mở đầu Lý chọn đề tài Thời đại ngày thời đại công nghệ thông tin đại với phát triển nh vũ b o ngành khoa học kỹ thuật nghiệp giáo dục cần phải đáp ứng đòi hỏi cách mạng khoa học công nghệ Đóng góp cho phát triển có phần không nhỏ toán học Toán học nảy sinh từ thực tiễn øng dơng réng r i thùc tiƠn nhÊt lµ toán ứng dụng, loại toán ứng dụng phải kể đến xác suất thống kê Nó đợc th từ trao đổi hai nhà toán học vĩ đại ngời pháp Pa-xcan(1623-1662) Phec-ma(1601-1665) xung quanh cách giải đáp số vấn đề rắc rối nảy sinh trò chơi cờ bạc mà nhà quý tộc pháp Đờmê-rê đặt cho Pa-xcan Năm 1812 nhà toán học pháp Laplaxơ đ dự báo rằng: Môn khoa học việc xem xét trò chơi may rủi hứa hẹn trở thành đối tợng quan trọng tri thức loài ngời Đặc biệt vào năm 1933 Kolmogrov đ đa hệ tiên đề để xây dựng xác suất thống kê thành khoa học xác trừu tợng Kể từ xác suất thống kê trở thành ngành toán học đa diện gồm chiều sâu lí luận lẫn nội dung ứng dụng Ngày lí thuyết xác suất đ trở thành ngành toán học đợc ứng dụng rÊt nhiỊu lÜnh vùc cđa khoa häc tù nhiªn, khoa häc x héi, c«ng nghƯ, kinh tÕ, y häc, sinh học, Không đóng góp cho hình thành phát triển giới quan khoa học xác suất thống kê đ đợc đa vào dạy cho học sinh THPT lớp 10, lớp 11 Việc hiểu vận dụng kiến thức đợc trang bị trờng Đại học vào công tác giảng dạy sau trờng yêu cầu nhiệm vụ ngời sinh viên ngồi ghế trờng đại học Ngoài việc đợc học kiến thức giảng viên cung cấp, thân sinh viên cần phải tự tìm hiểu, tự nghiên cứu để thấy đợc mối liên hệ kiến thức bậc học đại học kiến thức đợc giảng dạy sau trờng phổ thông Từ tính chất, định lý đợc học trờng phổ thông tổng quát lên hay không? hay tính chất, định lý đợc học trờng đại học đặc biệt hoá cho ta gì? Việc liên hệ kiến thức trờng THPT với kiến thức trờng đại học để phục vụ cho công tác giảng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com dạy sau việc làm cần thiết sinh viên Do định chọn đề tài Một số nội dung lí thuyết xác suất chơng trình Toán THPT" Mục đích nghiên cứu - Mục tiêu khoa học công nghệ: + Hệ thống ho¸ mét sè néi dung cđa lý thut x¸c st thống kê trờng đại học + Xây dựng, chọn lọc tìm mối liên hệ nội dung xác suất thống kê trờng đại học với trờng THPT - Sản phẩm khoa học công nghệ: Đề tài tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên toán trờng THPT sinh viên toán trờng Đại học Hùng Vơng Đối tợng phạm vi nghiªn cøu - Nghiªn cøu mét sè néi dung lÝ thuyết xác suất thống kê thể chơng trình toán THPT - Nghiên cứu số tập nâng cao Phơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu, giáo trình, sách giáo khoa, sách tham khảo xác suất thống kê - Phơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Tìm hiểu kinh nghiệm giảng dạy giáo viên hớng dẫn giảng viên môn toán khoa Toán - Công nghệ - Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên toán THPT với sinh viên s phạm toán thấy đợc mối liên hệ kiến thức chơng