Website:tailieumontoan.com ĐỀ KHẢO SÁT LẦN I TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY NĂM HỌC 2017 - 2018 Câu 1: (2,0 điểm) A= Cho hai biểu thức: x +3 x - B= x +1 x +2 + x- 1- x + 2x + x - x + x - với £ x ¹ a) Tính giá trị A với x = + ; b) Rút gọn B ; c) Đặt P = B : A Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu 2: (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Một người từ A đến B với vận tốc thời gian dự định trước Nếu người nhanh 10 km tới B sớm dự định 36 phút; người chậm 10 km tới B muộn dự định 54 phút Hỏi quãng đường AB dài km? Câu 3: (2,0 điểm) ìï 1- x - y 22 ïï = ïï x + x +y 15 í ïï 5+ x + y + = ïï x +y x + ï ỵ Giải hệ phương trình: Cho parabal (P ) : y = x2 đường thẳng (d) y = 2(m - 2)x - 4m + 13 ( P ) ( d) Xác định tọa độ giao điểm a) Với m = , hệ tọa độ Oxy , vẽ A, B ( d) cắt ( P ) hai điểm có hồnh độ x1, x2 cho biểu thức b)Tìm m để S = x12 + x22 + 4x1 x2 + 2018 Câu 4: đạt giá trị nhỏ (3,5 điểm) ¼ Cho đường trịn tâm (O ) dây BC khác đường kính Lấy A thuộc cung BC lớn cho AB > AC ( A khác C ) Các đường cao AD, BE , CF tam giác ABC cắt H Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC M a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp · b) Chứng minh EB phân giác góc DEF c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp DMED Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com d) Qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt đường thẳng AB, AC P N ¼ Chứng minh A di động cung BC lớn (nhưng thỏa mãn giả thiết ban đầu ) đường trịn ngoại tiếp DMNP ln qua điểm cố định Câu 5: (0,5 điểm) Cho x, y, z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = x x + 2y - - + y y + 2z - - + z z + 2x - - LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: (2,0 điểm) x +3 A= x - Cho hai biểu thức: B= x +1 + x +2 x- 1- x + 2x + x - x + x - với £ x ¹ a) Tính giá trị A với x = + ; b) Rút gọn B ; c) Đặt P = B : A Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Lời giải a) Tính giá trị A với x = + x = 6+ = 5+ + 1= x= ) ( 2( +1 = A= x = + 1vào Thay A= ( ( ) ) 2 x +3 x- ) = + = ( + 5) 5 5 + 1) - Vậy x = + ( +1 +1 = +1 +1 + A= + 5.1+ 12 = = 2.5 + 5 + = 2.5 2+ b) Rút gọn B B= Liên hệ tài 039.373.2038 x +1 x +2 liệu + x- 1- word x + 2x + x - x+ x- mơn tốn: ( £ x ¹ 1) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x +1 B= - x- 2x + x - + ( x - 1)( x + 2) ( x + 1) ( x - 1) - ( x - 2) ( x + 2) + 2x + B= ( x - 1)( x + 2) B= x +2 x- x- x - 1- x + + 2x + x - B= ( ( B= ( )( x- ) x +2 2x + x - )( x + 2) x - 1)( x + 3) x +3 = ( x - 1)( x + 2) x + x- c) Đặt P = B : A Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên x +3 x +3 x +3 x - 2 x - - : = = = 2+ x +2 x - x +2 x +3 x +2 x +2 - Û Û - 6M x + Û x + Ỵ x + nguyên P nguyên Ư { ±1;±2; ±3;±6} P =B :A = ( ) Mà Ư(-6)= Mặt khác: x + 2> { 2;3;6} Þ x = { 0;16} Kết luận: Vậy Þ Câu 2: x +2ẻ xẻ { 0;1;4} ị xẻ { 0;16} ( tm) thỏa mãn yêu cầu toán (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Một người từ A đến B với vận tốc thời gian dự định trước Nếu người nhanh 10 km tới B sớm dự định 36 phút; người chậm 10 km tới B muộn dự định 54 phút Hỏi quãng đường AB dài km? Lời giải Đổi 36 phút = 0,6h ; 54 phút = 0,9h Gọi vận tốc dự định là: v(km / h)(v > 0) Gọi thời gian dự định là: t(h)(t > 0) Nếu người thêm 10 km vận tốc là: (v + 10)(km / h) Khi người đến B sớm dự định 36 phút nên thời gian người là: (t - 0,6)(h) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com (1) Vì qng đường AB khơng đổi nên ta có phương trình là: (v + 10)(t - 0,6) = vt Nếu người chậm 10 km vận tốc là: (v - 10)(km / h) Khi người đến B muộn dự định 54 phút nên thời gian người là: (t + 0,9)(h) (2) Vì qng đường AB khơng đổi nên ta có phương trình là: (v - 10)(t + 0,9) = vt ìï (v + 10)(t - 0,6) = vt ï í ï (v - 10)(t + 0,9) = vt Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: ïỵ ïì vt + 10t - 0,6v - = vt ïì 10t - 0,6v = Û ïí Û ïí Û ïï vt - 10t + 0,9v - = vt ïï - 10t + 0,9v = ỵ ỵ ïìï t = 3,6 í ïï v = 50 ỵ Vậy qng đường AB là: 50.3,6 = 180 (km) Câu 3: (2,0 điểm) ìï 1- x - y 22 ïï = ïï x + x +y 15 í ïï 5+ x + y + =3 ïï x +y x + ï î 1) Giải hệ phương trình: 2) Cho parabal (P ) : y = x2 đường thẳng (d) y = 2(m - 2)x - 4m + 13 ( P ) ( d) Xác định tọa độ giao điểm a) Với m = , hệ tọa độ Oxy , vẽ A, B b)Tìm m để ( d) cắt (P ) hai điểm có hồnh độ 2 S = x + x + 4x1 x2 + 2018 x1, x2 cho biểu thức đạt giá trị nhỏ Lời giải 1) Điều kiện: x ³ 0;x ¹ - y ìï 1- x - y 22 ïï = ïï x + x +y 15 Û í ïï 5+ x + y + =3 ïï x +y ïỵ x + ìï ïï = ï x + y 15 Û ïí x + Û ïï + =2 ïï ïỵ x + x + y Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: ìï ïï ïï í ïï ïï ïỵ ìï ïï ïï í ïï ïï ïỵ 22 +1= 15 x +1 x +y + +1= x +1 x +y 10 - = x +1 x +y 3 + =2 x +1 x +y - TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ìï 13 13 ìï x + = ïï = ïï ïï x + Û í Û ïí Û ïï ïï = + = ï x +y ïï ïỵ ïỵ x + x + y ( x;y) = ( 4;1) Vậy nghiệm hệ phương trình ìï x = ï í ( tm) ïï y = ỵ 2) a) Với m = phương trình đường thẳng (d) là: y = 4x - *Vẽ đồ thị: - Vẽ (P): y = x Ta có bảng giá trị Parabol (P) qua hai điểm x 2 y=x - Vẽ (d): ( d) : y = 4x - ( 0;- 3) 1 0 ( 1;1) 1 Ta có bảng giá trị x y = 4x - 3 12 y 10 y=x2 y=4x-3 -12 -10 -8 -6 -4 -2 x 10 -2 -4 -6 -8 -10 * Tìm giao điểm hai đồ thị: - Phương trình hoành độ giao điểm P d là: x x x x (1) Vì a + b + c = 1- + = nên phương trình (1) có hai nghiệm x x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy Nếu x y Nếu x y ( P ) giao ( d) A ( 1;1) B ( 3;9) b) Xét phương trình hoành độ giao điểm: x2 = 2(m - 2)x - 4m + 13 Û x2 - 2(m - 2)x + 4m - 13 = D ' = ( m - 2) - (4m - 13) = m2 - 4m + - 4m + 13 D ' = m2 - 8m + 17 = ( m - 4) + ³ > Vậy (d) cắt (P ) hai điểm phân biệt A, B ìï x + x = 2(m - 2) ï í ï x x = 4m - 13 Áp dụng hệ thức viet: ïỵ S = x12 + x22 + 4x1 x2 + 2018 = (x1 + x2)2 + 2x1x2 + 2018 S = ( 2m - 4) + 2( 4m - 13) + 2018 S = 4m2 - 16m + 16 + 8m - 26 + 2018 S = 4m2 - 8m + 2008 S = (2m - 2)2 + 2004 ³ 2004 Vậy giá trị nhỏ S 2004 m = Câu 4: (3,5 điểm) ¼ Cho đường trịn tâm (O ) dây BC khác đường kính Lấy A thuộc cung BC lớn cho AB > AC ( A khác C ) Các đường cao AD, BE , CF tam giác ABC cắt H Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC M a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp · b) Chứng minh EB phân giác góc DEF c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp DMED Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com d) Qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt đường thẳng AB, AC P N ¼ Chứng minh A di động cung BC lớn (nhưng thỏa mãn giả thiết ban đầu ) đường trịn ngoại tiếp DMNP qua điểm cố định Lời giải a) Ta có: AD, BF ,CF đường cao DABC · · Þ BFD = 90o;CEB = 90o Xét tứ giác BFEC có: · · BFC = BEC = 90o Mà góc nhìn BC tứ giác BFEC nội tiếp (dhnb) b) Ta có: Tứ giác BFEC tứ giác nội tiếp (cmt) · · Þ FEB = FCB (t/c) (1) · · HEC = 90o;HDC = 90o Xét tứ giác CEHD có · · Þ HEC + HDC = 90o + 90o = 180o Mà góc vị trí đối Þ tứ giác CEHD nội tiếp (dhnb) · · Þ DCH = DEH (2) · · Từ (1) (2) suy DEH = FEB · Þ EB phân giác DEF c) Ta có: I trung điểm BC (gt) Þ IB = IC = I E Þ DIEC cân Þ I·EC = I·CE (t/c) · · · · Lại có: ICE góc ngồi DEMC Þ ICE = MEC +CME · · Þ I·EC = CEM +CME · · Lại có: CEM = FEA ( đối đỉnh) · · Dễ dàng chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp Þ AEF = AHF · · · · · · · Þ IEC = AHF + CME = DHC +CME = DEC +CME · · · · Û I·ED + DEC = DEC + CME Þ I·ED = CME Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp DDEM Kẻ đường kính EK Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com · · D Þ tứ giác K DEM nội tiếp Þ EMD = EK (t/c) ·EMD = IED · Mà (cmt) · D = IED · Þ EK Lại có: DDEK vng D · D +K · ED = 90° Þ EK · · ED = 90° Þ IED +K Þ IE ^ J E Þ IE tiếp tuyến ( J ) d) · · +) Ta có: FE / / PN Þ CPE = FEA (2 góc đồng vị) · · Mà ABC = FEA ( tứ giác BFEC nội tiếp) · · Þ CPF = CBN PBN nội tiếp +) C/m : Tứ giác C +) C/m : DP DN = DB.DC +) Ta Có : IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp DMED (cmt) Þ C/m : IE = IM ID Mà IE = IB Þ I B = I M ID Þ IB - ID = IM I D - ID Þ ( IB - ID ) ( IB + ID ) = ID ( IM - ID ) Þ BD.DC = ID.DM +) C/m : DP DN = ID.DM +) C/m : Tứ giác MNIP ni tip ẳ ị Khi A di ng trờn cung BC lớn ( thảo mãn giả thiết ban đầu ) đường trịn ngoại tiếp DMNP ln qua điểm cố định Câu 5: (0,5 điểm) Cho x, y, z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = x x + 2y - - + y y + 2z - - + z z + 2x - - Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a2 b2 c2 ( a + b + c) + + ³ ( *) y z x +y +z Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức x với x, y, z > 0, a,b,c Û Dấu " = '' xảy a b c = = x y z a2 b2 ( a + b) + ³ x y x +y , Chứng minh: Trước hết ta chứng minh ( ay Thật quy đồng hai vế lên ta bất đẳng thức tương đương " = " xảy Û ay = bx Û bx) ³ , Dấu a b = x y a2 b2 c2 ( a + b) c2 ( a + b + c) + + ³ + ³ y z x +y z x +y +z Áp dụng ta x ìï a b ïï = ï a b c Û ïí x y Û = = ïï a + b c x y z = ïï x + y z ï ỵ " = " Dấu xảy (đpcm) Bất đẳng thức thức (*) chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm x + 2y - £ x + 2y - ta có: + x + 2y - x x = + y + Þ x + 2y - - £ + y 2 x x + 2y - - ³ Suy y Tương tự y + 2z - - x x +y ³ = 2x 2x2 = x + 2y x + 2xy 2y2 z 2z2 ; ³ y2 + 2yz z + 2x - - z2 + 2zx Cộng vế với vế tương ứng bất đẳng thức ta T ³ 2x2 2y2 2z2 + + x2 + 2xy y2 + 2yz z2 + 2zx Lại áp dụng bất đẳng thức (*) ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ổ ữ ỗ x + y + z) ( ữ 2x2 2y2 2z2 ỗ ữ ỗ + + =2 ữ ỗ 2 2 2 ữ ỗ ữ x + 2xy y + 2yz z + 2zx x + xy + y + yz + z + zx ỗ ữ è ø Do T ³ ìï x + 2y - = ïï ïï y + 2z - = ï 10 Û ïí z + 2x - = Û x =y=z = ïï ïï x y z = = ïï x + xy y + yz z + 2zx ï ỵ Dấu " = '' xảy (tmđk) Vậy Min T = Liên hệ tài 039.373.2038 x =y =z = liệu word 10 mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... biểu thức: T = x x + 2y - - + y y + 2z - - + z z + 2x - - LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY NĂM HỌC 2017 – 2 018 Câu 1: (2,0 điểm) x +3 A= x - Cho hai biểu thức: B= x +1 + x +2 x- 1- x... dụng hệ thức viet: ïỵ S = x12 + x22 + 4x1 x2 + 2 018 = (x1 + x2)2 + 2x1x2 + 2 018 S = ( 2m - 4) + 2( 4m - 13) + 2 018 S = 4m2 - 16m + 16 + 8m - 26 + 2 018 S = 4m2 - 8m + 2008 S = (2m - 2)2 + 2004 ³... 10t + 0,9v - = vt ïï - 10t + 0,9v = ỵ ỵ ïìï t = 3,6 í ïï v = 50 ỵ Vậy qng đường AB là: 50.3,6 = 180 (km) Câu 3: (2,0 điểm) ìï 1- x - y 22 ïï = ïï x + x +y 15 í ïï 5+ x + y + =3 ïï x +y x + ï