Bài 12 các PHÉP TOÁN TRÊN tập hợp số PHỨC

CHƯƠNG SỐ PHỨC BÀI 1&2 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC A LÝ THUYẾT I KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC Số phức Bài tập: Định nghĩa +) z = − i ∈ £ ; Cho số phức z có dạng: z = a + bi với a, b ∈ ¡ , a gọi phần thực z , b gọi phần ảo z , i gọi +) z = − + π i ∈ £ ; đơn vị ảo thỏa mãn i = −1 Đặc biệt: Tập hợp số phức, kí hiệu £ π +) z = i, w = cos i, u = −i ,… 12 số ảo Số phức z số thực b = Số phức z số ảo a = Số phức z = + 0i = vừa số thực, vừa số ảo (còn gọi số ảo) Số phức liên hợp Số phức liên hợp số phức z , kí hiệu z , z = a − bi Bài tập +) Số phức z = − i có số phức liên hợp z = + i ; +) Số phức z = i có số phức liên hợp z = − i Nhận xét: Mỗi số thực có số phức Môđun số phức Môđun số phức z , kí hiệu z = a + b liên hợp Bài tập: Số phức z = − i có mơđun 1229  2 z = +− ÷ =  7 2 Hai số phức Định nghĩa Bài tập: Hai số phức z1 = a1 + b1i z2 = a2 + b2i gọi Số phức z = a + bi Trang  a1 = a2  b1 = b2 a =  b = Biểu diễn hình học số phức hay z = Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , số phức z = a + bi; a, b ∈ ¡ Nhận xét: biểu diễn điểm M (a; b) Ngược lại, điểm +) OM = z ; M (a; b) biểu diễn số phức z = a + bi +) Nếu z1 , z2 có điểm biểu diễn M1, M M 1M = z1 − z2 Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA phần thực số phức phần ảo số phức Số phức liên hợp Đại số ( tập hợp z = a2 + b2 số phức) Số phức Môđun số SỐ PHỨC phức liên hợp Độ dài đoạn môđun số điểm biểu diễn số phức phức Hình học điểm biểu diễn số phức Trang II CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC Phép cộng số phức Bài tập: ( + 4i ) + ( − 2i ) = + 2i Định nghĩa Tổng hai số phức z = a + bi, z ′ = a′ + b′i ( a, b, a′, b′ ∈ ¡ ) số phức z + z′ = a + a′ + ( b + b′ ) i Tính chất Với z, z ′, z′′ ∈ £ ta có: Tính chất kết hợp: ( z + z′ ) + z′′ = z + ( z ′ + z′′ ) ; Bài tập: 2 z = − i có số đối − z = −5 + i 7 Tính chất giao hoán: z + z′ = z ′ + z; Cộng với 0: z + = + z = z; z + ( − z ) = ( − z ) + z = Phép trừ số phức Hiệu hai số phức z = a + bi, z ′ = a′ + b′i ( a, b, a′, b′ ∈ ¡ ) : z − z′ = z + ( − z′ ) = ( a − a′ ) + ( b − b′ ) i Phép nhân số phức Bài tập: ( + 4i ) − ( − 2i ) = + 6i Bài tập: Định nghĩa Tích hai số phức z = a + bi, z ′ = a′ + b′i ( a, b, a′, b′ ∈ ¡ ) ( + 4i ) ( − 2i ) = ( 15 + 8) + ( 12 − 10 ) i = 23 + 2i số phức zz′ = aa′ − bb′ + ( ab′ + a′b ) i Tính chất Chú ý: • Ta thực phép cộng phép nhân Với z, z ′, z′′ ∈ £ ta có: • Tính chất giao hốn: zz′ = z ′z; • Tính chất kết hợp: ( zz′ ) z′′ = z ( z′z′′ ) ; số phức theo quy tắc phép toán cộng nhân số thực ° Các đẳng thức số thực • Nhân với 1: 1.z = z.1 = z; số phức • Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: Bài tập: z + = z − ( 2i ) = ( z − 2i ) ( z + 2i ) z ( z′ + z ′′ ) = zz ′ + zz′′ Phép chia cho số phức khác Bài tập: Số nghịch đảo số phức z ≠ kí hiệu z −1 , số phức z = − 2i có số phức nghịch đảo −1 thỏa mãn zz = 1, , hay z = −1 z z Thương phép chia số phức z′ cho số phức z khác 0, 1 = ( + 2i ) = + i z 13 13 13 Bài tập: Trang 10 kí hiêu + 4i ( + 4i ) ( + 2i ) + 22i 22 = = = + i − 2i ( − 2i ) ( + 2i ) 13 13 13 z′ z′ z = z′z −1 = z z Phép cộng số phức Tính chất phép cộng số phức Với ta có Tổng hai số phức SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA số phức Phép trừ số phức CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC Hiệu hai số phức vàlà số phức Tính chất phép nhân số phức Với ta có Phép nhân số phức Tích hai số phức vàlà số phức Phép chia số phức khác Số nghịch đảo số phức kí hiệu là số phức thỏa mãn hay Thương phép chia số phức cho số phức , kí hiệu Trang 11 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Thực phép tốn số phức, tìm phần thực phần ảo Phương pháp giải Cho hai số phức z = a + bi z′ = a′ + b′i , Bài tập: a, b, a′, b′ ∈ ¡ Khi đó: Hai số phức z1 = − 7i, z2 = + 3i có • z + z ' = a + a '+ ( b + b′ ) i; z1 + z2 = ( + ) + ( −7 + 3) i = − 4i; • z − z ' = ( a − a ' ) + ( b − b′ ) i ; z1 − z2 = ( − ) + ( −7 − 3) i = −1 − 10i; • zz′ = aa′ − bb′ + ( ab′ + a′b ) i; z1 z2 = ( 3.4 − ( −7 ) 3) + ( 3.3 + ( −7 ) ) i = 33 − 19i; • z′ z′ z = z z z1 ( − 7i ) ( − 3i ) 37 = = − − i z2 ( + 3i ) ( − 3i ) 25 25 Bài tập Bài tập 1: Tất số phức z thỏa mãn z − ( + i ) = iz + − 3i A z = − i 5 C z = B z = − 2i + i 5 D z = + 2i Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: z − ( + i ) = iz + − 3i ⇔ ( − i ) z = 10 ⇔ z = Bài tập 2: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ A S = − ) 10 ⇔ z = + 2i 2−i thỏa mãn z + + 3i − z i = Giá trị S = a − 3b B S = C S = −3 D S = Hướng dẫn giải Chọn B Ta có z + + 3i − z i = a + = ⇔ a + + b + − a + b2 i = ⇔  2 b + = a + b ( )  a = −1  a = −1   b ≥ −  ⇔  ⇔ ⇒ S =  b + = + b b = − ) ( Bài tập Tính C = 1+ ( 1+ i ) + ( 1+ i ) + ( 1+ i ) + + ( 1+ i ) 20 Hướng dẫn giải Áp dụng công thức cấp số nhân: Trang 12 Ta có: C = 1+ ( 1+ i ) + ( 1+ i ) + ( 1+ i ) + + ( 1+ i ) = 1− ( 1+ i ) 21 1− ( 1+ i ) = 1− ( 1+ i ) 20 = u1 1− q21 1− q 21 −i Ta có: ( 1+ i ) = 2i 21 20 10 ⇒ ( 1+ i ) = ( 1+ i ) ( 1+ i ) = ( 2i ) ( 1+ i ) = −210 ( 1+ i ) = −210 − i.210 Do đó: C = ( ) 1+ 210 + i.210 = −210 + 1+ 210 i −i Bài tập Tính tổng S = i + 2i + 3i + + 2012.i 2012 A −1006 + 1006i B 1006 + 1006i C −1006 − 1006i Hướng dẫn giải D 1006 − 1006i Chọn D Cách Ta có iS = i + 2i + 3i + + 2012i 2013 ⇒ S − iS = i + i + i + + i 2012 − 2012.i 2013 Dãy số i, i , i , ,i 2012 cấp số nhân có cơng bội q = i có 2012 số hạng, suy ra: i + i + i + + i 2012 = i 1− i 2012 =0 1− i Do đó: S − iS = −2012.i 2013 = −2012i ⇒ S = −2012i = 1006 − 1006i 1− i Cách Dãy số 1,x,x2 , ,x2012 cấp số nhân gồm 2013 số hạng có cơng bội x 2013 1− x Xét x ≠ 1, x ≠ ta có: 1+ x + x2 + x3 + + x2012 = 1− x ( 1) Lấy đạo hàm hai vế (1) ta được: 1+ 2x + 3x2 + + 2012x2011 = 2012.x2013 − 2013x2012 + ( 1− x) ( 2) Nhân hai vế (2) cho x ta được: x + 2x2 + 3x3 + + 2012x2012 = 2012.x2014 − 2013x2013 + x ( 1− x) ( 3) Thay x = i vào (3) ta được: Trang 13 S = i + 2i + 3i + + 2012i 2012 = 2012i 2014 − 2013i 2013 + i ( 1− i ) Với i 2014 = −1, i 2013 = i Vậy S = −2012 − 2012i = 1006 − 1006i −2i Bài tập Cho α ,β hai số phức liên hiệp thỏa mãn A B 3 α β2 ∈ R α − β = Tính α C D Hướng dẫn giải Chọn C Đặt α = x + iy ⇒ β = x − iy với x,y ∈ R Khơng giảm tính tổng qt, ta coi y ≥ Vì α − β = nên 2iy = ⇒ y = Do α ,β hai số phức liên hợp nên α.