trình Đại häc víi kiÕn thøc ë tr−êng Phỉ th«ng phơc vơ cho công tác giảng dạy sau Với thân việc nghiên cứu giúp em bổ sung hoàn thiện kiến thức đ học xác suất thống kê đ học đồng thời nâng cao khả kiến thức nghiệp vụ s phạm trình học tập LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bè côc khoá luận Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm có chơng: Chơng I: Biến cố xác suÊt cña biÕn cè 1.1 BiÕn cè 1.1.1 Mét sè khái niệm mở đầu 1.1.2 Các phép toán biến cố 1.2 Xác suất biến cố 1.2.1 Nhắc lại số kiến thức tổ hợp 1.2.2 Các định nghÜa vỊ x¸c st 1.2.3 TÝnh chÊt cđa x¸c st 1.2.4 Xác suất có điều kiện 1.2.5 Liên hệ xác suất độc lập biến cố 1.2.6 Các quy tắc tính xác suất Chơng II: Biến ngẫu nhiên 2.1 Biến ngẫu nhiên 2.1.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 2.1.2 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên 2.2 Các số đặc trng biến ngẫu nhiên 2.2.1 Kỳ vọng 2.2.2 Phơng sai 2.2.3 Bản chất ý nghĩa kỳ vọng phơng sai 2.2.4 Một số số đặc trng khác 2.3 Các bất đẳng thức moment 2.3.1 Định nghĩa moment 2.3.2 Các bất đẳng thức moment Chơng III: Bài tập 3.1 Xác suất 3.2.Các qui tắc tính xác suất 3.3 Đánh giá xác suất, số lần 3.4 Xác suất điều kiện 3.5 Xác suất mở rộng 3.6 Bất đẳng thức xác suất 3.7 Biến ngẫu nhiên rời rạc LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ch−¬ng I biÕn cè xác suất biến cố 1.1 biến cố 1.1.1 Một số khái niệm mở đầu 1.1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên đợc hiểu thực nhóm điều kiện để quan sát tợng xảy hay không xảy Các kết phép thử đợc gọi kết Tập hợp tất kết phép thử ngẫu nhiên không gian biến cố sơ cấp ứng với phép thử ngẫu nhiên Mỗi kết gọi biến cố sơ cấp Nhận xét: trờng THPT, không gian biến cố sơ cấp không gian mẫu, kí hiệu là: 1.1.1.2 BiÕn cè a, BiÕn cè ngÉu nhiªn: BiÕn cè ngÉu nhiên biến cố xảy không xảy phép thử ngẫu nhiên đợc thùc hiÖn KÝ hiÖu: A, B, C b, BiÕn cè chắn: Biến cố chắn biến cố định xảy phép thử đợc thực Kí hiƯu: Ω c, BiÕn cè kh«ng thĨ cã: BiÕn cè có biến cố định không xảy phép thử đợc thực Kí hiệu: ỉ d, Mối quan hệ biến cố: - Biến cố thuận lợi: Biến cố A đợc gọi thuận lợi (thích hợp) biến cố B A xảy B xảy Kí hiệu: A B - BiÕn cè b»ng nhau: Hai biÕn cè A B đợc gọi biến cố A thuận lợi biến cố B biến cố B thuận lợi biến cố A: A ⊂ B A=B ⇔ B ⊂ A LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.1.2 C¸c phÐp to¸n vỊ biÕn cè 1.1.2.1 C¸c phÐp to¸n vỊ biÕn cè a, PhÐp giao: Giao cđa n biÕn cè A1, A2, , An lµ mét biÕn cè nã x¶y n A1 , A , , A n đồng thời xảy Kí hiệu: A i i =1 Đặc biệt: Khi n = 2, giao hai biÕn cè A vµ B lµ mét biÕn cè xảy A B xảy Kí hiệu: AB A B b, Phép hợp: Hợp cđa n biÕn cè A1, A2, , An lµ mét biÕn cè nã x¶y Ýt n nhÊt mét n biÕn cè A1, A2, , An x¶y Kí hiệu: A i i =1 Đặc biệt: Khi n=2, hợp hai biến cố A B biến cố xảy A B xảy KÝ hiƯu: A ∪ B c, HiƯu cđa hai biÕn cè: HiƯu cđa hai biÕn cè A vµ B lµ biến cố