LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT MỤC LỤC PHẦN ĐẠI SỐ 10 Chương Mệnh đề - tập hợp Vấn đề Mệnh đề mệnh đề chứa biến Vấn đề Tập hợp Vấn đề Sai số- số gần Chương Hàm số bậc bậc hai Vấn đề Đại cương hàm số Vấn đề Hàm số bậc Vấn đề Hàm số bậc Chương Phương trình hệ phương trình Vấn đề Đại cương phương trình Vấn đề Phương trình bậc ẩn Vấn đề Phương trình bậc hai ẩn Vấn đề Một số phương trình quy bậc nhất, bậc hai 10 Vấn đề Hệ phương trình bậc nhiều ẩn 12 Vấn đề Hệ phương trình bậc hai hai ẩn số 13 Chương Bất đẳng thức, bất phương trình .14 Vấn đề Bất đẳng thức .14 Vấn đề Bất phương trình bậc – bất phương trình bậc hai 15 Chương Lượng giác 16 Vấn đề Cung góc lượng giác 16 Vấn đề Giá trị lượng giác cung 17 Vấn đề Công thức lượng giác 20 PHẦN HÌNH HỌC 10 20 Chương Vecto 20 Vấn đề Khái niệm véc tơ .20 Vấn đề Tổng hai vecto .21 Vấn đề Hiệu hai vecto 21 vấn đề Phép nhân vercsto với số 22 Vấn đề Hệ trục tọa độ 22 Chương Tích vơ hướng 24 Vấn đề Giá trị lượng giác góc 24 Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo V Vươ ươ ương ng Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Vấn đề Tích vơ hướng .25 Vấn đề Các hệ thức lượng tam giác .26 Chương Phương pháp tọa độ mặt phẳng 27 Vấn đề Đường thẳng 27 Vấn đề Đường tròn 29 Vấn đề Elip 29 Vấn đề Hypebol 30 Vấn đề Parabol 31 Vấn đề đường conic 31 PHẦN ĐẠI SỐ 10 Chương Mệnh đề - tập hợp Vấn đề Mệnh đề mệnh đề chứa biến Mệnh đề Mệnh đề câu khẳng định câu khẳng định sai Một mệnh đề vừa đúng, vừa sai Mệnh đề ph đnh: Cho mệnh đề P Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Mệnh đề "không phải P" gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu P Nếu P P sai, P sai P Mệnh đề ko theo: Cho mệnh đề P Q Mệnh đề "Nếu P Q" gọi mệnh đề kéo theo kí hiệu là: P Q, (P suy Q) Mệnh đề P Q sai P Q sai Lưu rng: Các định lí tốn học thường có dạng P Q Khi đó: P giả thiết, Q kết luận P điều kiện đủ để có Q Q điều kiện cần để có P Mệnh đề đo Cho mệnh đề kéo theo P Q Mệnh đề Q P gọi mệnh đề đo mệnh đề P Q Mệnh đề tương đương: Cho mệnh đề P Q Mệnh đề "P Q" gọi mệnh đề tương đương kí hiệu P Q Mệnh đề P Q hai mệnh để P Q Q P Lưu rng: Nếu mệnh đề P Q định lí ta nói P điều kiện cần đ để có Q Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập X mà với giá trị biến thuộc X ta mệnh đề Kí hiệu : Cho mệnh đề chứa biến P( x) với x X Khi đó: "Với x thuộc X để P( x) đúng" k hiệu là: " x X , P( x)" " x X : P( x)" "Tn x thuộc X để P( x) đúng" k hiệu là: " x X , P( x)" " x X : P( x)" Mệnh đề phủ định mệnh đề " x X , P( x)" " x X , P( x)" Mệnh đề phủ định mệnh đề " x X , P( x)" " x X, P(x)" Php chứng minh phn chứng: Giả sử ta cần chứng minh định lí: A B Cách Giả sử A Dùng suy luận kiến thức toán học biết chứng minh B Cách (Chứng minh phn chứng) Ta giả thiết B sai, từ chứng minh A sai Do A khơng thể vừa vừa sai nên kết B phải Lưu : S nguyên t số t nhiên chia hết cho Ngồi khơng chia hết cho số khác Số không coi số nguyên tố Các số nguyên tố từ đến 100 2; 3; 5;7;11;13;17;19; 23; 29;31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; Ưc bi: Cho a, b ¥ Nếu a chia hết b , ta gọi a bội b b ước a o Ước chung lớn (ƯCLN) hay nhiều số t nhiên số lớn tập hợp ước chung số o Bội chung nh (BCNN) hay nhiều số t nhiên số nh tập hợp ước chung số Vấn đề Tập hợp Tập hợp Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa Có cách xác định tập hợp: Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp Tập rỗng: tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu Tập hợp – Tập hợp bng Tập hợp con: A B (x A x B) A A, A B Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g ; ; A Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT A, A A B, B C A C A B Tập hợp bng nhau: A B B A Nếu tập hợp có n phần tử 2n tập hợp Mt s tập hợp ca tập hợp s thc R Tập hợp Ă : Ơ * Ơ Â Ô ¡ Trong đó: ¥ : tập hợp số t nhiên khơng có số ¥ : l hp s t nhiờn Ô : l hợp số hu t ¢ : tập hợp số nguyên ¡ ( ; ) : tập hợp số thc Khoảng: (a; b) x ¡ a x b : – (a; ) x ¡ a x : – (; b) x ¡ x b : – Đoạn: a; b x ¡ a x b – a ////////// ( a; b x ¡ a x b : a; b x ¡ a x b : a; x ¡ a x : ; b x ¡ xb : )/////////// + ( + ) + + a Nửa khoảng: b b – + – + – + ] – Cc php ton tập hợp Giao hai tập hợp: A B x x A x B A + B A Hợp hai tập hợp: A B x x A x B Hiệu hai tập hợp: A \ B x x A x B Phần bù: Cho B A CA B A\B A B B Vấn đề Sai s- s gần S gần Trong đo đạc, tính tốn ta thường nhận số gần Sai s