• Khoảng cách từ MỘT ĐIỂM tới ĐƯỜNG THẲNG d(M,Δ) = |
• Khoảng cách từ MỘT ĐIỂM tới ĐƯỜNG THẲNG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝒖 |[ 𝑴𝑵 ⃗ ]| d(M,Δ) = với d: { |𝒖 ⃗| 𝑁(𝑥; 𝑦; 𝑧) M điểm đề yêu cầu 𝑉𝑇𝐶𝑃 𝑢 ⃗ = (𝑎; 𝑏; 𝑐) • Khoảng cách từ MỘT ĐIỂM tới MẶT PHẲNG d(M,(α)) = |𝒂𝒙𝑴 +𝒃𝒚𝑴 +𝒄𝒛𝑴 +𝒅| √𝒂𝟐 +𝒃𝟐 +𝒄𝟐 với (α): ax + by + cz + d = M(xM; yM; zM) điểm đề yêu cầu 𝑛⃗ = (𝑎; 𝑏; 𝑐) • Khoảng cách hai ĐƯỜNG THẲNG d(Δ,d) = với Δ: { 𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑉𝑇𝐶𝑃 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢Δ d: { |[ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗𝒅 ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒖𝚫 ,𝒖 𝑴𝑵| |[ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗𝒅 ]| 𝒖𝚫 ,𝒖 𝑁(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑉𝑇𝐶𝑃 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢d • Góc hai VECTO ⃗ ⃗𝒃 𝒂 𝒂𝟏 𝒃𝟏 +𝒂𝟐 𝒃𝟐 +𝒂𝟑 𝒃𝟑 cos α = = ⃗| ⃗| |𝒂 |𝒂 ⃗ | |𝒃 ⃗ | |𝒃 • Góc hai MẶT PHẲNG cos α = |⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗𝟐 | 𝒏𝟏 𝒏 |⃗⃗⃗⃗ 𝒏𝟏 | |⃗⃗⃗⃗ 𝒏𝟐 | với (P) có VTPT ⃗⃗⃗⃗ 𝑛1 α góc (P) (Q) (Q) có VTPT ⃗⃗⃗⃗ 𝑛2 • Góc hai ĐƯỜNG THẲNG cos α = |⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗𝟐 | 𝒖𝟏 𝒖 |𝒖 ⃗⃗⃗⃗𝟏 | |⃗⃗⃗⃗ 𝒖𝟐 | với (Δ1) có VTCP ⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 α góc (Δ1) (Δ2) (Δ2) có VTCP ⃗⃗⃗⃗ 𝑢2 • Vị trí tương đối HAI ĐƯỜNG THẲNG với d1: { 𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑁(𝑥; 𝑦; 𝑧) ; d2: { 𝑉𝑇𝐶𝑃 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 𝑉𝑇𝐶𝑃 ⃗⃗⃗⃗ 𝑢2 Xét ⃗⃗⃗⃗ 𝒖𝟏 , ⃗⃗⃗⃗ 𝒖𝟐 có phương ? CĨ KHƠNG d1 ≡ d2 d1 // d2 M1 vô d2 → SAI d1 chéo d2 M1 vô d2 → ĐÚNG Ptts d1 = Ptts d2 → VÔ NGHIỆM Ptts d1 = Ptts d2 → CÓ NGHIỆM ⃗ = [ ⃗⃗⃗⃗ 𝒏 𝒖𝟏 , ⃗⃗⃗⃗ 𝒖𝟐 ] ≠ ⃗ = [ ⃗⃗⃗⃗ 𝒏 𝒖𝟏 , ⃗⃗⃗⃗ 𝒖𝟐 ] = Thay M vào d2 M không thuộc d2 d1 cắt d2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑴𝑵 𝒏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 𝟎 ⃗ 𝑴𝑵 𝒏 M thuộc d2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟎 ⃗ 𝑴𝑵 𝒏 • Vị trí tương đối HAI MẶT PHẲNG với (α): Ax + By + Cz + D = (β): ax + by + cz + d = 𝑨 = 𝒂 𝑨 = 𝒂 𝑩 𝑪 𝑫 = ≠ 𝒃 𝒄 𝒅 𝑩 𝑪 𝑫 = = 𝒃 𝒄 𝒅 𝑨 𝑩 𝑩 𝑪 𝑨 𝑪 ≠ 𝒉𝒂𝒚 ≠ 𝒉𝒂𝒚 ≠ 𝒂 𝒃 𝒃 𝒄 𝒂 𝒄 (α) // (β) (α) ≡ (β) (α) ∩ (β) (α) ﬩ (β) Aa + Bb + Cc = • Vị trí tương đối ĐƯỜNG THẲNG MẶT PHẲNG 𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑎𝑡 với d: { 𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑏𝑡 𝑧 = 𝑧𝑜 + 𝑐𝑡 mp (α): Ax + By + Cz + D = M(xo; yo; zo), 𝑢 ⃗⃗⃗⃗𝑑 = (𝑎; 𝑏; 𝑐) Cách 1: Xét pt: A(xo + at) + B(yo + bt) + C(zo + ct) + D = (ẩn t) • Phương trình vơ nghiệm: d // (α) • Phương trình có nghiệm: d cắt (α) điểm M(xo + at; yo + bt; zo + ct) [thay t vào] • Phương trình ln đúng: d chứa (α) Cách 2: ⃗⃗⃗⃗𝐝 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒖 𝒏𝜶 ⃗⃗⃗⃗𝐝 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒖 𝒏𝜶 = 𝟎 Thay M vào (α) M không thuộc (α) → d // (α) M thuộc (α) → d chứa (α) ⃗⃗⃗⃗𝐝 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒖 𝒏𝜶 ≠ 𝟎 d cắt (α)