SKKN Sử dụng đại số tổ hợp, đạo hàm, tích phân và số phức trong việc rèn luyện kĩ năng giải một số bài toán về biểu thức tổ hợp 1 Mục lục Trang 1 MỞ ĐẦU 2 1 1 Lí do chọn đề tài 2 1 2 Mục đích của sáng[.]
Mục lục Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài .2 1.2 Mục đích sáng kiến kinh nghiệm…………… .3 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………… .3 1.5 Những điểm SKKN .3 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM…… … .4 2.1 Một số vấn đề lí thuyết 2.2 Kiến thức bổ sung .4 2.3 Các ví dụ minh họa 2.4 Kiểm nghiệm đề tài 17 KẾTLUẬN, KIẾN NGHỊ 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO .18 SangKienKinhNghiem.net MỞ ĐẦU Thế kỷ XXI mở nhiều thách thức vận hội đất nước Đại hội Đảng lần thứ VIII định đẩy mạnh CNH, HĐH đất nước nhằm mục tiêu: Dân giàu nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh; đất nước vững bước lên chủ nghĩa xã hội; “Giáo dục phải thực trở thành quốc sách hàng đầu…” Cải tiến chất lượng dạy học để hoàn thành tốt việc đào tạo bồi dưỡng nguồn lực người cho CNH, HĐH đất nước Để đáp ứng nhu cầu đó, địi hỏi dạy học trường phổ thông phải thay đổi lối dạy học truyền thụ chiều sang dạy học theo “Phương pháp dạy học tích cực”, nhằm giúp HS phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo, rèn luyện thói quen khả tự học, tinh thần hợp tác, kỹ vận dụng kiến thức vào tình khác học tập thực tiễn; tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú học tập, làm cho học q trình kiến tạo,học sinh tìm tịi, khám phá, phát hiện, luyện tập, khai thác xử lý thông tin, tự hình thành hiểu biết, lực phẩm chất Do SKG đời để đáp ứng u cầu với chương trình xây dựng phát triển theo quan điểm: - Kế thừa phát huy truyền thống dạy học mơn tốn Việt Nam, tiếp cận với trình độ giáo dục tốn học phổ thơng nước phát triển khu vực giới - Lựa chọn kiến thức tốn học bản, cập nhật thiết thực, có hệ thống, theo hướng tinh giản, phù hợp với trình độ nhận thức học sinh, thể tính liên mơn tích hợp nội dung giáo dục, thể vai trị cơng cụ mơn tốn - Tăng cường thực hành vận dụng, thực dạy học toán, gắn liền với thực tiễn - Tạo điều kiện đẩy mạnh vận dụng phương pháp dạy học theo hướng tích cực, chủ động, sáng tạo Rèn luyện cho học sinh khả tự học, phát triển lực trí tuệ chung Do nhu cầu người học phát triển mạnh mẽ giáo dục nước nhà, địi hỏi giáo viên phải khơng ngừng nỗ lực tự học, tự nghiên cứu để nâng cao trình độ chuyên môn Nghiên cứu khoa học nhiệm vụ khơng thể thiếu giáo viên q trình giảng dạy Từ trình giảng dạy