Bài 11 phương trình vô tỷ của thầy phạm kim chung

- Bình luận - Từ ví dụ ta nhận thấy rằng, để chứng minh phương tình có nghiệm x = x ta thường sử dụng ( a; b ) ∈ D đó, đánh giá: VP > VT VP < VT Tuy nhiên đánh giá với khoảng từ suy luận cần chia nhỏ miền xác định D để làm chặt bất phương trình đánh giá - Để xác định khoảng chia, ta sử dụng vệc giải hệ bất phương trình ví dụ để tìm khoảng đánh giá thích hợp Ví dụ Giải phương trình 2x − 11x + 21 − 4x − = (VMO – 1995 Bảng B) - Phân tích - Ta nhận định phương trình có nghiệm x = (có thể sử dụng hỗ trợ từ máy tính bỏ túi), từ nảy sinh ý tưởng đánh giá xoay quanh giá trị x = ( 2x − 11x + 21 − 3 4x − = ( x − ) + x + − 3 4x − ) - Lại có: chứng minh x + − 4x − ≥ x + − 3 4x − ≥ ⇔ x + ≥ 3 4x − rằng: toán giải quyết, mà: ⇔ ( x − 3) ( x + 15 ) ≥ ( *) , lúc (*) với x ≥ −15 - Từ ý tưởng xử lý vấn đề sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình để làm ‘hẹp’ khoảng có nghiệm 3 Thật vậy: PT ⇔ 4x − = 2x − 11x + 21 > ⇒ 4x − > ⇒ x > Và ∀x > (*) hiển nhiên Lời giải 2 ( x − 3) + x + − 3 4x − = Phương trình cho tương đương với: Từ phương trình ban đầu ta có: 3 4x − = 2x − 11x + 21 > ⇒ 3 4x − > ⇒ x > x + − 3 4x − ≥ ⇔ x + ≥ 3 4x − ⇔ ( x − 3) ( x + 15 ) ≥ Mà: luông ∀x > 2 ( x − 3) + x + − 3 4x − ≥ Từ đó: , dấu ‘=’ xảy x = Hay phương trình cho có nghiệm x = - Chú ý: Trong số toán việc sử dụng điều kiện có nghĩa chưa đủ để sử dụng đánh giá phương trình, từ ta nghĩ đến phương án tìm điều kiện có nghiệm phương trình f ( x ) = g ( x ) , x ∈ D ( *) Bổ đề: Xét phương trình: f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ D, g( x) ≥ m - Nếu để phương trình (*) có nghiệm ta cần phải có ( ) ( ( ( - Nếu ( ) ) ) ) f ( x ) ≤ M, ∀x ∈ D, g ( x ) ≤ M để phương trình (*) có nghiệm ta cần phải có 3 Ví dụ Giải phương trình + 2x + − 2x = + 3x + − 3x - Phân tích Bài tốn nhìn có dáng dấp hàm số, nhiên phương pháp sử dụng hàm số với tốn khơng đơn giản Ta liên tưởng đến việc sử dụng đánh giá để thay Xét bất phương trình: 2 + 2x ≥ + 3x ⇔ ( + 2x ) ≥ ( + 3x ) ⇔ x ( + 8x ) ≥ − 2x ≥ − 3x ⇔ ( − 2x ) ≥ ( − 3x ) ⇔ x ( − 8x ) ≥  1 x ∈ − ;   2  khơng làm bất phương trình nghiệm đúng, từ ta nảy sinh Với điều kiện xác định ý tưởng làm hẹp khoảng đánh giá cách sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình Thật vậy: 3 Đặt + 2x + − 2x = + 3x + − 3x = u, ta có: u = + − 4x ≥ ⇒ u ≥ Trang ( ) u = + 3x + − 3x u ≥ ⇒ u = + 3.u − 9x 1 u3 − ⇒ − 9x = >0 ⇒− 0 ⇒− , Điều kiện 3 Suy + 2x − 3x > ⇔ − 3x > Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:  + ( + 2x ) 1 + 2x ≤  1.1 − 3x ≤ + + ( − 3x )  ⇒ < + 2x − 3x ≤ ( + x ) ( − x ) 2x + 2x + ≥ ( + x ) ( − x ) Ta chứng minh: (*) Thật vậy: ( *) ⇔ 2x + 3x ≥ ⇔ x ( 2x + 3) ≥ với x ≥ − hay (*) chứng minh Dấu ‘=’ xảy x = - Kết luận phương trình cho có nghiệm x = 3x + + x + x + + ( x + 1) Ví dụ Giải phương trình = ( 1− x) + 3−2 x Lời giải Điều kiện ≤ x ≤ Áp dụng bất đẳng thức CBS ta có: x + + ( x + 1) ≥ ( x + ) + ( x + 1) = 2x + Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta lại có: + 3x +   3x + ≤   x + ≤ + x + ⇒ 3x + + x + ≤ + 3x + + x = x +  3x + + x + x + + ( x + 1) Do đó: ≤ ( 1− x ) x +3 = 2x + + 3−2 x ≥ , ∀x ∈ [ 0;1] , 2 thật vậy: Ta chứng minh: 3−2 x ≥ ⇔ ( 1− x ) + 1− x ≥ ( 1− x ) + x ∈ [ 0;1] 2 , với Dấu ‘=’ xảy bất đẳng thức x = Do phương trình có nghiệm x = - BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Giải phương trình 2x − + − 2x = 3x − 12x + 14 Đáp số: x = ( ) 4 Bài Giải phương trình 3x + − x = + x Bài Giải phương trình 4x − x + x + x = 4 Bài Giải phương trình 13 x − x + x + x = 16 Đáp số: x = Đáp số: x = x=± Đáp số: Trang Bài Giải phương trình 27x + 24x + 28 27 = 1+ x + 2 x= Đáp số:   x 3  ÷ 3 x + + = ( 1+ x ) + ( 1− x ) ÷  + x2 ) ÷ (   Bài Giải phương trình x + + = 1 + + x + + 2x + + 3x Bài Giải phương trình Đáp số: x = 3 2 Bài Giải phương trình 3x + 2x + + −3x + x + 2x − = 2x + 2x + Đáp số: x = −1 (Chọn ĐT dự thi VMO 2013 – ĐHSP Hà Nội) x + + = 1 + + x + + 2x + + 3x Bài Giải phương trình Đáp số: x = ( 26 − x ) 5x − − ( 13x + 14 ) − 2x + 12 ( 5x − 1) ( − 2x ) = 18x + 32 Bài 10 Giải phương trình (Chọn ĐT dự thi VMO 2013 – Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Đáp số: x = −1 - Kiểu ĐÁNH GIÁ TRỰC TIẾP 1 x − + − = x x x Ví dụ Giải phương trình 1 + − − x, x x x ≥ bảng TABLE máy tính CaSiO - Phân tích Kiểm tra hàm số 1 f ( x) = x − + 1− − x < x x – Xem hỗ trợ máy tính CaSiO Ta nhận thấy , đồng thời giá f ( x) = x − f ( x) trị gần với 0, điều chứng tỏ bất đẳng thức sử dụng chặt Việc sử dụng đánh giá gián tiếp không nên sử dụng = x −1 x − x − 1) , ( - Nhân tử toán đó: x - (Xem hỗ trợ máy tính CaSiO), nên sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ta có: 1 1+ x − + x −1 1 x ( 1) ; − = x x − ≤ x − ≤ ( ) AM −GM ( 2) x AM −GM x x Cộng (1) (2) ta điều cần Lời giải  1+ x −  x  x − AM≤− GM  x   + x −1  1− = x −1 ≤ x ( ) AM −GM  x x Điều kiện x ≥  1 + x −1 x+x = x = VP 2 x − x − = +1  ⇔x= x ≥ Dấu ‘=’ xảy kh  +1 x= Vậy nghiệm phương tình cho 1 ⇒ VT = x − + − ≤ x x 1+ x − Trang Ví dụ Giải phương trình - Phân tích 1   + x + − x +  + x ÷ − x ÷ = 2 2   1   + x + − x +  + x ÷ − x ÷ ≤ 3, 2   - Chúng ta dễ dàng kiểm chứng đồng thời bất x= đẳng thức chặt Nghiệm phương trình a + b; - Đồng thời xuất đại lượng quen thuộc AM – GM CBS ab làm ta liên tưởng đến hai bất đẳng thức Lời giải − ≤x≤ Theo bất đẳng thức AM – GM: Điều kiện 2 1   1   11   + x ÷ − x ÷ ≤  + x + − x ÷ ≤ ⇒  + x ÷ − x ÷ ≤    2   4  Theo bất đẳng thức CBS   3 + x + − x ≤  +x + −x÷ ÷≤ 2 2   VT = Suy Nên VT = VP 1   + x + − x +  + x ÷ − x ÷ ≤ 2 2   ⇔ 1 + x = − x =1 ⇔ x = x= 2 Hay phương trình có nghiệm Ví dụ Giải phương trình x x + x − + 3x x − = (x + 3) ( 3x − 2x + x − ) Lời giải Điều kiện x ≥ Áp dụng bất đẳng thức CBS, ta có: x x + x − + 3x x − ≤ ( x + x − ) +  ⇒ x x + x − + 3x x − ≤ ⇔ (x ( 3x ) ( x − 1)  x + ( ) 2   + 3) ( 3x − 2x + x − ) x2 + x − 3x x − = x ⇔ x + x − = x x5 − Dấu ‘=’ xảy ⇔ x − x − x − x + = ( *) f ( x ) = x − x − x − x + 2, ∀x ≥ Xét hàm số Ta có: 8 f ' ( x ) = 9x − 4x − 2x − = 2x + 4x ( x − 1) + 2x ( x − 1) + ( x − 1) > 0, ∀x ≥ Suy phương trình (*) có nghiệm x = - Kết luận Phương trình cho có nghiệm x = Trang ... x Bài Giải phương trình Bài Giải phương trình − x − 3x − = Bài Giải phương trình Đáp số: x = ±1 Bài Giải phương trình ( x + 2) = x −1 + − x Bài Giải phương trình ( 1+ x ) Bài Giải phương trình. .. thức x = Do phương trình có nghiệm x = - BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Giải phương trình 2x − + − 2x = 3x − 12x + 14 Đáp số: x = ( ) 4 Bài Giải phương trình 3x + − x = + x Bài Giải phương trình 4x −... bạn cúng làm số tập - BÀI TẬP RÈN LUYỆN 3 Bài Giải phương trình x − + x + = − x + Đáp số: x = 3 Bài Giải phương trình + =6 3− x 2−x (TH&TT) x= Đáp số: Bài Giải phương trình 3x + + x + 7x + =