tuyệt đi Nếu a số gần số a a a a gọi sai số tuyệt đối số gần a Đ xác ca mt s gần Nếu a a a d a d a a d Ta nói a số gần a với độ xác d qui ước viết gọn a a d Sai s tương đi Sai số tương đối số gần a tỉ số gia sai số tuyệt đối a , kí hiệu a a a a nh độ xác phép đo đạc tính tốn lớn Ta thường viết a dạng phần trăm Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT Qui trịn s gần Nếu ch số sau hàng qui tròn nh ta việc thay ch số ch số bên phải số Nếu ch số sau hàng qui tròn lớn hay bng ta thay ch số ch số bên phải số cộng thêm đơn vị vào ch số hàng qui tròn Nhận xét: Khi thay số số qui trịn đến hàng sai số tuyệt đối số qui trịn khơng vượt nửa đơn vị hàng qui tròn Như vậy, độ xác số qui trịn bng nửa đơn vị hàng qui tròn Chữ s Cho số gần a số a với độ xác d Trong số a, ch số gọi chữ s (hay đng tin) d khơng vượt q nửa đơn vị hàng có ch số Nhận xét: Tất ch số đứng bên trái ch số ch số Tất ch số đứng bên phải ch số không ch số không Chương Hàm s bậc bậc hai Vấn đề Đại cương hàm s Đnh nghĩa Cho D ¡ , D Hàm số f xác định D qui tắc đặt tương ứng số x D với số y ¡ Trong đó: x gọi biến số (đối số), y gọi giá trị hàm số f x Kí hiệu: y f ( x) D gọi tập xác định hàm số T y f ( x) x D gọi tập giá trị hàm số Cch cho hàm s: cho bng bảng, biểu đ, công thức y f ( x) Tập xác định hàm y f ( x) tập hợp tất số thc x cho biểu thức f ( x) có nghĩa Chiều biến thiên ca hàm s: Giả sử hàm số y f ( x) có tập xác định D Khi đó: Hàm số y f ( x) gọi đng biến D x1 , x2 D x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) Hàm số y f ( x) gọi nghịch biến D x1 , x2 D x1 x2 f (x1 ) f ( x2 ) Tính chẵn lẻ ca hàm s Cho hàm số y f ( x) có tập xác định D Hàm số f gọi hàm số chẵn x D x D f ( x) f ( x) Hàm số f gọi hàm số l x D x D f (x) f ( x) Tính chất đ thị hàm số chn hàm số l: + Đ thị hàm số chn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng + Đ thị hàm số l nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng Đồ th ca hàm s Đồ th hàm số y f ( x) xác định tập D tập hợp tất điểm M x; f ( x) mặt phẳng toạ độ Oxy với x D Chú ý: Ta thường gặp đ thị hàm số y f ( x) đường Khi ta nói y f ( x) phương trình đường Vấn đề Hàm s bậc Hàm số TXĐ Tnh cht Bng bin thiên x Hàm số bậc Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g a : hàm số đng biến Đim đc bit Đ th A y B O Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT ¡ y ax b a : hàm số nghịch biến ( a 0) Hàm số hng ¡ Không đổi Hàm số Hàm chn ¡ x x x x A(0; b) b B ;0 a y A O B Hàm chn yb y x x Đng biến (; 0) nghịch biến (0; ) A(0; b) x A O(0; 0) A(1; 1) y A B(1;1) O ax b B b a (ax b ) x b a x Đối với hàm số y ax b , ( a 0) ta có: y ax b Do để v hàm số y ax b , ta s v hai đường thẳng y ax b y ax b , ri xóa hai phần đường thẳng nm phía trục hồnh Ox Lưu : Cho hai đường thẳng d : y ax b d : y ax b Khi đó: d // d a a b b d d a.a d d a a b b d d a a Phương trình đường thẳng d qua A( x A; y A) có hệ số góc k dạng d : y k.( x xA ) yA Vấn đề Hàm s bậc Hàm số TXĐ Tnh cht Đ thị y ax , ( a 0) parabol (P ) có: y ax2 ( a 0) Bng bin thiên Khi a : x y Đỉnh O(0; 0) ¡ Trục đối xứng: Oy Đ th O Khi a : a : bề lm quay lên x a : bề lm quay xuống y 0 O Khi a : Đ thị y ax bx c,( a 0) parabol (P ) có: y ax bx c Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g b Đỉnh I ; 2a 4a x y b 2a 4a O I Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT ( a 0) ¡ Trục đối xứng: x Khi a : b 2a x a : bề lm quay lên a : bề lm quay xuống y b 2a 4a I O V đ thị hàm số y f ( x) ax bx c , (a 0) V đ thị hàm y f x ax2 b x c, (a 0) Bưc V parabol ( P) : y ax bx c Bưc V parabol ( P) : y ax bx c Bưc Do Bưc Do y f x hàm chn nên đ thị f (x ) f (x ) y f ( x) nên đ thị f ( x) f ( x) hàm số y f ( x) v sau: o Gi nguyên phần ( P ) phía Ox o Lấy đối xứng phần ( P ) Ox qua đối xứng qua Oy v sau: o Gi nguyên phần ( P ) bên phải Oy o Lấy đối xứng phần qua Oy o Đ thị y f x hợp phần Ox o Đ thị y f ( x) hợp phần O O Chương Phương trình hệ phương trình Vấn đề Đại cương phương trình Khi niệm phương trình mt n — Cho hai hàm số y f ( x) y g(x) có tập xác định D f D g Đặt D D f Dg Mệnh đề chứa biến " f (x) g( x)" gọi phương trình ẩn, x gọi ẩn D gọi tập xác định phương trình — Số x o D gọi nghiệm phương trình f ( x) g( x) " f (xo ) g( xo )" mệnh đề Phương trình tương đương — Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Nếu phương trình f1 (x) g1 (x) tương đương với phương trình f2 (x) g2 ( x) viết f1 ( x) g1 ( x) f2 (x) g2 (x) — Đnh l 1: Cho phương trình f ( x) g( x) có tập xác định D y h( x) hàm số xác định D Khi miền D , phương trình cho tương đương với phương trình sau: (1) : f ( x) h( x) g(x) h(x) (2) : f ( x).h( x) g( x).h(x) với h( x) 0, x D Phương trình hệ qu — Phương trình f1 (x) g1 (x) có tập nghiệm S1 gọi phương trình hệ phương trình f2 (x) g2 ( x) có tập nghiệm S2 S1 S2 Khi viết: f1 ( x) g1 ( x) f2 ( x) g2 ( x) Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT — Đnh l 2: Khi bình phương hai vế phương trình, ta phương trình hệ phương trình cho: 2 f ( x) g( x) f (x) g( x) Lưu : Nếu hai vế phương trình ln dấu bình phương vế nó, ta phương trình tương đương Nếu phép biến đổi tương đương dn đến phương trình hệ quả, ta phải thử lại nghiệm tìm vào phương trình cho để phát loại b nghiệm ngoại lai Vấn đề Phương trình bậc n Gii bin lun phương trnh ax b ax b Hệ s Kết luận a0 a0 (i) b ( i ) có nghiệm x a b0 ( i ) vô nghiệm b0 ( i ) nghiệm với x Bài ton tm tham số phương trnh bc nht ax b ( ii) Để phương trình ( ii) có nghiệm a a Để phương trình ( ii) có tập nghiệm ¡ (vơ số nghiệm) b a Để phương trình ( ii) vơ nghiệm b Để phương trình ( ii) có nghiệm có nghiệm có tập a nghiệm ¡ a 0 b Lưu : Có nghiệm trường hợp ngược lại vơ nghiệm Do đó, tìm điều kiện để ( ii) có nghiệm, thơng thường ta tìm điều kiện để ( ii) vơ nghiệm, ri lấy kết ngược lại Vấn đề Phương trình bậc hai n Gii bin lun phương trnh bc hai: ax2 bx c (i) Phương php: Bưc Biến đổi phương trình dạng ax2 bx c Bưc Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét trường hợp: Trường hợp 1: a 0, ta giải biện luận ax b Trường hợp 2: a Ta lập b2 4ac Khi đó: o Nếu ( i ) có nghiệm phân biệt x 1,2 o Nếu ( i ) có nghiệm (kép): x b 2a b 2a o Nếu ( i ) vơ nghiệm Bưc Kết luận Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN TH THPT PT Lưu : a 0 a Phương trình ( i ) có nghiệm b a 0 a Phương trình ( i ) có nghiệm b Đnh l Vit b S x1 x a Nếu phương trình bậc hai ax bx c 0, ( a 0) có nghiệm x1 , x P x x c a Ngược lại, hai số u v có tổng u v S tích uv P u, v nghiệm phương trình x2 Sx P 0, (S2 4P 0) ng dng đnh l Vit Tnh gi tr cc biu thức đi xứng ca nghiệm phương trình bậc hai: x21 x22 ( x21 2x1 x2 x22 ) 2x1 x2 (x1 x2 )2 2x1 x2 S2 2P ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 S2 4P x1 x2 a (x1 x2 )2 a2 S2 4P a2 x31 x32 (x1 x2 )(x12 x1x2 x22 ) ( x1 x2 ) (x1 x2 )2 3x1x2 S.(S2 3P) S3 3SP b (1) S x1 x a Lưu : Nếu biểu thức không đối xứng thường ta giải hệ Biu thc không đi xng c P x1 x2 (3) a bng phương pháp cộng (1) (2) x1 , x theo m x1 , x2 vào (3) để tìm m Dấu cc nghiệm ca phương trình bậc hai: Phương trình có nghiệm trái dấu: x1 x2 P Phương trình có nghiệm dương: x1 x2 P S Phương trình có nghiệm dương phân biệt: x1 x2 S P Phương trình có nghiệm âm: x x P S Phương trình có nghiệm âm phân biệt: x x P 0 S x x Phương trình có nghiệm dấu: 0 x1 x2 P 0 Lưu : Nếu đề yêu cầu so sánh nghiệm x1 , x với số , ta thường có cách làm sau: o Một đặt ẩn phụ t x để đưa so sánh nghiệm t1 , t2 với số Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT x a x x a x a (x a )(x a ) o Hai biến đổi, chẳng hạn: x1 a x1 a nhân ( x1 a)( x2 a) a x x x2 a x a x1 x2 2a Vấn đề Mt s phương trình quy bậc nhất, bậc hai Phương trnh trng phương: ax4 bx2 c 0, ( a 0) () () — Đặt t x () at bt c — Để xác định số nghiệm (), ta da vào số nghiệm () dấu chúng, cụ thể: 2 () v« nghiƯm Để () vơ nghiệm () cã nghiƯm kÐp ©m () cã nghiƯm ©m () cã nghiƯm kÐp t1 t2 Để () có nghiệm () cã nghiÖm b»ng 0, nghiÖm lại âm () có nghiệm kép d ơng Để () có nghiệm phân biệt () cã nghiƯm tr¸i dÊu Để () có nghiệm () có nghiệm bng nghiệm cịn lại dương Để () có nghiệm () có nghiệm dương phân biệt Mt số dng phương trnh bc bốn quy v bc hai Loại ax4 bx3 cx2 dx e với e d a b Phương php gii: Chia hai vế cho x2 0, ri đặt t x d t x với x x b Loại (x a)(x b)( x c)(x d) e với a c b d Phương php gii: ( x a)(x c) ( x b)(x d) e 2 x (a c)x ac x (b d)x bd e đặt t x (a c) x Loại ( x a)(x b)( x c)(x d) ex với a.b c.d Phương php gii: Đặt t x ab a b c d x phương trình a b c d a bcd t x t x ex (có dạng đẳng cấp) 2 Loại ( x a)4 ( x b)4 c Phương php gii: Đặt x t Loại x4 ax2 bx c a b ab (t ) (t ) c với 2 (1) Phương php gii: Tạo dạng A2 B2 bng cách thêm hai vế cho lượng 2 2k.x k , tức phương trình (1) tương đương: ( x ) 2kx2 k (2k a)x bx c k (x k) (2k a)x bx c k 2 k a k ? 