ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MÔN TOÁN LỚP 8 có hướng dẫn giải

ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TỐN LỚP (2018-2019) Thời gian: 120 phút Bài (2.5 điểm)  1− 2x  Cho biểu thức: A =  + − : 2   x +1 − x − x  x −1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A biết x + = c) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên dương Bài (2.5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − 12 xy + y b) ( x + y + z ) + ( x + y − z ) − z c) x + 2019 x + 2018 x + 2019 Bài (1 điểm) Tìm hệ số a, b, c cho đa thức 3x + ax + bx + c chia hết cho đa thức ( x − 2) chia cho đa thức ( x − 1) thương dư (−7 x − 1) Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( AB > AC ) có góc B 450 vẽ đường cao AH Gọi M trung điểm AB P điểm đối xứng với H qua M a) Chứng minh AHBP hình vng b) Vẽ đường cao BK tam giác ABC Chứng minh HP = MK c) Gọi D giao điểm AH BK Qua D C vẽ đường thẳng song song với BC AH cho chúng cắt Q Chứng minh P, K , Q thẳng hàng d) Chứng minh đường thẳng CD, AB PQ đồng quy Bài (0,5 điểm) a) ( Chỉ dành cho lớp 8B,8C,8D,8E ) Cho số a, b, c khác đôi thỏa mãn: a − 2b = c − 2a Tính giá trị biểu thức A = (a + b + 2)(b + c + 2)(c + a + 2) b) ( Dành cho lớp 8A ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + x y biết x y số thực thỏa mãn điều kiện x + y = Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TỐN LỚP (2003-2004) Thời gian: 120 phút Bài 1  1− 2x  Cho biểu thức: A =  + − : 2   x +1 − x − x  x −1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A biết x + = c) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên dương Lời giải  x ≠ ±1  a) Điều kiện xác định   x ≠  3(1 − x)  ( x − 1)(1 + x) 1+ x + − A=   1− 2x  (1 − x)( x + 1) (1 − x)(1 + x) (1 − x)(1 + x)   − x + + x −  ( x − 1)(1 + x) A=  1− 2x  (1 − x)(1 + x)  A= − 2x ( x − 1)( x + 1) (1 − x)(1 + x) (1 − x) A 2x + ( x − 1)( x + 1) x + = ( x − 1)(1 + x) (1 + x) 1− 2x b) Tính giá trị biểu thức A biết x + = 7  Ta có: x + =2 ⇔ x + =±2 ⇔ x ∈ −1; −  3  Đối chiếu điều kiện loại x = −1 Thay x = − ta tính A = − 17 c) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên dương * Tìm x để A ngun: Ta có: x + = − (1 − x) nên = A −1 1− 2x Để A nguyên chia hết cho − 2x ⇒ − x ∈ {1; −1;5; −5} ⇒ x ∈ {0;1; −2;3} * Đối chiếu điều kiện loại x = * Thử trực tiếp chọn x = Bài (2.5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang a) x − 12 xy + y b) ( x + y + z ) + ( x + y − z ) − z c) x + 2019 x + 2018 x + 2019 Lời giải a) x − 12 xy + y Ta có: x − 12 xy + y = (2 x − y )(2 x − y ) b) ( x + y + z ) + ( x + y − z ) − z Ta có: ( x + y + z )2 + ( x + y − z )2 − z = ( x + y + z ) + ( x + y + z )( x + y − z ) = ( x + y + z )(2 x + y − z ) = 2( x + y + z )( x + y − z ) c) x + 2019 x + 2018 x + 2019 Ta có: x + 2019 x + 2018 x + 2019 = ( x − x) + 2019( x + x + 1) = x( x − 1)( x + x + 1) + 2019( x + x + 1) = ( x + x + 1)( x − x + 2019) Bài (1 điểm) Tìm hệ số a, b, c cho đa thức 3x + ax + bx + c chia hết cho đa thức ( x − 2) chia cho đa thức ( x − 1) thương dư (−7 x − 1) Lời giải Biểu diễn phép chia đẳng thức x + ax + bx + c = ( x − 2)q1 ( x), ∀x (1) x + ax + bx + c= ( x − 1)q2 ( x) − x − 1, ∀x (2) Thay x = vào (1) thu 4a + 2b + c =−48 