Lê văn phong 20000500

Trong cơ học cổ điển, khái niệm trạng thái (state) của một hạt (a particle) nghĩa là sự định rõ vị trí và tốc độ của nó tại một thời điểm bất kỳ và các lực đang tác dụng lên hạt đó. Theo định luật thứ hai của Newton, nếu cho trước trạng thái của một hệ bất kỳ ta sẽ xác định chính xác trạng thái của nó trong tương lai. Tuy nhiên, đối với hạt vi mô thì ta không thể đồng thời xác định chính xác vị trí và tốc độ của nó (Nguyên lý bất định Heisenberg). Điều đó có nghĩa là không thể dự đoán được sự chuyển động của hạt vi mô trong tương lai nếu chỉ dựa vào cơ học cổ điển. Do đó, cơ học lượng tử đã được sinh ra có thể giải quyết vấn đề trên, dự đoán chính xác hơn sự chuyển động của hạt trong tương lai.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC LÊ VĂN PHONG TIỂU LUẬN CUỐI KỲ CƠ SỞ VẬT LÝ HIỆN ĐẠI Lớp: K65A1 Toán học Mã số sinh viên: 20000500 Giảng viên PGS.TS NGUYỄN VIỆT TUYÊN Hà Nội-2022 MỤC LỤC Mục lục Hm súng Schră odinger 1.1 Hm súng c hc lượng tử 1.2 Wave Functions In The Presence Of Forces 1.3 The Particle In A Box 2 ă HM SểNG SCHRODINGER Hm súng Schră odinger 1.1 Hm súng c học lượng tử Trong học cổ điển, khái niệm trạng thái (state) hạt (a particle) nghĩa định rõ vị trí tốc độ thời điểm lực tác dụng lên hạt Theo định luật thứ hai Newton, cho trước trạng thái hệ ta xác định xác trạng thái tương lai Tuy nhiên, hạt vi mơ ta khơng thể đồng thời xác định xác vị trí tốc độ (Ngun lý bất định Heisenberg) Điều có nghĩa khơng thể dự đoán chuyển động hạt vi mô tương lai dựa vào học cổ điển Do đó, học lượng tử sinh giải vấn đề trên, dự đốn xác chuyển động hạt tương lai Trong học lượng tử, trạng thái hệ thời điểm mơ tả hàm sóng hay hàm trạng thái Ψ Bởi trạng thái hệ, thơng thường thay đổi theo thời gian, nên Ψ hàm theo thời gian Đối với hệ hạt chuyển động không gian chiều hàm sóng Ψ = Ψ(x, t) Hàm sóng Ψ chứa đựng tất thơng tin hệ nên trạng thái mô tả hàm sóng Ψ hay nói gọn trạng thái Ψ Để xác định trạng thái tương lai hệ học lượng tử phải biết trạng thái thời điểm Năm 1926, Nh vt lý Erwin Schrăodinger ó xõy dng c hc sóng, hợp nguyên lý lượng tử Planck đưa ngun lý lưỡng tính sóng hạt De Broglie Dựa vào ngun lý lưỡng tính sóng hạt mô tả chuyển động electron tinh thể lý thuyết sóng, lý thuyết mơ t bng phng trỡnh súng Schrăodinger cho chỳng ta bit thay đổi hàm sóng theo thời gian: iℏ ℏ2 ∂ Ψ(x, t) ∂Ψ(x, t) =− + V (x, t)Ψ(x, t), ∂t 2m ∂x2 (1) ❼ i đơn vị ảo tập số phức h gọi số Planck rút gọn (hay số Planck-Dirac) 2π h = 6.626069057(29) × 10−34 (J · s) = 4.135667334 × 10−15 (eV · s) số Planck ❼ ℏ= ❼ m khối lượng hạt ❼ V (x, t) hàm nng ca h Phng trỡnh Schră odinger ph thuc thi gian chứa đạo hàm riêng phần hàm sóng theo thời gian Do cho phép xác định hàm sóng thời điểm tương lại ta biết hàm trạng thái thời điểm t0 mà ta xét Hàm sóng Ψ mang thông tin toạ độ thời điểm hệ mà mơ tả, việc vị trí xác hạt khơng giống vi c hc c in V sau Schrăodinger khỏm phỏ phng trỡnh súng, ă HM SểNG SCHRODINGER nhà vật lý Born đưa công thức tìm xác suất tìm thấy hạt dọc theo trục x vùng từ x → x + dx dP = |Ψ(x, t)| dx (2) Hàm Ψ(x, t)2 dx gọi mật độ xác xuất tìm thấy hạt vị trí khác trục x 1.2 Wave Functions In The Presence Of Forces Việc giải phng trỡnh Schră odinger l tng i phc xột không gian chiều Xét không gian chiều v thit lp phng trỡnh Schrăodinger khụng ph thuc thi gian trường hợp dV (x) với V (x) Giả sử hạt khối lượng m chịu tác động lực F = dx hàm hạt(không phụ thuộc vào thời gian t, mà ph thuc vo to x) Phng trỡnh Schrăodinger ph thuộc thời gian trường hợp ∂Ψ(x, t) ℏ2 ∂ Ψ(x, t) iℏ =− + V (x)Ψ(x, t) (3) ∂t 2m ∂x2 Với mong muốn nghiệm phương trình có dạng Ψ(x, t) = f (t)ψ(x) (4) Lần lượt lấy đạo hàm theo t đạo hàm bậc hai theo x hai vế (4) ta ∂Ψ(x, t) df (t) = ψ(x) ∂t dt ∂ Ψ(x, t) d ψ(x) = f (t) ∂x2 dx2 Thực phép hai phương trình vào phương trình (3) iℏ ℏ2 d ψ(x) df (t) ψ(x) = − f (t) + V (x)ψ(x)f (t) dt 2m dx2 Nhân hai vế phương trình với iℏ ta thu phương trình ψ(x)f (t) ℏ2 d ψ(x) df (t) =− + V (x) f (t) dt 2m ψ(x) dx2 có vế trái không phụ thuộc x vế phải không phụ thuộc t Sự kiện dẫn đến hai vế phải số E đó, iℏ df (t) ℏ2 d ψ(x) =E=− + V (x) f (t) dt 2m (x) dx2 ă HÀM SÓNG SCHRODINGER Suy df (t) iE = − dt f (t) ℏ f (t) = Ae−iEt/ℏ Và − ℏ2 d ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2 (5) Phương trình (5) phương trỡnh Schrăodinger khụng ph thuc thi gian cho mt ht khối lượng m di chuyển không gian chiều Nhận thấy E V thứ nguyên với lượng Thật vậy, E lượng hệ Chứng tỏ tồn hàm sóng dạng Ψ(x, t) = e−iEt/ℏ ψ(x) (6) Hàm sóng phức, dẫn đến mật độ xác suất |Ψ(x, t)|2 = Ψ(x, t)Ψ∗ (x, t) = |ψ(x)|2 , hàm không phụ thuộc vào thời gian Một khác biệt lớn học cổ điển học lượng tử học cổ điển, vị trí hạt xác định xác, trong học lượng tử, vị trí hạt xác định theo xác suất Chúng ta xác định hàm mật độ xác suất vài trường hợp, khơng phụ thuộc thời gian, nói chung, quan tâm đến phương trình sóng khơng phụ thuộc thời gian Cho nên nghiệm Ψ(x, t) phương trỡnh Schrăodinger ph thuc thi gian l tớch ca hm theo thời gian hàm theo toạ độ Ψ(x, t) = e−iEt/ℏ ψ(x) với lượng E mật độ xác suất |ψ(x)|2 không đổi theo thời gian Những trạng thái gọi trạng thái tĩnh Hàm ψ(x) gọi hàm sóng, hàm sóng đầy đủ trạng thái tĩnh e−iEt/ℏ ψ(x) Trạng thái tĩnh trường hợp hiểu mật độ xác suất |Ψ(x, t)|2 không thay đổi theo thời gian, hạt không thay i Phng trỡnh Schră odinger (5) cha hai bin số lượng E hàm sóng ψ Để giải phương trình chứa hai ẩn, cần áp đặt thêm số điều kiện (điều kiện biên) lên ψ (i) Điều kiện chuẩn hố Vì xác suất tìm thấy hạt tồn khơng gian ln 100%, điều dẫn đến ∞ |ψ(x)|2 = −∞ Phương trình giúp cho việc chuẩn hố hàm sóng điều kiện để xác định hệ số hàm sóng (ii) ψ(x) phải xác định, liên tục v n tr 1 ă HM SểNG SCHRODINGER (iii) ∂ψ phải xác định, liên tục đơn trị ∂x Vì |ψ(x)|2 mật độ xác suất nên ψ(x) phải xác định đơn trị Nếu mật độ xác suất khơng xác định điểm khơng gian xác suất tìm thấy hạt vị trí chắn (100%) nguyên lí bất định bị vi phạm Nếu lượng toàn phần E V (x) xác định nơi Đạo hàm bậc hai phải xác định, nghĩa đạo hàm bậc phải liên tục Đạo hàm bậc có liên quan đến động lượng hạt, đại lượng xác định đơn trị Cuối cùng, đạo hàm bậc xác định có nghĩa hàm số phải liên tục Trong vài trường hợp đặc biệt mà xem xét, hàm không xác định vùng khơng gian Đối với trường hợp này, đạo hàm bậc không liên tục, điều kiện biên lại 1.3 The Particle In A Box Trong thực tế, có lớp tốn mà hạt chuyển động phạm vi giới hạn hàng rào lớn Ví dụ electron mạng tinh thể hay nucleon hạt nhân bền Khi ta gọi trường hợp hạt giếng Một toán trường hợp hạt nằm giếng có thành cao vơ hạn chuyển động theo phương x giếng Thế V (x) xác định sau V (x) = 0