2 VP b 4(2k a )(c k ) Cần vế phải có dạng bình phương Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g Trang 10 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT sin (a + k 2p )= sin a , " k Î ¢ ; cos (a + k 2p )= cosa , " k ẻ Â 2) Vỡ - £ OK £ 1; - £ OH £ nên ta có - £ sin a £ - £ cos a £ 3) Với m Ỵ ¡ mà - £ m £ tn a b cho sin a = m cos b = m p + kp ( k ẻ Â ) 5) cot a xỏc nh vi mi a k p ( k ẻ ¢) 4) tan a xác định với a ỵ 6) Du ca cỏc giỏ tr lng giỏc góc a phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM = a đường tròn lượng giác Bng xc đnh du giá tr lượng giác Góc phần tư I II III IV + + + + - - + + - - - + + - Giá trị lượng giác cosa sin a tan a cot a Giá tr lượng giác ca cc cung đặc biệt a p p sin a 2 cosa 2 tan a cot a Không xác định 3 p 3 1 p Không xác định II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CƠTANG Ý nghĩa hình học ca tan a Từ A v tiếp tuyến t 'At với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số bng cách chọn gốc A Gọi T giao điểm OM với trục t ' At uuur tan a biểu diễn độ dài đại số vectơ AT trục t 'At Trục t 'At gọi trục tang Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g Trang 18 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT y t M A x O T t' Ý nghĩa hình học ca cot a Từ B v tiếp tuyến s 'Bs với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số bng cách chọn gốc B Gọi S giao điểm OM với trục s 'Bs uur cot a biểu diển độ dài đại số vectơ BS trục s 'Bs Trục s 'Bs gọi trục côtang III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Công thức lượng gic bn Đối với giá trị lượng giác, ta có hng đẳng thức sau y s' B S sin a + cos a = 1 + tan a = , cos a + cot a = , sin a tan a cot a = 1, s M x p aạ + kp , k ẻ Â O a kp, k ẻ Â aạ kp , kẻ ¢ 2 Giá tr lượng giác ca cc cung có liên quan đặc biệt 1) Cung đối nhau: a - a cos(- a ) = cosa sin (- a ) = - sin a tan (- a ) = - tan a cot (- a )= - cot a 2) Cung bù nhau: a p - a sin (p - a )= sin a cos(p - a ) = - cos a tan (p - a )= - tan a cot (p - a )= - cot a 3) Cung p : a (a + p ) sin(a + p ) = - sin a cos(a + p ) = - cosa tan(a + p ) = tan a cot(a + p ) = cot a ỉp 4) Cung phụ nhau: a ççç - a ÷÷÷ è2 ø Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g Trang 19 LÝ THUYT CN NH TON THPT ổp sin ỗỗ - a ữ ữ= cos a ỗố ữ ứ ổp ữ cosỗỗ - a ữ = sin a ữ çè2 ø ỉp ÷ = cot a tan çç - a ữ ỗố2 ứữ ổp cot ỗỗ - a ữ ữữ= tan a ỗố2 ứ Vn Cơng thức lượng giác I – CƠNG THỨC CỘNG cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b tan a - tan b + tan a tan b tan a + tan b tan (a + b)= - tan a tan b tan (a - b) = II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI sin 2a = sin a cos a cos a = cos a - sin a = cos a - = - sin a tan a = tan a - tan a III – CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH Cơng thức biến đổi tích thành tổng écos (a - b)+ cos (a + b)ù û 2ë é ù sin asin b = ëcos (a - b)- cos (a + b)û sin acos b = éësin (a- b)+ sin (a + b)ùû cos a cos b = Công thức biến đổi tổng thành tích u+ v u- v cos 2 u+ v u- v cos u - cos v = - sin sin 2 u +v u-v sin u + sin v = sin cos 2 u+ v u- v sin u - sin v = cos sin 2 cos u + cos v = cos PHẦN HÌNH HỌC 10 Chương Vecto Vấn đề Khái niệm vc tơ Đnh nghĩa Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g Trang 20 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT • Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đọan thẳng, r điểm điểm đầu, điểm điểm cuối uuur r • Kí hiệu vectơ có M điểm đầu N điểm cuối MN Nhiều người ta dùng kí hiệu a để uuur vectơ AB r • Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng gọi vectơ - khơng, kí hiệu Hai vectơ cng phương, cng hướng uuur • uuur r Giá vectơ AB : Cho AB khác B uuur A Đường thẳng AB gọi giá AB E • Hai vectơ phương: Hai vectơ gọi phương chúng G D b C có giá song song trùng • Nếu hai vectơ phương chúng hướng, chúng ngược hướng uuur r Chú ý Vectơ - không AA có giá đường thẳng qua A; phương hướng với vectơ uuur uuur uuur * uuur uuur uuur Trên hình v ta có vectơ AB, CD, EG phương với nhau, AB, CD hướng, EG ngược uuur uuur hướng với vectơ AB, CD Hai vectơ • Độ dài vectơ AB : Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài vectơ AB , kí hiệu AB • Hai vectơ a b gọi bng chúng hướng độ dài, ta viết a = b uuur r uuur r uuur r r Vấn đề Tổng hai vecto ▪ Đnh nghĩa r r Cho hai vectơ a b Tính cht * r r r a + b = b+ a ; • Các quy tắc Quy tắc ba điểm : r r r r uuur uuur r ( * a+ 0= a ; ) b a uuur r uuur r Từ điểm A