Thay x = vào (2) thu a + b + c =−11 Thay x = −1 vào (2) thu a − b + c = Giải ta được: a = 10, b = −7, c = Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( AB > AC ) có góc B 450 vẽ đường cao AH Gọi M trung điểm AB P điểm đối xứng với H qua M a) Chứng minh AHBP hình vng b) Vẽ đường cao BK tam giác ABC Chứng minh HP = MK Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang c) Gọi D giao điểm AH BK Qua D C vẽ đường thẳng song song với BC AH cho chúng cắt Q Chứng minh P, K , Q thẳng hàng d) Chứng minh đường thẳng CD, AB PQ đồng quy Lời giải a) Chứng minh AHBP hình vng P A E K D M Q B C F H Vì M trung điểm AB PH nên tứ giác AHBP hình bình hành Do AH ⊥ BH nên AHBP hình chữ nhật Vì góc  ABH = 450 nên  AHB vng cân H Vậy AHBP hình vuông b) Vẽ đường cao BK tam giác ABC Chứng minh HP = MK Sử dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vng  ABK suy AB = MK Dùng kết câu a suy HP = AB HP = MK c) Gọi D giao điểm AH BK Qua D C vẽ đường thẳng song song với BC AH cho chúng cắt Q Chứng minh P, K , Q thẳng hàng  = 900 Từ HP = MK ⇒ PKH  = 900 Chứng minh tương tự: QKH  = 1800 hay Chứng minh P, K , Q thẳng hàng Kết hợp để suy PKQ d) Chứng minh đường thẳng CD, AB PQ đồng quy Gọi E giao điểm PQ AB ; F trung điểm BC Ta có: ME / / HQ ( vng góc với PH ) mà M trung điểm PH nên ME đường trung bình tam giác  PHQ suy E trung điểm PQ ⇒ EF đường trung bình hình thang PBCQ ⇒ EF= 1  = 900 ( BH + HC )= BC ⇒ EBC vuông E suy BEC ( PB + CQ) = 2 Mặt khác ta có: CD ⊥ AB D trực tâm tam giác  ABC Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang CD ⊥ AB Như vậy,  ⇒ E , D, C thẳng hàng CE ⊥ AB Kết luận: CD, AB PQ đồng quy Bài (0,5 điểm) a) ( Chỉ dành cho lớp 8B,8C,8D,8E ) Cho số a, b, c khác đôi thỏa mãn: a − 2b = c − 2a Tính giá trị biểu thức A = (a + b + 2)(b + c + 2)(c + a + 2) b) ( Dành cho lớp 8A ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + x y biết x y số thực thỏa mãn điều kiện x + y = Lời giải a) ( Chỉ dành cho lớp 8B,8C,8D,8E ) Cho số a, b, c khác đôi thỏa mãn: a − 2b = c − 2a Tính giá trị biểu thức A = (a + b + 2)(b + c + 2)(c + a + 2) Biến đổi: a − 2b = c − 2a (a − b)(a + b) = 2b − 2c (a − b)(a + b) + 2a − 2b = 2b − 2c + 2a − 2b (a − b)(a + b + 2)= 2(a − c) Tương tự: (b − c)(b + c + 2)= 2(b − a ) (c − a )(c + a + 2)= 2(c − b) Nhân vế theo vế tương ứng đẳng thức lập luận ta thu A = b) ( Dành cho lớp 8A ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + x y biết x y số thực thỏa mãn điều kiện x + y = Biến đổi: P = x + y + x y = ( x + y )3 − xy ( x + y ) + x y = P x y − xy += 2( xy − ) − Do x + y = ta chứng minh xy ≤ Suy 1 − xy ≥ ⇒ P ≥ − ⇒ P ≥ 2 8 Dấu đẳng thức xẩy x= y= Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2000-2001 Thời gian: 120 phút a   2a   Bài Cho M = − 1 +  :    a +1   1− a a − a + a −1  a) Rút gọn M tìm M biết 2a − = b) Tìm a ∈  để M ∈  c) Tìm a để M = 7; Tìm a để M > Bài Tìm x biết: a) x − x + 12 x − = b) x − x − = c) ( x + 1)( x + 1) ( x + 3) = 18 Bài Xác định số a, b cho: (x Bài − x + 3) (x − x + x + ax + b ) chia hết cho đa thức Cho tam giác ABC vng góc đỉnh A Đường cao AH , dựng phía ngồi tam giác hình vng ABMN , ACIK Chứng minh rằng: a) Ba điểm M , A, I thẳng hàng; b) Tứ giác CKNB hình thang