xảy A xảy B không xảy Kí hiệu: A \ B d, Biến cố xung khắc: Hai biến cố A, B đợc gọi xung khắc A, B không xảy phép thử đợc thực Hay A B = Ø e, BiÕn cè ®èi lËp: A, B hai biến cố xung khắc hợp hai biến cố A B biến cố chắn A đợc gọi biến cố đối lập biÕn cè B A ∩ B = ∅ A, B ®èi lËp ⇔ A ∪ B = Ω Ký hiệu biến cố đối lập biến cố A Ac hc A 1.1.2.2 Mét sè tÝnh chÊt cđa phÐp to¸n vỊ biÕn cè a, (Ac)c = A b, A ∩ Ac = Ø c, A ∩ B = B ∩ A d, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) e, A ∪ B = B ∪ A f, ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) g, A ∪ Ac = Ω h, A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com i, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) j, A ⊂ B ⇒ Bc ⊂ Ac k, A ∪ B = A ∪ (B ∩ Ac) n l, ( n ∩A ) = ∪ c i i =1 n m, ( i =1 n ∪A ) = ∩ c i i =1 ( Ai)c (Ai)c i=1 Đặc biệt Khi n = ta cã : (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc 1.2 Xác suất biến cố 1.2.1 Nhắc lại số kiến thức tổ hợp 1.2.1.1 Hoán vị: Cho tập hợp X gồm n phần tử Một d y tất n phần tử X xếp theo thứ tự định, gọi hoán vị X Số hoán vị X : Pn = n! 2.1.2 Chỉnh hợp lặp : Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi d y có độ dài k phần tử X, phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định, gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử X Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử : Fnk = nk 1.2.1.3 Chỉnh hợp không lặp: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi d y gồm k phần tử khác X ( k ≤ n ) s¾p xÕp theo mét thứ tự định gọi chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử X (Ta qui ớc gọi chỉnh hợp không lặp chỉnh hợp) n! (n − k)! 1.2.1.4 Tỉ hỵp: Cho tËp hợp X gồm n phần tử số tự nhiên k ( k ≤ n ) Ta Sè chØnh hỵp (không lặp ) chập k n phần tử là: A kn = gọi tập gồm k phần tử X tổ hợp chập k n phần tử X Số tổ hợp chập k n phần tử X là: Ckn = n! k!(n − k)! 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.2.2 Các định nghĩa xác suất 1.2.2.1 Định nghĩa 1: Xác suất số không âm biểu thị khả xuất khách quan biến cố Kí hiệu: P(A) 1.2.2.2 Định nghĩa (theo quan điểm thống kê): Giả sử A biến cố liên quan tới phép thử ngẫu nhiên xét Khi ta tiến hành n lần phép thử, biến cố A xuất m lần ngời ta gọi tỉ số m tần suất xuất n biến cố A Với biến cố ngẫu nhiên A, số p gọi xác suất biến cố A tần suất xuất biến cố A sai khác p không đáng kể, gần p số lần thử nghiệm lớn 1.2.2.3 Định nghĩa (theo quan điểm hình học): Giả sử điểm rơi ngẫu nhiên vào miền D, A miền D Khi xác suất để điểm rơi vào miền A là: số đo A P(A) = số đo D Số đo đợc hiểu: D đoạn thẳng số đo độ dài D hình phẳng số đo diện tích D hình không gian số đo thể tích 1.2.2.4 Định nghĩa (theo quan điểm cổ điển): Nếu A biến cố có n(A) biến cố sơ cấp thích hợp với không gian biến cè s¬ cÊp gåm n( Ω ) biÕn cè cïng khả xuất tỉ số P(A) = n(A) đợc gọi n() xác suất A Nhận xét - Trong chơng trình THPT không gian biến