SKKN Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh yếu, trung bình tiếp cận và chinh phục toán tổ hợp nhằm bồi dưỡng hứng thú, phát huy tính chủ động tích cực của các em trong học tập I – MỞ ĐẦU MỤC LỤC SỞ GI[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH ***************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT VÀI KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH YẾU - TRUNG BÌNH TIẾP CẬN VÀ CHINH PHỤC TOÁN TỔ HỢP NHẰM BỒI DƯỠNG HỨNG THÚ, PHÁT HUY TÍNH CHỦ ĐỘNG TÍCH CỰC CỦA CÁC EM TRONG HỌC TẬP Người thực hiện: Hoàng Thị Trang Nhung Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn THANH I –HỐ MỞ NĂM ĐẦU 2018 MỤC LỤC SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC Trang I – MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài…………………………………………………………….1 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………… …………………………2 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………….…………………………2 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………2 II – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm ……… …………………… .2 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……….….3 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề……………………… …….3 2.3.1 Dạy học quy tắc cộng, quy tắc nhân sơ đồ…… …………… a) Quy tắc cộng…………………………….…………………… b) Quy tắc nhân………………………… …………… …………4 c) BT áp dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân cho toán đếm………5 d) Bài tập kết hợp hai quy tắc đếm…………………………………8 2.3.2.Sử dụng sơ đồ quy tắc đếm để dạy Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp….9 a) Hoán vị………………… ………………………………………9 b) Chỉnh hợp…………….………………………………… ….….9 c) Tổ hợp……………………………………………………… 10 2.3.3 Các tập giúp HS phân biệt Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp…….12 2.3.4 Cách khắc phục sai lầm thường gặp học sinh…………… ….16 2.3.5 Bài tập trắc nghiệm củng cố……………………………………….17 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm………………………………… .19 III – KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận…………………………………………………………………….20 3.2 Kiến nghị……………………………………………………………… …20 Tài liệu tham khảo SangKienKinhNghiem.net I – MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Lý thuyết Đại số tổ hợp hình thành từ sớm lịch sử phát triển Toán học, tảng lý thuyết xác suất, công cụ giải nhiều tốn thực tế Nó góp phần bồi dưỡng tư logic cho học sinh Những kiến thức giúp ích nhiều cho học sinh em tiếp tục học lên đại học ngành tốn học, kế tốn, tài chính, xây dựng…Vì vậy, dạy học nội dung chủ đề Đại số tổ hợp trường phổ thơng có ý nghĩa lớn Thực tế cho thấy kiến thức toán học Tổ hợp đưa vào trường phổ thông kiến thức bản, so sánh với loại kiến thức khác lượng giác, đạo hàm, tích phân …thì học Tốn tổ hợp ln việc khó học sinh Học sinh thường phân vân sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân hay thường nhầm lẫn việc dùng cơng thức tính số tổ hợp, số chỉnh hợp… Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: ”Định nghĩa khái niệm thao tác tư nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm đối tượng khác, thường cách vạch nội hàm khái niệm đó” [5] Trong trình học chủ đề Đại số Tổ hợp, nhiều học sinh chưa hiểu chất khái niệm tổ hợp nên thường nhầm lẫn ký hiệu đối tượng đối tượng định nghĩa Khơng học sinh cịn yếu việc nắm vững cú pháp ngơn ngữ tốn học, học sinh hay nhầm kí hiệu với khái niệm định nghĩa Để dạy học phần Đại số tổ hợp có hiệu đòi hỏi người giáo viên phải đề biện pháp hợp lý cách chọn nội dung phương pháp: Dạy gì? Dạy để học sinh tiếp thu giảng cách có hiệu quả? Làm để học sinh khơng bị nhầm lẫn kiến thức làm tập? Công tác trường miền núi, trình giảng dạy, nhiều năm tơi dạy chương trình lớp 11 đơn vị lớp đa phần học sinh yếu, trung bình nhận thấy em gặp khó khăn việc giải tập chương tổ hợp, xác suất Dẫn đến chán nản học tập, tiếp thu thụ động, chưa tích cực, kết học tập thấp Nhận thức điều trên, viết đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh yếu, trung bình tiếp cận chinh phục toán tổ hợp nhằm bồi dưỡng hứng thú, phát huy tính chủ động tích cực em học tập” với mong muốn đưa phương pháp tiếp cận giúp em hiểu chất có hứng thú học với chương Tổ hợp xác suất, từ giúp em tích cực học tập, thấy ý nghĩa thực tế tốn học sống, u thích mơn học hơn, chủ động học tập đạt kết cao 1.2 Mục đích nghiên cứu Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối 11 trường THPT, với kinh nghiệm giảng dạy Tôi hệ thống lại kiến thức bản, kĩ giải tốn Tổ hợp thơng qua sơ đồ “Quy tắc đếm - Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ SangKienKinhNghiem.net hợp” Qua nội dung đề tài mong muốn giúp cho học sinh yếu, trung bình, trung bình - hiểu chất khái niệm quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Thành thạo phương pháp sơ đồ vận dụng suy luận làm tập Từ khơi dậy hứng thú học tập, giúp em u thích mơn học hơn, có động lực để học tập đạt kết tốt Và quan trọng hết nhằm rèn luyện cho em kĩ giáo dục cho em tự tin, chủ động, sẵn sàng ứng dụng toán học cách có hiệu lĩnh vực kinh tế, sản xuất, xây dựng bảo vệ Tổ quốc – Nghị TW4 (khoá VII) nhấn mạnh mục tiêu giáo dục: “Đào tạo người lao động tự chủ, động sáng tạo, có lực giải vấn đề thực tiễn đặt ra, tự lo việc làm, lập nghiệp thăng tiến sống, qua góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh” [8] 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh yếu, trung bình, trung bình - lớp 11 - Nội dung phần tổ hợp chương II - Đại số & giải tích 11 [1] + Quy tắc đếm + Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu sử dụng số phương pháp sau: + Nghiên cứu phân tích tài liệu giáo khoa tài liệu tham khảo có liên quan + Điều tra, quan sát Thực nghiệm sư phạm + Tổng kết rút kinh nghiệm + Xây dựng hệ thống tập có phân biệt mức độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT hoạt động dạy Thầy hoạt động học Trò Đối với người thầy, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức phổ thơng nói chung, đặc biệt kiến thức mơn Toán học việc làm cần thiết Muốn học tốt mơn Tốn, học sinh phải nắm vững tri thức khoa học mơn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết cách linh hoạt vào tốn cụ thể Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư lơgic suy nghĩ linh hoạt Vì trình dạy học, giáo viên cần giúp cho học sinh cách học biết sử dụng kiến thức học vào toán cụ thể Mục đích làm cho học sinh đứng trước tốn biết cách phân tích, nhận dạng, biết chuyển toán toán đơn giản toán quen thuộc biết cách giải 2.1.2 Dạy học Toán trường THPT làm cho học sinh học tập cách tích cực, biết phát giải vấn đề, phát triển tư linh hoạt SangKienKinhNghiem.net Điều 24.2 Luật giáo dục (1998) viết: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo học sinh, phải phù hợp với đặc điểm môn học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh” [ 5] Trên quan điểm chung phương pháp dạy học vậy, người giáo viên phải đề phương pháp hợp lý, phù hợp với đối tượng học sinh Dạy để học sinh tiếp thu giảng cách có hiệu quả, không bị nhầm lẫn kiến thức làm tập 2.1.3 Tổ hợp tảng lý thuyết xác suất Ban đầu tiếp cận với tập hợp học sinh thường liệt kê phần tử tập hợp Tuy nhiên lúc liệt kê Quy tắc đếm đời nhằm giúp học sinh xác định số lượng phần tử tập hợp nhanh chóng xác, làm sở cho “lí thuyết xác suất” phát triển số ngành khoa học khác cần dùng 2.2- Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Nội dung chương tổ hợp xác suất xem trừu tượng, khó nắm bắt, khó phân biệt khái niệm - Học riêng lẻ khái niệm học sinh nắm bắt kết hợp học sinh lại lúng túng phải phân biệt, kết hợp quy tắc cộng quy tắc nhân hoán vị - chỉnh hợp, chỉnh hợp - tổ hợp - Trong trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm ngoại diên khái niệm dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, chí hiểu sai lệch chất khái niệm Nhiều khái niệm mở rộng thu hẹp khái niệm trước, việc không nắm vững hiểu khơng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không nắm khái niệm - Sai lầm khái niệm toán học, khái niệm dẫn đến việc tất yếu học sinh giải tốn sai Điều địi hỏi người giáo viên phải dạy để học sinh phân biệt rõ chất khái niệm kĩ tư duy, phân tích tốn 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong khuôn khổ đề tài xin nêu số vấn đề: - Sử dụng sơ đồ quy tắc dạy học sinh quy tắc cộng, nhân - Trình bày khái niệm cách phân biệt hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp - Các tập giúp học sinh nhận biết, thông hiểu vận dụng kiến thức làm tập - Một số sai lầm học sinh thường mắc phải hướng khắc phục 2.3.1 Dạy học quy tắc cộng quy tắc nhân sơ đồ Mục đích: Nhằm giúp học sinh dễ dàng phân biệt công việc thực nhiều phương án công việc thực nhiều công đoạn a) Quy tắc cộng SangKienKinhNghiem.net Định nghĩa: Một công việc thực theo hai phương án A1; A2 Phương án A1 làm n1 cách Phương án A2 làm n2 cách (không trùng cách thực phương án 1) Khi đó, cơng việc thực n1 + n2 cách [1] Sơ đồ: Phương án A1 Có n1 cách Có ( n1 + n2 ) cách Cơng việc thực cơng việc Có n cách Phương án A2 Ví dụ : Đi từ Hà Nội vào Thanh Hóa tơ tàu hỏa Mỗi ngày có 15 chuyến tơ; chuyến tàu hỏa Vậy có cách chọn từ Hà Nội – Thanh Hóa HD Giải: Phân tích theo sơ đồ Phương án HNTH Phương án Đi tơ Có 15 lựa chọn Đi tàu hỏa Có lựa chọn Có 19 cách chọn Hà Nội – Thanh Hóa Sơ đồ Quy tắc cộng (dạng tổng qt) Cơng việc Phương án A1 Có n1 cách Phương án A2 Có n2 cách … Phương án Am (n1+n2+ +nm) cách thực cơng việc Có nm cách b) Quy tắc nhân Định nghĩa: Một công việc thực gồm công đoạn Công đoạn thứ có n1 cách thực Cơng đoạn thứ hai có n2 cách thực có n1n2 cách hồn thành cơng việc [1] Sơ đồ: Cơng việc Cơng đoạn Công đoạn 2 n2 cách n1 cách n1n2 cách Ví dụ: Có số tự nhiên có chữ số khác lập từ số 1;2;3; ;9? HD giải: Gọi số cần tìm có dạng ab Ta có sơ đồ sau: SangKienKinhNghiem.net Chọn a Chọn b Có cách chọn Có cách chọn ab 9.8 = 72 số Sơ đồ Quy tắc nhân (dạng tổng quát) Công việc Công đoạn Công đoạn 2 n1 cách n2 cách … Công đoạn m … nm cách n1n2 …nm cách Chú ý: - Một cơng việc có nhiều phương án thực nghĩa ta thực theo phương án khơng cần thực theo phương án Sử dụng quy tắc cộng - Một công việc thực nhiều công đoạn tức muốn hồn thành cơng việc phải thực cơng đoạn, không bỏ qua bước xong công việc. Sử dụng quy tắc nhân - Trong nhiều trường hợp cần kết hợp quy tắc để giải toán đếm c) Bài tập sử dụng quy tắc cộng quy tắc nhân cho toán đếm Bài tập 1: [2] Từ chữ số 1;2;3;4;5; tạo nên số tự nhiên a) Có chữ số? b) Có chữ số khác nhau? c) Số chẵn có chữ số khác nhau? HD giải: a) Phân tích sơ đồ: Chọn b Chọn c Chọn a abc Có cách chọn Có cách chọn Có cách chọn 6.6.6 = 216 số b) Phân tích sơ đồ: Chọn a abc a≠b b≠c c≠a Có cách chọn Chọn b Chọn c Có cách chọn Có cách chọn 6.5.4 = 120 số c) Phân tích sơ đồ: SangKienKinhNghiem.net abc * Số chẵn c{2,4,6} ưu tiên Chọn c Chọn a Chọn b Có cách chọn Có cách chọn Có cách chọn * a≠b b≠c c≠a 3.5.4 = 60 số Bài tập 2: Từ số A {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} tạo nên số tự nhiên a) Có chữ số khác b) Có chữ số chẵn khác c) Có chữ số chẵn khác chia hết cho [2] HD giải: Số cần lập có dạng abc a) Phân tích sơ đồ: Chọn a abc Chọn b a≠0, aA Có cách chọn Chọn c cA\{a,b} bA\{a} Có cách chọn Có cách chọn 6.6.5 = 180 số b) Phân tích: Số có chữ số số chẵn c{2,4,6,0} Ưu tiên chọn c chọn a chọn b Phân tích sơ đồ: abc Chọn c{2,4,6} Chọn a (a≠c, a≠0) Chọn b b≠a b≠c Có cách chọn Có cách chọn Có cách chọn 3.5.5 = 75 số c=0 Chọn a Chọn b cách cách cách chọn chọn chọn 75+30 =105 (số) 1.6.5=30 (số) SangKienKinhNghiem.net c) Phân tích sơ đồ: b b≠0 c=0 a ≠0 Có cách chọn Có cách chọn b≠a Phương án abc Có cách chọn 30+25 =55 (số) 6.5 = 30 số Phương án c=5 a≠0 a≠5 b b≠a c có cách chọn a có cách chọn b có cách chọn b≠c 25 số Bài tập 3: Lớp 11A3 có 32 học sinh gồm 18 học sinh nam, 14 học sinh Hỏi có cách chọn được: a) bạn học sinh lớp đó? b) đội song ca nam nữ lớp đó? [3] HD giải: a) Phân tích sơ đồ: HS nam 18 cách chọn Chọn HS 32 cách chọn HS nữ 14 cách chọn b) Phân tích sơ đồ: Chọn đội song ca Chọn HS nam Chọn HS nữ Có 18 cách Có 14 cách 1814 = 252 (cách Bài tập 4: Có số tự nhiên có chữ số chữ số cách chữ số đứng giống nhau? HD giải: SangKienKinhNghiem.net A = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} Số cần lập: có dạng abcde abcde Chọn b Chọn a bA a≠0 Có cách chọn Có 10 cách chọn Chọn c cA Có 10 cách chọn Phân tích sơ đồ: Chọn d Chọn e d=b e=a Có cách chọn Có cách chọn 9.10.10.1.1 = 900 số d) Bài tập kết hợp hai quy tắc Bài tập 1: Từ A={1;2;3;4;5;6;7} lập số tự nhiên bé 100?[3] HD giải: Số tự nhiên có chữ số Có số Số tự nhiên nhỏ 100 Số tự nhiên có chữ số ab Chọn a Chọn b aA Có cách chọn bA + 49 = 56 số Có cách chọn 7.7 = 49 số Bài tập 2:Từ A={0;1;2;3;4;5;6;7} lập số tự nhiên bé 100? Số tự nhiên nhỏ 100 Số tự nhiên có chữ số Số tự nhiên có chữ số Có số ab Chọn a Chọn b bA aA\{0} Có cách chọn 8+56 = 64 số Có cách chọn 7.8 = 56 số ● Các toán toán mở đầu tương đối đơn giản nên việc sử dụng sơ đồ tưởng chừng cồng kềnh Nhưng đối tượng học sinh yếu kém, trung bình việc dạy học theo sơ đồ giúp em tiếp cận tốt kiến thức quy tắc đếm, có nhìn tổng qt cho tốn, dễ dàng SangKienKinhNghiem.net phân biệt quy tắc cộng quy tắc nhân để giải toán Hơn tạo cho em thói quen tư để vận dụng linh hoạt cho toán phức tạp sau 2.3.2 Sử dụng sơ đồ quy tắc đếm để dạy Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp a) Hoán vị * Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ) Mỗi cách xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử * Số hoán vị: Số hoán vị n phần tử là: Pn n! n(n 1)(n 2) 3.2.1 Quy ước: 0! [1] Ví dụ 1: Cho số 1, 2, Có số tự nhiên có chữ số khác lập từ số trên? HD giải * Hiểu theo sơ đồ quy tắc nhân abc Chọn a Chọn b Chọn c Có cách chọn Có cách chọn aA Có cách chọn 3.2.1 = 3! = số * Hiểu theo hoán vị phần tử Mỗi cách xếp thứ tự số vào vị trí khác cho ta hốn vị phần tử Số số tạo thành 3! = (số) Ví dụ 2: Có cách xếp học sinh nam học sinh nữ thành hàng cho nam nữ xếp xen kẽ? [2] HD giải: Phân tích theo sơ đồ: HS nam HS nữ Sắp xếp HS nam Sắp xếp HS nữ Đổi chỗ nam nữ P4=4! cách xếp P3=3! cách xếp P2=2! cách xếp 4! 3! 2! cách xếp b) Chỉnh hợp * Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ), với số nguyên k với ( k n ) Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự ta chỉnh hợp chập k n phần tử A * Số chỉnh hợp: Số chỉnh hợp chập k n Kí hiệu Ank Ank n(n 1) (n k 1) n! [1] (n k )! SangKienKinhNghiem.net Ví dụ 1: Có cách xếp người vào vị trí khác nhau? HD giải a1 a1a2a3 Có cách chọn người vào vị trí a1 a2 a3 Có cách chọn người vào vị trí a2 Có cách chọn người vào vị trí a3 5.4.3 A53 * Phân biệt Ank Pn + Giống : Đều có tính thứ tự + Khác nhau: - Hốn vị :có phần tử xếp thứ tự nhiêu phần tử - Chỉnh hợp:Sắp xếp thứ tự phần tử tập tập A Khi k = n A kn =Pn.(hoán vị trường hợp đặc biệt chỉnh hợp) Ví dụ 2: Cho A ={0; 1; 2; 3; 4; 5} a) Có số tự nhiên có chữ số khác lập từ A? b) Có số tự nhiên có chữ số khác lập từ A? [2] HD giải a) Phân tích theo sơ đồ: SXTT số vào vị trí Chọn a1 a1a2a3a4a5a6 a2,a3,a4,a5 a1 ≠0 P5 = 5! Có cách chọn 5.5! = 600 (số) b) Phân tích theo sơ đồ: a1a2a3 Chọn số vào vị trí Chọn a1 a2,a3 a1≠0 a1 có cách chọn A52 cách chọn A52 = 100 (số) c) Tổ hợp * Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ), với số nguyên k ( k n ) Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A * Số tổ hợp: Số tổ hợp chập k n kí hiệu C nk Công thức: Ank n! [1] C Pk k!(n k )! k n 10 SangKienKinhNghiem.net Sơ đồ tổng quát: Lấy k phần tử từ n phần tử Tập A có n phần tử A kn C kn = SXTT k phần tử Pk x A kn n! C Pk k!(n - k)! k n Ví dụ: Một hộp có 10 cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên cầu hộp Hỏi: a) Có cách lấy cầu trắng cầu đen? b) Có cách lấy cầu có cầu đen? c) Có cách lấy nhiều cầu đen? [3] HD giải a) Phân tích theo sơ đồ: Lấy cầu Lấy cầu trắng từ 10 cầu trắng Lấy cầu đen từ cầu đen C61 cách lấy C102 cách lấy C102 C61 (cách lấy) b) Cách 1: Phân tích theo sơ đồ: cầu đen cầu trắng C16 C10 C102 C61 (cách lấy) Lấy cầu có cầu đen cầu đen cầu trắng C 62 C110 C16 C10 C C110 + C36 + = 440 (cách lấy) C 62 C101 (cách lấy) cầu đen C63 cách lấy 11 SangKienKinhNghiem.net Cách 2: làm gián tiếp: * Lấy cầu từ 16 cầu C16 (cách lấy) * Lấy cầu đen, cầu trắng C10 (cách lấy) 3 Lấy cầu có cầu đen là: C16 - C10 = 440 (cách lấy) c) Cách 1: Phân tích theo sơ đồ: cầu đen cầu trắng C62 C110 C 62 C101 (cách lấy) Lấy cầu có cầu đen cầu đen cầu trắng C16 C10 C62 C110 + C16 C10 C 10 + = 540 cách lấy C 61 C102 (cách lấy) cầu trắng C103 cách lấy Cách 2:* Lấy cầu từ 16 cầu C16 (cách lấy) C36 (cách lấy) Lấy cầu có 3 nhiều cầu đen là: C16 - C6 = 540 (cách lấy) * Lấy cầu đen ● Trong số toán “đường thẳng” gây cho học sinh, đặc biệt đối tượng học sinh yếu chán nản Nên việc hướng dẫn em tư duy, lựa chọn phương án giải toán “đường tắt” quan trọng Giúp em tự tin, chủ động việc chiếm lĩnh tri thức 2.3.3 Các tập giúp học sinh phân biệt tổ hợp chỉnh hợp Sơ đồ tổng quát: Chỉnh hợp chập k n Số chỉnh hợp A kn Lấy k phần tử n phần tử SXTT k phần tử Số cách xếp Số cách lấy Ckn (cách lấy) Pk = k! Ckn Pk 12 SangKienKinhNghiem.net A kn C kn Pk C kn n! k!(n - k)! Bài tập 1: Cho A = {1; 2; 3} a) Có tập gồm phần tử thuộc A? b) Có số tự nhiên có chữ số khác lập từ A? [4] HD giải a) Số tổ hợp chập là: C3 = b) Phân tích theo sơ đồ a1a2 Chọn phần tử từ A SXTT phần tử Số số lập A32 = (số) Liệt kê: Chọn {1; 2} SXTT ta số 12 21 hai số khác Chọn {1; 3} SXTT ta số 13 31 hai số khác Chọn {2; 3} SXTT ta số 23 32 hai số khác Nhận xét: Sự thay đổi thứ tự số ta số khác (tính phân biệt thứ tự) Bài tập 2: Cho điểm phân biệt không thẳng hàng mặt phẳng Oxy a) Có đoạn thẳng có đầu từ điểm trên? b) Có vec tơ ( ) có điểm đầu điểm cuối từ điểm trên?[2] HD giải a) Mỗi tổ hợp điểm phân biệt cho ta đoạn thẳng Số đoạn thẳng tạo thành là: C = 10 ( không phân biệt thứ tự) b) Phân tích theo sơ đồ: Chọn điểm từ điểm cho Chọn véc tơ SXTT điểm Số véctơ A 52 = C 52 P2 Phân tích: Qua điểm phân biệt xác định véc tơ AB ; BA Bài tập 3: Lớp 11B4 có 31 học sinh cần bầu ban cán có người a) Có cách bầu ban cán lớp? b) Có cách bầu ban cán lớp gồm lớp trưởng, lớp phó, ủy viên?[1] HD giải * Sai lầm thường gặp: 13 SangKienKinhNghiem.net - Chọn bạn vào ban cán lớp => Số cách chọn là: A 31 = 26970 (cách) - Số cách chọn cán lớp có lớp trưởng, lớp phó, ủy viên là: C 331 = 4495 (cách chọn) * Nguyên nhân: Do học sinh chưa nắm rõ chất tổ hợp chỉnh hợp -Tổ hợp: Khơng có tính xếp thứ tự Ví dụ: Chọn bạn Lan; Hoa; My giống chọn bạn My; Lan; Hoa -Chỉnh hợp: Có tính xếp thứ tự Phân biệt thứ tự: Chọn bạn Sắp xếp vào vị trí chức danh Ví dụ: bạn Lan làm lớp trưởng khác bạn Thương làm lớp trưởng * Lời giải đúng: a) Mỗi cách chọn bạn từ 31 bạn lớp tổ hợp chập 3 31 Số cách chọn là: C 31 = 4495 (cách) b) Phân tích theo sơ đồ: Chọn bạn: Lớp trưởng-lớp phó-ủy viên Chọn bạn từ 31 bạn Sắp xếp chức danh: Lớp trưởng-lớp phó-ủy viên P3 C313 A313 =26970 cách Bài tập 4: Một tập vé xổ số có 100 vé Mỗi người mua vé xổ số a) Có cách chọn vé xổ số? b) Có cách chọn vé xổ số vé giải nhất, vé giải nhì, vé giải ba? [4] HD giải a) Chọn mua vé xổ số (không phân biệt thứ tự) Số cách chọn vé xổ số từ 100 vé xổ số là: C100 =161700 (vé xổ số) b) Phân tích theo sơ đồ: Chọn vé xổ số trúng giải: nhất, nhì, khuyến khích Chọn vé từ 100 vé C100 Sắp xếp thứ tự nhất, nhì, khuyến khích P3 = A100 = 970200 Bài tập 5: Một đề thi Toán đề gồm câu chọn từ 15 câu dễ, 10 câu trung bình, câu khó Một đề thi gọi “tốt” đề thi có loại câu hỏi: dễ, trung bình, khó số câu dễ khơng a) Có cách tạo đề thi? b) Có cách tạo đề thi “tốt”? HD giải a) Chọn câu hỏi đề thi Chọn câu hỏi từ 30 câu C cách hỏi 30 14 SangKienKinhNghiem.net b) Phân tích theo sơ đồ: Chọn câu dễ Chọn câu khó Chọn câu trung bình C15 C52 C110 C15 C52 C110 Chọn đề thi “tốt” Chọn câu dễ Chọn câu khó Chọn câu trung bình C15 C15 C10 2 C15 C15 C10 Chọn câu dễ Chọn câu khó Chọn câu trung bình C15 C15 C110 C15 C15 C110 2 2 1 C15 C5 C10 + C15 C5 C10 + C15 C5 C10 =58250 (cách) Bài tập 6: Trên mặt phẳng cho đa giác lồi 10 cạnh a) Tìm số đường chéo đa giác b) Xét tam giác có đỉnh đỉnh đa giác cho [2] HD giải a) Cứ nối đỉnh đa giác ta cạnh đường chéo đa giác Số đường chéo = Số đoạn thẳng nối đỉnh - số cạnh = C10 - 10 = 35 đường b) Số tam giác phân biệt có đỉnh lấy từ 10 đỉnh đa giác lồi là: C 20 = 1140 Ứng với cạnh đa giác có đỉnh để