β∈ ¡ , mà ( α β2 α3 = ( αβ ) ∈¡ α ∈ ¡ Nhưng ta có ) ( ) α = x3 − 3xy2 + 3x2y − y3 i nên α ∈ ¡ 3x2y − y3 = ⇔ y 3x2 − y2 = ⇒ x2 = Vậy α = x2 + y2 = 1+ = Bài tập Tìm c biết a,b c số nguyên dương thỏa mãn: c = ( a + bi ) − 107i A 400 B 312 C 198 Hướng dẫn giải D 123 Chọn C Ta có ( ) c = ( a + bi ) − 107i = a3 − 3ab2 + i 3a2b − b3 − 107 ( Nên c số nguyên dương ) 2 3a2b − b3 − 107 = Hay b 3a − b = 107 Vì a,b∈ Z+ 107 số nguyên tố nên xảy ra: 11450 ∉ Z (loại)  b = 107;3a2 − b2 = 1⇒ a2 =  b = 1;3a2 − b2 = 107 ⇒ a2 = 36 ⇒ a = (thỏa mãn) Vậy nên c = a3 − 3ab2 = 63 − 3.6.12 = 198 Bài tập Cho số phức z có phần ảo 164 với số nguyên dương n thỏa mãn z = 4i Tìm z+n n A n = 14 B n = 149 C 697 D 789 Trang 14 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt z = x + 164i ta có: z x + 164i = 4i ⇔ = 4i ⇔ x + 164i = −656 + 4( x + n ) i z+n x + 164i + n  x = −656 ⇒ ⇒ n = 697  x + n = 41 Vậy giá trị cần tìm n 697 Bài tập Cho số phức z thỏa mãn z = A B ( 1− 3i ) 1− i Tìm mơ đun số phức z + iz C D Hướng dẫn giải Chọn A Từ z ta phải suy z thay vào biểu thức z + iz tìm môđun: z= ( 1− 3i ) = ( 1− 3i ) ( 1+ i ) = 1+ 1− i Suy ra: z = 1− + i 2 1+ 1− 1− 1+ − i ⇒ i.z = + i 2 2 Do đó: z + iz = 1+ i ⇒ z + iz = Dùng MTCT: Bước 1: Lưu ( 1− 3i ) → A 1− i Bước 2: Tính A + iA Lời bình: Nhận thấy với số phức z = a + bi ta có z + iz = ( 1+ i ) ( a + b) hay z + iz z + iz = a + b∈ ¡ , ∀z ∈ £ Về phương diện hình học ln nằm trục Ox biểu diễn 1+ i 1+ i mặt phẳng phức Bài tập Tìm số thực m biết: z =  m = −1 m = A  i−m 2− m zz = ( i đơn vị ảo) 1− m ( m − 2i ) m =  m = −1 B  m = m = C  m = m = D  Trang 15 Định hướng: Quan sát thấy z cho dạng thương hai số phức Vì Vậy cần phải đơn giản z 2− m cách nhân liên mẫu Từ z ⇒ z Thay z z vào zz = ta tìm m Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: ( ) ( ) ( ) ( i − m) 1− m2 − 2mi −m 1− m2 + 2m + i 1− m2 + 2m2 i−m z= = = 2 1− m( m − 2i ) 1− m2 + 4m2 1+ m2 = ( ) ( ( 1+ m ) ( m 1+ m2 + i 1+ m2 2 )= ) ( ) m i m i + ⇒ z = + 1+ m2 1+ m2 1+ m2 1+ m2 Như vậy: zz = m = 2− m m2 + 1 1 ⇒ = − ( m − 2) ⇔ = − ( m − 2) ⇔ m3 − 2m2 + m = ⇔  2 2 1+ m m = m2 + ( ) Bài tập 10 Tìm phần thực số phức: z = ( 1+ i ) ,n ∈ ¥ n thỏa mãn phương trình: log4 ( n − 3) + log4 ( n + 9) = A B −8 C Hướng dẫn giải D Chọn C Điều kiện: n > 3,n ∈ ¥ Phương trình log4 ( n − 3) + log4 ( n + 9) = ⇔ log4 ( n − 3) ( n + 9) = ( n − 3) ( n + 9) = 43 ⇔ n2 + 6n − = ⇔ n = 7( do:n > 3) z = ( 1+ i ) = ( 1+ i ) ( 1+ i )  = ( 1+ i ) ( 2i ) = ( 1+ i ) ( −8i ) = − 8i   Vậy phần thực số phức z Bài tập 11 Cho số phức z =  m = −1 m = A  m + 3i ( m∈ ¡ 1− i m =  m = −1 B  ) Tìm m, biết số phức w = z2 có mơđun m = m = C  m =  m = −3 D  Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: Trang 16 ( ) Bài tập 1: Xét số phức z thỏa mãn ( z − ) + z.i số thực Biết Chú ý: I ( a; b ) bán kính R Giá trị a + b + R ( x − a) Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp tất điểm biểu diễn z đường trịn, có tâm A B C 12 D 24 + ( y − b ) = R phương trình đường trịn có tâm I ( a; b ) bán kính R > Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ( ) Vì ( z − ) + z.i = ( x − ) + yi  ( y + ) + xi  số thực nên x ( x − ) + y ( y + ) = ⇔ ( x − 3) + ( y + ) = 25 2 Tập hợp tất điểm biểu diễn z đường trịn có tâm I ( 3; −4 ) , bán kính R = Vậy a + b + R = Bài tập 2: Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = 10 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z A Một parabol B Một