cố sơ cấp không gian mẫu , n( ) = Ω vµ n(A) = Ω A Khi xác suất A đợc xác định bởi: P(A) = ΩA Ω 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Định nghĩa cổ điển xác suất có u điểm cho phép ta tìm đợc cách xác giá trị xác suất - Định nghĩa cổ điển xác suất có hạn chế áp dụng đợc số kết cục phép thử hữu hạn - Định nghĩa hình học xác suất xem mở rộng tơng ứng định nghĩa cổ điển xác suất, khắc phục hạn chế định nghĩa cổ điển xác suất - Định nghĩa thống kê xác suất có u điểm lớn không đòi hỏi điều kiện áp dụng nh định nghĩa cổ điển, hoàn toàn dựa quan sát thực tế để làm sở kết luận xác suất xảy biến cố - Định nghĩa thống kê xác suất có hạn chế áp dụng đợc tợng ngẫu nhiên mà tần suất có tính ổn định ta phải tiến hành thực tế số đủ lớn phép thử Song thực tế nhiều toán khó tiến hành nhiều phép thử để dựa vào mà tính xác suất biến cố Để khắc phục hạn chế định nghĩa xác suất ngời ta sử dụng định nghĩa xác suất theo tiên đề Kolmogorov 1.2.2.5 Định nghĩa 5: Định nghĩa theo hệ tiên ®Ị cđa Kolmogorov a, HƯ tiªn ®Ị * Cã tËp ỉ gọi không gian biến cố sơ cấp Mỗi đợc gọi biến cố sơ cấp * Có - đại số A tập Mỗi A A đợc gọi biến cố ngẫu nhiên * Với A ∈ A cã mét sè thùc P(A) ≥ gọi xác suất A * P() = * Nếu {A i ;i 1} họ vô hạn biến cố ngẫu nhiên đôi xung khắc thì: P ( Ai ) = i =1 P(A ) (tiên đề - cộng tÝnh) i =1 i Bé ba (Ω, A , P) đợc gọi không gian xác suất Kolmogorov 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com b, Mô hình rời rạc lý thuyết xác suất Giả sử = ( ω 1, ω 2, , ω n) lµ tập hợp có không đếm đợc phần tử, lấy A tập gồm tập Lấy d y số không âm p1, p2, , pn tho¶ m n: p1 + p2 + + pn = Đặt P(A )= pi (1) iI Khi (, A , P) thoả m n tiên đề hệ tiên đề Kolmogorov Không xác suất đợc gọi mô hình rời rạc lý thuyết xác suất c, Mối liên quan định nghĩa cổ điển xác suất định nghĩa tiên đề xác suất Đặc biệt, giả sử = ( ω 1, ω 2, , ω n) lµ tập hữu hạn Lấy A tập gồm tập , A A đợc gọi biến cố n Đặt p1 = p2 = = pn = (2) n(A) = n n iI Đây định nghĩa cổ điển xác suất Khi theo (1), P(A) = ∑ pi = n(A) (3) H¬n từ (2) (3) suy : n Điều nói kết phép thử đồng khả xuất P( 1) = P( ω 2) = = P( ω n) = Nh định nghĩa cổ điển xác suất trờng hợp riêng định nghĩa tiên đề xác suất 1.2.3 Tính chất xác suất 1.2.3.1 Mệnh đề Cho không gian xác suất (, A , P) ta cã: i, P(Ø) = ii, NÕu A1, A2, , An họ hữu hạn biến cố ngẫu nhiên đôi xung khắc thì: n P ( Ai ) = i =1 n ∑ P(A ) i i =1 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đặc biệt Khi n = 2: A, B hai biến cố xung khắc thì: P(A B) = P(A) + P(B) Khi n = 3: A, B, C ba biến cố đôi xung khắc thì: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) Đây qui tắc cộng xác suất chơng trình THPT 1.2.3.2 Mệnh đề Cho không gian xác suÊt (Ω, A , P): i, Ai lµ hä biÕn cè bÊt k× th×: n n P ( ∪ A i ) = ∑ P(Ai ) i =1 i =1 ∑ P(A 1≤i, j≤ n n ∩ A j ) + + (-1) P( ∩ A i ) n-1 i i =1 ii, NÕu A ⊂ B th× P(A) ≤ P(B) iii, ≤ P(A) ≤ 1, ∀ A ∈ A ; P(Ω) = 1, P(Ø) = 0, vµ P( Α ) = - P(A) Trong tÝnh chÊt i, víi n = ta cã : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB) (*) Ta cã thÓ chøng minh trùc tiÕp tÝnh chÊt (*) ThËt vËy víi A,B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A ⇒ A ∪ B = A ∪ B Α P(A ∪ B) = P(A) + P(B Α ) Suy ra: Mµ: B = B ∩Ω = B ∩ ( A ∪ Α ) = BA ∪ B Α P(B) = P(BA) + P(B Α ) ⇒ P(B Α ) = P(B) - P(AB) Suy ra: ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB) Đặc biệt Khi A, B xung kh¾c, tøc AB = Ø ⇒ P(AB) = Suy ra: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 1.2.3.3 Mệnh đề Trong không gian xác suất (, A , P) cho hä biÕn cè ngÉu nhiªn {A n ;n 1} thoả m n điều kiện: i, A1 ⊃ A ⊃ ⊃ A n ⊃ ∞ ii, ∩A k =Ø k =1 Khi ®ã: P(An) → ( n → ∞ ), ( tÝnh liªn tơc cđa x¸c st) 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải Đặt A: Mục tiêu bị phá huỷ Bi: Có i viên đạn trúng mục tiêu (i=1, 2, 3) Ck: Viên đạn thứ k trúng mục tiêu (k=1, 2, 3) Vì mục tiêu bị phá huỷ có viên đạn trúng mục tiêu Vậy: A ⊂ B1 ∪ B2 ∪ B3 Nªn P(A)=P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) + P(B3)P(A/B3) (*) Để tìm xác suất P(Bi) ta chó ý r»ng hä {C1, C2, C3} ®éc lËp, nªn tõ biĨu diƠn: B1 = C1 Cc2C3c ∪ C1cC2C3c ∪ C1cCc2C3 Ta cã: P(B1) = P(C1 )P(Cc2 )P(C3c ) + P(C1c )P(C2 )P(C3c ) + P(C1c )P(Cc2 )P(C3 ) = 0,2.0,7.0,5 + 0,8.0,3.0,5 +0,8.0,7.0,5 ≈ 0.47 B2 = C1 C2C3c ∪ C1 Cc2C3 ∪ C1cC2C3 VËy P(B2) = 0,2.0,3.0,5 + 0,2.0,7.0,5 + 0,8.0,3.0,5 ≈ 0,22 B3 = C1C2C3 nªn P(B3) = P(C1)P(C2)P(C3) = 0,2.0,3.0,5 ≈ 0,03 Thay c¸c P(Bi) (i=1, 2, 3) vào (*) Ta đợc: P(A) = 0,47.0,4 + 0,22.1 + 0,03.1 = 0,438 Bài Xác suất xuất k tiếng gọi từ trạm điện thoại khoảng thời gian t Pt(k) Giả sử xuất tiếng gọi khoảng thời gian độc lập Tìm xác suất xuất s tiếng gọi khoảng thời gian 2t liên tiếp 47 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải Đặt A kt : “Trong kho¶ng thêi gian t cã k tiÕng gäi” VËy ta cÇn tÝnh P( A s2t ) Râ rµng ta cã biĨu diƠn: A = k t s ∪A A i t s −i t , vµ { A kt , A it } biến cè ®éc lËp i =0 n s 2t Do ®ã ta cã: P( A ) = ∑ P(A )P(A i =0 i t s −i t n )= ∑ P (i)P (s − i) i =0 t t Bµi Một hộp đựng 15 bóng bàn có Lần đầu ngời ta lấy ngẫu nhiên để thi đấu Sau lại trả vào hộp Lần hai lấy ngẫu nhiên Tìm xác suất để lần sau Giải Đặt A: lấy lần sau ®Ịu míi” Bi: “Trong qu¶ lÊy ®Ĩ thi ®Êu cã i qu¶ míi” (i= 0,1, 2, 3) Râ rµng hƯ { Bi, i = 0,1, 2, 3} lµ đầy đủ, có xác suất dơng, theo công thức xác suất toàn phần ta có: P(A) = P(B0)P(A/B0) + P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2) 2 C22 C92C13 C18C12 C10 C12 C82 C11 C1 = + + 3 C10 C12 C10 C12 C10 C12 = 36.3 8.2 45.2 28 55 + + ≈ 0, 2552 45 220 45 220 45 220 3.5 X¸c suÊt më rộng Bài Hai ngời hẹn gặp th viƯn tõ giê ®Õn giê Ng−êi ®Õn tr−íc chờ 10 phút mà không gặp bỏ Tìm xác suất để hai ngời ngẫu nhiên mà gỈp 48 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải Gọi x (phút) thời