cân; c) AH qua trung điểm D NK đường thẳng AH , IK , MN cắt điểm E; d) Các đường thẳng AH , CM , BI đồng quy AN = NK − AK Bài a) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn A = 6x − 3x + b) Cho tứ giác lồi ABCD, E F theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AD Gọi G= AE ∩ BF ; H = CF ∩ BD Chứng minh S EFGH = S AGB + S DHC Nếu M , N nằm hai cạnh lại tứ giác cho MENF hình chữ nhật S MENF = S ABCD Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2000-2001 Thời gian: 120 phút Bài a   2a   Cho M = − 1 +  :    a +1   a −1 a − a + a −1  a) Rút gọn M tìm M biết 2a − = b) Tìm a ∈  để M ∈  c) Tìm a để M = 7; Tìm a để M > Lời giải a   2a   a) M = − 1 +  :   + − − + − a a a a a 1       a2 + a   2a = +  :  −    a + a +   a − a ( a − 1) + ( a − 1)    a2 + a +   a2 + 2a   − :   2  a +   ( a + 1) ( a − 1) ( a + 1) ( a − 1)  = a + a + a − 2a + : a + ( a + 1) ( a − 1) a + a + ( a + 1) ( a − 1) = a2 + ( a − 1) a + a + ( a + 1) ( a − 1) = a2 + ( a − 1) = a2 + a + a −1 ĐKXĐ: a ≠  a = 1( L ) =  2a − 1 =  2a 2a − =1 ⇔  ⇔ ⇔  2a − =−1  2a =0 a = (TM ) Thay a = vào biểu thức M , ta có M= 02 + + = −1 −1 M = −1 Vậy với 2a − = b) M = a2 + a + = a+2+ a −1 a −1 Để M ∈  ∈  ⇔ a − ∈¦ ( 3) a −1 Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang  a = (TM ) a − =   a − =−3  a = −2 (TM ) ⇒ ⇒ a − =  a = (TM )   a − =−1  a = (TM ) Vậy để M ∈  a ∈ {4;2; −2;0} c) a2 + a + = ⇔ a + a + = ( a − 1) a −1 ⇔ a − 6a + = ⇔ ( a − )( a − ) = M = 7⇔  a = (TM ) ⇔  a = (TM ) Vậy với a ∈ {2;4} M = M >0⇔ a2 + a + >0 a −1 1 3  Mà a + a + 1=  a +  + ≥ > 2 4  ⇒ a −1 > ⇔ a > Kết hợp với ĐKXĐ: a ≠ Vậy với a > M > Bài Tìm x biết: a) x − x + 12 x − = b) x − x − = c) ( x + 1)( x + 1) ( x + 3) = 18 Lời giải a) x − x + 12 x − = (x − ) − ( x − 12 x ) = x − x3 + x3 − x − 3x + 3x + x − = x3 ( x − 1) + x ( x − 1) − x( x − 1) + 9( x − 1) = ( x − 1) ( x3 + x − x + ) = Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang ( x − 1) ( x + 3x − x − x + 3x + ) = ( x − 1)  x ( x + 3) − x( x + 3) + 3( x + 3)  = ( x − 1)( x + 3) ( x − x + 3) = ( x − 1)( x + 3) ( x − x + 3) =  x −1 ⇒  x +  x − x +  x ⇒ x  ( x − 1) +  = = = =1 = −3 = (VL) Vậy x = 1; x = −3 b) x − x − = x3 − x + x − = x ( x − 2) + ( x − 2)( x + 2) = ( x − 2) ( x + x + ) = 0 x − = ⇒ x + x + = x =  ⇒  1 x+  + = (VL)  2 Vậy x = c) (2 x + 1)( x + 1) (2 x + 3) = 18 ( x + 1) [ (2 x + 1)(2 x + 3) ] = 18 ( x + 1)  ( x + x + 1) − 1 = 18 ( x + 1)  4( x + 1) − 1 = 18 ( x + 1) ( x + x + 3) = 18 a , ta có phương trình: a (4a − 1) = 18 ⇒ 4a − a − 18 = Đặt ( x + 1) = ⇒ 4a + 8a − 9a − 18 =0 ⇒ 4a (a + 2) − 9(a + 2) =0 ⇒ (a + 2)(4a − 9) =0  a = −2  a + = ⇒ ⇒ a =  4a − =  −2 (vô lý) Với a = −2 ta có: ( x + 1) = Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang   = = x +1 x   9 2 Với a = ta có: ( x + 1) = ⇒  ⇒ 4  x + =−  x =− 2   Vậy x = ;x = − 2 Bài Xác định số a, b cho: (x − x + 3) (x − x + x + ax + b ) chia hết cho đa thức Lời giải Cách Ta có: x − x + = ( x − 1)( x − 3) Để ( x − x + x + ax + b ) chia hết cho đa thức ( x − x + 3) Thì ( x − x + x + ax + b ) có nghiệm x = x = , đó: t − 7.t + 4.t + a ⋅ t + b − −2 a= +b = a + b= a 35 ⇔ ⇔ ⇔  b =−33 3a + b − 72 =0 3a + b =72 3 − 7.3 + 4.3 + a ⋅ + b = Thử lại ta thấy thỏa mãn Cách