đường tròn C Một elip D Một hypebol Hướng dẫn giải Chọn C Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) z − + z + = 10 ⇔ ( x − 3) + yi + ( x + 3) + yi = 10(*) Gọi M điểm biểu diễn số phức z điểm F1 ( 3;0 ) , F2 ( −3;0 ) Dễ thấy F1 F2 = = 2c Khi đó: z − + z + = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 = 2a Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z elip có hai tiêu điểm F1 , F2 , độ dài trục lớn 2a = 10 Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn z = 10 w = ( + 8i ) z + ( − 2i ) Tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn có tâm A I ( −3; −4 ) B I ( 3; ) C I ( 1; −2 ) D I ( 6;8 ) Hướng dẫn giải Chọn A Ta có w = ( + 8i ) z + ( − 2i ) ⇔ w − ( −3 − 4i ) = ( + 8i ) z Trang 24 ⇔ w − ( −3 − 4i ) = 62 + 82 z ⇔ w − ( −3 − 4i ) = 10.10 ⇔ w − ( −3 − 4i ) = 100 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn ( C ) có tâm I ( −3; −4 ) Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu biễn số phức z thỏa mãn z − + 2i = z + + 2i đường thẳng có phương trình A x − y + = B x + y = C x − y = D x + y + = Hướng dẫn giải Chọn C Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ z = x − yi Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z Ta có: z − + 2i = z + + 2i ⇔ x + yi − + 2i = z − yi + + 2i ⇔ ( x − 1) + ( y + ) i = ( x + 1) + ( − y ) i ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = ( x + 1) + ( − y) ⇔ x2 − 2x + + y + y + = x2 + 2x + + y − y + ⇔ x − y = Vậy tập hợp điểm biểu biễn số phức z thỏa mãn yêu cầu tốn đường thẳng có phương trình x − y = Bài tập Giả sử M(z) điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z Tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều + z = i − z A Đường thẳng 4x + 2y + = A Đường thẳng x + 2y − = B Đường thẳng 4x − 2y + = D Đường thẳng x + 9y − = Hướng dẫn giải Chọn A Cách Đặt z = x + yi;( x,y ∈ ¡ ) số phức cho M ( x;y ) điểm biểu diễn z mặt phẳng phức Ta có z + = i − z ⇔ ( x + 2) + yi = x + ( y − 1) i ⇔ ( x + 2) + y2 = x2 + ( y − 1) ⇔ 4x + 2y + = Vậy tập hợp điểm M cần tìm đường thẳng 4x + 2y + = Cách z + = i − z ⇔ z − ( −2) = i − z ( *) Trang 25 Đặt z = x + yi;( x,y ∈ ¡ ) số phức cho M ( x;y ) điểm biểu diễn z mặt phẳng phức, Điểm A biểu diễn số -2 tức A ( −2;0) điểm B biểu diễn số phức i tức B( 0;1) Khi ( *) ⇔ MA = MB Vậy tập hợp điểm M cần tìm đường trung tực AB: 4x + 2y + = Bài tập Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2i = z + 1− i A Đường thẳng x + y + = A Đường thẳng x + 2y + = B Đường thẳng x − 2y + = D Đường thẳng x − y − 1= Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử z = x + yi (x,y ∈ ¡ ) , điểm M ( x;y ) biểu diễn z Theo ta có: x + ( y + 2) i = ( x + 1) − ( y + 1) i ⇔ x2 + ( y + 2) = ( x + 1) + ( y + 1) ⇔ 4y + = 2x + 2y + ⇔ x − y − 1= Suy M thuộc đường thẳng có phương trình x − y − 1= Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình x − y − 1= Bài tập Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện ( 1− i ) z + − 2i = ( 1− 7i ) z + i A Đường thẳng A Đường elip B Đường tròn D Đường Parabol Hướng dẫn giải Chọn A Nhận thấy 51+ i = = 1− 7i Ta có ( 1− i ) z + − 2i = ( 1− 7i ) z + i ⇔ 5( 1− i ) z + ⇔ z+ − 2i i = 1− 7i z + + 5i 1− 7i − 2i i 1 = z+ ⇔ z+ − i = z− + i + 5i 1− 7i 10 50 50  1  1 Vậy tập hợp M đường trung