gian mà bạn A chê ë th− viÖn ≤ x ≤ 60 Gọi y (phút) thời gian mà bạn B chờ ë th− viÖn ≤ y ≤ 60 Chän hÖ toạ độ Oxy Khi thời gian đến chỗ hẹn cđa hai ng−êi lµ mét 0 ≤ x ≤ 60 điểm hình vuông D y 60 y Do hai ng−êi chê 10 60 Khi hai ngời gặp x y ≤ 10 A 10 Gäi A lµ miỊn hai ngời gặp đợc 60 10 x Do x y ≤ 10 ⇔ x-10 ≤ y ≤ x+10 A={(x,y): x-10 y x+10} Khi miền A miền giới hạn hai đờng y=x+10 y=x-10 hình vuông D Xác suất để hai ngời gặp lµ: diƯn tÝch A P(A) = diƯn tÝch D Diện tích D là: SD =60.60 = 3600(đơn vị) DiƯn tÝch cđa A lµ: SA = SD-50.50 = 1100( đơn vị)Vậy xác suất để hai ngời S 1100 gặp lµ:P= D = ≈ 30,5 % SA 3600 Bµi Một đoạn thẳng có độ dài l Bẻ g y ngẫu nhiên thành đoạn Tìm xác suất để đoạn tạo thành tam giác Giải Gọi x, y, l-x-y độ dài khúc Khi cặp điểm (x,y) mặt phẳng x>0 thoả m n y > thuéc kh«ng gian mÉu x + y < l 49 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Để tạo thành tam giác x, y phải thoả m n y l < x x < y + (l − x − y) l y < x + (l − x − y) ⇔ y < l−x−y< x+ y l x + y > l l l2 l = A O BiĨu diƠn trªn Oxy ta đợc S P= A = SD l x l Bài Tìm xác suất để phơng trình: x2+2ax+b = có nghiệm thực hệ số a, b có khả đợc chän miÒn a < 1; b < Giải Nếu hệ số a, b đợc chọn với khả hình vuông a < 1; b < không gian biến cố sơ cấp tập y điểm thuộc hình vuông b=a2 −1 < a < D: −1 < b < Biến cố A: Phơng trình bậc hai -1 A đ cho có nghiệm thực có nghĩa biÖt x thøc -1 ∆ ' =a2-b ≥ Ta có diện tích hình vuông D: SD = (đơn vị diện tích) Diện tích miền A:SA = 2+2 ∫ a 2da = VËy P(A) = (đơn vị diện tích) = 3.4 50 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài (Bài toán Butffon) Trên mặt phẳng có hai đờng thẳng song song cách khoảng 2a Gieo ngẫu nhiên kim có chiều dài 2l (l1] c, TÝnh kú väng, ph−¬ng sai độ lệch chuẩn X Giải a, Gieo đồng tiền ba lần không gian mẫu có 23 =8 phần tử Tập giá trị X {0, 1, 2, 3} Ta cã: P[X=0] = ; P[X=1] = ; P[X=2] = ; P[X=3] = ; Do ®ã ta cã bảng phân phối xác suất X là: X P 8 8 b, P[X>1] = P[X=2]+P[X=3] = c, Kú väng E(X) = + = 8 3 +1 +2 +3 = 1,5 8 8 53 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phơng sai V(X) = 02 Độ lệch chuÈn 3 +12 +22 +32 - (1,5)2 = 0,75 8 8 σ (X) = V(X) = 0,75 ≈ 0,866 Bµi Cã hai tói, tói thứ chứa ba thẻ đánh số 1, 2, túi thứ hai đánh số 4, 5, 6, Rút ngẫu nhiên từ túi thẻ cộng hai số ghi hai thẻ với Gọi X số thu đợc a, Lập bảng phân phối xác suất thu đợc b, Tính E(X) Giải Kh«ng gian mÉu: Ω = {(x;y)/ x∈ (1, 2, 3); y∈ (4, 5, 6, 8)} Nªn Ω =3.4 = 12 Ta có X nhận giá trị {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Gäi A lµ biÕn cè: Cộng số ghi hai thẻ a, Ta cã ΩA = {(1;4)} ⇒ P[X=5] = 12 BiÕn cè “X = 6” cã hai kÕt qu¶ thuËn lợi (1;5) (2;4) nên P[X=6]= = 12 BiÕn cè “X = 7”cã ba kÕt qu¶ thuận lợi (1;6); (2;5); (3;4) nên P[X=7]= = 12 BiÕn cè “X = 8” cã hai kết thuận lợi (3;5) (2;6) nên P[X=8]= = 12 BiÕn cè “X = 9” có hai kết thuận lợi (3;6) (1;8) nªn P[X=9]= = 12 BiÕn