Đề Thi Thử Học Sinh Giỏi Lớp 9 Toán 2013 - Phần 2- Đề 15 pot

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 1 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi :18/02/2012 Câu 1: (2,0 điểm) Cho a – b = 3.Tính giá trị của biểu thức: A= a 2 (a+1) – b 2 (b – 1) +ab – 3ab(a – b +1). Câu 2: (2,0 điểm) Rút gọn : B = 1007 2013 1007 2013 2 2    Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n 3 – 6n 2 – 13n + 18 chia hết cho 6 . ( n  Z ) Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (4m - m 2 -5)x - 2012 .So sánh f(1- 2011 ) và f(1- 2013 ). Câu 5: (1,5điểm) Cho ABC có trung tuyến AM .Chứng minh : 2 2 2 2 BC AB AC 2AM 2    Câu 6 : (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 và a – 76 là các số chính phương. Câu 7: (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi x,y ta có : 4 4 3 3 x y xy x y    Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =   2 2 3 2 2 3 6 x x     Câu 9: (1,5điểm) Cho ABC có µ A nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) .Chứng minh rằng: BC 2R.sin A  Câu 10:(1,5điểm) Tìm các số nguyên tố x,y thoả mãn : x 2 – 2y 2 = 1 Câu 11:(1,5điểm) Cho ABC, ®êng th¼ng d c¾t AB , AC vµ trung tuyÕn AM theo thø tù tại E ,F,N (E  A,B và F  A,C ).Chøng minh : AB AC 2AM AE AF AN   . Câu12:(1,5điểm) Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng a ở ngoài đường tròn. Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến a và M là một điểm chuyển động trên a. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi D là giao điểm của AB với OH. Chứng minh rằng D là điểm cố định . . . . . . . . HẾT . . . . . . . -Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. - Giám thị không được giải thích gì thêm. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn : TOÁN Ngày thi :18/02/2012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC VÀ THANG ĐIỂM Câu 1(2,0 điểm) Biết a – b = 3. Tính giá trị của biểu thức: A= a 2 (a+1) – b 2 (b – 1) +ab – 3ab(a–b+1). A = a 3 + a 2 –b 3 +b 2 +ab–3a 2 b +3ab 2 –3ab 0,5đ = (a 3 –3a 2 b +3ab 2 – b 3 ) + (a 2 –2ab +b 2 ) 0,5đ = (a–b) 3 +(a–b) 2 0,5đ = 3 3 +3 2 =36 0,5đ Câu 2(2,0 điểm) B = 2014 2 2013 2014 2 2013 4 4    0,5đ = 2 2 ( 2013 1) ( 2013 1) 4 4    0,5đ = 2013 1 2013 1 2 2    0,5đ = -1 0,5đ Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n 3 – 6n 2 – 13n + 18 chia hết cho 6 . ( n  Z ) A = n 3 – 6n 2 – 12n + 18 A = n 3 – n – 6n 2 –12 n + 18 0,5đ A = n(n – 1)(n+1) – 6n 2 – 12n + 18 0,5đ Do n(n – 1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n+1) 6 0,5đ Mặt khác – 6n 2 – 12n + 18 6 nên A 6 0,5đ Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x )= (4m-m 2 -5)x- 2012 .So sánh f(1- 2011 )và f(1- 2013 ). Biến đổi (4m - m 2 - 5) =   2 m 2 1        0,5đ    2 m 2 1 0          hàm số y = f(x ) nghịch biến 0,5đ Lập luận 1 2011 1 2013    0,5đ  f(1 2011) f(1 2013)    0,5đ Câu 5 : (1,5điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM .Chứng minh : 2 2 2 2 BC AB AC 2AM 2    Vẽ AH  BC ,H  BC c/m được AB 2 +AC 2 = 2AH 2 + BH 2 + CH 2 (1) 0,5đ c/m được AH 2 = AM 2 - HM 2 BH 2 = BM 2 -2BM. HM+HM 2 CH 2 = HM 2 -2HM. CM+CM 2 (2) 0,5đ Từ (1),(2)  2 2 2 2 BC AB AC 2AM 2    0,5đ Câu 6: (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 và a – 76 là các số chính phương. Vì a + 13 và a – 76 là các số chính phương Đặt a + 13 = 2 m , a – 76 = 2 n với m, n  N. 0,25đ  m 2 – n 2 = 89  (m – n)(m + n) = 89 0,25đ Vì 89 là số nguyên tố và m – n < m + n nên m n 1 m n 89         m 45 n 44      0,75đ a +13 = 45 2  a = 2012 0,25đ H M A B C Câu 7 : (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi x,y ta có : 4 4 3 3 x y xy x y    (1) (1)  4 4 3 3 x y xy x y     x(x 3 - y 3 ) – y(x 3 - y 3 )  0 0,5đ  (x-y) 2 (x 2 + xy + y 2 )  0 0,25đ  (x-y) 2 2 2 y 3y x 0 2 4                  (2) 0,25đ Dấu “ =” xày ra khi x = y 0,25đ Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =   2 2 3 2 2 3 6 x x     C= 2 2 3 2 2 3 6     x x 0,25đ Đặt t = |2x- 3|  0  C = t 2 – 2t + 6 0,5đ C = (t –1) 2 + 5  5 0,25đ  giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 5 khi t = 1  x = 2 hoặc x = 1 0,5đ Câu 9: (1,5điểm) Cho tam giác ABC có µ A nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) .Chứng minh rằng: BC 2R sinA  Vẽ đường kính BD  BCD vuông tại C 0,5đ  BC = BD.sinD (1) 0,25đ Ta có µ µ A D  , BD = 2R (2) 0,5đ Từ (1) và (2)  BC = 2R.sinA 0,25đ Câu 10: (1,5điểm) Tìm các số nguyên tố x,y thoả mãn : x 2 – 2y 2 = 1 x 2 – 2y 2 = 1  (x-1)(x+1) = 2y 2 0,5đ Vì y nguyên tố và x+1 > x-1 nên chỉ xảy ra các trường hợp: 0,25đ B O A C D 1 2 3 1) 1 2              x y x x y y 2) 2 2 2 1 2 3 1 1 2 x x y y x                (loại) 0,25đ 3) 2 3 1 2 1 2 x x y y x              0,25đ Vậy (x;y) = (3;2) 0,25đ Câu 11: Cho ABC, ®êng th¼ng d c¾t AB vµ AC vµ trung tuyÕn AM theo thø tù lµ E , F , N . (E  A,B và F  A,C )Chøng minh : AB AC 2AM AE AF AN   KÎ BI,CS / /EF (I,S tia AM)  0,25đ Ta cã: AB AI AC AS , AE AN AF AN   0,25đ AB AC AI AS ( ) AE AF AN AN      0,25đ c/m BIM CSM    (cgc) IM MS   0,25đ AI AS AI AI IM MS 2AM       0,25đ Thay vµo (*) ta ®îc (®pcm) 0,25đ Câu 12: Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng a ở ngoài đường tròn. Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến a và M là một điểm chuyển động trên a. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) ( A,B là hai tiếp điểm). Gọi D là giao điểm của AB và OH. Chứng minh rằng D là điểm cố định Gọi C là giao điểm của AB và OM Chứng minh được OC.OM = OD.OH 0,5đ Lập luận OC.OM = OA 2 = R 2 0,25đ  OD.OH = R 2 0,5đ 0,25đ d F N E I S M B A C Chứng minh được : 2 R OD OH  không đổi 0,25đ D thuộc đoạn thẳng cố định OH nên D cố định 0,25đ . . . . . . . HẾT . . . . . . . . ĐỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 1 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 201 1-2 012 Môn : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không. ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 201 1-2 012 Môn : TOÁN Ngày thi :18/02/2012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC VÀ THANG ĐIỂM