Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 48 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
48
Dung lượng
708,5 KB
Nội dung
1
TOÁN RỜIRẠC
ỨNG DỤNGTRONGTIN HỌC
CÁC BÀITOÁNVỀĐƯỜNG ĐI
Chương 2. Cácbàitoánvềđường đi
2
Chu trình và đườngđi Euler
Bài toán
Có thể xuất phát tại một
điểm nào đó trong thành
phố, đi qua tất cả 7 cây
cầu, mỗi cây một lần, rồi
trở về điểm xuất phát
được không?
Leonhard Euler đã tìm ra
lời giải cho bàitoán vào
năm 1736
Chương 2. Cácbàitoánvềđường đi
3
Leonhard Euler
1707 - 1783
Leonhard Euler (15/04/1707 – 18/9/1783) là
một nhà toánhọc và nhà vật lý học Thụy Sĩ.
Ông (cùng với Archimedes và Newton) được
xem là một trong những nhà toánhọc lừng
lẫy nhất. Ông là người đầu tiên sử dụng từ
"hàm số" (được Gottfried Leibniz định nghĩa
trong năm 1694) để miêu tả một biểu thức có
chứa các đối số, như y = F(x). Ông cũng
được xem là người đầu tiên dùng vi tích
phân trong môn vật lý.
Chương 2. Cácbàitoánvềđường đi
4
Leonhard Euler
1707 - 1783
Ông sinh và lớn lên tại Basel, và được xem là thần
đồng toánhọc từ nhỏ. Ông làm giáo sư toánhọc tại
Sankt-Peterburg, sau đó tại Berlin, rồi trở lại Sankt-
Peterburg. Ông là nhà toánhọc viết nhiều nhất: tất
cả các tài liệu ông viết chứa đầy 75 tập. Ông là nhà
toán học quan trọng nhất trong thế kỷ 18 và đã suy
ra nhiều kết quả cho môn vi tích phân mới được
thành lập. Ông bị mù hoàn toàntrong 17 năm cuối
cuộc đời, nhưng khoảng thời gian đó là lúc ông cho
ra hơn nửa số bài ông viết.
Tên của ông đã được đặt cho một miệng núi lửa
trên Mặt Trăng và cho tiểu hành tinh 2002.
Chương 2. Cácbàitoánvềđường đi
5
Chu trình và đườngđi Euler
Bài toán
Mô hình hóa bài toán
Xây dựng đồ thị G
Đỉnh: Các vùng đất trong
sơ đồ
Cạnh: các cây cầu nối
giữa hai vùng đất
Yêu cầu
Tồn tại hay không một
chu trình đơn trong đa
đồ thị G = (V, E) có chứa
tất cả các cạnh của đồ
thị?
Chương 2. Cácbàitoánvềđường đi
6
Chu trình và đườngđi Euler
Định nghĩa
Cho G=(V,E) là một đa đồ thị
vô hướng
Chu trình Euler
Chu trình đơn chứa tất cả
các cạnh của đồ thị G.
Đồ thị Euler
Đồ thị có chứa một chu
trình Euler
Đường đi Euler
Đường đi đơn chứa tất cả
các cạnh của đồ thị G
Chương 2. Cácbàitoánvềđường đi
7
Chu trình và đườngđi Euler
Định nghĩa
Ví dụ: Chỉ ra đườngđi và chu trình (nếu có) trongcác đồ
thị sau đây?
Chương 2. Cácbàitoánvềđường đi
8
Chu trình và đườngđi Euler
Trong đồ thị vô hướng
Định lý về chu trình Euler
Một đa đồ thị liên thông G=(V, E) có chu trình Euler
khi và chỉ khi mỗi đỉnh của nó đều có bậc chẵn
Chứng minh
Chương 2. Cácbàitoánvềđường đi
9
Chu trình và đườngđi Euler
Trong đồ thị vô hướng
Thuật toán Fleury
Qui tắc 1:
Xóa cạnh vừa đi qua
Xóa đỉnh cô lập (nếu có)
Qui tắc 2
Tại mỗi đỉnh, ta chỉ đi theo một cạnh là cầu nếu không có
sự lựa chọn nào khác
Chương 2. Cácbàitoánvềđường đi
10
Chu trình và đườngđi Euler
Trong đồ thị vô hướng
Thuật toán Fleury
Ví dụ
[...]... Cácbàitoánvềđườngđi 16 Chu trình và đườngđi Euler Trong đồ thị có hướng Định lý vềđườngđi Euler Ví dụ Chương 2 Cácbàitoánvềđườngđi 17 Chu trình và đườngđi Euler Bài tập 1 2 Chứng minh rằng ta có thể sắp xếp tất cả các con cờ của bộ cờ Đôminô thành một vòng khép kín Sử dụng thuật toán Fleury, tìm chu trình Euler cho đồ thị sau Chương 2 Cácbàitoánvềđườngđi 18 Chu trình và đường. .. đườngđi Euler Trong đồ thị vô hướng Định lý vềđườngđi Euler Đa đồ thị liên thông G có đườngđi Euler, không có chu trình Euler khi và chỉ khi G có đúng 2 đỉnh bậc lẻ Chứng minh Chương 2 Cácbàitoánvềđườngđi 11 Chu trình và đườngđi Euler Trong