giáo viên đúc kết kinh nghiệm cho riêng mình, từ đề xuất phương pháp cải tiến để việc dạy – học thực có hiệu quả, đáp ứng phát triển vượt bậc đất nước công đổi nói chung nghiệp giáo dục nói riêng 1.1 Lý chọn đề tài Kiến thức Đại số - Tổ hợp trước theo chương trình SGK chỉnh lí hợp năm 2000 tác giả viết sách đặt chương cuối Giải tích 12 Tuy nhiên, theo SGK Bộ GD ban hành từ năm học 2006 chương Đại số - Tổ hợp Xác suất đặt vào nửa cuối học kì I lớp SangKienKinhNghiem.net 11 Chính liên kết dạng tốn biểu thức tổ hợp chương Đại số - Tổ hợp Xác suất với chương Đạo hàm, chương Nguyên hàm – Tích phân số phức mà thân dùng kiến thức chương khơng giải tốn sử dụng kiến thức phần khác đưa kết tốn mà lời giải có vẻ đẹp khác Trong Sáng kiến kinh nghiệm tơi tập trung giải số dạng tốn liên quan đến biểu thức tổ hợp mà ta sử dụng linh hoạt kiến thức đại số Tổ hợp, Đạo hàm – Tích phân, Số phức giải chúng, nhiên tìm hiểu sâu vận dụng số cơng thức tổ hợp giải triệt để toán này, bên cạnh tơi tìm tịi đưa tốn đặc thù mà nhìn, mặt hình thức thường liên tưởng đến việc vận dụng Đạo hàm, Tích phân để giải chúng Tuy nhiên việc vận dụng kiến thức Đạo hàm Nguyên hàm- Tích phân khơng dễ để tìm lời giải từ công thức tổ hợp nhị thức Niu-tơn giải khơng có phối hợp kiến thức số phức Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy, xây dựng đề tài: “Sử dụng Đại số tổ hợp, Đạo hàm, Tích phân Số phức việc rèn luyện kĩ giải số toán biểu thức tổ hợp” 1.2 Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Đề tài tơi trình bày nhằm mục đích: - Cung cấp thêm lời giải cho lớp tốn, góp phần nâng cao khả tư lôgic cho học sinh - Phục vụ cho việc nghiên cứu khoa học sư phạm giáo viên mơn Tốn - Phục vụ cho kì thi: THPT Quốc gia 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu cách vận dụng kiến thức phổ thơng để hình thành số tập vận dụng cao tốn tính biểu thức tổ hợp Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình Giải tích lớp 11,12 1.4 Phương pháp nghiên cứu Thông qua tập cụ thể với cách tiếp cận khái niệm, cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh vận dụng kĩ có Các khái niệm ví dụ minh họa đề tài lọc từ đề thi đại học, đề thi thử đại học, sách nâng cao sáng tạo Trong tiết học lớp dạy để học sinh biết vận dụng linh hoạt kiến thức có liên quan 1.5 Những điểm SKKN Trong Sáng kiến kinh nghiệm tập trung giải số dạng toán liên quan đến biểu thức tổ hợp mà ta sử dụng linh hoạt kiến thức đại số Tổ hợp, Đạo hàm – Tích phân, Số phức giải chúng, nhiên tìm hiểu sâu vận