trực AB, với A  − ; ÷,B ; ÷  10   50 50  Trang 26 Bài tập Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z + z + = , x= − 2 A Hai đuờng thẳng x = , x = 2 A Hai đuờng thẳng x = 2 D Hai đuờng thẳng x = − , x = 2 B Hai đuờng thẳng x = − , x = − Hướng dẫn giải Chọn A Đặt z = x + yi,( x,y ∈ ¡ ) Lúc đó: z + z + = ⇔ x + yi + x − yi + = ⇔ 2x + = ⇔ 4x2 + 12x + = 16  x=  ⇔ 4x2 + 12x − = ⇔  x = −  2 Vậy tập hợp điểm M hai đường thẳng x= ;x = − song song với trục tung Bài tập Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − z + 1− i = A Hai đuờng thẳng y = 1+ 1+ ;y = 2 B Hai đuờng thẳng y = 1+ 1− ;y = 2 A Hai đuờng thẳng y = 1+ 1− ;y = 2 D Hai đuờng thẳng y = 1− 1− ;y = 2 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z = x + yi,( x,y ∈ ¡ ) Lúc đó: z − z + 1− i = ⇔ x + yi − x + yi + 1− i = ⇔ 1− ( 2y − 1) i = ⇔ 1+ ( 2y − 1) = ⇔ 1+ 4y2 − 4y + 1= ⇔ 4y2 − 4y − =  1+ y = ⇔ 2y2 − 2y − 1= ⇔   1− y =  Vậy tập hợp điểm M hai đường thẳng y= 1+ 1− song song với trục ;y = 2 hoành Trang 27 Bài tập 10 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z + = z − z − A Hai đuờng thẳng x = , y = B Hai đuờng thẳng x = , y = −2 C Hai đuờng thẳng x = , x = −2 D Hai đuờng thẳng x = , y = −2 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi M ( x;y ) điểm biểu diễn số phức z = x + yi , ( x,y∈ ¡ ) thỏa z + = z − z − ⇔ x + yi + = x + yi − ( x − yi ) − ⇔ x + 1+ yi = −2 + 2yi ⇔ ( x + 1) + y2 = ( −2) x = + ( 2y ) ⇔ x2 + 2x = ⇔   x = −2 Vậy tập hợp điểm M cần tìm hai đường thẳng x = , x = −2 Bài tập 11 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − 1+ i = A Đuờng thẳng x − y − = B Đường tròn ( x + 1) + ( y + 1) = 2 D Đường tròn tâm I ( 1; −1) bán kính C Đường thẳng x + y − = R = Hướng dẫn giải Chọn D Xét hệ thức: z − 1+ i = Đặt z = x + yi,( x,y ∈ ¡ ) Khi đó: (1) ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = 2 Vậy, tập hợp điểm M(z) thỏa mãn hệ thức (1) đường tròn tâm I ( 1; −1) bán kính R = Bài tập 12 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z = z−1 18 y− =0 8 18 C Đường tròn x2 + y2 + y + = 8 A Đuờng tròn x2 + y2 − 18 y+ =0 8  9 D Đường trịn tâm I  0; ÷ bán kính  8 B Đường trịn x2 + y2 − R= Hướng dẫn giải Chọn B Trang 28 Đặt z = x + yi, ( x,y ∈ ¢ ) Ta có z 18 = ⇔ z = z − ⇔ x2 + y2 − y + = z−1 8  9 Vậy, tập hợp điểm M(z) thỏa mãn hệ thức (1) đường tròn tâm I  0; ÷  8 bán kính R = Bài tập 13 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z + − 2i = 2z + 1− 2i 3 C Đường tròn x2 + y2 − x − y − = 3 3 A Đuờng tròn x2 + y2 − x − y + = B Đường tròn x2 + y2 + x + y − = D x2 + y2 − x + y − = Hướng dẫn giải Chọn C Đặt z = x + yi;( x,y ∈ ¡ ) Ta có: z + − 2i = 2z + 1− 2i ⇔ ( x + 3) + ( y − 2) i = ( 2x + 1) + ( 2y − 2) i ⇔ ( x + 3) + ( y − 2) = ( 2x + 1) + ( 2y − 2) 2 ⇔ 3x2 + 3y2 − 2x − 4y − = Suy ra: Tập hợp điểm biểu diễn z phương trình đường trịn (C): x2 + y2 − x − y − = 3 Bài tập 14 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − i = ( 1+ i ) z A Đuờng tròn x2 + ( y + 1) = B Đường tròn x2 + ( y − 1) = C Đường tròn ( x − 1) + ( y + 1) = D ( x + 1) + ( y + 1) = 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi M ( x;y ) điểm biểu diễn số phức z = x + yi;( x,y ∈ ¡ ) Suy z − i = x2 + ( y − 1) ⇔ ( 1+ i ) z = ( 1+ i ) ( x + yi ) = ( x − y) + ( x + y) Nên z − i = ( 1+ i ) z ⇔ x2 + ( y − 1) = ( x − y ) + ( x + y ) ⇔ x2 + ( y + 1) = 2 2 Trang 29 Vậy tập hợp điểm M đường tròn x2 + ( y + 1) = Bài tập 15 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − 4i + z + 4i = 10 2 A Đuờng elip x + y = 16 2 2 B Đuờng elip x + y = 16 D Đuờng elip x + y = C Đuờng elip x + y = Hướng dẫn giải Chọn A Xét hệ thức: z − 4i + z + 4i = 10 Đặt z = x + yi, ( x,y ∈ ¡ ) Lúc (4) ⇔ x2 + ( y − 4) + x2 + ( y + 4) = 10 ⇔ 2 x2 y2 + =1 16 Vậy tập hợp điểm M đường elip có hai tiêu điểm F1(0;4);F2(0; −4) độ dài trục lớn 16 Bài tập 16 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − + z + = A Đuờng tròn C Đuờng parabol B Đuờng elip D Đuờng thẳng Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z = x + yi;( x,y ∈ ¡ ) Ta có: z − + z + = ⇔ ( x − 2) + yi + ( x + 2) + yi = ⇔ ( x − 2) + y2 + ( x + 2) + y2 = ( 1) Xét A ( 2;0) ;B( −2;0) ;I ( x;y ) ⇒ IA + IB = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z tập hợp điểm I thỏa mãn IA + IB = , elip có tiêu cự c = AB IA + IB = 2;a = = 2 Bài tập 17 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện + z > z − A Tập hợp điểm nửa mặt phẳng bên phải trục tung B Tập hợp điểm nửa mặt phẳng bên trái trục tung Trang 30 C Tập hợp điểm nửa mặt phẳng phía trục hoành D Tập hợp điểm nửa mặt phẳng phía trục hồnh Hướng dẫn giải Chọn A Xét hệ thực: + z > z − ( 1) Đặt z = x + yi, ( x,y ∈ ¡ ) Khi đó: (3) ⇔ 8x > Tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện (1) nửa mặt phẳng bên phải trục tung, tức điểm ( x,y) mà x > Bài tập 18 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 1≤ z + 1− i ≤ A Tập hợp điểm hình trịn có tâm I ( 1; −1) , bán kính B Tập hợp điểm hình vành khăn có tâm A ( −1;1) bán kính lớn nhỏ 2; C Tập hợp điểm hình trịn có tâm I ( 1; −1) , bán kính D Tập hợp điểm hình vành khăn có tâm I ( 1; −1) bán kính lớn nhỏ 2; Hướng dẫn giải Chọn 18 B Xét hệ thực: 1≤ z + 1− i ≤ ( 2) Đặt z = x + yi, ( x,y ∈ ¡ ) Khi đó: ( 2) ⇔ 1≤ ( x + 1) + ( y − 1) ≤ 2 Vậy tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện (2) hình vành khăn có tâm A ( −1;1) bán kính lớn nhỏ 2; Bài tập 19 Tìm tất điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z cho z+i z+i số thực A Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ B Tập hợp điểm trục hoành C Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ bỏ điểm A(0;1) D Tập hợp điểm trục tung, bỏ A(0;1) Hướng dẫn giải Chọn C Đặt z = x + yi,( x,y ∈ ¡ ) Trang 31 Ta có: z+i z+i z+i z+i = x + ( y + 1) ( 1− y ) +  x( y + 1) − x( 1− y )  i x2 + ( 1− y ) số thực ⇔ x( y + 1) − x( 1− y ) = ⇔ xy = Mặt khác: x2 + ( y − 1) ≠ ⇔ mặt phẳng phức bỏ điểm ( 0;1) x =  Vậy điểm mặt phẳng phức cần tìm gồm hai Tóm lại: ycbt ⇔   y =  x,y ≠ 0;1 ) ( ) ( trục tọa độ bỏ điểm A(0;1) Bài tập 14 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho u = z + + 3i z−i số ảo A Đường tròn tâm I ( −1; −1) bán kính R = B Đường trịn tâm I ( −1; −1) bán kính R = trừ hai điểm A ( 0;1) ; B( −2; −3) C Đường trịn tâm I ( 1;1) bán kính R = D Đường tròn tâm I ( 1;1) bán kính R = trừ hai điểm A ( 0;1) ; B( −2; −3) Hướng dẫn giải Chọn B Đặt z = x + yi,( x,y ∈ ¡ ) Ta có: u= 2 z + + 3i  x + + ( y + 3) i   x − ( y − 1) i  x + y + 2x + 2y − + 2( 2x − y + 1) i = = 2 z−i x2 + ( y − 1) x2 + ( y − 1)  x+ + y + = ( ) ( )  x + y + 2x + 2y − =  ⇔ ( x,y ) ≠ ( 0;1) u số ảo ⇔    2x − y + 1≠ ( x,y ) ≠ ( −2; −3) 2 Vậy tập hợp điểm z đường trịn tâm I ( −1; −1) bán kính R = trừ hai điểm A ( 0;1) ; B( −2; −3) Bài tập 21 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z = x + yi  thỏa mãn điều kiện x + y = A Ba cạnh tam giác B Bốn cạnh hình vng C Bốn cạnh hình chữ nhật D Bốn cạnh hình thoi Hướng dẫn giải Trang 32 Chọn B Gọi M điểm biểu diễn số phức z x + y =  x − y = x + y = ⇔ Ta có:  −x + y =  − x − y = x ≥ 0,y ≥ x ≥ 0,y ≤ x ≤ 0,y ≥ x ≤ 0,y ≤ Vậy tập hợp điểm M cạnh hình vng Bài tập 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z+i z+i + số ảo z+1 z+1          A Đường tròn tâm I  − ;0÷ bán kính R =   B Đường trịn tâm I  − ;0÷ bán kính R = trừ hai điểm ( −1;0)  C Đường tròn tâm I  − ;0÷ bán kính R =   D Đường trịn tâm I  − ;0÷ bán kính R = trừ hai điểm ( 0;1)   Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử z = x + yi điểm biểu diễn số phức z M ( x;y ) ( ( ) ) 2 z + i z + i z + z + z + i z + z + 2i x + y + 2x + 2( x + 1) i + = = Ta có: 2 z+1 z+1 z +z+z+1 ( x + 1) + y2 ( )  x2 + y2 + 2x =  1    x + ÷ + y = z+i z+i ⇔  + 2 số ảo ⇔  z+1 z+1 ( x + 1) + y2 ≠   ( x;y ) ≠ ( −1;0)  1 Vậy tập hợp điểm M đường trịn  x + ÷ + y2 = bỏ điểm ( −1;0) 2  Bài tập 23 Tìm quỹ tích điểm mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức w = iz + , biết z số phức thỏa mãn: ( z − 2i + 1) = A Đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y − 1) = 2 B Đường tròn ( C ) : ( x + 3) + ( y + 1) = 2 C Đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y + 1) = 2 Trang 33 D Đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y − 1) = 2 Hướng dẫn giải Chọn C ( ) ( ) ( *) Ta có z3 = z nên z − 2i + = ⇔ z − 2i + = Đặt w = x + yi Ta lại có w = iz + ⇔ z = i − iw ⇒ z = −i + i.w (*) trở thành: iw − 3i + = ⇔ ( y + 1) + ( x − 3) = ⇔ ( y + 1) + ( x − 3) = 2 Vậy quỹ tích điểm biểu diễn w mặt phẳng phức đường tròn ( C ) : ( x − 3) + ( y + 1) = Bài tập 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn: w = z + + i , biết z số phức thỏa z − 1+ 2i = A Đường tròn tâm I ( 1;2) bán kính R = B Đường trịn tâm I ( 2;1) bán kính R = C Đường trịn tâm I ( 1;1) bán kính R = D Đường trịn tâm I ( 3;3) , bán kính R = Hướng dẫn giải Chọn D Gọi w = x + yi ( x,y ∈ ¡ ) ⇒ M ( x;y ) điểm biểu diễn cho số w hệ trục Oxy z = w − − i = x − + ( y − 1) i ⇒ z = x − + ( 1− y ) i z − 1+ 2i = 1⇔ x − + ( − y ) i = 1⇔ ( x − 3) + ( y − 3) = 2 Vây tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm I ( 3;3) , bán kính R = Bài tập 25 Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức w = ( 1− 2i ) z + biết z số phức thỏa mãn: z + = A Đường tròn tâm I ( 1;2) bán kính R = B Đường trịn tâm I ( 2;1) bán kính R = C Đường trịn tâm I ( 1;4) bán kính R = 5 D Đường tròn tâm I ( 1;3) , bán kính R = Hướng dẫn giải Chọn C Trang 34 Theo giả thiết: z + = ⇔ ( a − 1) ⇔ a − 1+ ( b − 4) i 1− 2i = ⇔ a − 1+ ( b − 4) i = 51− 2i + ( b − 4) = 5 ⇔ ( a − 1) + ( b − 4) = 125 2 Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn đề đường tròn tâm I ( 1;4) bán kính R = 5 ( ) Bài tập 26 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z' = 1− i z − với z + ≤ ( ) A Hình trịn tâm I −3; , R = ( ) B Đường tròn tâm