dng vectơ AB = a , BC = b uuur r r Khi vectơ AC gọi tổng hai vectơ a b uuur r r Kí hiệu AC = a + b b B a C A r r r ( r a +b ) * a+ b + c= a+ b+ c uuur Với ba điểm A, B, C tùy ý ta ln có AB + BC = AC • Quy tắc hình bình hành : O A uuur uuur uuur OABC hình bình hành Þ OA + OC = OB C Tính chất trung điểm : B uuur uuur r M trung điểm đoạn AB Þ MA + MB = A Tính chất trọng tâm tam giác : uuur uuur uuur r G trọng tâm tam giác ABC Þ GA + GB + GC = Vấn đề Hiệu ca hai vecto Vectơ đối mt vectơ • • r r r M G B r C r Nếu a + b = ta nói a vectơ đối vectơ b ngược lại r r r r Vectơ đối vectơ a (kí hiệu - a ) vectơ ngược hướng với vectơ a có độ dài với vectơ a Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g Trang 21 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Hiu hai vectơ : a) Định nghĩa: Hiệu hai vectơ a b , kí hiệu a - b tổng vectơ a với vectơ đối vectơ b b) r r r r r r r a - b = a + (- b) r r Cách v vectơ a - b : r r Cho vectơ a b r r r b A r a r r r a r O r a- b a (như hình v) uuur r uuur r Từ điểm O bất kì, ta v OA = a , OB = b uuur r r Ta có BA = a - b c) r B b uuur uuur uuur Quy tắc hiệu vectơ: Với ba điểm M, N, O tùy ý ta có: MN = ON - OM vấn đề Phép nhân vercsto vi mt s Đnh nghĩa r r Tích vectơ a với số thc k vectơ, kí hiệu ka , xác định sau : r r 1) Nếu k ³ vectơ ka hướng với vectơ a ; r r Nếu k < vectơ ka ngược hướng với vectơ a ; r r 2) Độ dài vectơ ka bng k a Tính cht r r Với vectơ a, b số thc k, l ta có : r r () 1) k la = (kl)a ; r r r 2) (k + l)a = ka + la ; r ( r ) r r r ( r r ) r 3) k a + b = ka + kb ; k a - b = ka - kb ; r r r r 4) ka = Û k = a = uuur uuur uur I trung điểm đoạn AB Û MA + MB = 2MI , với điểm M Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta ln có : Điu kin đ hai vectơ cng phương uuur uuur uuur uuur MA + MB + MC = 3MG r r r r r r • b phương a ( a ¹ ) Û $ k Ỵ ¡ : b = ka uuur uuur • Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng Û $ k Ỵ ¡ : AB = kAC Biu th mt vectơ qua hai vectơ không cng phương r r r c biểu thị cách Cho hai r vectơr khơng phương a b Khi vectơ r r r qua hai vectơ a b , nghĩa có cặp số m n cho c = ma + nb Vấn đề Hệ trục tọa đ I) TRỤC VÀ ĐỘ DÀI TRÊN TRỤC r Trục tọa độ (còn gọi trục) đường thẳng xác định điểm O cố định vectơ đơn vị i (vectơ có độ dài bng 1) Điểm O gọi gốc tọa độ Hướng vectơ đơn vị gọi hướng trục r ( ) Trục tọa độ kí hiệu O; i O i A B x a Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g Trang 22 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN TH THPT PT uuur r ( ) r Cho điểm M tùy ý nm trục O; i Khi có số k xác định để OM = k.i Số k gọi tọa đ r ( ) điểm M trục O; i r r r ( ) r Cho vectơ a nm trục O; i Khi đó, có số t xác định để a = t.i Số t gọi tọa đ r r ( ) vectơ a trục O; i uuur Như tọa độ điểm M tọa độ vec tơ OM uuur r Nếu hai điểm A, B phân biết nm trục Ox Khi có số t saorcho AB = t.i Ta gọi số t độ dài uuur uuur đại số vectơ AB trục cho, kí hiệu AB Như AB = AB.i Nhận xét: uuur r a) Nếu vectơ AB hướng với vectơ i r AB = AB uuur Nếu vectơ AB ngược hướng với vectơ i AB = - AB r b) Nếu hai điểm A B nm trục O; i có tọa độ a b ( ) AB = b - a Đnh lý: Trên trục số: Với ba điểm bất kìuuu trục, ta có: AB + BC = AC (HỆ THỨC Sa – lơ) uuur r Hai vectơ AB CD bng AB = CD II) HỆ TRỤC TỌA ĐỘ rr r ( ) y r ( ) ( ) Hệ trục tọa độ O;i; j gm hai trục O; i O; j vng góc với (như hình v) Trong đó: Điểm O gọi gốc tọa độ j x O r Trục O; i gọi trục hồnh, khí hiệu Ox r Trục O; j gọi trục tung, khí hiệu Oy r r Các vectơ i j vectơ đơn vị trục Ox Oy rr Hệ trục tọa độ O;i; j cịn kí hiệu Oxy i ( ) ( ) ( ) Chú ý: Mặt phẳng mà chọn hệ trục tọa độ Oxy gọi mt phẳng tọa đ Oxy (Hay mt phẳng Oxy) III) TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ rr r ( ) r r r Đối với hệ trục tọa độ O;i; j u = x.i + y.j cặp số (x; y ) gọi tọa đ vectơ u r r r Kí hiệu u = (x; y ) hay u (x; y ) Số x gọi hoành độ, y gọi tung độ vectơ u r ìï ï a = (x; y) Đnh lí: Cho hai vec tơ ïí r số thc k Khi đó: ïï b = x '; y ' ( ) ïỵ r r r r - a + b = (x + x '; y + y ' ) a - b = (x - x '; y - y ') r - k.a = (kx; ky ) r r - a phương với b r r ìï x = x ' - a = b Û ïí ïï y = y ' ỵ r r ìï x = kx ' b $ k ẻ ¡ : íï ïï y = ky ' ỵ ( IV) TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g ) y u A K u j x O i H Trang 23 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT uuur OM gọi tọa độ điểm M Như theo định nghĩa ta có: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ vectơ uuur (x; y ) tọa độ điểm M OM = (x; y) Kí hiệu: M (x; y) hay M = (x; y ) Số x gọi hoành đ, số y gọi tung đ điểm M Nhận xét: Nếu gọi H, K hình chiếu M Ox Oy thì: y M(x;y) K uuur r r uuur uuur M (x; y) Û OM = x.i + y.j = OH + OK uuur r uuur r Như vậy: OH = x.i hay x = OH OK = y.j hay y = OK j O x i H Đnh lí: Với hai điểm A (x A; y A) B (x B; y B) ta có: uuur AB = (x B - x A ; yB - yA ) V) TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM TÂM CỦA TAM GIÁC ìïï x + xB ïxI = A ïï y + yB ïï y I = A ïỵ ï Đnh lí 1: Với hai điểm A (x A; y A) B (x B; y B) , trung điểm I đoạn thẳng AB có tọa độ là: ïí Đnh lí 2: Cho ba điểm A (x A; y A ) , B (x B; y B) C (xC ; yC ) Khi trọng tâm G D ABC có tọa độ ìï ïï x = x A + x B + x C ïï G íï ïï y = y A + y B + y C G ïỵï Chương Tch vô hưng Vấn đề Giá tr lượng giác ca góc A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Đnh nghĩa Với góc (00 1800), ta xác định điểm M(x ; y) nửa đường M' · tròn đơn vị cho MOx Khi sin y , cos = x , -1 -x tan y (x 0) , x cot y y M x O x x (y 0) y Các số sin , cos , tan , cot gọi giá trị lượng giác góc • Tính chất : Với hai góc bù 1800 ta có : o o sin(180 ) sin ; cos(180 ) cos ; tan(180o ) tan ( 900) ; cot(180o ) cot (00 < < 1800) Giá tr lượng giác mt số góc đc bit Góc sin cos 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2 3 2 2 2 2 - -1 Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g - 2 - Trang 24 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT 3 - -1 - 1 - -1 - r uuur tan cot Vấn đề Tch vô hưng Góc hai vectơ r r r • Cho hai vectơ a b khác vectơ uuur r Từ điểm O bất kì, ta v vectơ OA = a OB = b r r · Khi AOB gọi góc gia hai vectơ a b , r r ( ) kí hiệu a, b r r r r • a, b = 900 Û a ^ b ( ) Đnh nghĩa tch vô hướng hai vectơ r r Tích vơ hướng hai vectơ a b số, r ur kí hiệu a.b , xác định công thức rr r r r r a.b = a b cos a, b ( ) Tnh cht tch vô hướng : r r r Với vectơ a, b, c số thc k, ta có: rr rr 1) a.b = b.a (Tính chất giao hóan) ; r r rr 2) ka b = k a b ; ( ) ( ) r r r rr rr 3) a (b + c) = a.b + a.c (Tính chất phân phối phép cộng) ; r r r rr rr a (b - c) = a.b - a.c (Tính chất phân phối phép trừ) ; rr r r 4) a.b = Û a ^ b 5) Bình phương vơ hướng: Bình phương vơ hướng vectơ bng bình phương độ dài vectơ : r2 r2 a = a B • Các hng đẳng thức bình phương vơ hướng : r r r2 (a + b ) = a rr r2 + 2ab + b ; r r r2 (a - b) = a rr r2 - 2ab + b ; r2 r2 r r r r a - b = (a - b)(a + b) 6) Cơng thức hình chiếu : uuur r uuur r B’ O r r A r Cho OA = a, OB = b Tích vơ hướng hai vectơ a b bng tích vơ hướng a uuuur uur r r với OB ' = b ' hình chiếu b lên a : rr r uur uuur uuur uuur uuuur a.b = a.b ' hay OA.OB = OA.OB ' B • Chú ý: Cho đường tròn (O) điểm M Dng cát tuyến MAB với (O), ta định nghĩa: Phương tích điểm M đường trịn (O), kí hiệu P M/ (O ) số xác định biểu thức: uuur uuur PM/ (O ) = MA.MB = d - R (d = MO) ; Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g O A d R M T Trang 25 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT Nếu M nm ngồi đường trịn (O) MT tiếp tuyến (O) uuur 2 PM/ (O ) = MT = MT Biu thức tọa đ tch vô hướng r r Trong mặt phẳng Oxy, cho a = (x; y) b = (x '; y ') Khi : rr (1) a.b = xx '+ yy ' ; r (2) a = x2 + y2 ; r r (3) cos(a, b) = r xx '+ yy ' 2 x + y 2 x' + y' (a ¹ r r r 0, b ¹ ; ) (4) Khoảng cách gia hai điểm M (x M; y M) N (x N; y N ) : uuur MN = MN = (x N - x M ) + (y N - y M ) ; r r (5) a ^ b Û xx '+ yy ' = Vấn đề Các hệ thức lượng tam giác I) HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1) Các định lí: A b2 = a.b ' c2 = ac ' 2 a = b + c (định lí Py – ta – go) c b h 2) Các hệ qu: b '.c ' = h b ' b2 = c' c 1 = 2+ 2 h b c a.h = b.c B b' c' a H C II) HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG: 1) Đnh lí cơsin a = b2 + c2 - 2bc cos A b2 = c2 + a2 - 2ca cos B c2 = a2 + b2 - 2ab cos C Đnh lí sin a b c = = = 2R sin A sin B sin C Cơng thức tính diện tích: 1 ah a = bh b = ch c 2 1 S = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 abc S= 4R a+ b+ c S = p (p - a )(p - b )(p - c) ; p = (Hê – rông) S= S = pr = (p - a )ra = (p - b )rb = (p - c)rc Bn knh đường tròn ni tiếp, đường tròn bàng tiếp: Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g Trang 26 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT r = (p - a )t an A B C = (p - b )t an = (p - c )t an 2 A B rb = p t an C rc = p t an = p t an 5) Công thức tnh đ dài