dụng số công thức tổ hợp giải triệt để tốn này, bên cạnh tơi tìm tịi đưa SangKienKinhNghiem.net tốn đặc thù mà nhìn, mặt hình thức thường liên tưởng đến việc vận dụng Đạo hàm, Tích phân để giải chúng Tuy nhiên việc vận dụng kiến thức Đạo hàm Ngun hàm- Tích phân khơng dễ để tìm lời giải khơng thể từ cơng thức tổ hợp nhị thức Niu-tơn giải khơng có phối hợp kiến thức số phức NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Một số vấn đề lý thuyết Kiến thức *) Công thức nhị thức Niu-tơn Với a, b với n N*, ta có: n (a b) n Cn0 a n Cn1a n 1b Cnk a n k b k Cnnb n Cnk a n k b k k 0 (quy ước a b ) Chú ý: a/ Trong công thức nhị thức Niu-tơn, thay a = b = 1, ta được: 0 n (1 1) n Cn0 Cn1 Cnk Cnn Cnk 2n k 0 b/ Trong công thức nhị thức Niu-tơn, thay a = 1, b =-1, ta được: (1 1) n Cn0 Cn1 (1) k Cnk (1) n Cnn **) Tính chất số Cnk Cnk Cnn k ; Cnk Cnk 1 Cnk1 ***) Số phức : z = a+ bi, với a, b R, i 1 , cho z1 a1 b1i; z2 a2 b2i; với a1 ,a , b1 , b2 R a1 a2 z1 z2 b1 b2 2.2 Kiến thức bổ sung Định lí 1: Với k, n nguyên dương, k n, n ta có cơng thức: kCnk nCnk11 (1) Chứng minh Ta có: n! (n 1)!n kCnk k nCnk11 k !(n k )! (k 1)!((n 1) (k 1))! Chú ý: Công thức (1) viết dạng khác: SangKienKinhNghiem.net Cnk Cnk11 (2) n k Định lý 2: Với k,n ngun dương, k n, n ta có cơng thức: k (k 1)Cnk n(n 1)Cnk22 (3) Chứng minh n! (n 2)!(n 1)n Ta có: k (k 1)Cnk k (k 1) n(n 1)Cnk22 k !(n k )! (k 2)![(n-2) - (k-2)! Chú ý: Công thức (3) viết dạng khác: Cnk Cnk22 (4) n(n 1) k (k 1) Định lí 3: Với k, n nguyên dương, k n, n ta có cơng thức: k (k 1)(k 2)Cnk n(n 1)(n 2)Cnk33 (5) Chứng minh: Ta có: n! k (k 1)(k 2)Cnk k (k 1)(k 2) k !(n k )! n(n 1)(n 2)(n 3)! n(n 1)(n 2)Cnk33 (k 3)![(n - 3) - (k - 3)] ! Chú ý: Cơng thức (5) viết dạng khác: Cnk Cnk33 (6) n(n 1)(n 2) k (k 1)(k 2) Định lí 4: Với k, n số nguyên dương, ta có: Ckk Ckk1 Ckk Ckk n 1 Ckk n Ckkn11 (7) Chứng minh Áp dụng công thức: Cnk 1 Cnk Cnk11 ta có: Ckk1 Ckk11 Ckk21 Ckk Ckk21 Ckk31 Ckk3 Ckk31 Ckk41 ……………… ……………… Ckk n 1 Ckkn11 Ckkn1 Ckk n Ckkn1 Ckkn11 Cộng vế với vế n đẳng thức trên, ta có: Ckk Ckk1 Ckk Ckk n 1 Ckk n Ckkn11 SangKienKinhNghiem.net 2.3 Các ví dụ minh họa Bài Tính giá trị biểu thức 1 1 A 1!.2018! 2!.2017! 3!.2016! 1008!.1011! 1009!.1010! Giải k 2019 k Ta có C2019 với k=0,1,2, ,2019 ; C2019 2019 C k 0 k 2019 22019 1009 2019! k 2019! A C2019 k 1 k !.(2019 k )! k 1 k !.