I −3; , R = C Hình trịn tâm I ( 1; −4) bán kính R = D Đường trịn tâm I ( 1;3) , bán kính R = Hướng dẫn giải Chọn A  z = a + bi ( a,b ∈ ¡ )  z' = x + yi ( x,y ∈ ¡ ) Giả sử ta có  Khi đó: ( ) ( ) ( z' = 1− i z − ⇔ x + yi = 1− i ( a + bi ) − ⇔ x + yi = a + b − + b − a )  x− y 3+  x = a + b − a = ⇔ ⇔ 3x + y +  y = b − a   b = Theo ta có: 2  x − y +   3x + y +  z + ≤ ⇔ ( a + 1) + b ≤ ⇔  + 1÷ +  ÷ ≤4  ÷  ÷ 4     ( ) ( ⇔ x− y 3+ + ) 3x + y + ≤ 64 ⇔ 4x2 + 4y2 + 24x − 3y − 16 ≤ ( ⇔ x2 + y2 + 6x − 3y − ≤ ⇔ ( x + 3) + y − ) ≤ 16 ( ) Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z’ hình trịn tâm I −3; , R = Bài tập 27 Tìm tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng phức ( ) w = 1+ i z + biết số phức z thỏa mãn z − ≤ ( ) A Hình trịn tâm I −3; , R = B Đường tròn tâm I ( 3;3) bán kính R = Trang 35 ( ) C Đường trịn tâm I 3; bán kính R = ( ) D Hình trịn tâm I 3; bán kính R = Hướng dẫn giải Chọn D Đặt z = a + bi,( a,b∈ ¡ ) w = x + yi,( x,y ∈ ¡ ) Ta có: z − ≤ ⇔ ( a − 1) + b2 ≤ ( *) Từ ( ) ( ) w = 1+ i z + ⇒ x + yi = 1+ i ( a + bi ) +  x = a − b +  x − = a − 1− b ⇔ ⇔  y = 3a + b  y − = 3( a − 1) + b 2 ⇒ ( x − 3) + ( y − 3) = 4( a − 1) + b2  ≤ 16 ( Do (*))   ( ) Vậy tập hợp điểm cần tìm hình trịn tâm I 3; bán kính R = Bài tập 28 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z' = 2z + − i với 3z + i ≤ zz + ( ) A Hình trịn tâm I −3; , R = B Đường tròn tâm I ( 3;3) bán kính R = ( ) C Đường trịn tâm I 3; bán kính R =  7 73 D Hình trịn tâm I  3; − ÷ , R =   Giải Chọn D  z = a + bi ( a,b ∈ ¡ )  z' = x + yi ( x,y ∈ ¡ ) Giả sử ta có   x−  x = 2a + a = ⇔ Khi z' = 2x + − i ⇔ x + yi = ( 2a + 3) + ( 2b − 1) i ⇔   y = 2b −  b = y +  Theo ta có: 3z + i ≤ zz + ⇔ 9a2 + ( 3b + 1) ≤ a2 + b2 + ⇔ 4a2 + 4b2 + 3b − ≤ 2 ⇔ ( x − 3) + ( y + 1) + 2 2  7 73 y + 1) − ≤ ⇔ ( x − 3) +  y + ÷ ≤ ( 4 16  Trang 36  7   Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z’ hình trịn tâm I  3; − ÷ , R = 73 Bài tập 29 Cho số phức z thỏa mãn z = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (3 + 4i ) z + i đường trịn Tính bán kính r đường trịn A r = B r = C r = 20 D r = 22 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi w = a + bi , ta có w = a + bi = (3 + 4i ) z + i ⇔ z = = a + (b − 1)i [ a + (b − 1)i ] (3 − 4i ) = + 4i − 16i (3a + 4b − 4) + (3b − 4a − 3) 3a + 4b − (3b − 4a − 3) + i ⇒ z = 25 25 25 Mà z = nên ⇔ (3a + 4b − 4) + (3b − 4a − 3) = 1002 ⇔ a + b − 2b = 399 Theo giả thiết, tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (3 + 4i ) z + i đường tròn nên ta có a + b − 2b = 399 ⇔ a + (b − 1) = 400 ⇒ r = 400 = 20 Trang 37 ... HÓA phần thực số phức phần ảo số phức Số phức liên hợp Đại số ( tập hợp z = a2 + b2 số phức) Số phức Môđun số SỐ PHỨC phức liên hợp Độ dài đoạn môđun số điểm biểu diễn số phức phức Hình học điểm... z z Phép cộng số phức Tính chất phép cộng số phức Với ta có Tổng hai số phức SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA số phức Phép trừ số phức CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC Hiệu hai số phức vàlà số phức Tính chất phép. .. phép nhân số phức Với ta có Phép nhân số phức Tích hai số phức vàlà số phức Phép chia số phức khác Số nghịch đảo số phức kí hiệu là số phức thỏa mãn hay Thương phép chia số phức cho số phức , kí