BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2013 Mơn:Tốn Thời gian:180 phút Ngày thi thứ nhất: 11/01/2013 Bài 1(5,0 điểm): 1 cos y sin x sin x cos y Giải hệ phương trình sau: 1 2 sin y sin y cos x cos2 x 20 y x y 20 x x y Bài 2(5,0 điểm): Cho dãy số xác định sau: a a 2 an1 n an , n Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn Bài 3(5,0 điểm): Cho tam giác khơng cân ABC Kí hiệu (I) đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC D,E,F tiếp điểm (I) với BC,CA,AB Đường thẳng qua E vng góc BI cắt (I) K khác E, đường thẳng qua F vuông góc CI cắt (I) L khác F Gọi J trung điểm KL a) Chứng minh D,I,J thẳng hàng b) Giả sử B,C cố định, A thay đổi cho tỷ số ABAC=k không đổi Gọi M,N tương ứng giao điểm IE,IF với (I) (M khác E, N khác F) MN cắt IB,IC P,Q Chứng minh đường trung trực PQ qua điểm cố định Bài 4(5,0 điểm): Cho trước số số tự nhiên viết đường thẳng Ta thực bước điền số lên đường thẳng sau: bước, trước tiên xác định tất cặp số kề có đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau điền vào cặp số bẳng tổng hai số thuộc cặp Hỏi sau 2013 bước, số 2013 xuất lần đường thẳng trường hợp sau: a) Các số cho trước là: 1000? b) Các số cho trước là: 1,2, ,1000 xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải Mơn:Tốn Thời gian:180 phút Ngày thi thứ hai: 12/01/2013 Bài 5: (7,0 điểm) Tìm tất hàm số f: R → R thỏa f(0) = 0; f(1) = 2013 x y f f x f f y f x f y f x f y với x, y R, f2(x)=(f(x))2 Bài 6: (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) D thuộc cung BC không chứa điểm A Đường thẳng thay đổi qua trực tâm H tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH tam giác ACH M, N (M, N khác H) a)Xác định vị trí đường thẳng để diện tích tam giác AMN lớn b)Kí hiệu d1 đường thẳng qua M vng góc DB, d2 đường thẳng qua N vng góc DC Chứng minh giao điểm P d1 d2 ln thuộc đường trịn cố định Bài 7: (6,0 điểm) Tìm tất thứ tự (a, b, c, a′, b′, c′) thỏa mãn ab a ' b ' 1 mod 15 1 ac a ' c ' mod 15 bc b ' c ' mod 15 Với a, b, c, a′, b′, c′ {0,1 14} 2 3 LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2013 Bài 1(5,0 điểm): 1 20 y cos y sin x 2 x y sin x cos y Giải hệ phương trình sau: 1 20 x 2 sin y sin y cos x cos2 x x y Cách 1: Cách 2: Bài 2(5,0 điểm): Cho dãy số xác định sau: a a 2 an1 n an , Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn n Bài 3(5,0 điểm): Cho tam giác khơng cân ABC Kí hiệu (I) đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC D,E,F tiếp điểm (I) với BC,CA,AB Đường thẳng qua E vng góc BI cắt (I) K khác E, đường thẳng qua F vuông góc CI cắt (I) L khác F Gọi J trung điểm KL a) Chứng minh D,I,J thẳng hàng b) Giả sử B,C cố định, A thay đổi cho tỷ số ABAC=k không đổi Gọi M,N tương ứng giao điểm IE,IF với (I) (M khác E, N khác F) MN cắt IB,IC P,Q Chứng minh đường trung trực PQ qua điểm cố định Giải: a) b) Bài 4(5,0 điểm): Cho trước số số tự nhiên viết đường thẳng Ta thực bước điền số lên đường thẳng sau: bước, trước tiên xác định tất cặp số kề có đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau điền vào cặp số bẳng tổng hai số thuộc cặp Hỏi sau 2013 bước, số 2013 xuất lần đường thẳng trường hợp sau: a) Các số cho trước là: 1000? b) Các số cho trước là: 1,2, ,1000 xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải Giải: a) Ta cần quan tâm đến số ≤2013, tức số đầu hàng, cịn số >2013 khơng cần quan tâm: Đầu tiên ta viết 1000 Sau bước đầu 1001 1000 Sau bước 1002 1001 2001 1000 Sau bước 1003 1002 2003 Sau bước 1004 1003 2005 1002 Sau bước 1005 1004 2007 1003 Sau bước 1006 1005 2009 Sau bước 1007 1006 2011 Sau bước 1008 1007 2013 Lúc xuất số 2013, ta làm tiếp đến bước 1013 dãy trở thành: 2013 2012 4023 Sau tồn số hạng xuất tr0ng dãy > 2013 khơng cịn số 2013 xuất thêm ! Vậy có lần xuất b) Xét cặp số n n + Khi thực thao tác ta có số 2n + Số tiếp tục thao tác với n n+1 Do số tạo thao tác có dạng an + b(n + 1) xn n + yn, xn, yn∈N*,xn − ≥ yn Khi đó, số số 2013 xuất đường thẳng tổng số nghiệm (xn,yn) pt xn n + yn = 2013 với n chạy từ đến 999 Vì giá trị xn thoả mãn điều kiện tương ứng với giá trị yn nên ta cần tìm số giá trị nhận xn Xét pt xn n + yn = 2013 Ta có Bài 5: (7,0 điểm) Tìm tất hàm số f: R → R thỏa f(0) = 0; f(1) = 2013 x y f f x f f y f x f y f x f y với x, y R, f2(x)=(f(x))2 Bài 6: (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) D thuộc cung BC không chứa điểm A Đường thẳng thay đổi qua trực tâm H tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH tam giác ACH M, N (M, N khác H) a)Xác định vị trí đường thẳng để diện tích tam giác AMN lớn b)Kí hiệu d1 đường thẳng qua M vng góc DB, d2 đường thẳng qua N vng góc DC Chứng minh giao điểm P d1 d2 thuộc đường tròn cố định ... bc b ' c ' mod 15 Với a, b, c, a′, b′, c′ {0,1 14} 2 3 LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2013 Bài 1(5,0 điểm): 1 20 y cos y sin x 2 x y sin x cos...Mơn:Tốn Thời gian:180 phút Ngày thi thứ hai: 12/01/2013 Bài 5: (7,0 điểm) Tìm tất hàm số f: R → R thỏa f(0) = 0; f(1)... giác AMN lớn b)Kí hiệu d1 đường thẳng qua M vng góc DB, d2 đường thẳng qua N vng góc DC Chứng minh giao điểm P d1 d2 thuộc đường trịn cố định Bài 7: (6,0 điểm) Tìm tất thứ tự (a, b, c, a′, b′, c′)