THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.

THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.DỊ SIÊU MẶT PHỨC.THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Trần Đại Tân THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Trần Đại Tân THỚ MILNOR MOTIVIC VÀ KÌ DỊ SIÊU MẶT PHỨC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Nguyễn Tất Thắng Hà Nội - 2022 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Tất Thắng Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa cơng bố phương tiện Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 9/2022 Trần Đại Tân Lời cảm ơn Đầu tiên, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Tất Thắng, người trực tiếp hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy thời gian dài Thầy quan tâm, giúp đỡ, động viên suốt q trình học tập nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô, anh chị, bạn bè Viện Tốn học giúp đỡ, góp ý tạo điều kiện trình học tập, nghiên cứu để thực tốt luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam q trình thực luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè ln sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 9/2022 Trần Đại Tân Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi nón đa diện lồi 1.2 Lược đồ nhánh không gian cung 1.2.1 Lược đồ nhánh 1.2.2 Không gian cung 11 Tích phân motivic 14 2.1 Chuẩn bị 14 2.2 Tích phân motivic 19 2.3 Quy tắc đổi biến 22 Hàm zeta motivic thớ Milnor motivic kì dị khơng suy biến 31 3.1 Phân thớ Milnor 31 3.2 Hàm zeta motivic thớ Milnor motivic .32 3.3 Mối liên hệ phân thớ Milnor cổ điển phân thớ motivic Milnor 35 3.4 Chuỗi hữu tỉ giới hạn .37 3.5 Đa diện Newton đa thức 38 3.6 Quỹ tích liên kết kì dị khơng suy biến 42 3.7 Thớ Milnor motivic kì dị khơng suy biến 46 3.8 Ví dụ 47 Tài liệu tham khảo 49 Lời nói đầu Cho k trường đóng đại số có đặc số Gọi f hàm quy định nghĩa k-đa tạp X Sử đụng tích phân motivic giới thiệu Kontsevich [1], Denef Loeser định nghĩa [2], thớ motivic Milnor f x X, kí hiệu Sf,x Thớ phần tử thuộc k µˆ vành M , vành Grothendieck k-đa tạp (với số điều chỉnh) gán cho tác động nhóm đơn vị µˆ Họ chứng minh Sf,x thân motivic thớ Milnor tô pơ f x (kí hiệu Fx), gán với tác động đơn đạo Mx Trong viết này, chúng tơi trình bày lại biểu diễn cho thớ Milnor motivic gốc tọa độ đa thức f thuộc C[x1, , xd] thỏa mãn f không suy biến theo nghĩa Kouchnirenko, với f triệt tiêu gốc tọa độ O thuộc Cd Kết trình bày tài liệu [3] Để đến kết này, phần 1, ta nhắc lại định nghĩa phân thớ tầm thường địa phương đưa khái niệm phân thớ Milnor cổ điển Trong phần tiếp theo, ta giới thiệu vành Grothendieck có tác động để đến khái niệm quan trọng viết thớ Milnor motivic nhắc lại Định lí 3.7 Denef Loeser mối liên hệ phân thớ Milnor cổ điển phân thớ Milnor motivic Sau đó, phải làm việc với đa thức không suy biến tương ứng với đa diện