(2019 k )! k 1 1009 2019 A 1009 mà k C2019 k 1 1009 k C2019 k 1 2018 k 1010 k C2019 Do 1 2019 k 2019 k ( C2019 C2019 ) (22019 2) 22018 C C2019 2019 k 1 k 0 2018 22018 Vậy A 2019! Bài Tính giá trị biểu thức sau 2014 2016 A C2016 C2016 C2016 C2016 C2016 2015 B= C2016 C2016 C2016 10 2010 2014 C C2016 C2016 C2016 C2016 C2016 Giải 2016 - Ta có (1 i ) ((1 i ) )1008 (2i )1008 21008 (*) mà (1 i ) 2016 2016 k 2016 2016 12016k.i k C2016 i1 C2016 i C2016 i C2016 i C2016 i C2016 k 0 2016 2015 )i C2016 C2016 C2016 (C2016 C2016 C2016 (**) 2014 2016 C 2016 C 2016 C 2016 C 2016 C 2016 21008 Từ (*) (**) suy A=1 C 2016 2015 B= C2016 = C2016 C2016 2015 2016 (1 1) 2016 22016 C2016 C2016 C2016 C2016 C2016 C2016 2015 2016 C2016 C2016 C2016 C2016 C2016 - Ta có (1 1) 2016 C2016 2016 C2016 C2016 C2016 C2016 Từ biểu thức A (***) ta C 22016 22015 (***) 22015 21008 22014 21007 SangKienKinhNghiem.net Vậy A= 21008 ; B=0, C 22014 21007 Nhận xét :Việc tính biểu thức tổ hợp ta dùng trực tiếp công thức nhị thức Niu-tơn để kết mà ta phải kết hợp với công thức tổ hợp, số phức tìm kết tốn Bài Tìm số nguyên dương n cho C21n 1 2.2C22n 1 3.22 C23n 1 4.23 C24n 1 (2n 1)22 n C22nn11 2005 (Đề thi ĐH – CĐ khối A năm 2005) Giải Sử dụng công thức (2) thay n 2n + k = 1,2,…, 2n + ta có: C21n 1 (2n 1)C20n 2C22n 1 (2n 1)C21n 3C23n 1 (2n 1)C22n 2nC22nn1 (2n 1)C22nn 1 (2n 1)C22nn11 (2n 1)C22nn Cộng vế với vế đẳng thức ta có: VT (2n 1)(C20n 2C21n 22 C22n 23 C23n 2n C22nn ) (2n 1)(1 2) n 2n Vì vậy: 2n + = 2005 n = 1002 Chú ý: Nếu sử dụng đạo hàm ta giải toán sau: Xét hàm số: f ( x) (1 x) n 1 , liên tục R Sử dụng công thức khai triển Niu-tơn ta có: f ( x) (1 x) n 1 C20n 1 C21n 1 x C22n 1 x C23n 1 x C22nn11 x n 1 Đạo hàm hai vế ta có: f ( x) (2n 1)(1 x) n C21n 1 2C22n 1 x 3C23n 1 x (2n 1)C22nn11 x n f (2) 2n C21n 1 2.2C22n 1 3.22 C23n 1 4.23 C24n 1 (2n 1)22 n C22nn11 Từ đó, ta có: 2n + = 2005 n = 1002 Bài 4: Chứng minh rằng: 2.1Cn2 3.2.Cn3 4.3Cn4 (n 1)nCnn n(n 1)2n 2 với n nguyên dương, n Giải Vận dụng công thức (2) ta có: SangKienKinhNghiem.net 2.1Cn2 n(n 1)Cn02 3.2Cn3 n(n 1)Cn12 n(n 1)Cnn n(n 1)Cnn22 Cộng vế với vế n – đẳng thức trên, ta có: VT n(n 1)[C0n - Cn12 Cn22 Cnn22 ] = n (n - 1) 2n - Chú ý: Nếu sử dụng đạo hàm ta giải toán theo cách sau đây: Sử dụng khai triển (1 x) n thành đa thức ta có: (1 x) n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x Cnn x n Đạo hàm đến cấp hai hai vế, ta có: n(1 x) n 1 Cn1 2Cn2 x 3Cn3 x nCnn x n 1 n(n 1)(1 x) n 2 2Cn2 3.2Cn3 x 4.3.Cn4 x n(n 1)Cnn x n 2 Cho x = 1, ta có: n(n 1)2n 2 2.1Cn2 3.2Cn3 4.3Cn4 n(n 1)Cnn Bài 5: Tìm số n nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: 12 Cn1 22 Cn2 32 Cn3 n 2Cnn n(n 1).262144 