cè “X = 10 có kết thuận lợi (2;8) nªn P[X=10] = 12 54 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com BiÕn cè “X = 1” có kết thuận lợi (3;8) nên P[X=11] = 12 Bảng phân phối xác suất X lµ: X 10 11 P 12 6 12 12 b, E(X) = 1 1 1 +7 +6 +8 +9 +10 +11 = 7,75 12 12 12 6 Bài Anh A hàng ngày từ nhà đến quan phải qua bốn ng t có cột đèn tín hiệu giao thông, xác suất gặp đèn đỏ ng t 0,4 thời gian chờ đèn đỏ trung bình lần ba phút a, Lập bảng phân phối xác suất theo số lần anh A gặp đèn đỏ b, Hỏi trung bình lần từ nhà đến quan anh a phải chờ đèn đỏ phút Giải a, Gọi X biến ngẫu nhiên số ng t anh A gặp đèn đỏ lần từ nhà đến quan, X nhận giá trị là: {0, 1, 2, 3, 4,} Ta cã: P[X=k] = Ck4(0,4)k(0,6)4 - k Nªn P[X=0] = C04(0,4)0(0,6)4 = 0,1296 P[X=1] = C14(0,4)1(0,6)3 = 0,3456 P[X=2] = C24(0,4)2(0,6)2 = 0,3456 P[X=3] = C34(0,4)3(0,6)1 = 0,1536 P[X=4] = C44(0,4)4(0,6)0 = 0,0256 Bảng phân phối xác st cđa x lµ: 55 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com X P 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256 b, Kú väng E(X) = 0,1296+1 0,3456+2 0,3456+3 0,1536+4 0,0256 = 1,6 VËy thêi gian trung bình lầnđi từ nhà đến quan anh A phải chờ đèn đỏ là: 1,6.3 = 4,48 (phót) Bµi Chøng minh r»ng: E XY ≤ EX EY (1) Giải Xét trờng hợp Trờng hỵp 1: X = X = X ≠ hc hc Y = Y Y = thay vào (1) thoả m n X Trờng hợp 2: Y r a b áp dụng bất đẳng thức ab + r s Đặt a = X r (E X ) r vµ b = s víi s, r >1 vµ 1 + =1 s r Y s (E Y ) s ¸p dơng bất đẳng thức ta có: X ( Y (E X ) (E Y ) r r X E Xr ≤ r s s r ) r + Y E Ys s ( ) 1 s s 56 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ⇔ X Y (E X ) (E Y ) r r s s ≤ X r rE X r + Y s sE Y s LÊy kú väng hai vế ta đợc : X E E X r ( )( r ⇔ E XY ≤ r s Y 1 E X 1 E Y ≤ + =1 r E X r s E Y s s s EY ) (E X ) (E Y ) r r s s Víi r = s = bÊt đẳng thức đợc chứng minh Kết luận chơng Chơng gồm tập đ đợc phân dạng, nhằm củng cố kiến thức lý thuyết chơng chơng Đó tập nâng cao đợc chọn lọc thể tính bao quát nội dung lý thuyết đ đợc trình bày hai chơng xếp với mức độ từ dễ ®Õn khã ®Ĩ phï hỵp víi mäi ®èi t−ỵng häc sinh, sinh viên yêu cầu chơng trình Ngoài tác giả đ đa số tập mang tính phát triển nhằm củng cố kiến thức mở rộng hai chơng từ giúp ngời đọc có cách nhìn tổng quan xác suÊt 57 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết luận Mạch toán ứng dụng nói chung xác suất thống kê nói riêng phận toán học, có vai trò to lớn thực tiƠn cc sèng cịng nh− khoa häc kü thËt, góp phần thực lý luận liên hệ với thực tiễn, học đôi với hành, nhà trờng gắn liền với sống Chơng trình Xác suất trờng THPT hiƯn míi chØ gióp häc sinh tiÕp cËn cách với xác suất Trên sở tìm hiểu số nội dung lý thuyết xác suất chơng trình toán THPT khoá luận đ trình bày 35 định nghĩa, 26 tính chất, 20 trờng hợp đặc biệt, hệ nhận xét,các công thức khác 29 tập Với khối lợng kiến thức nh vậy, khoá luận đ tập trung nghiên cứu vấn ®Ị sau: - Nghiªn