Đề thi học kì II, môn toán, năm học 2013 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn thi: Tốn – Lớp 11 Thời gian làm bài: 120 phút Câu (3,0 điểm) a, Tìm lim x →2 2x − x2 − b, Cho hàm số y = 2x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x +1 điểm có hồnh độ x = −2 Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân; đồng thời chúng số hạng đầu, số hạng thứ hai số hạng thứ tư cấp số cộng Tìm x, y, z biết tổng chúng 14 1 − − x x >  x Câu (1,0 điểm) Cho hàm số f ( x) =   x − x + x ≤  Xét tính liên tục hàm số cho tồn trục số Câu (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, đường thẳng AB’ tạo với mp(BCC’B’) góc 300 a, Tính AA’ cosin góc tạo hai đường thẳng AB’ BC b, Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính khoảng cách từ G đến mp(AB’C’) Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, ∆SAD vng S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a , SD = a a, Chứng minh mp(SAD) ⊥ mp(SAB) b, Tính góc hợp hai mặt phẳng (SCD), (ABCD) khoảng cách hai đường thẳng AD, SC Câu (1,0 điểm) a, (Dành cho học sinh chuyên Toán, Lý, Hoá, Tin) Cho dãy số (un ) xác định sau: ( n + + n )un = 1007 , với n ∈ N * Chứng minh u1 + u2 + + u2014 < 2n + 1008 b, (Dành cho học sinh chuyên Anh) Cho hàm số f ( x) = sin x − cos x − cos x + x Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f ' ( x) - HẾT Ghi chú: Cán coi thi khơng phải giải thích thêm! ĐÁP ÁN Câu (3 điểm) 2x − 2( x − 2) = lim = lim = x → x → x −4 ( x − 2)( x + 2)( x + 2) ( x + 2)( x + 2) b, (1,5 điểm) ĐK: x ≠ −1 Ta có y ' ( x) = ( x + 1) Với x = −2 thay vào hàm số cho ta y = Hệ số góc phương trình tiếp tuyến y ' (−2) = Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = 1.( x + 2) + hay y = x + Câu (1 điểm) Vì ba số x, y, z theo thứ tự số hạng đầu, số hạng thứ hai số hạng thứ tư cấp số cộng nên ta gọi ba số u , u + d , u + 3d a, (1,5 điểm) lim x →2  d =  u = 14 u (u + 3d ) = (u + d ) d (u − d ) = ⇔ ⇔  Theo ta có hệ  u + d = 14 u + d = 14    u = d = 14 14 14 Vậy ba số x, y, z cần tìm , , 2,4,8 3 Câu (1 điểm) TXĐ: R Nếu x < f ( x) = x − x + (−∞ ;0) hàm đa thức, suy hàm số f(x) liên tục 1− 1− x Nếu x > f ( x) = x − − x − − x0 f ( x) = lim = = f ( x0 ) Lấy x0 ∈ (0;+∞) bất kì, ta có xlim →x x→ x 0 x x0 Suy hàm số f(x) liên tục x0 , hàm số f(x) liên tục (0;+∞) Xét điểm x = , ta có f (0) = 1 lim f ( x) = lim− ( x − x + ) = x →0 3 1− 1− x 1 lim+ f ( x) = lim+ = lim+ = x→0 x →0 x →0 x + − x + (1 − x ) x →O − f ( x) = lim f ( x) = f (0) , hàm số f(x) liên tục x = Suy xlim →0 x →0 Vậy hàm số cho liên tục toàn trục số Câu (2 điểm) a, (1 điểm) Giả sử AA' = x > Kẻ AH ⊥ BC (H trung điểm BC), BB' ⊥ ( ABC ) nên + − BB ' ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( BCC ' B ' ) ⇒ ∠AB' H = ∠( AB' , ( BCC ' B ' )) = 300 AB a AH = , AB ' = AB + BB'2 = a + x ⇒ = sin 300 = ⇒ AB ' = AH 2 AB ' ⇒ a + x = 3a ⇒ x = a ⇒ AA' = a B ' C ' // BC nên cos( AB' , BC ) = cos( AB ' , B' C ' ) = cos ∠AB' C ' (1) AH = Ta có AB' = AH = a , tương tự AC ' = a , suy AB'2 + B ' C '2 − AC '2 cos ∠AB ' C ' = = = AB '.B ' C ' A (2) C G b, (1 điểm) Gọi H’ trung điểm B’C’ Kẻ GK ⊥ AH ' Vì BC ⊥ ( AHH ' ) nên B' C ' ⊥ ( AHH ' ) ⇒ B' C ' ⊥ GK ⇒ GK ⊥ ( AB' C ' ) (3) H Từ (1) (2) suy cos( AB' , BC ) = AG = a a 11 AH = , AH ' = AH + HH '2 = 3 K B C' A' Sử dụng hai tam giác đồng dạng AGK AH’H H' 2a 66 (4) ⇒ GK = 33 Từ (3) (4) ⇒ d (G, ( AB' C ' )) = B' 2a 66 33 Câu (2 điểm)  AB ⊂ ( ABCD)  ⇒ AB ⊥ ( SAD) ⇒ ( SAB) ⊥ ( SAD) a, (1 điểm) Vì  AB ⊥ AD ( ABCD) ⊥ ( SAD)  b, (1 điểm) Tương tự a, ta có CD ⊥ ( SAD) ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∠(( SCD ), ( ABCD)) = ∠SDA SA = ⇒ ∠SDA = 600 mà tan ∠SDA = S SD ⇒ ∠((SCD ), ( ABCD)) = 60 H' Kẻ SH ⊥ AD , tương tự a, ⇒ SH ⊥ ( ABCD) Vì BC // AD nên ( SBC ) // AD ⇒ d ( AD, SC ) = D d ( H , ( SBC )) (1) Kẻ HK ⊥ BC ( HK // AB) , kẻ HH ' ⊥ SK H K Vì BC ⊥ (SHK ) nên BC ⊥ HH ' ⇒ HH ' ⊥ ( SBC ) (2) AB = AD = SA2 + SD = 2a ⇒ HK = 2a A a 3.a a ∆SHK vuông H nên = 2a 1 19 2a 57 (3) = + = 2+ = ⇒ HH ' = 2 2 H'H HS HK 3a 4a 12a 19 2a 57 Từ (1), (2), (3) ⇒ d ( AD, SC ) = 19 SH AD = SA.SD = 2dt (∆SAD) ⇒ SH = Câu (1 điểm) a, (Dành cho học sinh chuyên Toán, Lý, Hoá, Tin) Ta có uk = 2( k + − k ) = 2k + (2k + 1)( k + + k ) B C k +1 − k 1 = − k (k + 1) k k +1 1 1 1 + − + + − =1− Do u1 + u2 + + uk < − 2 k k +1 k +1 2 k =1− k (k + 1) nên uk < b, (Dành cho học sinh chuyên Anh) Ta có f ' ( x) = cos x + sin x + cos x sin x + ⇒ y = sin x + cos x + sin x cos x + Đặt t = sin x + cos x , đk: − ≤ t ≤ ⇒ sin x cos x = t2 −1 [ Bài tốn qui tìm GTLN, GTNN hàm số y = t + t − ; Ta có bảng biến thiên: t y − − − 2− Từ bảng biến thiên suy GTLN + , GTNN − ] ... (2), (3) ⇒ d ( AD, SC ) = 19 SH AD = SA.SD = 2dt (∆SAD) ⇒ SH = Câu (1 điểm) a, (Dành cho học sinh chuyên Toán, Lý, Hố, Tin) Ta có uk = 2( k + − k ) = 2k + (2k + 1)( k + + k ) B C k +1 − k 1 = −... k+2 k +1 4k + k + 4k + k u1 + u2 + + uk < Với k = 2014 ta có điều phải chứng minh k+2 Vì 2k + = k + ( k + 1) > k (k + 1) nên uk < b, (Dành cho học sinh chuyên Anh) Ta có f ' ( x) = cos x + sin... cos x = t2 −1 [ Bài tốn qui tìm GTLN, GTNN hàm số y = t + t − ; Ta có bảng biến thi? ?n: t y − − − 2− Từ bảng biến thi? ?n suy GTLN + , GTNN − ]