Giải n Ta có: VT Cn 2Cn 3Cn nCn 2(2 1)Cn2 3(3 1)Cn3 n(n 1)Cnn Vận dụng cơng thức (2) ta có: Cn1 2Cn2 3Cn3 nCnn n(Cn01 Cn11 Cn21 Cnn11 ) n 2n 1 sử dụng kết 4, ta có: 2.1Cn2 3.2Cn3 4.3Cn4 n(n 1)Cnn n(n 1)2n 2 VT n.2n 1 n(n 1)2n 2 n.2n 2 (2 n 1) n(n 1)2n 2 Do 2n 2 262144 218 n 20 Chú ý: Nếu sử dụng đạo hàm ta giải toán theo cách sau đây: Xét hàm số: f ( x) (1 x) n , liên tục R Sử dụng khai triển Niu-tơn ta có: f ( x) (1 x) n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x Cnn x n Đạo hàm đến cấp hai hai vế, ta có: f ' ( x) n(1 x) n 1 Cn1 2Cn2 x 3Cn3 x nCnn x n 1 f '' ( x) n(n 1)(1 x) n 2 2.1Cn2 3.2Cn3 x 4.3Cn4 x n(n 1)Cnn x n 2 f ' (1) n 2n 1 Cn1 2Cn2 3Cn3 nCnn f '' (1) n(1 1)2n 2 2.1Cn2 3.23n n(n 1)Cnn Xét tổng: f ' (1) f '' (1) n(n 1)2n 2 12 Cn1 22 Cn2 32 Cn3 n 2Cnn Từ đó, suy 2n 2 218 n 20 SangKienKinhNghiem.net Bài 6: Cho hàm số: 2018 2018 f ( x) C2018 x(1 x) 2017 2C2018 x (1 x) 2016 2018C2018 x Tính f ( ) 1009 Giải Áp dụng công thức (2) ta được: C2018 2018C2017 2018C2017 2C2018 2018 2017 2018C2018 2018C2017 Do đó: 2017 2017 f ( x) 2018 x C2017 (1 x) 2017 C2017 x(1 x) 2016 C2017 x 2018 x(1 x x) 2017 2018 x Vì vậy: f 2018 2 1009 1009 Chú ý: Nếu sử dụng đạo hàm ta giải tốn theo cách sau đây: Xét hàm số: g (t ) ( xt x) 2018 , liên tục R Sử dụng khai triển Niu-tơn ta có: g (t ) ( xt x) 2018 2018 2018 2018 C2018 (1 x) 2018 C2018 xt (1 x) 2017 C2018 x 2t (1 x) 2016 C2018 x t Đạo hàm hai vế ta có: 2018 2018 2017 g ' (t ) 2018 x( xt x) 2017 C2018 x(1 x) 2017 2C2018 x 2t (1 x) 2016 2018C2018 x t 2018 2018 g ' (1) 2018 x C2018 x(1 x) 2017 2C2018 x (1 x) 2016 2018C2018 x Từ đó, ta có: f ( x) 2018 x f 2018 1009 1009 Bài : Chứng minh với n nguyên dương ta có đẳng thức: 1 2n 1 n Cn Cn Cn Cn n 1 n 1 Giải: Vận dụng công thức (2) ta có: SangKienKinhNghiem.net Cn0 Cn11 n 1 Cn1 Cn21 n 1 Cn2 Cn31 n 1 Cnn Cnn11 n 1 n 1 Cộng vế với vế n + đẳng thức ta được: 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 2n 1 C0 (Cn01 Cn11 Cn21 Cn31 Cnn11 ) n 1 n 1 n 1 n 1 Chú ý: Nếu dùng kiến thức Tích phân ta giải toán theo hướng sau: Xét hàm số: f ( x) (1 x) n Sử dụng khai triển Niu –tơn ta có: f ( x) Cn0 Cn1 x Cn1 x Cnn x n Từ đó, ta có được: (1 x) n dx (Cn0 Cn1 x Cn1 x Cn2 x Cnn x n )dx 1 1 Cnn x n 1 (1 x) n 1 Cn0 x Cn1 x Cn2 x n 1 n 1 n 1 1 1 Cnn Cn0 Cn1 Cn2 n 1 n 1 n 1 Bài 8: Chứng minh với n nguyên dương ta có: 1 (1) k k (1) n n Cn Cn Cn Cn Cn Cn k 1 n 1 n 1 Giải: Vận dụng công thức (2) ta có: Cn0 Cn11 n 1 Cn1 Cn21 n 1 10 SangKienKinhNghiem.net Cn2 Cn31 n 1 (1) k Cnk (1) k Cnk11 n 1 n 1 (1) n Cnn (1) n Cnn11 n 1 n 1 Cộng vế với vế n + đẳng thức ta có: 1 (1) k k (1) n n Cn Cn Cn Cn Cn Cn k 1 n 1 1 C0 (Cn01 Cn11 Cn11 (1) k 1 Cnk11 (1) n 1 Cnn11 ) n 1 n 1 n 1 n 1 Chú ý: Nếu sử dụng tích phân ta giải tốn theo cách sau Xét hàm số: f ( x) (1 x) n Sử dụng khai triển Niu-tơn ta có: f ( x) Cn0 Cn1 x Cn2 x (1) n Cnn x n Vì vậy, ta có: 1 0 n n n 2 (1 x) dx (Cn Cn x Cn x (1) Cn x)dx Từ ta có điều phải chứng minh Bài 9: Chứng minh với n số nguyên dương, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử, ta có đẳng thức: 1 n 1 22 n C2 n C2 n C2 n C2 n 2n 2n (Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2007) Giải: Sử dụng kết 7, thay n 2n, ta có: 11 SangKienKinhNghiem.net 1 22 n 1 2n C C2 n C2 n C2 n C2 n 2n 2n 1 1 1 C20n C21n C22n C23n C22nn 2n 2n Trừ vế với vế đẳng thức trên, ta có: n 1 1 1 2 C21n C23n C25n C22nn 1 2n 2 2n 1 1 n 1 22 n C2 n C2 n C2 n C2 n 2n 2n 2n Chú ý: Nếu dùng kiến thức tích phân để giải ta thực theo bước sau: - Trước hết tính phân tích phân dạng: (1 x) 2n dx (C20n C21n x C22n x C23n x C22nn 1 x n 1 C22nn x n )dx (1 x) 2n dx (C20n C21n x C22n x C23n x C22nn 1 x n 1 C22nn x n )dx; Trừ vế với vế đẳng thức này, ta có điều phải chứng minh 2 1 23 2n 1 n Cn Cn Cn n 1 (Đề thi ĐH – CĐ khối B năm 2003) Giải: Bài 10: Tính tổng: S Cn0 Ta có: 1 1 1 S Cn0 Cn1 Cn2 Cnn Cn0 Cn1 22 Cn2 23 Cnn 2n 1 n 1 n 1 2n 1 1 2 Cn Cn Cn Cnn 2n 1 n 1 n 1 Áp dụng (1) thay n n + 1, ta có: 1 Cn0 Cn 1 n 1 1 Cn Cn21 n 1 1 Cnn Cnn11 n 1 n 1 Từ ta có: 12 SangKienKinhNghiem.net 1 1 (Cn11 21 Cn21 22 Cnn11 2n 1 ) Cn0 21 Cn1 22 Cn2 23 Cnn 2n 1 n 1 n 1 1 3n 1 0 1 0 n 1 n 1 (Cn 1 Cn 1 Cn 1 ) Cn 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 S n 1 n 1 n 1 Chú ý: Nếu sử dụng tích phân ta giải toán theo cách sau đây: Xét hàm số: f ( x) (1 x) n (1 x) n dx (Cn0 Cn1 x Cn1 x Cnn x n )dx 2 1 1 Cnn x n 1 (1 x) n 1 Cn0 x Cn1 x Cn2 x n 1 n 1 1 Từ ta có điều phải chứng minh Bài 11: Chứng minh với n số nguyên dương, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử, ta có đẳng thức: 22 n 2n C2 n C2 n C2 n C2 n 2n 2n Giải: Sử dụng kết 7, thay n 2n, ta có đẳng thức: 1 n 1 22 n 1 2n C2 n C2 n C2 n C2 n C2 n C2 n 2n 2n 2n 1 1 1 C20n C21n C22n C23n C22nn 1 C22nn 2n 2n 2n Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta được: n 1 1 2 C20n C22n C24n C22nn 2n 2n 1 22 n 2n C C2 n C2 n C2 n 2n 2n Chú ý: Nếu dùng kiến thức tích phân để giải ta thực theo bước sau: - Trước hết tính tích phân dạng: 2n (1 x) 2n dx (C20n C21n x C22n x C23n x C22nn 