THÔNG TIN TÀI LIỆU
Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức PHẦN I I LÍ DO CHỌN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÍNH PHỔ BIẾN AM - GM Cauchy - Schwarz cặp bất đẳng thức phổ biến toán học sơ cấp Với đa dạng vốn có, hai bất đẳng thức thường xuyên sử dụng để chứng minh bất đẳng thức đại số khác, từ trung học sở đến trung học phổ thơng kì thi Ngồi mục đích nâng cao kỹ giải toán dựa phương pháp phát triển từ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, sáng kiến kinh nghiệm tổng hợp nhiều bất đẳng thức từ trước đến chứng minh cơng cụ Ta thấy góc nhìn bao qt bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: kỹ đứng trước toán bất đẳng thức Bên cạnh việc sử dụng kỹ thuật Cauchy - Schwarz cách phù hợp điều kiện đủ để chứng minh bất đẳng thức mong muốn tồn bất đẳng thức đơn giản Sáng kiến kinh nghiệm hệ thống số kỹ liên quan đến bất đẳng thức Cauchy - Schwarz TÍNH CẤP THIẾT Đối với đối tượng học sinh THPT không chuyên Bất đẳng thức chun đề khó Trong q trình giảng dạy từ nguồn tài liệu tham khảo hệ thống số dạng tập nhằm mục đích để giúp học sinh tiếp cận số kỹ để áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz vào chứng minh BĐT với tiêu chí khn khổ đưa BĐT cần chứng minh dạng đơn giản BĐT ban đầu Bước đầu dạy cho đối tượng THPT không chuyên thu số hiệu định giúp em “Bớt sợ” giải số toán chứng minh BĐT Từ tạo hứng khởi cho em vấn đề khám phá loại toán MỤC TIÊU LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Mục tiêu SKKN hệ thống số tập áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz vào chứng minh để học sinh làm quen từ dần định hình phương pháp tư vào chứng minh BĐT Với mục tiêu để tạo cho học sinh “lối mòn” số dạng nên khn khổ SKKN tơi khơng trình bày thêm cách chứng minh khác Vì tơi chọn SKKN Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức II GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ Trong tốn học, bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cịn gọi bất đẳng thức Schwarz tên dài Cauchy - Bunyakovxki - Schwarz Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức Bunyakovxki tên dài nói đảo thứ tự bất đẳng thức Bunyakovxki - Cauchy - Schwarz nên thường viết tắt bất đẳng thức BCAUCHY - SCHWARZ Tuy nhiên toàn sáng kiến kinh nghiệm ta thống với cách gọi bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Ở mức độ phổ thông khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm quan tâm đến dạng phát biểu sơ cấp biểu thức Nó phát biểu sau: Nếu a1, a2, …, an , b1, b2, …, bn số thực tùy ý (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2 (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2) (*) a1 Đẳng thức xảy b1 (ở đây, ta sử dụng quy ước mẫu tử 0) x Trong (*), chọn = yii, bi = = a2 b2 =…= yi với xi, yi R, yi > 0, ta thu bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức Nếu x1, x2, …, xn số thực y1, y2, …, yn số thực dương x1 y1 + x2 y2 +…+ xn yn (x1 + x2 + … + xn)2 y1 + y2 + … + yn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức x1 Đẳng thức xảy x2 = =…= y2 y1 Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, chúng xem xét vấn đề để sử dụng hợp lý hiệu bất đẳng thức (*) (**) việc chứng minh bất đẳng thức khác kĩ thật III MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH Trong mục này, đến với số chứng minh thú vị cho bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (*) SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI Nếu a12 + a22 + … + an2 = ta có a1 = a2 = … = an = bất đẳng thức hiển nhiên Do vậy, ta cần xét a12 + a22 + … + an2 > đủ Xét tam thức bậc hai 2 2 2 f(x) = (a1 + a2 + … + an )x - 2(a1b1 + a2b2 + … + anbn)x + (b1 + b2 + … + bn ) Ta dễ dàng thấy f(x) = (a1x - b1)2 + (a2x - b2)2 + … + (anx - bn)2 từ suy f(x) với x Điều có nghĩa biểu thức ’f phải số không dương, mà ’f = (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2 - (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2), nên ta có (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2 (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2), Đẳng thức xảy a1 b1 a1x - b1 = a2x - b2 = … = anx - b, tức SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM i=n Rõ ràng ta cần xét bất đẳng thức trường hợp i=1 a2 = b2 = … = i=n >0, bi > i=1 đủ Lấy bậc hai hai vế bất đẳng thức cho, sau chia hai vế cho i = n i = i = n bi i = , ta 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức i= aibi n i = n i = i = n i = bi i = Sử dụng tính chất dấu giá trị tuyệt đối kết hợp với bất đẳng thức AM - GM, ta có: aibi i=n i =1 i i=n ai2 i =n i = i=n i=1 i=n bi i=1 |ai||bi| i=1 a i2 1i = n i = n i = n i = i = = + i=n bi bi2 =n i = i=n i=1 i=1 bi2 1 =2 + =1 i = 1i = n ai2 bi2 +2 i=1i=n bi2 i=1 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Với n = 1, bất đẳng thức ta trở thành đẳng thức Xét n = 2, ta có (a12 + a22)(b12 + b22) - (a1b1 + a2b2)2 = (a2b1 - a1b2) Giả sử bất đẳng thức n = k (k 2) Xét n = k + Áp dụng kết trường hợp n = với hai a1 + a2 + … + ak , a , k + 1 2 b1 + b2 + … + bk , b k + 1 , Ta có: a1 + a2 + a + … + ak 2 2 k + 1 2 (a1 + a2 + … + ak )(b1 + b2 + … + bk 2 b1 + b2 + … + bk + 2 k + 1 b k + k + 1 ) + a b Mặt khác, theo giả thiết quy nạp, ta lại có 2 2 2 (a1 + a2 + … + ak + b2 + … + bk ) (a1b1 + a2b2 + … + akbk) ; LUAN VAN CHAT LUONG )(b download : add luanvanchat@agmail.com Suy (a12 + a22 + … + ak2)(b12 + b22 + … + bk2) |a1b1 + a2b2 + … + akbk| Kết hợp đánh giá với đánh giá trên, ta LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức i=k+1 i=1 i=k+1 ai2 i=1 bi2 |a1b1 + a2b2 + … + akbk| + a b k + k + 1 (a1b1 + a2b2 + … + akbk + ak + 1bk + 1)2 Điều chứng tỏ bất đẳng thức ta cho n = k + Theo nguyên lý quy nạp, ta có với n LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức PHẦN II NỘI DUNG CHÍNH NHỮNG KỸ NĂNG CƠ BẢN KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nếu a1, a2, …, an , b1, b2, …, bn số thực tùy ý (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2 (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2) (*) a1 Đẳng thức xảy = b1 (ở đây, ta sử dụng quy ước mẫu tử 0) x Trong (*), chọn = yii, bi = a2 b2 =…= yi với xi, yi R, yi > 0, ta thu bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức Nếu x1, x2, …, xn số thực y1, y2, …, yn số thực dương x1 y1 x2 + y2 xn +…+ yn (x1 + x2 + … + xn)2 y + y2 + … + y n x1 Đẳng thức xảy x2 = =…= y2 y1 Để sử dụng tốt bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, Ta cần quan sát, đưa nhận xét (về điều kiện, dạng phát biểu tốn, …) nhận biết cần phải làm gì? Và tự đặt câu hỏi “Có cách giúp đơn giản hóa tốn hay khơng?” tìm cách trả lời câu hỏi Để hiểu rõ vấn đề, ta xét toán sau Bài Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a2 b+c + b2 c+a + c2 a+b a+b+c Phân tích Nhận thấy vế trái bất đẳng thức có dạng phát biểu giống với dạng