đường trung tuyến ma = mb = m2c = ( ) b2 + c2 - a2 ( ) c2 + a2 - b2 ( ) a + b - c2 6) Công thức tnh đ dài đường phân giác l 2a = l 2b = 4bc p (p - a ) p (p - b ) p (p - c ) 4ca (c + a ) 4ab lc = (b + c) (a + b) Chương Phương php tọa đ mặt phẳng Vấn đề Đường thẳng I PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ CHÍNH TẮC r r r r Vectơ a gọi vectơ phương đường thẳng a giá a song song trùng với Nhận xét: r r * Nếu a vectơ phương đường thẳng ka k vectơ phương * Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm đường thẳng vectơ phương r Đnh lí: Trong mặt phẳngOxy , đường thẳng qua điểm M x 0; y nhận a a ;a , a 12 a 22 0 làm vec tơ phương có phương trình là: x x0 t a1 : y y0 t a t ¡ 1 Ta gọi 1 phương trình tham số đường thẳng Nếu a a 1 khác 0, bng cách khử tham số t hai phương trình ta có: : x x a1 y y a2 2 Ta gọi 2 phương trình tắc đường thẳng Nếu a , từ phương trình tham số ta có: x x0 a t y y0 x x0 aa a1 y y t a Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g a2 , đặt k a , ta : y y0 k x x0 3 Trang 27 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN TH THPT PT Gọi A giao điểm của với Ox, Az tia phía Ox , gọi góc gia hai tia Ax Az , ta thấy k tan Hệ số k hệ số góc đường thẳng mà ta biết Phương trình 3 gọi phương trình đường thẳng theo hệ số góc Chú ý: * Nếu / / d thìk k d ; * Nếu d thìk k d 1 II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT r r r Vectơ n gọi vectơ php tuyến đường thẳng nếun có giá vng góc với đường thẳng Nhận xét: r r * Nếu n vectơ pháp tuyến đường thẳng kn k vectơ pháp tuyến * Một đường thẳng xác định biết điểm đường thẳng vectơ pháp tuyến r r * Nếu có vectơ pháp tuyến n A; B có vectơ phương a B; A r Đnh lí 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng qua điểm M x 0; y nhận vectơ pháp tuyến n A; B với A, B không đng thời bng Điểm M x; y thuộc đường thẳng khi: A x x0 B y y0 4 Chú ý: Ax By c C Ax By Đnh lí 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm M x; y tha mãn phương trình: Ax By C 5 Với A, B không đng thời bng đường thẳng ( kí hiệu đường thẳng ) Phương trình dạng với A, B khơng đng thời bng 0, gọi phương trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: Nếu A By C y C B C Khi đó vng góc vớiOy M 0; B C Nếu B Ax C x Khi vng góc với Ox M ; A A C Nếu C Ax By Khi qua gốc tọa độ C C Nếu A, B, C đng thời khác cắt Ox Oy hai điểm M ; M 0; B A x y Khi phương trình viết dạng sau: a b C C Với a , b Phương trình gọi phương trình theo đoạn chắn đường thẳng A B III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát 1 : A1x B 1y C : A 2x B 2y C ìï A x + B y + C = 1 ïïỵ A2 x + B2 y + C2 = Giả sử có điểm chung M x; y , lúc x; y nghiệm hệ phương trình: ïí Theo phương pháp cramer đặt: D= Dx = A1 B1 = A1 B2 - A2 B1 ; A2 B2 B1 C1 = B1C - B 2C1; B2 C2 Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g Trang 28 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT C1 A1 = C1 A - C A 1; C2 A2 Dy = Ta có: a) cắt 2 D 0; b) song song 2 D ( D x hay D y ) c) trùng D2 Û D = Dx = Dy = 0; Cách 2: Nếu A 2, B 2, C ta có: a) cắt A1 A2 b) song song c) A1 A2 B1 ; B2 2 B1 B2 A1 A2 C1 C2 B1 B2 C1 C2 ; Vấn đề Đường trịn I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho đường trịn C có tâmI a; b bán kính R có phương trình: 2 (C ): (x - a ) + (y - b ) (1) = R2 Trường hợp đặc biệt , nếua b phương trình 1 trở thành x2 y2 R Là phương trình đường trịn có tâm gốc tọa độ O bán kính R 2 Trong mặt phẳng Oxy , phương trình x y 2ax 2by c Vớia b c phương trình đường trịn có tâm I a; b bán kính R a b c 2 III Phương trình tiếp tuyến ca đường tròn: Trong mặt phẳng tọa dộOxy , tiếp tiếpd điểm M x 0;; y đường trịn tâm I a; b có phương trình là: d : x tiếp xúc đường tròn I; R d I; R a x x y b y y Đường thẳng Vấn đề Elip A TÓM TẮT GIÁO KHOA I Đnh nghĩa Cho hai điểm cố định F 1, F với F1 F2 2c độ dài 2a không đổi a c Tập hợp điểm M cho F1M F 2M 2a gọi elip Hai điểm F F gọi hai tiêu điểm cặp elip Khoảng cách F1F 2c gọi tiêu c F 1M F 2M gọi bán kính qua tiêu điểm củaM II PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm F1 c; F2 c; 0 c a Xét elip: E : M x; y ; F1M F2M 2a Điều kiện cần đủ đểM x; y thuộc E 2 x y 1 a b2 1 với b a c2 Phương trình 1 gọi phương trình tắc elip E III HÌNH DẠNG CỦA ELIP Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g y B2 M Trang 29 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Xét elip E : x2 y2 với