Thực phép chia đa thức ( x − x + x + ax + b ) cho đa thức ( x − x + 3) ta ( ) thương x − x − 11 dư ( a − 35 ) x + b + 33 35 = a −= a 35 Để ( x − x3 + x + ax + b ) ( x − x + 3) ⇒ ( a − 35 ) x + b + 33 = ⇒  ⇒ b = −33 b + 33 = Vậy a = 35; b = −33 hai giá trị cần tìm Bài Cho tam giác ABC vng góc đỉnh A Đường cao AH , dựng phía ngồi tam giác hình vng ABMN , ACIK Chứng minh rằng: a) Ba điểm M , A, I thẳng hàng; b) Tứ giác CKNB hình thang cân; c) AH qua trung điểm D NK đường thẳng AH , IK , MN cắt điểm E; d) Các đường thẳng AH , CM , BI đồng quy AN = NK − AK Lời giải Liên hệ file word tài liệu tốn zalo: 039.373.2038 Trang 10 Cũng có BD đường trung trực AC (tính chất hình vng) mà M ∈ BD ⇒ MA = MC ; lại có AEMF hình chữ nhật ⇒ MA = EF Vậy ta có MA = EF = MC ∆BCE ⇒ BF = CE (hai cạnh tương ứng hai tam giác nhau) Từ ∆ABF = Xét ∆BEF ∆EMC có BF = EC ; BE = EM ; EF = MC ⇒ ∆BEF = ∆EMC (cạnh – cạnh =  EBF  = CEM  (các góc tương ứng hai tam giác – cạnh) ⇒ BFE ECM nhau)  + BEF  + BFE = 180° (tổng ba góc tam giác ) Mà EBF  + BEM  + MEF  + ECM =  + 90° + MEF  + ECM  ⇒ CEM 180° ⇒ CEM = 180°  + MEF  + ECM  =°  + ECM  =° ⇒ CEM 90 ⇒ CEF 90 ⇒ CM ⊥ EF Xét ∆CEF có DE ⊥ CF ; CE ⊥ BF ; CM ⊥ EF ⇒ ba đường thẳng: DE , BF , CM đồng quy trực tâm ∆CEF c) Có AM + MC = AM = 2( AF + FM ) = AF + FM (4) mà 2= AF 2= ME BM (định lí pitago) 2FM = DF + FM = DM Cộng vế theo vế ta có: AF + FM =BM + DM (5) Từ (4) (5) ⇒ MA2 + MC = MB + MD d) Ta có AE = FD (Chứng minh trên) nên AE + AF = FD + AF = AD AD  AE + AF  = AE AF ≤   =   S AEMF MF hay M trung điểm BD Dấu ‘’=’’ xẩy AE = AF ⇔ ME = Bài (1,0 điểm) 1− 1+ = ; b , tính giá trị biểu thức C = a + b4 2 b) ( Dành riêng cho lớp 8A B) Cho x, y > x + y = Tìm giá trị lớn biểu 5 A x y +x y thức= Lời giải = a) Cho a 1− 1+ + = 2 1− 1+ a.b = = − 2 +b a) Ta có: a = −1    1 (a + b) − 2ab  − 2a b = Vậy: C =+ a b = ( a + b ) − 2a b = (1) − 2  −  −  = b) Ta có: 4 2 2 2 2 2 2 2 cos i  x + y     xy + x + y  5 3 2 2 A = x y + x y = x y ( x + y ) = ( xy )  xy.( x + y )  ≤      2      Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 102  x + y  =     = 2     ( x + y )2      27 x = y ⇔x= y= Dấu “=” xảy  2 = x +y 2 xy 1 Vậy giá trị lớn biểu thức A x= y= 2 ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TỐN LỚP (2016-2017) Thời gian: 120 phút  x3 + x −   x  − Bài 1: (2,5 điểm)Cho biểu thức : A =  :x+  x −1   x −1 x −1   a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa Rút gọn A b) Tìm x để A = c) Tìm x nguyên cho A nhận giá trị nguyên Bài 2: (2điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − x − xy − y b) ( x − 1)( x − )( x + )( x + ) + Bài 3: (2điểm) Cho số thực x, y thỏa mãn: x + = y 1; x3 + y= Tính giá trị biểu thức: a) M = xy b) N= x + y Bài 4: (3điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O Gọi E F thứ tự điểm đối xứng với O qua AD BC a) Chứng minh tứ giác AODE, BOCF hình vng b) Nối EC cắt DF I Chứng minh OI ⊥ CD c) Biết diện tích hình lục giác ABFCDE Tính độ dài cạnh hình vng ABCD d) (dànhriêngcholớp 8A – 0,5đ) Lấy K điểm cạnh BC Gọi G trọng tâm ∆AIK Chứng minh điểm G thuộc đường thẳng cố định K di chuyển cạnh BC Bài 5: (0,5điểm) Cho ba số a, b, c đôi khác Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 