xn2 x22 x1 phân thức bất đẳng thức Cauchy - Schwarz y1 + y2 + … + yn Yếu tố LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức gợi cho ta ý nghĩ sử dụng Cauchy - Schwarz để giải toán Và nhận xét giúp giải toán thành công, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có ∑ a2 b+c (a + b + c)2 = a+b+c (b + c) + (c + a) + (a + b) a b c Đẳng thức xảy = = b+c c+a a+b Bài Nếu a, b, c số thực dương (1.1) , tức a = b = c a b c b + 2c + c + 2a + a + 2b (2) Định hướng tìm tịi lời giải Nhận thấy vế trái bất đẳng thức có dạng phân thức, điều gợi cho ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức để chứng minh tốn Nhưng muốn ta cần có xuất bình phương tử số, nhiên lại khơng có Ta thêm vào tử mẫu lượng a, b, c tương ứng để bình phương xuất hiện, cụ thể là: a2 a b c b2 c2 b + 2c + c + 2a + a + 2b = a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b) (2.1) Đến yên tâm sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz để thu (a + b + c)2 (a + b + c)2 a2 ∑ a(b + 2c) a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b) = 3(ab + bc + ca) (2.2) Và toán chứng minh xong ta có (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) (2.3) Đây lại kết quen thuộc Lưu ý (2.2) xảy đẳng thức a b c a(b + 2c) = b(c + 2a) = c(a + 2b) Và (2.3) xảy đẳng thức a = b = c Giải hệ này, ta tìm a = b = c Vì bất đẳng thức cho xảy đẳng thức a = b = c Bài Cho bốn số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: b c d (3) + + + b+c c+d d+a a+b a LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức 1 c b 2 2 (a + b) + (a + c) (b + c)(a + bc) + (b + c)(a + bc) = a + bc (15.4) Do (15.1) xảy đẳng thức a = c (15.3) xảy đẳng thức a = b nên bất đẳng thức cho xảy đẳng thức a = b = c Bài 16 Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau a3 b3 2 2 a + b + c (2a + b )(2a + c ) Lời giải 2 2 + (2b + c )(2b + a ) c3 2 2 + (2c + a )(2c + b ) (16) Tương tự trước, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz cho mẫu số phân thức bên vế phải cho đại lượng a + b + c xuất sau đánh giá Với ý tưởng vậy, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz sau 2 2 2 2 (a + b + a )(a + a + c ) (a + ba + ac) = a (a + b + c) (16.1) Từ suy a3 a (2a2 + b2)(2a2 + c2) (a + b + c) (16.2) Cộng bất đẳng thức với hai bất đẳng thức tương tự, ta thu kết toán Dễ thấy đẳng thức xảy a = b = c Bài 17 Giả sử a, b, c ba số thực dương cho trước Chứng minh 1 a + ab + bc + a+b+c + b + bc + ca c + ca + ab 2 ab + bc + ca Lời giải (17) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có c2 + ab + bc c2 + ab + bc a2 + ab + bc = (a2 + ab + bc)(c2 + ab + bc) (ca + ab + bc) Cộng bất đẳng thức với hai bất đẳng thức tương tự, ta suy ∑ a + ab + bc ∑(c2 + ab + bc) (ab + bc + ca) (a + b + c)2 = (ab + bc + ca) (17.1) (17.2) Đẳng thức xảy a = b = c Bài 18 Chứng minh với số thực dương a, b, c ta có ab a + bc + ca + bc b + ca + ab + ca c + ab + bc a2 + b2 + c2 ab + bc + ca (18) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có ab(b2 + bc + ca) ab ab(b2 + bc + ca) a2 + bc + ca =(a2 + bc + ca)(b2 + bc + ca) Do ta cần chứng minh (ab + bc + ca)2 (18.1) ∑ab(b2 + bc + ca) (a2 + b2 + c2)(ab + bc + ca), (18.2) Hay a3b + b3c + c3a abc(a + b + c) (18.3) Chia hai vế bất đẳng thức cho abc, ta a2 c + b2 a + c2 b a + b + c (18.4) Hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , a2 c + b2 a + c2 b (a + b + c)2 = a + b + c (18.5) c+a+b Đẳng thức xảy