơng thức tính tổng số phần tử tập hữu hạn X mà chứa số chẵn (hay số lẻ) tập cho trước X Thiết lập công thức tính trực tiếp cho số phân hoạch chẵn Pn số phân hoạch lẻ Qn Chỉ hệ thức liên hệ số phân hoạch chẵn Pn , số phân hoạch lẻ Qn Số Bell Bn Bằng lập luận sơ cấp chứng minh cơng thức tính truy hồi cho số En,k , On,k mối liên với số Stirling loại - Sn,k Sau số tập áp dụng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 63 Tài liệu tham khảo [1] Lê Hạnh (1995), 120 Bài tập giải tích tổ hợp, NXB Giáo Dục, TPHCM [2] Vũ Đình Hồ (2002), Lý thuyết tổ hợp toán ứng dụng, NXB Giáo Dục, Hà Nội [3] Ngơ Thúc Lanh (1998), Tìm hiểu đại số tổ hợp phổ thông, NXB Giáo Dục, Hà Nội [4] Ngô Đắc Tân (2003), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [5] Hồng Chí thành, (2001), Giáo trình tổ hợp, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [6] Martin Aigner (1997), Combinatorial Theory, Spring Verlag, Berlin Heidelberg [7] Proudnikov et al (1981), Intergrals and Series of Elementary Functions, Nauka, Moscou, (In Russian) [8] Richard P.Stanley (2001), Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, 2001 [9] Karl H.Wehrhahn (1992), Combinatorics An Introductin, Carslaw Publications, Australia LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... 1, giá trị khác Sn,k tính tổng số nằm nhân với k (kSn−1,k ) số nằm bên trái (Sn−1,k−1 ) S 1,1 S 2,1 S 2,2 S 3,1 S 3,2 S 3,3 S 4,1 S 4,2 S 4,3 S 4,4 S 5,1 S 5,2 S 5,3 S 5,4 S 5,5 1 1 15 25 10 năm hàng cho số. .. tập có số chẵn (lẻ) phần tử Ta gọi Pn (Qn ) số phân hoạch chẵn (lẻ) Nhận xét 1) Vì tổng số chẵn số chẵn nên E2n+1,k = ∀n, k ∈ N Do đ? ?, P2n+1 = 0, n = 0, 1, 2, 2) Tương t? ?, O2n,2k+1 = (∀n 1, ∀k... Phân hoạch tập hợp {a, b, c, d} thành phần biểu thị tập hợp: {{a }, {b }, {c, d}}; {{a }, {b, d }, {c}}; {{a, d }, {b }, {c}} {{a }, {b, c }, {d}}; {{a, c }, {b }, {d}}; {{a, b }, {c }, {d}} viết đơn giản
Ngày đăng: 02/11/2022, 10:36
Xem thêm:
