CÁC PHƯƠNG PHÁP tấn CÔNG RSA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ - - Bùi Tuấn Anh CÁC PHƯƠNG PHÁP TẤN CƠNG RSA KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY Ngành : Công Nghệ Thông Tin HÀ NỘI – 2009 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ - - Bùi Tuấn Anh CÁC PHƯƠNG PHÁP TẤN CƠNG RSA KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY Ngành : Cơng Nghệ Thơng Tin Cán hướng dẫn: TS Hồ Văn Canh HÀ NỘI – 2009 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CÁM ƠN Để thực hoàn thành luận văn “ Các phương pháp công RSA” em nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình nhiều tập thể cá nhân Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến ban lãnh đạo quý thầy cô khoa Công nghệ thông tin - Trường Đại học Công nghệ, Đại học quốc gia Hà Nội tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt thời gian học tập thực đề tài Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS Hồ Văn Canh, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt trình thực đề tài Xin trân trọng gửi đến gia đình, bạn bè người thân tình cảm tốt đẹp giúp đỡ động viên em suốt trình học tập thực hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 15/05/2009 Sinh viên Bùi Tuấn Anh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÓM TẮT NỘI DUNG Hệ mật RSA phát minh Ron Rivest, Adi Shamir, Len Adleman, công bố lần đầu vào tháng năm 1977 Hệ mật sử dụng lĩnh vực đảm bảo tính riêng tư cung cấp chế xác thực liệu số Ngày nay, RSA phát triển ứng dụng rộng rãi thương mại điện tử đặc biệt hạt nhân hệ thống toán điện tử Ngay từ công bố lần đầu, hệ RSA phân tích hệ số an tồn nhiều nhà nghiên cứu Mặc dù trải qua nhiều năm nghiên cứu có số cơng ấn tượng không mang lại kết phá huỷ Đa phần họ mối nguy hiểm tiềm ẩn RSA mà sử dụng RSA người dùng cần cải thiện Thực tế vấn đề thám mã hệ mật RSA nhà nghiên cứu tập trung khai thác sơ hở RSA như: công vào số mũ công khai số mũ bí mật thấp, cơng vào tham số nguyên tố p, q bé cách xa lớn, tập trung vào việc phân tích nhân tử số n(modul RSA) Luận văn em trình bày phương pháp cơng RSA vịng 20 năm trở lại lựa chọn môt phương pháp công phổ biến để demo LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục MỞ ĐẦU Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Một số khái niệm toán học 1.1.1 Số nguyên tố nguyên tố 1.1.2 Đồng dư thức 1.1.3 Không gian Zn Zn* 1.1.4 Phần tử nghịch đảo 1.1.5 Khái niệm nhóm, nhóm con, nhóm Cyclic 1.1.6 Hàm Ф Euler 1.1.7 Các phép tốn khơng gian modulo 1.1.8 Độ phức tạp tính tốn 1.1.9 Hàm phía hàm phía có cửa sập 1.2 Vấn đề mã hóa 1.2.1 Giới thiệu mã hóa 1.2.2 Hệ mã hóa 1.2.3 Những tính hệ mã hóa Chương TỔNG QUAN VỀ Mà HỐ CƠNG KHAI Mà THÁM 2.1 Mã hố khố cơng khai 2.1.1 Đặc điểm Hệ mã khố cơng khai 2.1.2 Nơi sử dụng Hệ mã hóa khố cơng khai 10 2.2 Các toán liên quan đến hệ mã hố khố cơng khai 10 2.2.1 Bài tốn phân tích số ngun thành thừa số ngun tố 11 2.2.2 Bài toán RSA (Rivest-Shamir-Adleman) 11 2.2.3 Bài toán thặng dư bậc hai 11 2.2.4 Bài tốn tìm bậc hai mod n 12 2.2.5 Bài tốn lơgarit rời rạc 13 2.2.6 Bài tốn lơgarit rời rạc suy rộng 13 2.2.7 Bài toán Diffie-Hellman 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.2.8 Bài toán giải mã mã tuyến tính 14 2.3 Vấn đề thám mã 16 Chương TỔNG KẾT NHỮNG KẾT QUẢ TẤN CÔNG VÀO HỆ MẬT RSA TRONG NHỮNG NĂM QUA 19 3.1 Một số giả thiết ngầm định 19 3.2 Phân tích số nguyên lớn 19 3.3 Các công 20 3.3.1 Modul chung 20 3.3.2 Mù (Blinding) 21 3.4 Số mũ riêng bé (Low Private Exponnent) 21 3.4.1 Độ lớn e 22 3.4.2 Sử dụng CRT 22 3.5 Số mũ công khai bé (Low public Exponent) 23 3.5.1 Hastad's Broadcast Attack 23 3.5.2 Franklin-Reiter Related Message Attack 24 3.6 Thành phần công khai bé 24 3.6.1 Coppersmith's Short Pad Attack 25 3.6.2 Tấn cơng khóa riêng 25 3.7 Cài đặt công 26 3.7.1 Tấn công dựa thời gian 27 3.7.2 Tấn công dựa lỗi ngẫu nhiên 28 3.8 Một số công nhân tử hóa số N với số N lớn 29 3.8.1 Tìm nhân tử lớn thứ ≤ N 29 3.8 Phân tích thứ hai 30 3.8.3 Phân tích thứ ba 31 3.8.4 Thuật toán Pollard (p-1) 32 3.9 Kết luận 33 Chương THƯ VIỆN TÍNH TỐN SỐ LỚN 34 4.1 Biểu diễn số lớn 34 4.2 Các phép toán số lớn 35 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 4.2.1 So sánh hai số 35 4.2.2 Cộng hai số lớn dương 36 4.2.3 Trừ hai số lớn dương 36 4.2.4 Phép nhân hai số lớn 37 4.2.5 Phép chia hai số lớn dương 38 4.2.6 Lũy thừa 40 4.2.7 Ước chung lớn 41 4.2.8 Phép nhân theo module p 42 4.2.9 Tìm phần từ nghịch đảo theo module p 42 4.2.10 Phép cộng có dấu 43 4.2.11 Phép trừ có dấu 44 4.3.12 Phép nhân có dấu 44 Chương PHƯƠNG PHÁP TẤN CÔNG BẰNG 45 NHÂN TỬ HOÁ SỐ N SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ FERMAT 45 5.1 Bổ đề 45 5.2 Định lý Fermat 45 KẾT LUẬN 48 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Hệ mật mã khố cơng khai RSA sử dụng phổ biến lĩnh vực đảm bảo tính riêng tư cung cấp chế xác thực liệu số Ngày RSA phát triển ứng dụng rộng rãi thương mại điện tử, sử dụng việc tạo khoá xác thực mail, truy cập từ xa, đặc biệt hạt nhân hệ thống toán điện tử RSA ứng dụng rộng rãi lĩnh vực nơi mà an ninh an tồn thơng tin địi hỏi Chính lý sử dụng rộng rãi thương mại điện tử có độ an tồn cao mà có nhiều nhịm ngó công nhằm phá vỡ an tồn hệ mật RSA Ngay từ cơng bố lần đầu, hệ RSA phân tích hệ số an toàn nhiều nhà nghiên cứu Mặc dù trải qua nhiều năm nghiên cứu có số công ấn tượng không mang lại kết phá huỷ Đa phần họ mối nguy hiểm tiềm ẩn RSA Để phục vụ cho việc phân tích tính chật hệ mật RSA, em trình bày khái niệm liên quan đến toán học, mật mã thám mã , trình bày tổng quan hệ mã hố khố cơng khai, tốn liên quan đến hệ mã hố khố cơng khai Trên sở hiểu khái niệm bản, sở toán học, để có nhìn tổng quan vấn đề thám mã hệ mật RSA năm qua, em tổng kết lại phương pháp công vào hệ mật RSA kết thu năm qua Trong chương em trình bày chi tiết thuật tốn cơng vào hệ mật RSA như: công - modul chung, mù, công vào số mũ công khai số mũ bí mật thấp, cơng dựa thời gian hay dựa vào lỗi ngẫu nhiên Ngoài ra, em trình bày thuật tốn cơng RSA nhân tử hoá số N với số N lớn thuật toán Pollard, nhiên thuật toán giới thiệu giải cho modul N RSA có độ dài hạn chế, cịn mudul N có độ dài lớn chưa có phương pháp khả thi cơng bố LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương - CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Một số khái niệm toán học 1.1.1 Số nguyên tố nguyên tố Số nguyên tố số nguyên dương chia hết cho Ví dụ: 2, 3, 5, 7, 11, 17, … Hệ mật mã thường sử dụng số nguyên tố lớn 10150 Hai số m n gọi nguyên tố nhau, ước số chung lớn chúng Ký hiệu: gcd (m, n) = Ví dụ: 14 hai số nguyên tố 1.1.2 Đồng dư thức Cho a b số nguyên n số nguyên dương Khi a gọi đồng dư với b theo modulo n, ký hiệu a ≡ b (mod n), a, b chia cho n có số dư n gọi modulo đồng dư Kí hiệu: a ≡ b (mod n) Ví dụ: ≡ mod vì: mod = mod = Tính chất đồng dư: Cho a, a1, b, b1, c ∈ Z Ta có tính chất sau: - a ≡ b mod n a b có số dư chia cho n - Tính phản xạ: a ≡ a mod n - Tính đối xứng: Nếu a ≡ b mod n b ≡ a mod n - Tính giao hốn: Nếu a ≡ b mod n b ≡ c mod n a ≡ c mod n - Nếu a ≡ a1 mod n, b ≡ b1 mod n a + b ≡ (a1+b1) mod n ab ≡ a1 b1 mod n Lớp tương đương: Lớp tương đương số nguyên a tập hợp số nguyên đồng dư với a theo modulo n LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cho n cố định đồng dư với n không gian Z vào lớp tương đương Nếu a = qn + r, ≤ r ≤ n a ≡ r mod n Vì số nguyên a đồng dư theo modulo n với số nguyên khoảng từ đến n-1 gọi thặng dư nhỏ a theo modulo n Cũng vậy, a r thuộc lớp tương đương Do r đơn giản sử dụng để thể lớp tương đương 1.1.3 Không gian Zn Zn* Không gian Zn (các số nguyên theo modulo n) Không gian số nguyên theo modulo n: Zn tập hợp số nguyên không âm nhỏ = {0, 1, 2, … n-1} n Tức là: Zn Tất phép toán Zn thực theo modulo n Ví dụ: Z11 = {0, 1, 2, 3, …, 10} Trong Z11: + = 2, + = 13 ≡ (mod 11) Không gian Zn* Là tập hợp số nguyên p ∈ Zn, nguyên tố n Tức là: Zn* = { p ∈ Zn | gcd (n, p) = 1}, Ф(n) số phần tử Zn* Nếu n số nguyên tố thì: Zn* = { p ∈ Zn | ≤ p ≤ n – 1} Ví dụ: Z2 = {0, 1} Z2* = {1} gcd (1, 2) = 1.1.4 Phần tử nghịch đảo Định nghĩa: Cho a ∈ Zn Nghịch đảo a theo modulo n số nguyên x ∈ Zn cho ax ≡ 1(mod n) Nếu x tồn giá trị nhất, a gọi khả nghịch Nghịch đảo a ký hiệu a-1 Tính chất: • Cho a, b ∈ Zn Phép chia a cho b theo modulo n tích a b theo modulo n, xác định b có nghịch đảo theo modulo n • Cho a ∈ Zn, a khả nghịch gcd (a, n) = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com return 2; 4.2.2 Cộng hai số lớn dương Cho x, y hai số lớn có độ dài n m Nếu số nhỏ chèn thêm vào cho độ dài hai số Cộng phần từ hai xâu lưu trữ hai số Input: Hai số lớn x = (xn-1 x0), y = (ym-1 y0) có độ dài n m Output: z = x + y Algorithm: temp=0, nho=0; // nho: biến lưu giá trị nhớ phép cộng If (n > m) temp = n; Else temp = m; For (i = 0; i < temp, i++) z[i] = x[i]+y[i]+nho; if (z[i] > 9) z[i] = z[i] - 10; nho = l; else nho = 0; Retum a; 4.2.3 Trừ hai số lớn dương Cho x, y hai số lớn có độ dài n m Nếu số nhỏ chèn thêm vào cho độ dài hai số ta tiến hành trừ Ta tiến trừ phần tử hai xâu lưu trữ hai số lớn Input: Hai số lớn x = (xn-1 x0), y = (ym-1 y0) có độ dài n m Output: z = x – y Algorithm: 36 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com nho = 0; // nho: biến lưu giá trị nhớ phép trừ for (i=0;i < n; i++) if (i > m) y[i] = 0;//chèn vào x có độ dải nhỏ y if (x[i] < y[i] + nho) z[i] = x[i] + 10 - y[i] - nho; nho = 1; else z[i] = x[i] - y[i] - 10; nho = 0; Xét dấu cho z; 4.2.4 Phép nhân hai số lớn 4.2.4.1 Nhân số lớn với số nguyên Input: Số lớn x = (xn-1 x0) số nguyên k Output: z = x*k, z có độ dải tối thiểu n Algorithm: l nho = ; temp; for (i = 0; ia Else IF(Sosanh(c,a)==2) retum i ;//c=a 4.2.5.2 Chia hai số lớn Thuật toán chia hai số lớn dựa ý tưởng phép chia thông thường Input : Hai số lớn x, y có độ đài n, m Output : z – x/y Algorithm: BigNum b, z, c1 ; If ( y[0] == && m = 1) cout b Output: d = gcd(a,b) số nguyên x,y thỏa mãn a.x + b.y = d Algorithm: if( b== 0) then {d = a; x = 1; y = 0; return (d, x, y);} a1 = 1; a2 = 0; a3 = a; b1 = 0; b2 = ; b3 = b; q = a3 div b3; While (b3!= 0) 4.1 c1 = a1; c2 = a2; c3 = a3; 4.2 a1 = b1; a2 = b2; a3 = b3; 4.3 b1 = c1 – q.b1; b2 = c2 – q.b2; b3 = c3 – q.b3; If (a2 < 0) then a2 = a + a2 d = a2; x.= a1; y = a3; return (d, x, y); 41 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 4.2.8 Phép nhân theo module p Để tính a.b mod p, ta biều diễn b dạng nhị phân b = k ∑ b j =0 i j bj = Áp dụng thuật toán Horner: a.b mod p = k ∑ (2 b i j =0 j mod p ) mod p ~2;.b) Thuật tốn tính a.b mod p sau: Input: Ba số lớn a, b, p Output: z = a.b mod p Algorithm: b = k ∑ b j =0 i j ; z = a; For (i = k - 1; i ≥ 0; i ) z = z2 mod p; If (bj = 1) then z = z + a; return z; 4.2.9 Tìm phần từ nghịch đảo theo module p Để tính nghịch đảo, sử dụng thuật toán Euclidean mở rộng Cụ thể: Algorithm: Input: a ∈ Zn với gcd(a, n) =1 Output: a-1 mod n Sử dụng giải thuật Euclidean mở rộng tìm x, y thỏa mãn điều kiện ax + by = d d = gcd(a,n) Nếu d > a-1 mod n khơng tồn tại, ngược lại x giá trị cần tìm 42 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 4.2.10 Phép cộng có dấu Phép cộng hai số có dấu thực dựa phép so sánh, phép cộng phép trừ hai số khơng âm trình bảy Dấu số lớn lưu bít cao số lớn Thuật tốn cộng hai số lớn có dấu thực sau: Input: Hai số lớn x, y Output: z = x + y; Algorithm: If (x, y dấu) 1.1 z = x + y; 1.2.Đăt z dấu với x; 1.3 Return z; if (x dương) // y âm 2.1 If(s = Sơsanh(x,y)!