a = b = c Bài 19 Cho số thực dương x1, x2, …, xn thỏa mãn x1 + x2 + … + xn = n Chứng minh bất đẳng thức x1 - x1 + n + x2 - x2 + n + … + xn - xn + n (19) Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có [x12 + (n - x1)][1 + (n - x1)] [x1 + (n - x1)]2 = n2 (19.1) Từ suy n + - x1 x1 - x1 + n n2 Cộng bất đẳng thức với bất đẳng thức tương tự, ta suy kết toán Đẳng thức xảy x1 = x2 = … = xn = Bài 20 Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn b+c+1 + c+a+1 + a+b+1 Chứng minh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức a + b + c ab + bc + ca (20) Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có b + c + a2 b + c + a2 = (20.1) b+c+1 (b + c + 1)(b + c + a ) (b + c + a) Thực đánh giá tương tự cho hai biểu thức lại, sau cộng ba bất đẳng thức lại với nhau, ta thu a2 + b2 + c2 + 2(a + b + c) (a + b + c)2 (20.2) Từ ta suy a + b + c ab + bc + ca (20.3) Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 21 Chứng minh với a, b, c dương, ta có 1 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (b + c)2 2a2 + bc = ab + bc + ca (21) b + c2 + bc + 2bc 2 (21.1) 2 [a(b + c) + bc] =(ab + bc + ca) (b + c) + bc (2a + bc) Cộng bất đẳng thức với hai bất đẳng thức tương tự, ta suy ngy kết chứng minh Dễ thấy đẳng thức xảy a = b = c Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc Chứng minh a5 - a2 b5 - b2 a5 + b2 + c2 Lời giải a5 - a2 Cauchy - Schwarz , ta có (b + c)2 + bc a+b+c + b5 + c + a + cần Bài 22 c5 - c c5 + a2 + b2 a2 + b2 + c2 2 2 Do a + b + c = - a + b + c nên bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành a5 - a2 b5 - b2 c5 - c2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a5 + b2 + c2 + b5 + c2 + a2 + c5 + a2 + b2 a2 + b2 + c2 (23) 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 2 a + b + c2 1 2 a+b +c = 2 2 a+b +c (a2 + b2 + c2)2 (23.1) (a + b + c )a + b + c Cộng bất đẳng thức với bất đẳng thức tương tự, ta 1 + 2(a2 + b2 + c2) a +b + c 2 (a2 + b2 + c2)2 ∑ a +b +c Theo ta cần chứng minh bất đẳng thức sau đủ 1 (23.2) a2 + b2 + c2 (23.3) a + b +c Sử dụng giả thiết abc kết hợp với bất đẳng thức ab + bc + ca a2 + b2 + c2, ta có 1 abc a +b + c abc abc a + b + a2 + b2 + c2 (23.4) c = ab + bc + ca Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 24 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = Nếu k 1, 1 a2 + b + k b2 + c2 + k + c2 + a2 + k + k + (24) Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta [a +b a + b + c a+b+c + + (k - 1)]1 + + c + (k - 1) (k + 2) (a + b + c)2 a + b + c + (k - 1) Từ suy 2 = 9(c2 (24.1) + 2) + (k - 1)(a + b + c)2 2 a + b +download k (k:+add 2) (a +luanvanchat@agmail.com b + c) (24.2) LUAN VAN CHAT LUONG Thực hiên đánh giá tương tự cho hai biểu thức lại, sau cộng vế theo vế ba bất đẳng thức lại ta 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LUAN Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức 9∑a + 6 ∑a + b + k 2 2 9∑a + 2∑ab 2 2 + 3(k - 1)∑a = = 2 + 3(k - 1)∑a 2 2 (k + 2) ∑a (24.3) (k + 2) ∑a k+2 Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 25 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3.Chứng minh a b c 3 a + b + c + b + c + a + c + a2 + b (25) Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 1 a a a = 1 + + c a a +b +c + + c a (25.1 (a + b + c) (a = + + c + c)a +b + a + ca Suy ta cần chứng minh + a + ca + + b + ab + + c + bc 1, (25.2) Hay ab + bc + ca 3, (25.3) (a + b + c) Hiển