1 x n 1 C22nn x n )dx ; 13 SangKienKinhNghiem.net (1 x) 2n dx (C20n C21n x C22n x C23n x C22nn 1 x n 1 C22nn x n )dx; Cộng vế với vế đẳng thức này, ta có điều phải chứng minh n Cnk n.2n 1 Bài 12: Chứng minh: (n 2)n k 0 k Giải: Từ công thức (4) ta có: 1 Cnk Cnk22 (k 1)(k 2) (n 1)(n 2) Cnk k 1 Cnk22 k (n 1)(n 2) Lần lượt thay k = 0, 1, 2,…, n ta có: Cnk n 1 Cn2 Cn3 Cnn22 (n 1)(n 2) (n 1)(n 2) (n 1)(n 2) k 0 k Cn2 2Cn3 3Cn4 (n 1)Cnn22 (n 1)(n 2) (Cn1 2Cn2 3Cn3 (n 2)Cnn22 ) (C0n Cn1 Cnn22 ) 1 (n 1)(n 2) n n 2n 1 n 1 n2 (n 2)2 1 (n 1)(n 2) (n 1)(n 2) Chú ý Nếu sử dụng tích phân, ta giải tốn sau: Xét tích phân x(1 x) n dx (Cn0 x Cn1 x Cn2 x Cnn x n 1 )dx Cn0 x Cn1 x Cn2 x Cnn x n ) ( n2 Cn0 Cn1 Cn2 Cn n n2 Mặt khác x(1 x) n x(1 x) dx n dx , đặt t=1+x, ta kết quả: n 2n 1 (n 1)(n 2) 14 SangKienKinhNghiem.net Từ ta suy điều phải chứng minh 1 1 Cn Cn Cn Cnn 1.2 2.3 3.4 (n 1).(n 2) Giải Cnk Cnk22 k k 2 Ta có: k (k 1)Cn n(n 1)Cn 2 n(n 1) k (k 1) Cn2 Cn 1.2 (n 1)(n 2) Bài 13 Tính S Cn3 1 Cn 2.3 (n 1)(n 2) Cn4 2 Thay k=2,3, ,n ta có Cn 3.4 (n 1)(n 2) Cnn22 Cnn (n 1).(n 2) (n 1)(n 2) Cộng vế với vế n+1 đẳng thức , ta có : 1 S (Cn2 Cn3 Cnn22 Cn1 Cn0 ) (Cn1 Cn0 ) (n 1)(n 2) (n 1)(n 2) n3 2n 2n n (n 1)(n 2) (n 1)(n 2) (n 1)(n 2) Chú ý : Nếu sử dụng kiến thức tích phân, ta giải tốn sau : (1 x) n dx ( x 1) n 1 D1 n 1 Cn x Cn2 x Cnn x n 1 n Mà (1 x) dx Cn x D2 n 1 Gọi f(x), g(x) hai nguyên hàm họ nguyên hàm hàm số (1 x) n 1 , f(x), g(x) sai khác số thay x=0 vào hai vế f(x), g(x), nên ta có C1 x C x3 C n x n 1 = Cn0 x n n + + n ( x 1) n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 2 1 Cn x Cn x Cnn x n 1 (1 x) dx (Cn x )dx n 1 n 1 n 1 1 (1 x) n C1 x3 C x Cnn x n x ( Cn0 x n n ) n n n n n ( 1)( 2) 2.1 3.2 4.3 ( 2)( 1) 0 15 SangKienKinhNghiem.net 2n 1 1 1 S Cn Cn Cnn (n 1)(n 2) n (n 1)(n 2) 1.2 2.3 (n 1).(n 2) 2n n (n 1)(n 2) Nhận xét: Các tập từ đến 13, nghiên cứu lời giải khác toán, cách giải dựa vào cơng thức thuộc Đại số tổ hợp Xác suất, cách giải khác dựa vào kiến thức Đạo hàm Nguyên hàm-Tích phân Những mà đưa sau mặt hình thức nghĩ đến cơng cụ Đạo hàm Tích phân Tuy nhiên, điều vơ khó khăn khơng thể làm Tuy nhiên số tập mà ta dùng công cụ công thức tổ hợp để giải S 2 Cn0 Cn1 Cnn Bài 14 Tính tổng sau S n Giải Cnk Cnk11 Theo công thức (2), ta có k 1,2, , n k 1 n 1 2 Cn21 Cnn11 C Do S n 1 (n 1) Mà 1 x n 1 1 x n 1 1 x n2 , cân hệ số x n + hai vế ta có C C C C n 1 n 1 2 n 1 n 1 n 1 C2nn12 C2nn12 Vậy S (n 1) C88 C98 C108 C2018 C2017 Bài 15 Chứng minh rằng: 7.8 8.9 