=0) Retum z = x - y; 2.2 If(s==0) z = y - x; Đặt z dấu với y; return z; if (x âm) // y dương 3.1 if((s = Sosanh (x,y))==0) Retum z = y - x; 3.2 if(sl==0) z = x.y; Đặt z dấu với x; Retum z 43 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 4.2.11 Phép trừ có dấu Phép trừ hai số có dấu thực dựa phép cộng hai số có Cụ thể: Input: Hai số lớn x, y Output: z = x -y Algorithm: Đổi dấu y; Cộng có dấu z = x + y; retum z; 4.3.12 Phép nhân có dấu Phép nhân hai số có dấu thực dựa phép nhân hai số khơng âm trình bày Thuật tốn nhân hai số có dấu sau: Input: Hai số lớn x, y Output: z = x * y; Algorithm: If (x, y dấu) return z = x.y; If(x, y khác dấu) z = x.y; Đổi dấu z; Return z; 44 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương - PHƯƠNG PHÁP TẤN CƠNG BẰNG NHÂN TỬ HỐ SỐ N SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ FERMAT 5.1 Bổ đề Giả sử n=p.q với p#q hai số nguyên tố lẻ Ngoài ta giả thiết p < q Khi đó: i/ p < n cho: p + α = n =q - β , α < β Chứng minh: i/ Hiển nhiên ii/ Từ kết i/ ta suy có tồn hai số dương α , β cho: p = α q = n - n + β Từ đó: n = p.q = ( n - α )( n + β ) = n - α n + β n -α β Hay: ( β - α ) n - α β =0 (1) ( β - α ) n = α β hay Do α , β > n =α β β -α n > nên β - α > => β # α β = α từ (1) ta suy α β = T Từ α = β = Nhưng α = p = β = q = n vô lý, tương tự n vô lý Mệnh đề chứng minh Từ bổ đề ta suy hai nhân tử nguyên tố số n nhân tử bé p gần n so với số q 5.2 Định lý Fermat Định lý Fermat: Giả sử n số nguyên dương lẻ có dạng n = p.q p ≤ q p, q số nguyên tố Khi biểu thức n viết dạng: n = t2 – 45 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com s2 (t, s số nguyên dương) Các số nguyên t, s, p q có mối quan hệ: t = s= p+q q− p Phương pháp xây dựng dựa định lý Fermat, cụ thể: (6) Đặt x = ⎣ N ⎦ + 1, y = 1, r = ⎣ N ⎦ - n (7) If r ≤ go to (4) (8) r = r – y, y = y+2 goto (2) (9) If r =0 then thuật tốn dừng Khi có: ⎡ x − y ⎤⎡ x + y − 2⎤ ⎥⎦ {Đây hai nhân tử n(p,q)} n= ⎢ ⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ (10) x− y phân số có giá trị lớn ≤ N r=r+x x = x+2 goto (3) Ví dụ: Cho n = 9401 x = ⎣ N ⎦ + = 193 y = 1, r = ⎣ N⎦ - n = -185 Duyệt từ xuống từ trái qua phải theo cột r, y, x 46 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com R Y X R Y X R Y X -185 193 167 13 197 29 197 195 154 15 197 -22 31 197 195 139 17 197 175 31 199 195 122 19 197 144 33 199 -1 195 103 21 197 111 35 199 194 197 82 23 197 76 37 199 187 197 59 25 197 39 39 199 178 11 197 34 27 197 41 199 n = 9401 = ⎡⎢ x − y ⎤⎥ ⎡⎢ x + y − ⎤⎥ = ⎡⎢199 − 41 ⎤⎥ ⎡⎢199 + 41 − ⎤⎥ = 79 119 2 ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ p = 79 q = 119 47 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com KẾT LUẬN Hơn hai thập niên nghiên cứu vào tốn tính tồn RSA để tìm cơng hiệu khơng có cơng hiệu tìm Những công khám phá chủ yếu minh hoạ cạm bẫy phải tránh trình cài đặt RSA Lúc cài đặt cách đảm bảo an ninh giới số Chúng ta phân loại công RSA thành loại: ™ Tấn khai thác sai sót hệ thống ™ Tấn cơng khố riêng có số mũ thấp khơng đủ, khố riêng có số mũ thấp khơng sử dụng ™ Tấn cơng khố cơng khai có số mũ thấp ™ Tấn công cài đặt ™ Tấn công cách nhân tử hoá Hệ mật mã RSA đựơc cài đặt triển khai theo chuẩn mà nhà phát triển RSA khuyến cáo có độ an toàn cao Nhưng ngày với phát triển nhanh hệ tính tốn số hứa hẹn tương lai có chạy đua hệ tính tốn số với nhà phát triển RSA 48 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng việt: [1] Đặng Văn Cương - Vấn đề an toàn hệ mật mã khố cơng khai - Luận văn thạc sĩ, Khoa cơng nghệ thông tin - Đại học công nghệ 2003 [2] Nguyễn Thị Miền – Thanh toán từ xa – Luận văn đại học, Khoa công nghệ thông tin Đại học công nghệ 2008 [3] Nguyễn Minh Hải - Đấu thầu từ xa - Luận văn đại học, Khoa công nghệ thông tin Đại học công nghệ 2008 [4] Đặn Thị Lan Hương - Vấn đề an tồn thơng tin thương mại điện tử - Luận văn đại học, Khoa công nghệ thông tin - Đại học công nghệ 2008 [5] Phan Đình Diệu – Lý thuyết mật mã an tồn thơng tin, Đại học quốc gia Hà Nội 2002 [6] Trịnh Nhật Tiến – Giáo trình an tồn liệu – Khoa công nghệ thông tin, Đại học quốc gia Hà Nội Tài liệu tiếng anh: [7] D.Bleichenbacher Chosen ciphertext attacks against protocols based on the RSA encryption standard PKCS #1 [8] D.Boneh, R.Demillo, and R.Lipton On the importance of checking cryptographic protocols for faults [9] D.Boneh and G.Durfee New results on cryptanalysis of low private exponent RSA Preprint, 1998 [10] Mark Stamp Richard M.Low: “Applied Cryptanalysis”, A John Wiley & Sons INC publication, San Jose state University, San Jose CA 2007 [11] M Wiener Cryptanalysis of short RSA secret exponents IEEE Transactions on Information Theory, 1990 [12] Neal Koblitz: “ A course in Number theory and Cryptography” New York, Berlin Heidelberg, London, Paris, Tokyo, 1987 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [13] J Hastad Solving simultaneous modular equation of low degree SIAM J of Computing, 1988 [14] http://www.RSA.com [15] http://www.RSAsercurity.com [16] S Goldwasser The search for provably secure cryptosystems In Cryptology and computational number theory, volume 42 of Proceeding of the 42nd Symposium in Applied Mathematics American Mathematical Society, 1990 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... mã hệ mật RSA năm qua, em tổng kết lại phương pháp công vào hệ mật RSA kết thu năm qua Trong chương em trình bày chi tiết thuật tốn công vào hệ mật RSA như: công - modul chung, mù, công vào số... nguyên tố p, q bé cách xa lớn, tập trung vào việc phân tích nhân tử số n(modul RSA) Luận văn em trình bày phương pháp cơng RSA vòng 20 năm trở lại lựa chọn môt phương pháp công phổ biến để demo... công 26 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3.7.1 Tấn công dựa thời gian Tấn công thông minh Kocher cho thấy phương pháp lựa chọn thời gian xác để giải mã (hoặc ký số) RSA