103 P= a2 b2 c2 + + ( a − b )( a − c ) ( b − a )( b − c ) ( c − a )( c − b ) -Hết - Chú ý: Biểu điểm lớp 8A 1,5 điểm HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TỐN LỚP (2016-2017) Thờigian: 120 phút  x3 + x −   x  − Bài 1: (2,5 điểm)Cho biểu thức : A =  :x+  x −1   x −1 x −1   a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa Rút gọn A b) Tìm x để A = c) Tìm x nguyên cho A nhận giá trị nguyên Lờigiải    x ≠ ±1  x2 −1 ≠    x ≠ ±1 ⇔ x ≠ ⇔ a) Để A có nghĩa khi:  x − ≠ x ≠   x2 x x +  ≠0 ≠0  x − x −1  Khi đó:  x3 + x −   x  − A=  :x+  x −1   x −1 x −1    ( x + 1) ( x − x + 1) x −  x : = − x −1  x −1  ( x + 1)( x − 1)  2  x − x + x − 1 x − − x + x − − x + = − = = x −  x x −1 x2 x2  x −1  x = −1 ( l ) −x + 2 b) Để A = ⇔ = ⇒ x + x − = ⇔ ( x + 1)( x − ) = ⇔   x = ( tmdk ) x2  Vậy x = c) A = A = −x + nhận giá trị nguyên Vì x nguyên nên x + nguyên x2 Liên hệ file word tài liệu tốn zalo: 039.373.2038 Trang 104 Do đó: ( x + ) A = ( x + 2) − x + − x2 = =2 − nhận giá trị nguyên Điều xảy x2 x x x2 nhận giá trị nguyên { } Vì x nguyên nên x ước 4, mà x ≥ , suy x ∈ {1; 2; 4} ⇒ x ∈ ±1; ± ; ± Đối chiếu đk có nghĩa đk x nguyên, ta nhận x = ±2 Thử lại: x = ±2 thỏa mãn đk A nguyên Bài 2: (2điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − x − xy − y b) ( x − 1)( x − )( x + )( x + ) + Lờigiải x − x − xy − y a) =x − ( x + xy + y ) = x4 − ( x + y ) = (x + x + y )( x − x − y ) ( x − 1)( x − )( x + )( x + 8) + = ( x − 1)( x + )  ( x − )( x + )  + b) = (x + x − ) ( x + x − 16 ) + Đặt t = x + x − thì: (x + x − ) ( x + x − 16 ) + = t ( t − ) + = t − 9t + = ( t − 1)( t − 8) = (x + x − ) ( x + x − 15 ) 2 = ( x + 3) − 17  ( x + 3) − 24     = (x +3− 17 )( x + + 17 )( x + − )( x + + ) Bài 3: (2điểm) Cho số thực x, y thỏa mãn: x + y= 1, x + y 3= Tính giá trị biểu thức: a) M = xy b) N= x + y Lời giải a) M = xy Ta có: Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 105 x3 + y = ⇒ ( x + y )( x − xy + y ) = ⇒ x − xy + y = ⇒ x + xy + y − xy = ⇒ ( x + y ) − xy = ⇒ − xy =2 −1 ⇒ xy = Vậy M = −1 b) N= x + y Ta có: ( x + y )( x + y ) = x5 + x3 y + x y + y = x5 + y + x y ( x + y ) ⇒ x + y = ( x + y )( x + y ) − x y ( x + y ) ⇒ N = ( x + y )( x + y ) − x y ( x + y )  −1  Mặt khác: x + y =( x + y ) − xy =12 −   =    −1  29 Vậy N =−   =   Bài (3,5 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O Gọi E F theo thứ tự điểm đối xứng với O qua AD BC a) Chứng minh tứ giác AODE , BOCF hình vng b) Nối EC cắt DF I Chứng minh OI ⊥ CD c) Biết diện tích hình lục giác ABFCDE Tính độ dài cạnh hình vng ABCD d) (dành riêng cho lớp 8A – 0,5 đ) Lấy K điểm cạnh BC Gọi G trọng tâm ∆AIK Chứng minh điểm G thuộc đường thẳng cố định K di chuyển cạnh BC Lời giải Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 106 A B O E F I D C a) Chứng minh tứ giác AODE , BOCF hình vng +) Vì tứ giác ABCD hình vng, AC cắt BD O (gt) ⇒ OA = OB = OC = OD (t/c) (1) +) Vì E đối xứng với O qua AD (gt) ⇒ AD đường trung trực EO (t/c) AE AO ⇒ AD ⊥ EO = = , DE DO (2) Từ (1) (2) ⇒ AE = AO = DE = DO ⇒ AODE hình thoi (đn) AOD = 900 (cmt) nên tứ giác AODE hình vng (dhnb) Mà  +) Vì F đối xứng với O qua BC (gt) ⇒ BC đường trung trực OF (t/c) ⇒ BC ⊥ OF = BO BF = , CO CF (3) Từ (1) (3) ⇒ BO = BF = CO = CF ⇒ AODE hình thoi (đn)  = 900 (cmt) nên tứ giác BOCF hình vng (dhnb) Mà BOC b) Nối EC cắt DF I Chứng minh OI ⊥ CD  =°  ⇒ DEO +) Vì tứ giác AODE hình vuông (cmt) ⇒ EO tia phân giác DEA 45  ⇒ CFO  =° Vì tứ giác BOCF hình vng (cmt) ⇒ FO tia phân giác CFB 45 Từ (1), (2), (3) ⇒ DE = CF +) Xét ∆DEF ∆CFE có: DE = CF ( cmt )   = CFE =( 45°)  DEF   EF : chung  =  (t/ứng) ⇒ ∆IEF cân I CEF ⇒ ∆DEF = ∆CFE (c.g.c) ⇒ DFE +) Vì tứ giác ABCD hình vng (gt) ⇒ AD = BC (đn) +) Vì tứ giác AODE hình vng (cmt) ⇒ AD = EO (t/c) Vì tứ giác BOCF hình vng (cmt) ⇒ BC = OF (t/c) ⇒ EO = OF ⇒ O trung điểm EF +) Ta có ∆IEF cân I , IO đường trung tuyến ⇒ IO đồng thời đường cao ∆IEF ⇒ OI ⊥ EF (4) +) Vì AD ⊥ DC (do tứ giác AODE hình vng) Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 107 AD ⊥ EO (do E đối xứng với O qua AD ) Nên EF  CD (5) Từ (4) (5) ⇒ OI ⊥ CD (đpcm) c) Biết diện tích hình lục giác ABFCDE Tính độ dài cạnh hình vng ABCD Gọi độ dài cạnh hình vng ABCD a Khi S ABCD = a Vì E đối xứng với O qua AD (gt) ⇒ ∆AED = ∆AOD ⇒ S AED = S AOD = 1 S ABCD = a 4 Vì F đối xứng với O qua BC (gt) ⇒ ∆BFC = ∆BOC ⇒ S BFC = S BOC = 1 S ABCD = a 4 1 Ta có: S ABFCDE =S ABCD + S AED + S BFC = a2 + a2 + a2 = a2 4 Mà S ABFCDE = ⇒ a = ⇒ a2 = ⇒ a = Vậy độ dài cạnh hình vng ABCD d) (dành riêng cho lớp 8A – 0,5 đ) Lấy K điểm cạnh BC Gọi G trọng tâm ∆AIK Chứng minh điểm G thuộc đường thẳng cố định K di chuyển cạnh BC A E P M G O B K Q F I D C Gọi M trung điểm AK , P giao điểm AD OE , Q giao điểm BC OF +) Vì ABCD hình vng (gt) ⇒ AD  BC (t/c) ⇒ AP  BQ ⇒ APQK hình thang (đn) Lại có: EP = OP = OQ = QF = 1 EO = AD (do AODE hình vng) 2 1 EF = BC (do AODE hình vng) 2 AD = BC (do ABCD hình vng) Nên OP = OQ hay O trung điểm PQ +) Xét hình thang APQK có: Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 108 M trung điểm AK (c.vẽ) O trung điểm PQ (cmt) Suy MO đường trung bình hình thang APQK (đn) ⇒ MO  AP hay ⇒ MO  AD mà AD ⊥ EF (cmt) ⇒ MO ⊥ EF +) Vì MO ⊥ EF , IO ⊥ EF (cmt) ⇒ M , O, I thẳng hàng Vì G trọng tâm ∆AIK (gt) ⇒ G ∈ IM Ta có I , O cố định nên đường thẳng IO cố định Vậy điểm G thuộc đường thẳng IO cố định K di chuyển cạnh BC Bài 5: (0,5điểm) Cho ba số a, b, c đôi khác Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c P= a2 b2 c2 + + (a − b)(a − c) (b − a )(b − c) (c − a )(c − b) Lời giải P= a2 b2 c2 − + (a − b)(a − c) (a − b)(b − c) (a − c)(b − c) = a (b − c) b (a − c) c ( a − b) − + (a − b)(a − c)(b − c) (a − b)(a − c)(b − c) (a − b)(a − c)(b − c) = a (b − c) − b (a − c) + c (a − b) (a − b)(a − c)(b − c) Ta có: a (b − c) − b (a − c) + c (a − b) = a (b − c) − b a + b c + c a − c 2b = a (b − c) − b a + c a + b c − c 2b = a (b − c) − a (b − c ) + bc(b − c) = a (b − c) − a (b − c)(b + c) + bc(b − c) = (b − c)(a − ab − ac + bc) = (b − c)(a (a − b) − c(a − b)) = (b − c)(a − c)(a − b) Vậy: P = Liên hệ file word tài liệu tốn zalo: 039.373.2038 Trang 109 ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TỐN LỚP (2017-2018) Thời gian: 120 phút Bài (2,5 điểm)  1 x2 x2 + 2x +  = − P  Cho biểu thức : x+2  x −4  x−2 8− x a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P c) Tìm giá trị nguyên x để P  ( x + 1) Bài (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A ( x )= x + x − B ( a; b; c ) = ( a + b )( b + c )( c + a ) + abc Bài (1 điểm ) Cho hai đa thức P ( x ) =x3 + a.x + b Q ( x ) = x − 3.x + Xác định hệ số a, b cho với giá trị x P ( x ) Q ( x ) Bài (3.5 điểm)  = 600 Gọi E , H , G, F trung điểm AB, BC , CD Cho hình thoi ABCD có D DA a Chứng minh tứ giác EFGH hình chữ nhật b Cho AG cắt HF J Chứng minh HF = FJ c Gọi I trung điểm FJ P giao điểm EH DB Chứng minh : IG vng góc với IP d Cho AB = 2cm Tính độ dài IP Bài (1 điểm ) 2017 abc = 2017 a) Cho số a, b, c thỏa mãn ( a + b + c )( ab + bc + ca ) = Tính giá trị biểu thức P = ( b2c + 2017 )( c a + 2017 )( a 2b + 2017 ) b) Tìm số tự nhiên x, n cho số = p x + 24 n + số nguyên tố Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 110 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TỐN LỚP (2017-2018) Thời gian: 120 phút Bài (2,5 điểm)  1 x2 x2 + 2x +  P  = − Cho biểu thức : x+2  x −4  x−2 8− x a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P c) Tìm giá trị nguyên x để P  ( x + 1) Lời giải  x2 x2 + 2x +  : a) Ta có : P  = − x +  ( x − )( x + )  x − ( − x ) ( + x + x )  x ≠ x − ≠  x ≠ 2  Điều kiện để P có nghĩa  x + x + ≠ ⇔ ( x + 1) + ≠ ⇔   x ≠ −2 x + ≠  x ≠ −2   Vậy điều kiện để P có nghĩa là: x ≠ 2; x ≠ −2 Khi đó:  1  x2 P=  − = :  x − ( − x ) ( x + )  ( x − )( x + ) x + + x ( x − )( x + ) = x2 + x + ( x − )( x + ) 1  b) Ta có: P = x + x + =  x +  + 2  2 1  Vì  x +  ≥ ⇒ P ≥ Dấu “=” xảy x = − 2  Vậy giá trị nhỏ P x = − 2 c) Ta có : P  ( x + 1) ⇔ x + x + 2 ( x + 1) x + x + = x + + x + ⇒ P  ( x + 1) ⇔ x + 1 x + 1(1) x + 1 ( x + 1) ⇒ x ( x + 1) =x + x =x + + x − 1 x + ⇒ x − 1 x + 1( ) Từ (1) (2), ta có: 2 x + ⇒ x + ∈ {2; −2;1; −1} x + ≥ nên +) x + = ⇔ x = +) x + =2 ⇔ x =1; x =−1 Bài (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A ( x )= x + x − B ( a; b; c ) = ( a + b )( b + c )( c + a ) + abc Lời giải Liên hệ file word tài liệu tốn zalo: 039.373.2038 Trang 111 +) Ta có: A ( x ) = x − x + x − = x ( x − 1) + ( x − 1) = ( x − 1)( x + 3) +) B ( a; b; c ) = ( a + b )( b + c )( c + a ) + abc = a 2b + a c + b a + b c + c a + c 2b + 3abc = a ( ab + bc + ac ) + b ( ab + bc + ac ) + c ( ab + bc + ac ) = ( ab + bc + ac )( a + b + c ) Cho hai đa thức P ( x ) =x3 + a.x + b Q ( x ) = x − 3.x + Xác định hệ số a, b cho Bài với giá trị x P ( x ) Q ( x ) Lời giải Cách 1: + a.x + b x3 x − 3.x + x 3x + ( a − ) x + b x − 3.x + x+3 x − 9.x + ( a + 7) x + (b − 6) với giá trị x Để P ( x ) Q ( x ) với giá trị x ( a + ) x + ( b − ) = a + =0 a =−7 ⇒ ⇒ −6 = b= b Vậy với a = −7 , b = P ( x ) Q ( x ) Cách 2:: Do Q ( x ) = x − 3.x + = x − x − x + = x ( x − 1) − ( x − 1) = ( x − 1)( x − )  P (1) =  P (1) =1 + a + b = a = −7 nên P ( x )  Q ( x ) ⇔  ⇔ ⇔ b =  P ( ) =  P ( ) = + 2a + b = Bài (3.5 điểm)  = 600 Gọi E , H , G, F trung điểm AB, BC , CD Cho hình thoi ABCD có D DA a) Chứng minh tứ giác EFGH hình chữ nhật b) Cho AG cắt HF J Chứng minh HF = FJ c) Gọi I trung điểm FJ P giao điểm EH DB Chứng minh : IG vng góc với IP d) Cho AB = 2cm Tính độ dài IP Hướng dẫn giải : Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 112 A E F I J O D P K B S H G C a) Chứng minh tứ giác EFGH hình chữ nhật +) Chứng được: EF , GH đường trung bình ∆ADB ∆CDB