Đang tải... (xem toàn văn)
https //thuvientoan net/ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN VÀO LỚP 10 THPT QUÃNG NGÃI TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN TOÁN CHUYÊN Ngày thi 04/06/2021 Thời gian làm bài 150 phút,[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUÃNG NGÃI ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN VÀO LỚP 10 THPT TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT NĂM HỌC: 2021 – 2022 MÔN: TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 04/06/2021 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu (1,5 điểm) a 1 với a 0, a : a a a aa a Cho hàm số y m x ( m tham số) có đồ thị đường thẳng d Rút gọn biểu thức: A a) Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến b) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d Câu (1,5 điểm) Cho a số nguyên lẽ không chia hết cho Chứng minh a 20212 chia hết cho 24 Cho số nguyên tố p, q thỏa mãn p q số phương Chứng minh rằng: a) p 2q b) p q 2021 số phương Câu (1,5 điểm) x xy y a) Giải hệ phương trình: x y y b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x x m có hai nghiệm dương phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 x1 m x2 c) Cho a, b, c số thực đôi khác thỏa mãn c a c b Chứng minh rằng: 1 2 a b c a a b Câu (3,5 điểm) Cho đường trịn tâm O, bán kính R 4cm hai điểm B, C cố định O , BC khơng đường kính Điểm A thay đổi O cho tam giác ABC nhọn Gọi D, E , F chân đường cao kẻ từ A, B, C tam giác ABC CAO a) Chứng minh BAD b) Gọi M điểm đối xứng A qua BC , N điểm đối xứng B qua AC Chứng minh CD CN CE CM c) Trong trường hơp điểm C , M , N thẳng hàng, tính độ dài đoạn thẳng AB d) Gọi I trung điểm BC Đường thẳng AI cắt EF K Gọi H hình chiếu vng góc K lên BC Chứng minh đường thẳng AH qua điểm cố định A thay đổi Câu (1,0 điểm) Cho tập hợp S gồm n số nguyên dương đôi khác n 3 thỏa mãn tính chất tổng ba phần từ S số ngun tố Tìm giá trị lớn có n -HẾT https://thuvientoan.net/ LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu (1,5 điểm) a 1 với a 0, a : a a a aa a Rút gọn biểu thức: A 2 Cho hàm số y m x ( m tham số) có đồ thị đường thẳng d a) Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến b) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d Lời giải Với a 0, a 1, ta có: A a 1 a 1 : : a a a aa a a a a 1 a a a 1 a Vậy A a 1 a a 1 a 1 a 1 : a 1 a a a 1 a a 1a a 1 a a a 1 a 1 a 1 a 1 a) Hàm số đồng m m Vậy m giá trị cần tìm b) Khoảng cách từ O đến đường thẳng d khi: m m 2 m 2 2 m 2 1 m m 2 Vậy m 3, m giá trị cần tìm Câu (1,5 điểm) Cho a số nguyên lẽ không chia hết cho Chứng minh a 20212 chia hết cho 24 Cho số nguyên tố p, q thỏa mãn p q số phương Chứng minh rằng: a) p 2q b) p q 2021 khơng phải số phương Lời giải Do a không chia hết a mod 3 https://thuvientoan.net/ Mà 2021 mod 3 20212 mod 3 Suy ra: a 20212 mod 3 Hay a 20212 chia hết cho Mặt a số nguyên lẽ nên a k 1, k Suy a 20212 a 2021 a 2021 2k 20212 k 2021 k 1010k 1011 Vì k 1010k 1011 tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia k 1010k 1011 chia hết cho Suy ra: k 1010k 1011 chia hết cho hay a 20212 chia hết cho Mà gcd 3;8 a 20212 chia hết cho 24 a) Ta có: p q a với a * , a q a q a q 1 Vì p, q số nguyên tố nên: p a q a q a q p p 2q Khi p q 2 q 1 q q 1 số phương b) Giả sử p q 2021 b với b * Ta có: p q 2021 b q 2021 b p qm với m, n * , m n 2021 m n b p b q n b p q Khi ta có: q n q mn 1 q m q n p Vì p, q số nguyên tốt nên q n q n p q Nếu q n m 10 m1 5, vơ lí n n q 2q 1 q 1, vơ lí Nếu q n p q p Vậy p q 2021 khơng phải số phương Câu (1,5 điểm) 2 x xy y Giải hệ phương trình: x y y Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x x m có hai nghiệm dương phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 x1 2m x2 3 Cho a, b, c số thực đôi khác thỏa mãn c a c b Chứng minh rằng: a b https://thuvientoan.net/ c a c b Lời giải a) Điều kiện: x y Phương trình thứ hệ tương đương: x xy xy y x 2 x y y 2 x y 2x y 2 x y x y x 4 y Với y x, thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: x x x 1 x x y 3 2 x x 1 x Với x 4 y, thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: y 16 y y 1 y , vô nghiệm 2 16 y y 1 y 2 Vậy hệ cho nghiệm x; y ; 3 52 2 m 2 33 b) Phương trình có nghiệm dương phân biệt S 1 m P 2m x x2 Theo định lý Viete ta có: Suy ra: m x1 x2 x1 5 x1 x1 x2 2m Ta có: x12 x1 m x2 x12 x1 x1 5 x1 x1 x1 x1 x1 5 x1 x1 5 x1 x12 x1 x 1 x1 Với x1 x2 2m m Với x1 x2 2m m Vậy trường hợp m giá trị cần tìm c) Đặt x c b, y c a xy https://thuvientoan.net/ x y 1 1 Ta có: 2 2 2 2 y 16 a b c a c b x y x x y 1 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: x y 16 Từ suy ra: a b c a x y c b x y 2 16 1 x y x 1 x 1 x y Đẳng thức xảy y xy y a c x 1 a c 1 , c Với y b c b c a 1 c x 1 a c 1 , c Với y b c b c Từ ta có điều phải chứng minh Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R 4cm hai điểm B, C cố định O , BC không đường kính Điểm A thay đổi O cho tam giác ABC nhọn Gọi D, E , F chân đường cao kẻ từ A, B, C tam giác ABC CAO a) Chứng minh BAD b) Gọi M điểm đối xứng A qua BC , N điểm đối xứng B qua AC Chứng minh CD CN CE CM c) Trong trường hơp điểm C , M , N thẳng hàng, tính độ dài đoạn thẳng AB d) Gọi I trung điểm BC Đường thẳng AI cắt EF K Gọi H hình chiếu vng góc K lên BC Chứng minh đường thẳng AH qua điểm cố định A thay đổi Lời giải 1800 AOC AOC BAD a) Ta có: CAO 900 900 ABC 2 b) CAM cân C nên CM CE CA CE (1) CBN cân C nên CN CD CB CD (2) Mặt khác tứ giác ABDE nên tiếp nên CA CE CD CB (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: CD CN CE CM https://thuvientoan.net/ N A E F O B D C M BCA ACN c) Ta có: MCB BCA 600 ACN 1800 BCA Khi C , M , N thẳng hàng MCB R sin 600 R Khi ta có: AB R sin BCA A E J F B K O R D H I C d) Gọi J trung điểm EF , ta có IE IF tứ giác BEFC nội tiếp đường trịn tâm I , đường kính BC Suy IJ EF KHI 900 tứ giác HJKI nội tiếp HJK AIC (1) Ta có IJK Vì I , J trung điểm BC EF mà ABC AEF nên AJF AIC Suy ra: AJF AIC (2) Từ (1) (2) suy ra: HJK AJF Hay A, J , H thẳng hàng https://thuvientoan.net/ FAJ IAC ABH AEK Suy BAH Gọi T giao điểm hai tiếp tuyến kẻ từ B C đường tròn O T cố định Gọi R trực tâm ABC AD, BE , CF đồng quy R ICF Tam giác BFC vng F có FI trung tuyến nên IF IC IFC cân I RFI ICF FAR Tứ giác RFAE nội tiếp đường tròn đường kính AR có RFI Suy IF tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AFE Chứng minh tương tự ta có IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AFE Ta thấy AFE ABC , ABH AEK , AK qua I giao điểm hai tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AFE nên suy AH qua điểm T giao điểm hai tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác T cố định nên suy đường thẳng AH qua điểm cố định Câu (1,0 điểm) Cho tập hợp S gồm n số nguyên dương đôi khác n 3 thỏa mãn tính chất tổng ba phần từ S số nguyên tố Tìm giá trị lớn có n Lời giải Theo nguyên lí Dirichle với số nguyên dương chia cho ln tồn hai số có số dư Khơng tính tổng qt giả sử a1 , a2 hai số có số dư Xét số cịn lại có số dư a1 , a2 Không tỉnh tổng quát a3 có số dư với a1 , a2 a1 a2 a3 chia hết cho a1 a2 a3 hợp số, vơ lí Vậy số cịn lại với có số dư khác a1 , a2 Theo nguyên lí Dirichle số cịn lại có số có dư, phải có hai số có số dư Giả sử a3 , a4 có số dư a5 có số dư khác với hai số dư lại Rõ ràng a1 , a3 , a5 có số dư chia hết cho hoán vị 0; 1; 2 nên suy a1 a3 a5 chia hết cho hay a1 a3 a5 hợp số Do n Với n 4, ta thấy số 1; 5; 7; 11 thỏa mãn vì: 13 11 17 11 19 11 23 Vậy n giá trị cần tìm Chúc bạn học tốt! -Like fanpage: https://www.facebook.com/thuvientoan.net Truy cập web để cập nhật tài liệu nhanh nhất: https://thuvientoan.net/ https://thuvientoan.net/ ... 20212 k 2021 k 101 0k 101 1 Vì k 101 0k 101 1 tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia k 101 0k 101 1 chia hết cho Suy ra: k 101 0k 101 1 chia hết cho hay a ... x 4 y Với y x, thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: x x x 1 x x y 3 2 x x 1 x Với x 4 y, thay vào phương trình thứ hai hệ ta... CD CN CE CM c) Trong trường hơp điểm C , M , N thẳng hàng, tính độ dài đoạn thẳng AB d) Gọi I trung điểm BC Đường thẳng AI cắt EF K Gọi H hình chiếu vng góc K lên BC Chứng minh đường thẳng