đồ thị vô hướng Định lý vềđườngđi Euler Ví dụ: Đồ thị nào có đườngđi Euler? Chương 2 Cácbàitoánvềđườngđi 12 Chu trình và đường đi. .. Chương 2 Cácbàitoánvềđườngđi 32 Bàitoánđườngđi ngắn nhất Mở đầu Mô hình hóa bàitoánvề đồ thị có trọng số Đồ thị có hướng G = (V,E) với hàm trọng số W: E → R (gán các giá trị thực cho các cạnh) Trọng số của đườngđi p = v1 → v2 → … → vk là k −1 w( p ) = ∑ w(vi , vi +1 ) i =1 Đườngđi ngắn nhất là đườngđi có trọng số nhỏ nhất Chương 2 Cácbàitoánvềđườngđi 33 Bàitoánđườngđi ngắn... trình & đườngđi Hamilton Đườngđi Hamilton Định nghĩa Đườngđi sơ cấp đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị G, mỗi đỉnh đúng một lần Ví dụ Chương 2 Cácbàitoánvềđườngđi 29 Chu trình & đườngđi Hamilton Đườngđi Hamilton Định lý König Mọi đồ thị có hướng đầy đủ (đồ thị vô hướng tương ứng là đầy đủ) đều có đườngđi Hamilton Chương 2 Cácbàitoánvềđườngđi 30 Chu trình & đườngđi Hamilton... Cho G = (V, E) là một đơn đồ thị |{v∈V: deg(v) ≤ k}| ≤ k-1 ∀ k ∈ [1, (n-1)/2) |{v∈V: deg(v) ≤ (n-1)/2}| ≤ (n-1)/2, nếu n lẻ Khi đó G có chu trình Hamilton Chứng minh Chương 2 Cácbàitoánvềđườngđi 23 Chu trình & đườngđi Hamilton Chu trình Hamilton Đi u kiện đủ Ví dụ Chương 2 Cácbàitoánvềđườngđi 24 Chu trình & đườngđi Hamilton Chu trình Hamilton Phương pháp tìm chu trình... Euler Trong đồ thị có hướng Định lý vềđườngđi Euler G = (V, E) là một đa đồ thị có hướng G có đườngđi Euler nhưng không có chu trình Euler khi và chỉ khi G liên thông yếu ∃! s∈V : deg+(s) = deg-(s) + 1 ∃! t∈V : deg+(t) = deg-(t) - 1 deg+(v) = deg-(v) ∀v∈V \ {s, t} Chương 2 Cácbàitoánvềđườngđi 15 Chu trình và đườngđi Euler Trong đồ thị có hướng Định lý vềđườngđi Euler... Euler Trong đồ thị có hướng Định lý về chu trình Euler Một đa đồ thị liên thông G=(V, E) có chu trình Euler khi và chỉ khi G liên thông yếu deg+(v) = deg-(v) ∀v∈V Chứng minh Chương 2 Cácbàitoánvềđườngđi 13 Chu trình và đườngđi Euler Trong đồ thị có hướng Định lý về chu trình Euler Ví dụ: Đồ thị nào có chu trình Euler? Chương 2 Cácbàitoánvềđườngđi 14 Chu trình và đườngđi Euler... Cácbàitoánvềđườngđi 30 Chu trình & đườngđi Hamilton Một số bàitoán Mã đi tuần Tìm hành trình của quân mã từ ô xuất phát, đi qua tất cả các ô, mỗi ô đúng một lần Chương 2 Cácbàitoánvềđườngđi 31 Bàitoánđườngđi ngắn nhất Mở đầu Nhiều bàitoán không chỉ quan tâm tồn tại hay không đườngđi giữa 2 đỉnh Lựa chọn đườngđi với chi phí ít nhất Khoaíng caïch (dàûm) 2534 San Francisco... Cácbàitoánvềđườngđi 34 Bàitoánđườngđi ngắn nhất Thuật toán Dijkstra Ý tưởng Tìm độ dài đườngđi đến đỉnh gần a nhất, rồi đến đỉnh gần kế tiếp, Sử dụng một tập hợp S chứa các đỉnh đã xét xong Những đỉnh thuộc S là những đỉnh mà độ dài từ a đến nó đã được xác định Ở mỗi bước, chọn đỉnh u ”gần” nhất, thêm vào tập S và cập nhật độ dài đườngđi qua các cạnh đi ra từ u Chương 2 Các bài. .. Khi đó G có chu trình Hamilton Chứng minh Chương 2 Cácbàitoánvềđườngđi 21 Chu trình & đườngđi Hamilton Chu trình Hamilton Đi u kiện đủ Hệ quả (Định lý Dirac-1952) Cho G = (V, E) là một đơn đồ thị |V| ≥ 3 deg(v) > n/2, ∀v∈V Khi đó G có chu trình Hamilton Chương 2 Cácbàitoánvềđườngđi 22 Chu trình & đườngđi Hamilton Chu trình Hamilton Đi u kiện đủ Định lý Pósa Cho G = . 1
TOÁN RỜI RẠC
ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG ĐI
Chương 2. Các bài toán về đường đi
2
Chu trình và đường đi Euler
Bài toán
Có. hướng
Thuật toán Fleury
Ví dụ
Chương 2. Các bài toán về đường đi
11
Chu trình và đường đi Euler
Trong đồ thị vô hướng
Định lý về đường đi Euler
Đa