b a c a2 b2 ta có Với M x; y E F1 M a c a x F2 M a c a x E có trục đối xứng Ox, Oy có tâm đối xứng O E cắt trục Ox hai điểm A1 a; , A2 a; E cắtOy điểm B 0; b , B 0; b Các điểm A1 , A2 , B1 , B2 gọi đỉnh elip E Đoạn thẳng A1 A2 2a gọi trục lớn elip E B1B2 2b gọi trục nh E Các điểm elip nm trọn hình ch nhật có phương trình cạnh x a, y b Hình ch nhật gọi hình ch nhật sở elip IV TÂM SAI ELIP Tỉ số gia tiêu c độ dài trục lớn gọi tâm sai elip Kí hiệu e c a V ELIP VÀ PHÉP CO ĐƯỜNG TRÒN Hệ thức b a c cho thấy tiêu c elip nh thìb gần bng a nên elip có hình dạng gần đường tròn Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn C : x2 y2 a2 Với điểmM x; y thuộc đường tròn ta xét điểm M ' x '; y ' x ' x x '2 y '2 tập hợp điểm M ' có tọa độ tha phương trình elip E b y ' y a b a Ta nói đường trịn C co thành elip E Vấn đề Hypebol I ĐỊNH NGHĨA Cho hai điểm cố địnhF 1, F với F1F 2c độ dài 2a không đổi a c Hypebol tập hợp điểm M cho F1M F2M 2a Hai điểm F F2 gọi hai tiêu điểm hypebol Khoảng cách F1 F2 2c gọi tiêu c F1M, F2 M gọi bán kính qua tiêu điểm M II PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA HYPEBOL Đnh lí: Trong mặt phẳngOxy, hypebol H có hai tiêu điểm làF1 c; , F c; điểm M H F1M F2M 2a a c 2 x y 1 a b2 H có phương trình là: 1 Với b c2 a Phương trình 1 gọi phương trình tắc hypebol H III HÌNH DẠNG CỦA HYPEBOL x2 y2 Xét hypebol H : với b2 c2 a2 a b H có trục đối xứng Ox, Oy có tâm đối xứng làO Các điểmA a; , A a; gọi đỉnh H ; đoạn thẳng A1 A2 2a gọi trục thc H Đặt B 0; b , B 0; b , đoạn thẳngB 1B 2b gọi trục ảo H Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g Trang 30 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Ta có M x; y H x a hay x a Do H gm hai phần: + Phần gm điểm M x; y Phần gm điểm M x; y cho x a gọi nhánh phải H ; + cho x a gọi nhánh trái của H c Tỉ số e a gọi tâm sai hypebol Mọi hypebol có tâm sai e Hình ch nhật tạo đường thẳng x a y b gọi hình ch nhật sở hypebol H Hai đường thẳng chứa hai đường chéo hình ch nhật sở gọi hai đường tiệm cận H b Phương trình hai đường tiệm cận lày x a , ta có: Bán kính qua tiêu điểm: Với điểm M x; y H + x M > F1M a ex F2M a ex + xM < F1M a ex F2M a ex Vấn đề Parabol ĐỊNH NGHĨA: Cho điểm F cố định đường thẳng không qua F Ta gọi : parabol tập hợp điểm M cho khoảng cách từ M đến F bng khoảng cách từ M đến M P F M d M; Điểm F gọi tiêu điểm parabol Đường thẳng gọi đường chuẩn parabol P Khoảng cách từ F đến đường thẳng gọi tham số tiêu parabol 2.PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC PARABOL p p 2 Đnh lí:Trong mặt phẳngOxy , parabol P có tiêu điểm F ; ( với p ) đường chuẩn : x phương trình là P : y 2px có Phương trình gọi phương trình tắc parabol P HÌNH DẠNG CỦA PARABOL Xét parabol P : y2 2px p 0 P có trục đối xứng Ox; gọi đỉnh P ; M P thìx Điểm O 0; M Vấn đề đường conic I.ĐƯỜNG CHUẨN CỦA ELIP VÀ HYPABOL Cho elip E : x2 y2 1 ab0 a2 b2 H : x2 y2 a, b a b2 Ta gọi : Đường thẳng : x Đường thẳng : x Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g a e a x đường chuẩn E ( hay H ) ứng với tiêu điểm F1 c; đường chuẩn E ( hay H ) ứng với tiêu điểm F2 c; Trang 31 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN TH THPT PT Với điểm M nm elip E hay hypebol H , ta có: MF1 d M; 1 MF d M; 2 e II ĐỊNH NGHĨA BA ĐƯỜNG CÔNIC Cho điểm F, đường thẳng cố định không qua F số dương e Tập hợp điểm M cho tỉ số FM d M; e gọi đường cônic Điểm F gọi tiêu điểm, gọi đường chuẩn e gọi tâm sai đường nic Khi e nic đường elip; Khi e cô nic đường hypebol; Khi e nic đường parabol TÀI LIỆU ĐƯỢC TRÍCH TỪ TÀI LIỆU CỦA THẦY LÊ VĂN ĐOÀN, THẦY NGUYỄN PHÚ KHÁNH VÀ MỘT SỐ TÀI LIỆU KHÁC TRÊN MẠNG MÌNH CHỈ SẮP XẾP LẠI ĐỂ CHO BẠN ĐỌC TIỆN THEO DÕI KIẾN THỨC CHƯA KIỂM ĐỊNH NÊN BẠN ĐỌC CHÚ Ý NHÉ Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g Trang 32 ... k ? 2 VP b 4(2k a )(c k ) Cần vế phải có dạng bình phương Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g Trang 10 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN TH THPT PT Loại (2) x4 ax3 bx2 cx ... (x A x B) A A, A B Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g ; ; A Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT A, A A B, B C A C A B Tập hợp bng nhau: A B B ... lớn Ta thường viết a dạng phần trăm Ng Nguy uy uyễ ễn B Bả ảo Vươn Vương g Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Qui tròn s gần Nếu ch số sau hàng qui trịn nh ta việc thay ch số ch số