Newton nó, ta nhắc lại khái niệm đưa khái niệm đa thức không suy biến theo nghĩa Kouchnirenko Cuối ta chứng minh Định lí 3.19 đưa cơng thức cho phân thớ motivic đa thức không suy biến theo nghĩa Kouchnirenko đưa ví dụ Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi nón đa diện lồi Trong phần này, ta nhắc lại số khái niệm tập lồi nón đa diện lồi Các khái niệm định nghĩa mục tham khảo [4] Định nghĩa 1.1 Cho M tập thuộc Rd Không gian affine nhỏ chứa M (giao tất không gian afine Rd chứa M ) gọi bao affine M , kí hiệu aff M Định nghĩa 1.2 Tập C thuộc Rd gọi tập lồi λ1x1 + λ2x2 thuộc C với x1, x2 ∈ C λ1, λ2 ∈ R cho λ1 + λ2 = 1, λ1, λ2 ≥ Ví dụ 1.3 Một ví dụ quan trọng tập lồi nửa không gian Với b ̸= ∈ Rn β ∈ R bất kì, tập {x | ⟨x, b⟩ ≤ β}, {x | ⟨x, b⟩ ≥ β} gọi nửa khơng gian đóng Các tập {x | ⟨x, b⟩ < β}, {x | ⟨x, b⟩ > β} gọi nửa không gian mở Cả tập khác rỗng tập lồi Định nghĩa 1.4 Theo định nghĩa tập lồi, giao tập lồi tập lồi Do đó, với tập M thuộc Rd, tồn tập lồi nhỏ thuộc Rd chứa M Tập gọi bao lồi M Rd, kí hiệu conv M Định nghĩa 1.5 Cho tập lồi C thuộc Rd Phần tương đối C định nghĩa phần C bao affine aff C C kí hiệu ri C Định nghĩa 1.6 Với tập lồi C ⊂ Rd cho trước, véc tơ d định nghĩa hướng co rút C x + αd ∈ C với x ∈ C α ≥ Định nghĩa 1.7 Ta định nghĩa tập N ⊂ Rd lưới đẳng cấu với Zn, n ∈ N Gọi V = NR khơng gian Rd sinh véc tơ N Một nón đa diện lồi tập Rd có dạng σ = {r1v1 + · · · + rsvs : ri ∈ R, ri ≥ 0} v1, , vs ∈ V Các véc tơ vi gọi phần tử sinh σ Chiều nón đa diện lồi dim σ chiều khơng gian tuyến tính R · σ = σ + (σ) ⊂ Rd đối chiều σ dim V − dim σ Nón đối ngẫu σ∨ σ cho σ∨ = {u ∈ V ∗ : ⟨u, v⟩ ≥ for all v ∈ V } Định nghĩa 1.8 Cho tập lồi C ⊂ Rd Một siêu phảng H ⊂ Rd gọi siêu phẳng tựa C C chứa trong nửa không gian bị chặn H H chứa điểm biên C Định nghĩa 1.9 Cho nón đa diện lồi σ Ta định nghĩa τ mặt σ τ = σ ∩ u⊥ = {v ∈ σ : ⟨v, u⟩ = 0} với u ∈ σ∨ Mặt τ σ gọi mặt thực σ τ ̸= σ Hơn nữa, τ có đối chiều σ ta nói τ diện σ Định nghĩa 1.10 Cho σ nón đa diện lồi Khi đó, ta nói σ nón đa diện lồi hữu tỉ tập phần tử sinh σ: {v1, , vr} thuộc lưới N Rd Định nghĩa 1.11 Một tập F gồm hữu hạn nón đa diện lồi hữu tỉ gọi quạt thỏa mãn Mọi mặt khác rỗng nón F chứa F Giao hai nón Ci Cj F mặt Ci Cj Mệnh đề 1.12 [5] Cho σ nón đa diện lồi, {v1, , vr} tập phần tử sinh σ, u ∈ σ∨, τ = σ ∩ u⊥ Khi đó, ta có khẳng định sau (1) τ nón đa diện lồi (2) Mọi mặt τ mặt σ (3) Với mặt τ ′ ̸= τ σ, τ ∩ τ ′ mặt σ (4) Nếu τ mặt thực σ τ chứa diện σ Hơn nữa, τ giao tất diện σ chứa τ 1.2 Lược đồ nhánh không gian cung Trong phần này, ta nhắc lại khái niệm lược đồ nhánh không gian cung trình bày số tính chất quan trọng liên quan đến khái niệm 1.2.1 Lược đồ nhánh Định nghĩa 1.13 Cho k trường đóng đại số, X lược đồ kiểu hữu hạn k, m ∈ Z≥0 Một lược đồ kiểu hữu hạn k gọi lược đồ nhánh thứ m X, kí hiệu Lm(X) với k- đại số A ta có đẳng ΣΣ cấu sau Σ Hom (Spec(A), Lm(X)) ≃ Hom Spec A[t]/ tm+1 , X Nói cách khác, hàm tử đưa lược đồ X vào lược đồ nhánh thứ m X ΣΣ liên hợp phải toán tử Spec(A) ›→ Spec(A) ×k Spec k[t]/ tm+1 Ví dụ 1.14 Với X = Cd, ta có Σn (1) i Ln(X) = Σ Σ Σ (d) (j) i i= t , · · · , n i=0 , với ∈ C t ∼= C(n+1)d Do Lm(X) lược đồ kiểu hữu hạn C, hồn toàn xác định hạn chế hàm tử điểm lên lược đồ affine k, [6] Do Lm(X) sai khác đẳng cấu tồn Σ Với m > n, ta có ánh xạ lược bỏ A[t]/ m+1 t A[t]/ t cảm sinh → ΣΣ ΣΣ phép nhúng Spec A[t]/ tn+1 ‹→ SpecΣ A[t]/ tm+1 Do đó, n+1 Lm(X) Ln(X) tồn tại, ta có phép chiếu πm,n : Lm(X) → Ln(X) Với m > n > k, ta có πn,k ◦ πm,n = πm,k Tiếp theo, ta chứng minh tồn lược đồ nhánh thứ m Lm(X) qua bước Bổ đề 1.15 [7] Cho X lược đồ kiểu hữu hạn k Giả sử lược đồ nhánh thứ m X tồn Khi đó, với tập mở U ⊂ X ta có Lm(U ) = π−1 (U m, ) ΣΣm+1 Chứng minh Ta có Spec(A) = Spec A[t]/ t hai khơng ΣΣ gian tô pô Gọi Spec(A) Spec A[t]/ tm+1 ánh xạ cảm sinh sinh → ΣΣ cấu xạ lược bỏ Ta biết Spec A[t]/ tm+1 X phân tích qua ΣΣ → U Spec(A) → Spec A[t]/ tm+1 → X phân tích qua U Một cấu xạ −1 Spec(A) → πm, (U ) ΣΣ tương đương với cấu xạ Spec A[t]/ tm+1 X cho hợp thành ΣΣ → Spec(A) Spec →A[t]/ tm+1 tích qua U Điều tương → X phân ΣΣ m+1 đương với cấu xạ Spec A[t]/ t → X phân tích qua U qua −1 chứng minh Lm(U ) = m, π (U ) Mệnh đề 1.16 [7] Cho X lược đồ kiểu hữu hạn k, m ∈ Z≥0 Khi đó, lược đồ nhánh thứ m X tồn Chứng minh Ta chứng minh trường hợp X affine trước Giả sử X affine Khi đó, ta viết X = Spec (k [x1, , xn] /I) với ideal I ΣΣ = (f1, , fr) Một cấu xạ từ Spec A[t]/ tm+1 X tương đương m+1 với cấu xạ ϕ : k [x→ Theo tính chất phổ 1, , xn] /I → A[t]/ t dụng vành đa thức, cấuΣ xạ ϕ tạo thành từ việc thiết lập Σ phần tử gi = ϕ (xi) = m j j= ai,jt thỏa mãn fl (g1, , gn) = với l ∈ {1, , r} Điều kiện cuối tương đương fl (g1, , gn) = Σ m hl, s= s Σ i,j (ai,j ) t s với hl,s Điều thực nhờ khai triển đa thức bên lấy hệ số theo ts Cuối cùng, ta định nghĩa Lm(X) := Spec(k [x1,0, , xn,m] / (hl,s)l,s ) Σ Theo xây dựng trên, lược đồ thỏa mãn điều kiện định nghĩa 1.13 với phép chiếu tự nhiên πm,p : Lm(X) → Lp(X) cho xi,j ›→ xi,j ,γ ∩∆Jγ ,tồn (n,k ) phân thớ tầm thường địa phương π: X (n) Jγ,a → Xγ(0) |Jγ |(ℓJγ (a)+k)−s(a)−k với thớ A C Σ (n) | | − Σ s(a Σ Hệ ta đẳngX thức = Xγ (1)L Jγ ℓJγ ) XJ (n) sau , (a) γ Σ Jγ,a vớiM: a ∈ σJγ (n,k) ∩ , Jγ ∆ J a ∈ σJγ ,γ ,γ ∩ = Xγ (0)L|Jγ |(ℓJγ (a)+k)−s(a)−k với k ∈ N∗ γ ∆ Chứng minh Ta cần chứng minh cho trường hợp Jγ = [d] Đặt a = (a1, , ad) thuộc σγ ∩∆(n,0), n = ℓ(a) γ = γa Một phần tử [d ] φ(t) (n, có0) Xℓ(a), (f) a j=a ) có dạng Σ j=a j b1j t , , Σℓ(a) d Σ bdj tj với bia i ̸= 0, ≤ i ≤ d Hệ ℓ(a) ℓ(a) f (φ(t)) a (1) fsốγ t (b , , ) với (b , , ) ∈ 1a 1a X bdaánh γa dad d1 Hệ số khác với a ∈ γa ∅ Xét xạ θ : bℓ(a), dℓ(a)−s(a) (f ) 1→ (1)×A , a σ X Xγa C Σ θ : φ(t) ›→ (biai )1≤i≤d , (bij )1≤i≤d,ai