Farkas-Type Results For Vector Systems And Applications

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG HẢI LONG CÁC KẾT QUẢ DẠNG FARKAS CHO CÁC HỆ HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Ngành: Tốn ứng dụng Mã số ngành: 62460112 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Tp Hồ Chí Minh năm 2022 Cơng trình hồn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Định Phản biện 1: PGS TS Nguyễn Ngọc Hải Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Đình Huy Phản biện 3: TS Nguyễn Hồng Quân Phản biện độc lập 1: GS TSKH Nguyễn Đông Yên Phản biện độc lập 2: PGS TS Tạ Quang Sơn Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Cơ sở đào tạo họp Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM, vào hồi 09 00, ngày 17 tháng 04 năm 2022 Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Tổng hợp Quốc gia Tp.HCM Thư viện trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM Thư viện Trung Tâm ĐHQG-HCM Giới thiệu Bổ đề Farkas cơng cụ tốn học đề xuất vào năm 1892 nhà vật lí học tốn học Gyulia Farkas Bổ đề trở nên tiếng sau Gale, Kuhn Tucker áp dụng để thiết lập kết đối ngẫu điều kiện tối ưu cho toán qui hoạch tuyến tính phi tuyến năm 1951 Từ đó, bổ đề Farkas khơng ngừng mở rộng ngày nhiều ứng dụng phát khơng tốn học mà cịn nhiều lĩnh vực khác kinh tế, tài chính, Gần nhất, vào năm 2015, Giáo sư Định cộng có kết đặt móng cho việc mở rộng bổ đề Farkas sang hệ hàm vectơ ứng dụng chúng vào tối ưu vectơ Trong luận án này, tiếp tục xây dựng thêm nhiều dạng mở rộng bổ đề Farkas cho hệ hàm vectơ ứng dụng chúng vào thiết lập điều kiện tối ưu kết đối ngẫu cho nhiều lớp toán tối ưu vectơ khác Các phương pháp nghiên cứu chủ yếu mà sử dụng để thực luận án là: phán đoán kết dựa tương tự hóa/ tổng quát hóa kết biết, khẳng định bác bỏ phán đoán chứng minh logic Các kết luận án: - Chúng thiết lập bổ đề Farkas vectơ dạng tường minh sử dụng chúng để xây dựng điều kiện tối ưu kết đối ngẫu mạnh cho toán tối ưu vectơ - Chúng đề xuất hai dạng bổ đề Farkas vectơ cho hệ liên quan đến hàm hợp đối ngẫu mạnh ổn định cho toán tối ưu vectơ hàm hợp trường hợp tổng quát trường hợp lồi - Chúng thiết lập bổ đề Farkas vectơ vững (robust) cho hệ “bất đẳng thức vectơ” có yếu tố khơng chắn (trong trường hợp tổng quát trường hợp lồi) Các kết sau sử dụng để xây dựng kết đối ngẫu mạnh cho toán tối ưu vững - Chúng đề xuất cách tiếp cận thống để thiết lập kết đối ngẫu mạnh cho tốn tối ưu vơ hạn vững (robust optimization infinite problem) với nhiều dạng toán đối ngẫu khác - Chúng đề xuất cách tiếp cận tính “n tĩnh” (calmness) hệ bất phương trình tuyến tính tham số hóa vế phải cách sử dụng bổ đề Farkas Chương Các công cụ Trong chương này, nhắc lại số khái niệm chứng minh vài kết công cụ dùng cho chương sau Cho X, Y, Z không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương, không gian đối ngẫu tương ứng X ∗ , Y ∗ , Z ∗ (với tô pô yếu*) Trong Y, Z ta xét nón lồi đóng khác rỗng K, S cho int K = ∅ 1.1 Các khái niệm Mục nhắc lại vài khái niệm giải tích như: phần trong, bao đóng, biên, bao lồi, bao affine, bao nón, tập không gian tôtô; miền hữu hiệu, đồ thị, hàm liên hợp hàm; thứ tự thứ tự yếu sinh nón; khơng gian ánh xạ tuyến tính liên tục hai khơng gian vectơ tơpơ; nón tốn tử dương, 1.2 Các bổ đề kỹ thuật Mục chứng minh số bổ đề kỹ thuật dùng để xây dựng kết luận án 1.3 Cận cận ứng với thứ tự yếu Định nghĩa 1.1 Cho ∅ = M ⊂ Y • (a) Phần tử v¯ ∈ Y • gọi cận yếu M với v ∈ M ta có v