nhiên theo kết quen thuộc ab + bc + ca Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 26 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh (3a - b + c)2 (3b - c + a)2 (3c - a + b)2 2a2 + (b + c)2 + 2b2 + (c + a)2 + 2c2 + (a + b)2 (26) Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có VAN CHAT LUONG(3a download : add - b + c)2 (3a - b luanvanchat@agmail.com + c)2 2a2 + (b + c)2 Do ta cần chứng minh 2 2a + 2(b + c ) (26.1) 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức (3a - b + c)2 + (3b - c + a)2 + (3c - a + b)2 9(a2 + b2 + c2) (26.2) Sau triển khai rút gọn, ta a2 + b2 + c2 ab + bc + ca , (26.3) kết quen thuộc Vì vậy, phép chứng minh ta hoàn tất Đẳng thức xảy a = b = c Bài 27 Cho a, b, c số thực dương cho abc = Chứng minh 1 + a + b2 + + b + c2 + + c + a (27) Lời giải Đặt a = x3, b = y3 c = z3 Ta phải chứng minh 1 1 + x3 + y6 + + y3 + z6 + + z3 + z6 (27.1) Với x, y, z > xyz = Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 1 + x3 + y6 z4 + x + = z4 + x + y 42 y (z2 + x2 + y2)2 2 z + x yz + z x = (x2 + y2 + z2)2 (27.2) 64 (1 + x + y ) z + x + y Ta cần chứng minh ∑(z4 + x2yz + z2x2) (x2 + y2 + z2)2, (27.3) Hay xyz(x + y + z) x2y2 + y2z2 + z2x2 (27.4) Đây kết quen thuộc Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c = Nhận xét: Ngoài ra, kết tổng quát đúng: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Khi với k > 0, ta có 1 1 + a + bk + + b + ck + + c + ak Bài 28 Chứng minh với số thực dương a, b, c ta có 1 a3 + b3 + abc 3 +b + c + abc (27.5) 3 + c + a + abc abc (28) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời giải 24 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Sử dụng tính nhất, ta chuẩn hóa cho abc = Từ bất đẳng thức cần chứng minh viết thành 1 a +b + c a3 + b3 + 1 = 3 1 a +b + c2 (a + b + c)2 bc + ca + c2 = (a + b + c)2 c =a + b + c 2 (a + b + 1) a +b + c (28.2) Cộng tương ứng bất đẳng thức với hai đánh giá tương tự, vế theo vế, ta suy kết cần chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 25 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức PHẦN III TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải, 500 toán chọn lọc bất đẳng thức, tập 1, Nhà xuất Hà [2] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất Tri Thức, 2006 [3] Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Bất đẳng thức lời giải hay, Nhà xuất Hà Nội 2009 [4] Trần Phương, Những viên kim cương bất đẳng thức Toán học, Nhà xuất Tri Thức, 2009 [5] Wikipedia, Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, [Online: http://vi.wikipedia.org/wiki/B%E1%BA%A5t_%C4%91%E1%BA%B#ng_th%E1% BB%A9c_Cauchy-Schwarz] 26 : add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download ... luanvanchat@agmail.com Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Sử dụng đẳng thức này, ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp tương tự hai toán vừa xét Bài Cho số thực a,... - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức II GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY- SCHWARZ Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy - Schwarz gọi bất đẳng thức Schwarz tên dài Cauchy - Bunyakovxki - Schwarz. .. Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức PHẦN II NỘI DUNG CHÍNH NHỮNG KỸ NĂNG CƠ BẢN KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nếu a1, a2, …, an , b1, b2, …, bn số thực tùy
Ngày đăng: 01/11/2022, 05:54
Xem thêm: