SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINHGIỎI CẤP TỈNH LỚP9
THCS
BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC : 2011 – 2012
Đề chính thức Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể thời gian phát
đề )
Ngày thi : 18 / 03 / 2012
Bài 1: ( 4,0 điểm )
a) Rút gọn biểu thức sau: A =
8 15 8 15
2 2
b) Giải phương trình :
3
2
2
16 0
16
x
x
x
Bài 2: ( 4, 0 điểm)
a) Chứng minh rằng n
3
– n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ.
b) Cho a, b, c là các số thực dương thõa điều kiện :
a
2
+ b
2
+ c
2
= (a –b)
2
+ (b- c)
2
+ ( c – a)
2
Chứng minh rằng nếu c
a và c
b thì c
a + b
Bài 3: ( 3, 0 điểm )
Cho phương trình x
2
+(m – 1)x – 6 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
và x
2
sao cho biểu thức A = (x
1
2
– 9)(x
2
2
– 4) đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4: (6, 0 điểm)
1) Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 20
0
; AB = AC = b và BC = a .
Chứng minh rằng : a
3
+ b
3
= 3ab
2
.
2) Cho hai điểm A, B thuộc đường tròn (O) (AB không đi qua O) và có hai điểm C, D di
động trên cung lớn AB sao cho AD song song BC ( C, D khác A, B và AD > BC ). Gọi M là
giao điểm của BD và AC . Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại điểm I.
a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng.
b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi.
Bài 5: ( 3,0 điểm )
Cho x, y là các số thực dương thõa mãn xy = 1 .
Chứng minh rằng : (x + y + 1)(x
2
+ y
2
) +
4
x y
8
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Bài 1: ( 4,0 điểm )
a) A =
8 15 8 15
2 2
* Cách 1: A
2
=
2
8 15 8 15
2 2
=
8 15
2
+
8 15
2
+ 2
8 15 8 15
.
2 2
= 8 + 2
49
4
= 8 + 7 = 15
Vì A > 0 nên A =
15
* Cách 2: A =
8 15 8 15
2 2
=
16 2 15 16 2 15
4 4
=
2 2
( 15 1) ( 15 1)
4 4
=
15 1 15 1
2 2
=
15
b)
3
2
2
16 0
16
x
x
x
. ĐK : 16 – x
2
> 0
- 4 < x < 4
Đặt y =
2
16
x
> 0
x
2
– 16 = - y
2
. Ta có :
3
x
y
- y
2
= 0
x
3
– y
3
= 0
(x – y)(x
2
– xy + y
2
) = 0
x – y = 0 ( vì x
2
– xy + y
2
> 0
)
x = y .
2
16
x
= x . Với x > 0 thì
2
16
x
= x
16 – x
2
= x
2
2x
2
= 16
/x/ =
8
x =
8
Kết hơp các điều kiện x > 0 và - 4 < x < 4 , ta có x =
8
thõa mãn .
Phương trình có một nghiệm x =
8
.
Bài 2: ( 4, 0 điểm)
a) n
3
– n = n(n
2
– 1) = n(n – 1)(n + 1).
Với n lẻ thì n – 1 và n + 1 là hai số chẵn liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 , số còn lại chia
hết cho 4. Do đó tích (n – 1)(n + 1) chia hết cho 8.
Mặt khác, tích n(n – 1)(n + 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3.
Mà (3; 8) = 1 nên n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 3.8 = 24.
Vậy : n
3
– n chia hết cho 24 với n lẻ.
b) Từ điều kiện : a
2
+ b
2
+ c
2
= (a –b)
2
+ (b- c)
2
+ ( c – a)
2
Suy ra : a
2
+ b
2
+ c
2
= 2(a
2
+ b
2
+ c
2
) – 2(ab + bc + ca)
a
2
+ b
2
+ c
2
= 2(ab + bc + ca)
* Cách 1 : Nếu c
a và c
b thì a
2
+ b
2
+ c
2
= 2ab + 2bc + 2ca
2ab + 2b
2
+ 2a
2
c
2
( a + b)
2
c
a + b ( vì a, b, c > 0 )
* Cách 2 : Từ a
2
+ b
2
+ c
2
= 2ab + 2bc + 2ca
a
2
+ b
2
+ c
2
- 2ab - 2bc - 2ca = 0
( a – b + c )
2
= 4ca . Nếu c
a thì ( a – b + c )
2
= 4ca
4a
2
( a – b + c )
2
- 4a
2
0
(a – b + c – 2a )(a – b + c + 2a )
0
( c – a – b )(3a – b + c)
0
Vì a > 0 và nếu c
b thì 3a – b + c > 0 .
c – a – b
0
c
a + b .
Bài 3: ( 3, 0 điểm )
Phương trình x
2
+(m – 1)x – 6 = 0 có
= ( m – 1)
2
+ 24 > 0 với mọi m nên luôn có hai
nghiệm phân biệt x
1
và x
2
.
Áp dụng định lý Vi-et : x
1
+ x
2
= 1 – m ; x
1
.x
2
= - 6
A = (x
1
2
– 9)(x
2
2
– 4) = (x
1
.x
2
)
2
– 4x
1
2
– 9x
2
2
+ 36 = 72 - 4x
1
2
– 9x
2
2
= – (4x
1
2
+ 9x
2
2
+ 12
x
1
.x
2
)
= – ( 2x
1
+ 3x
2
)
2
0
A = 0
1 2
1 2
1 2
2 3 0 1
. 6 2
1 3
x x
x x
x x m
.
Từ (2)
x
1
=
2
6
x
, thay vào (1) có :
2
12
x
+ 3x
2
= 0
x
2
=
2
- Với x
2
= 2
x
1
= - 3 . Thay vào (3) có : 1 – m = - 1
m = 2
- Với x
2
= - 2
x
1
= 3 . Thay vào (3) có : 1 – m = 1
m = 0
- Vậy : m
{ 0 ; 2 }
Bài 4: (6, 0 điểm)
1) Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 20
0
; AB = AC = b và BC = a .
Chứng minh rằng : a
3
+ b
3
= 3ab
2
.
B C
A
D
E
ABC cân tại A có góc BAC = 20
0
nên ABC = ACB = 80
0
Trên cạnh AC lấy D sao cho ABD = 60
0
, khi đó DBC = 20
0
nên BDC =
80
0
BDC cân tại B
BD = BC = a .
BDC
ABC ( g – g)
DC BC
BC AC
DC =
2
a
b
AD = b -
2
a
b
BDE vuông có EBD = 60
0
nên BE =
1
2
BD =
1
2
a và DE = BD
3
2
=
a.
3
2
;
AE = b -
1
2
a.
Áp dung định lý Pi-ta-go trong tg vuông ADE có :
AD
2
= AE
2
+ DE
2
(b -
2
a
b
)
2
= (b -
1
2
a)
2
+ (a.
3
2
)
2
b
2
- 2a
2
+
4
2
a
b
= b
2
- ab +
2
4
a
+
2
3
4
a
4
2
a
b
= 3a
2
–ab
a
4
= 3a
2
b
2
- ab
3
a
4
+ ab
3
= 3a
2
b
2
a
3
+ b
3
= 3ab
2
.
2) Cho hai điểm A, B thuộc đường tròn (O) (AB không đi qua O) và có hai điểm C, D di
động trên cung lớn AB sao cho AD song song BC ( C, D khác A, B và AD > BC ). Gọi M là
giao điểm của BD và AC . Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại điểm I.
a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng.
b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi.
E'
E
M
O
I
A
D
B
C
a) AD // BC
AB = CD
DAC = ADB
MA
= MD .
Lại có : OA = OD = R nên MO là đường trung trực của
AD (1)
Mặt khác : IA và ID là hai tiếp tuyến của (O) nên OI là
đường trung trực của AD (2)
Từ (1) và (2)
I, O, M thẳng hàng.
b) Tứ giác CMOD có : CMD = 2. MAD ( góc ngoài của tg
cân)
COD = 2. MAD ( góc ở tâm và
góc nội tiếp)
CMD = COD
Do đó tứ giác CMOD nội tiếp.
Tương tự tứ giác BMOA nội tiếp
Qua M vẽ đường thẳng d song song với AD cắt đường tròn
ngoại tiếp tứ giác BMOA tại E , cắt đường tròn ngoại tiếp
tứ giác CMOD tại E’.
Do A đối xứng D qua đường thẳng OM, C đối xứng B qua
OM nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMOD đối xứng với
đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMOA qua OM.
OM
ME nên OE là đường kính của đường tròn
(BMOA)
A, O, B cố định nên E cố định
OE không đổi
Đường tròn ngoại tiếp
MCD có bán kính không đổi.
Bài 5: ( 3,0 điểm )
Cho x, y là các số thực dương thõa mãn xy = 1 .
Chứng minh rằng : (x + y + 1)(x
2
+ y
2
) +
4
x y
8
Ta có : (x + y + 1)(x
2
+ y
2
) +
4
x y
= (x + y + 1)(x
2
+ y
2
) - ( x + y) + ( x + y ) +
4
x y
= ( x + y )( x
2
+ y
2
) + (x
2
+ y
2
) - ( x + y) + ( x + y ) +
4
x y
= ( x + y ) (x
2
+ y
2
– 1) + (x
2
+ y
2
) + ( x + y ) +
4
x y
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương :
x + y
2
xy
= 2 ( do xy = 1 ) . Dấu “ = “ xảy ra
x = y = 1
x
2
+ y
2
2xy = 2 . Dấu “ = “ xảy ra
x = y = 1
( x + y ) +
4
x y
4 . Dấu “ = “ xảy ra
(x + y)
2
= 4
x = y = 1.
Do đó : (x + y + 1)(x
2
+ y
2
) +
4
x y
2.(2 – 1) + 2 + 4 = 8
Dấu “ = “ xảy ra
x = y = 1
. GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
THCS
BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC : 2011 – 2 012
Đề chính thức Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài. định lý Vi-et : x
1
+ x
2
= 1 – m ; x
1
.x
2
= - 6
A = (x
1
2
– 9) (x
2
2
– 4) = (x
1
.x
2
)
2
– 4x
1
2
– 9x
2
2
+ 36 = 72 - 4x
1
2
– 9x
2
2
=