9.10 2017.2018 7.8 Giải 1 1 1 1 1 VT C88 C98 C108 C2018 7 8 8 9 10 2017 2018 1 1 8 (C2010 ) C88 (C98 C88 ) (C108 C98 ) C2017 C2018 2017 2018 Ta có 1 1 C88 C87 C97 C2017 C2018 2017 2018 1 1 C2017 C2018 C77 C87 C97 2017 2018 16 SangKienKinhNghiem.net 1 1 VT C77 C76 C86 C96 C2016 C2017 7 7 1 ) C2017 Theo cơng thức (2), ta có : (C77 C76 C86 C96 C2016 7 Sử dụng Định lí 4, ta có VT C2017 C2017 C2017 VF 56 2.4 Kiểm nghiệm đề tài Sau đề tài thực hành lớp kiểm tra, đa số học sinh tiếp thu vận dụng tốt Trong tiết tự chọn thuộc phạm vi chủ đề thực hiện, mảng nhỏ phần ôn thi cho học sinh lớp 12 ơn thi kì thi THPT Quốc gia gây hứng thú cho học sinh tiếp thu đặc biệt củng cố lòng tin gặp phải “Dạng tốn tổ hợp nêu” Chí học sinh cịn có hai lựa chọn phương pháp giải gặp dạng toán này, linh hoạt kết hợp phần học với để tìm kết cho toán đồng thời nhắc em Đạo hàm, Tích phân khơng phải chìa khóa vạn cho dạng toán nêu KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Qua tập dạy vừa nêu ta thấy ưu điểm việc vận dụng linh hoạt, sáng tạo công thức học để tìm lời giải nhanh cho tốn Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm viết đề tài, đồng thời kết hợp với giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, nhiên q trình viết khó tránh khỏi khiếm khuyết mong đóng góp đồng nghiệp để đề tài có ý nghĩa thiết thực bổ ích nhà trường./ Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO CƠ QUAN Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép người khác Người viết cam đoan LÊ THỊ NA 17 SangKienKinhNghiem.net TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK lớp 11, 12 – NC Bài tập Giải tích 12 chuẩn NC Các phương pháp đặc sắc giải toán Đại số- Tổ hợp, tác giả : TS Huỳnh Công Thái Một số đề thi thử THPT Quốc gia mơn Tốn- năm 2017-2018 Phân dạng phương pháp giải toán Số phức, tác giả: Thạc sĩ- Nhà giáo ưu tú Lê Hồnh Phị 18 SangKienKinhNghiem.net ... ? ?Sử dụng Đại số tổ hợp, Đạo hàm, Tích phân Số phức việc rèn luyện kĩ giải số toán biểu thức tổ hợp” 1.2 Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Đề tài tơi trình bày nhằm mục đích: - Cung cấp thêm lời giải. .. vẻ đẹp khác Trong Sáng kiến kinh nghiệm tơi tập trung giải số dạng tốn liên quan đến biểu thức tổ hợp mà ta sử dụng linh hoạt kiến thức đại số Tổ hợp, Đạo hàm – Tích phân, Số phức giải chúng,... tưởng đến việc vận dụng Đạo hàm, Tích phân để giải chúng Tuy nhiên việc vận dụng kiến thức Đạo hàm Ngun hàm- Tích phân khơng dễ để tìm lời giải từ công thức tổ hợp nhị thức Niu-tơn giải khơng