BD  EF = GH = ⇒ EF / / GH ( / / BD )  Do tứ giác EFGH hình bình hành +) Vì ABCD hình thoi ⇒ AC ⊥ BD mà EF // BD ; FG // AC ( FG đường TB ∆ADC ) = Nên EF ⊥ FG ⇒ EFG 900  = 900 nên EFGH hình chữ nhật +) Hình bình hành EFGH có EFG b) Cho AG cắt HF J Chứng minh HF = FJ Gọi AC ∩ BD = {O} +) Chứng minh được: O trung điểm FH ⇒ OF = OH = FH (1) +) Chứng minh : AFGE hình thoi có J giao điểm hai đường chéo AG OF OF nên J trung điểm OF ⇒ FJ = (2) FH ⇒ FH = FJ c) Chứng minh : IG vng góc với IP Từ (1) (2) ta : ⇒ FJ = Gọi K giao điểm FG DB Chứng minh được: K trung điểm FG ( định lý đường trung bình ∆FGH ) Từ suy : KI đường trung bình ∆FGJ ⇒ KI / /GJ mà GJ ⊥ FH Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 113 ⇒ KI ⊥ FH = { I } ⇒ ∆KIH vuông I +) Chứng minh : HPKG hình chữ nhật có S giao điểm hai đường chéo KH GP Suy ra: S trung điểm KH GP +) Xét ∆KIH vuông I có : IS = KH ( tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng) mà KH = GP ( tính chất đường chéo hcn HPKG ) Do : IS = GP Xét ∆IGP có IS đường trung tuyến ứng với cạnh GP mà IS = ⇒ IG ⊥ IP = { I } GP ⇒ ∆IGP vuông I d) Cho AB = 2cm Tính độ dài IP +) Chứng minh ∆ADC có AG đường cao đồng thời đường trung tuyến ⇒ AG = ( cm ) mà J trung điểm AG ⇒ GJ = AG = ( cm ) 2 +) Có I trung điểm FJ ⇒ IJ = FJ FH AB mà FJ = = = ( cm ) 4 2 ⇒ IJ = 0, 25 ( cm ) = +) GI = IJ + GJ = +) GH = BD DO AG = = = AG = 2 +) PH = AC AB = = ( cm ) 4 + = 1( cm ) 4 +) GP = GH + HP = +) IP = GP − GI = ( ) 13 −1 = ( cm ) 13 13 1 +  = = ( cm ) 2 = = 1,5 ( cm ) 2017 abc = 2017 Bài5 a) Cho số a, b, c thỏa mãn ( a + b + c )( ab + bc + ca ) = Tính giá trị biểu thức P = ( b2c + 2017 )( c a + 2017 )( a 2b + 2017 ) b) Tìm số tự nhiên x, n cho số = p x + 24 n + số nguyên tố Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 114 Lời giải 2017 abc = 2017 nên a) Do ( a + b + c )( ab + bc + ca ) = ( a + b + c )( ab + bc + ca ) =abc ⇔ a 2b + ab + a c + ac + b c + bc + 3abc = abc ⇔ a 2b + ab + a c + ac + b c + bc + 2abc = ⇔ ( a 2b + ab ) + ( a c + abc ) + ( ac + bc ) + ( b c + abc ) = ⇔ ab ( a + b ) + ac ( a + b ) + c ( a + b ) + bc ( b + a ) = ⇔ ( a + b ) ( ab + ac + c + bc ) = ⇔ ( a + b ) ( ab + ac ) + ( c + bc )  = ⇔ ( a + b )  a ( b + c ) + c ( c + b )  = ⇔ ( a + b )( b + c )( a + c ) = Ta có: P= ( b2c + 2017 )( c a + 2017 )( a 2b + 2017 ) =( b2c + abc )( c a + abc )( a 2b + abc ) = bc ( b + a ) ca ( c + b ) ab ( a + c= ) ( abc ) ( a + b )( b + c )( a + c=) ( abc ) 2 0= b) Ta có: p = x + 24 n + = x + ( 22 n +1 ) = ( x2 + 22n+1 ) − 2.x 22n+1 = ( x2 + 22n+1 ) − 4.x 22n = ( x2 + 22n+1 ) − ( 2.x.2n ) 2 =( x + 22 n +1 + 2.x.2n )( x + 22 n +1 − 2.x.2n ) Để = p x +2 4n+2  x + 22 n +1 + 2.x.2n = số nguyên tố :  2 n +1 n  x + − 2.x.2 = Vì x, n ∈ N nên x + 22 n +1 + 2.x.2n > x + 22 n +1 − 2.x.2n ≥ Do x + 22 n +1 − 2.x.2n = ⇒ x + 2.22 n − 2.x.2n = ⇒ x − 2.x.2n + 22 n + 22 n = 22 n ⇒ x − 2.x.2n + 22 n =− ⇒ ( x − 2n ) =1 − 22 n ≥ ⇒ 2 n ≤ ⇒ 2 n ≤ 20 ⇒ 2n ≤ ⇒ n ≤ Mà n số tự nhiên nên suy n = Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 115 Suy : (x − ) = − 22.0 ⇒ ( x − 1) =1 − ⇒ ( x − 1) = ⇒ x − = ⇒ x = Thử lại p =14 + 24.0+ =1 + 22 =1 + =5 số nguyên tố Vậy= x 1;= n Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 116