tạo nên tam giác,có 10.8 = 80(tam giác) B 10 A 4 Trong số tam giác có cạnh cạnh liên tiếp đa giác tính lặp Số tam giác phân biệt có cạnh cạnh đa giác 80 – 10 = 70 (tam giác) 15 SangKienKinhNghiem.net ● Các tập khơng mang nặng tính trình bày Dạy học theo sơ đồ vừa giúp học sinh tư cách mạch lạc, xác mang tính tổng quát, vừa phù hợp với phương pháp kiểm tra đánh giá hình thức trắc nghiệm Học theo phương pháp sơ đồ giúp tiết kiệm thời gian giải toán Làm cho học sinh cảm thấy mẻ phương pháp học tập, tăng hứng thú học hiệu nâng lên Các tập đề nghị đa phần toán ứng dụng thực tế Đưa vào chương trình học để em thực thấy toán học gần gũi với sống Thấy tầm quan trọng việc học toán để giải vấn đề sống 2.3.4 Cách khắc phục sai lầm thường gặp HS học tốn Tổ hợp Khơng học sinh mắc sai lầm học toán tổ hợp: + Sai lầm vận dụng quy tắc đếm + Sai lầm chưa phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp với số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp Đặc biệt nhầm lẫn chỉnh hợp tổ hợp + Sai lầm phân chia trường hợp riêng, giải toán gián tiếp Trong khuôn khổ đề tài đề xuất cách khắc phục sai lầm cho học sinh: a) Giáo viên: Trước tiên, người giáo viên cần phải diễn đạt xác, từ ngơn ngữ thơng thường đến ngơn ngữ tốn học, phải mẫu mực phương pháp, tư lời giải xác cho tốn Khơng nhận xét lời giải sai học sinh cách chung chung mà phải sai lầm, nguyên nhân sai lầm học sinh cách xác thuyết phục Chính xác hố lời giải cho học sinh từ khâu trình bày, diễn đạt, Đánh giá cho điểm cơng bằng, giúp em ngày hứng thú học tiến b) Về phương pháp, kĩ - Rèn luyện cho học sinh kĩ học - hiểu - ghi nhớ Muốn làm tập, điều quan trọng học sinh phải nắm vững kiến thức liên quan đến tập Tức khái niệm, định lý, quy tắc Học tốt khái niệm tốn điều kiện để đảm bảo tư tốn học xác, khơng học tốt khái niệm, định lý nguyên nhân gốc dẫn đến sai lầm giải tập toán - Cần rèn luyện cho học sinh biết vận dụng quy tắc cộng quy tắc nhân, kết hợp hai quy tắc để giải tập toán đếm: * Khi phát biểu quy tắc cộng ta ngầm hiểu phương án phân biệt, tức cách thực công việc thuộc phương án Quy tắc cộng phát biểu dạng tổng số phần tử tập hợp không giao * Trong quy tắc nhân phát biểu: Với cách thực cơng đoạn Ai cơng đoạn Ai+1 làm theo ni+1 cách Như vậy, số cách thực công đoạn Ai+1 ni+1 không phụ thuộc vào cách thực công đoạn - Khi dạy khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên cần giúp học sinh nắm được: [7] 16 SangKienKinhNghiem.net * Thế hoán vị tập hợp, hai hoán vị tập hợp khác nghĩa gì, nhớ cơng thức tính số hoán vị tập hợp * Thế hợp chập k phần tử tập hợp có n phần tử, hiểu chỉnh hợp chập n n phần tử hốn vị tập hợp Hai chỉnh hợp chập k n phần tử A khác chỗ nào, nhớ cơng thức tính số chỉnh hợp * Hiểu rõ tổ hợp chập k n phần tử tập hợp A, khác hai tổ hợp, cơng thức tính số tổ hợp * Cần phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp với số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp - Dạy học phân biệt cách sử dụng khái niệm chỉnh hợp tổ hợp: Giáo viên cần giúp học sinh nhận biết lúc dùng cơng thức tổ hợp, dùng cơng thức chỉnh hợp toán đếm Thực tế cho thấy học sinh thường nhầm lẫn khái niệm chỉnh hợp tổ hợp Trong trình dạy hai khái niệm giáo viên cần lưu ý cho học sinh * Tổ hợp không kể đến thứ tự phần tử chọn nghĩa việc thay đổi vị trí phần tử khơng tạo cách * Chỉnh hợp ngược lại, kể đến thứ tự phần tử chọn ra, việc thay đổi thứ tự phần tử sinh cách c) Hướng dẫn học sinh giải tốn gián tiếp Một tốn có nhiều phương pháp giải khác nhau, học sinh cần biết lựa chọn phương pháp tối ưu để giải toán cụ thể, giáo viên cần gợi ý cho học sinh tìm phương pháp giải tốn cho lớp toán Khi dạy quy tắc cộng quy tắc nhân, toán đếm phức tạp giáo viên hướng dẫn học sinh: - Nếu tốn chuẩn dạng biết sử dụng quy tắc biết để giải - Nếu toán khơng chuẩn cần hành động theo hướng: Tách từ toán chia nhỏ toán thành tốn nhỏ có dạng chuẩn diễn đạt lại toán theo cách khác, dẫn đến tốn đến tốn có dạng chuẩn 2.3.5 Bài tập trắc nghiệm củng cố [1], [5] Câu 1: Từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; lập số tự nhiên có chữ số đơi khác nhau? 3 B P3 D 83 C A A C Câu 2: Từ 0; 1; 2; 3; lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác nhau? A B 10 C 20 D Câu 3: A={0; 1; 4; 6; 7; 9} Hỏi lập số tự nhiên chẵn có chữ số đơi khác có mặt số 17 SangKienKinhNghiem.net A 36 B 32 C 24 D 92 Câu 4: X={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Hỏi lập số tự nhiên chẵn có chữ số đôi khác chia hết cho 5? A 630 B 315 C 24 D 44 Câu 5: Có cách xếp bệnh nhân vào phịng có giường bệnh? A 125 B 120 C D 100 Câu 6: Cho 10 điểm phân biệt đường trịn Hỏi có véctơ (khác ) có gốc trùng với số 10 điểm cho? A 45 B C 90 D 15 Câu 7: Một họ có đường thẳng song song cắt họ gồm đường thẳng song song (không song song với đường ban đầu) Hỏi có hình bình hành tạo nên? A 36 B 18 C 12 D 72 Câu 8: Cho đường thẳng d1 d2 song song với Trên d1 lấy điểm, d2 lấy điểm Hỏi có tam giác mà đỉnh lấy từ điểm chọn? A 450 B 30 C 45 D 15 Câu 9: Có số tự nhiên đơi khác nhỏ 1000 tạo thành từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4? A 48 B 68 C 69 D 125 Câu 10: Có cách xếp 10 học sinh thành hàng dọc? A 10! B 1010 C 1000 D 10000 Câu 11: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Người ta cần chọn em tham gia văn nghệ Hỏi có cách chọn? A 493 B 11880 C 24 D 44 Câu 12: Lớp 11A3 có 31 học sinh (16 học sinh nam, 15 học sinh nữ) Chọn học sinh có học sinh nữ? A 900 B 1000 C 1800 D 200 Câu 13: Trong đua thuyền có 16 thuyền xuất phát Hỏi có khả xếp loại thuyền đích? A 43680 B 1820 C 4680 D 1840 Câu 14: Trong thi có 36 thí sinh Hỏi có khả trao giải nhất, nhì, ba? A 42840 B 7140 C 4840 D 3600 Câu 15: Trong buổi chơi dã ngoại chào mừng 26-3 nhóm học sinh Cứ học sinh chụp với kiểu ảnh Mỗi kiểu ảnh có người, người chụp ảnh tất bạn nhóm Sau kết thúc việc chụp ảnh thấy có 220 ảnh Tính số học sinh nhóm? A B 12 C D 10 Câu 16: Ơng Hùng có nhẫn kim cương khác muốn tặng cô gái Xuân, Hạ, Thu, Đơng Hỏi ơng Hùng có tất cách tặng nhẫn cho cô gái? A 16 B C 256 D 24 18 SangKienKinhNghiem.net ... ? ?Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh yếu, trung bình tiếp cận chinh phục toán tổ hợp nhằm bồi dưỡng hứng thú, phát huy tính chủ động tích cực em học tập” với mong muốn đưa phương pháp tiếp cận. .. tính số chỉnh hợp * Hiểu rõ tổ hợp chập k n phần tử tập hợp A, khác hai tổ hợp, cơng thức tính số tổ hợp * Cần phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp với số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp - Dạy học. .. chỉnh hợp, tổ hợp với số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp Đặc biệt nhầm lẫn chỉnh hợp tổ hợp + Sai lầm phân chia trường hợp riêng, giải tốn gián tiếp Trong khn khổ đề tài đề xuất cách khắc phục