cøu mét sè néi dung lÝ thuyết xác suất thống kê thể chơng trình toán THPT - Nghiên cứu số tập nâng cao Kết khoá luận đ đạt đợc: + Hệ thống hoá đợc số nội dung xác suất chơng trình Đại học + Xây dựng, chọn lọc tìm mối liên hệ nội dung xác suất thống kê trờng Đại học với trờng THPT + Lựa chọn, phân loại hệ thống tập từ đến nâng cao theo hớng phát triển nhằm mở rộng tầm nhìn xác suất cho độc giả Căn vào mục tiêu, nội dung nghiên cứu sử dụng hợp lý phơng pháp nghiên cứu, tác giả đ tiến hành nghiên cứu hớng hoàn thành khoá luận Khoá luận đ thể đợc phần cân nhắc lựa chọn việc kết hợp kiến thức Đại học với kiến thức liên hệ Phổ thông Đề tài tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên ngành Toán nói chung sinh viên s phạm toán trờng Đại học Hùng Vơng nói riêng Tuy nhiên hạn chế mặt thời gian, kiến thức, kinh nghiệm lần nghiên cứu khoa học nên khoá luận không tránh khỏi 58 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thiếu sót Tác giả mong nhận đợc bảo tận tình thầy cô giáo góp ý bạn bè để khoá luận đợc hoàn chỉnh Phú Thọ, tháng năm 2010 Sinh viên Vũ Thị Thanh Nhàn 59 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tµi liệu tham khảo Nguyễn Huy Đoan - Nguyễn Xuân Liêm - Nguyễn Khắc Minh - Đoàn Quỳnh Ngô Xuân Sơn - Đặng Hùng Thắng LuXuân Tình Bài tập đại số giải tích 11(nâng cao) NXBGiáo dục 2007 Đinh Văn Gắng Lý thuyết xác suất thống kê NXB Giáo duc 2005 Đào Hữu Hồ Xác suất thống kê NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội 2007 Phạm Văn Kiều - Lê Thiên Hơng Xác suất thống kê NXB Giáo dục 2000 Phạm Văn Kiều Xác suất thống kê (giáo trình đào tạo đại học s phạm) NXB Đại học S Phạm 1998 Nguyễn Văn Ngọc Nhập môn lý thuyết tập hợp logic toán NXB Đại học S Phạm 1994 Lê Hoành Phò Phân dạng phơng pháp giải toán tổ hợp xác suất NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội 2007 Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan - Nguyễn Xuân Liêm - Nguyễn Khắc Minh Đặng Hùng Thắng Đại số giải tích 11(nâng cao) NXB Giáo dục 2007 Đặng Hùng Thắng Bài tập xác suất NXB Giáo dục 1997 10 Nguyễn Cao Văn Trần Thái Ninh Giáo trình lý thuyết xác suất thống kê toán NXB Đại học Kinh TÕ Quèc D©n 2008 60 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 61 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... moment Chơng III: Bài tập 3.1 Xác suất 3.2.Các qui tắc tính xác suất 3.3 Đánh giá xác suất, số lần 3.4 Xác suất điều kiện 3.5 Xác suất mở rộng 3.6 Bất đẳng thức xác suất 3.7 Biến ngẫu nhiên rời... dung lÝ thuyÕt xác suất thống kê thể chơng trình toán THPT - Nghiên cứu số tập nâng cao Phơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu, giáo trình, sách giáo khoa, sách tham khảo xác. .. nghĩa cổ điển xác suất có u điểm cho phép ta tìm đợc cách xác giá trị xác suất - Định nghĩa cổ điển xác suất có hạn chế áp dụng đợc số kết cục phép thử hữu hạn - Định nghĩa hình học xác suất xem mở