Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng thi vào lớp 10 THPT tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm: “Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 THPT môn Toán.Nội dung chủ yếu của sáng kiến là nêu ra các dạng bài tập cơ bản thường gặp trong các đề thi vào lớp 10 THPT, sáng kiến còn giúp học sinh củng cố và nắm chắc kiến thức cơ bản, giúp các em tự tin hơn khi gặp các bài toán về phương trình và hệ phương trình.
1 PHÒNG GD - ĐT VĨNH TƯỜNG TRƯỜNG THCS LŨNG HOÀ BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH THI VÀO LỚP 10 THPT MƠN TỐN Tác giả sáng kiến: Cao Quốc Cường * Mã sáng kiến: 28 Vĩnh Tường, tháng năm 2021 MỤC LỤC STT Mục Trang Lời giới thiệu Tên chuyên đề Tác giả chuyên đề Chủ đầu tư tạo chuyên đề Lĩnh vực áp dụng chuyên đề Ngày chuyên đề áp dụng lần đầu áp dụng thử Mô tả chất chuyên đề Những thông tin cần bảo mật 34 Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề 34 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tác giả 35 11 Danh sách tổ chức/ cá nhân tham gia áp dụng thử chuyên đề lần đầu 36 Tài liệu tham khảo 37 -34 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Các toán liên quan đến phương trình, hệ phương trình nội dung quan trọng đề thi vào lớp 10 THPT Qua thực tế giảng dạy, qua việc theo dõi kết thi vào lớp 10THPT, tơi thấy tốn liên quan đến phương trình, hệ phương trình khơng khó, nhiều học sinh làm sai chưa làm được, chưa nắm vững phương pháp giải, chưa hình thành kĩ biến đổi cách linh hoạt, sáng tạo vào toán cụ thể Thực tế giảng dạy tơi thấy có số học sinh tiếp thu chậm, chưa biết vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm tập Các em nhầm lẫn chưa thành thạo dạng toán phương trình, hệ phương trình, thời gian dành cho ơn tập dạng tập cịn đa số em chưa giải toán mở rộng, nâng cao đề thi vào lớp 10 THPT Nguyên nhân tồn là: - Do thời gian phân phối chương trình dành cho phần phương trình, hệ phương trình cịn ít, để làm tập liên quan đến phương trình, hệ phương trình có chứa tham số địi hỏi học sinh có tu duy, có kỹ tính tốn, phân tích tốt - Một số học sinh nắm kiến thức chưa sâu, số học máy móc, hiểu cách giải hệ phương trình đơn giản chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn q trình làm tập Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng thi vào lớp 10 THPT viết sáng kiến kinh nghiệm: “Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 THPT mơn Tốn" Nội dung chủ yếu sáng kiến nêu dạng tập thường gặp đề thi vào lớp 10 THPT, sáng kiến giúp học sinh củng cố nắm kiến thức bản, giúp em tự tin gặp tốn phương trình hệ phương trình Trong dạng tốn tơi đưa phương pháp chung, ví dụ minh họa, hướng giải cụ thể, số sai lầm học sinh thường gặp tập vận dụng tương ứng cho dạng 2.Tên sáng kiến: Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 THPT mơn Tốn 3.Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Cao Quốc Cường - Địa : Trường THCS Lũng Hòa - Vĩnh Tường- Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0982.172.094 Email: caoquoccuongpgdvinhtuong@gmail.com 4.Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Cao Quốc Cường; Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp trường THCS; Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Từ 15 tháng năm 2021; 7.Mô tả chất chuyên đề A Nội dung CHUYÊN ĐỀ I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH 7.1.Dạng 1: Hệ hai phương trình bậc hai ẩn * Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn Hệ hai phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng: ax by c(1) , , a x b, y c (2) (1) (2) phương trình bậc hai ẩn 7.1.1.Phương pháp giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp Quy tắc dùng để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương Gồm hai bước sau: Bước 1: Từ phương trình hệ phương trình cho (coi phương trình thứ nhất) ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình (là PT ẩn); Bước 2: Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ (phương trình thứ thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước 1) Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương Gồm hai bước sau: Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để phương trình mới; Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (và giữ nguyên phương trình kia) 7.1.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: x y 1 x y 3 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2015- 2016) Giải Cách 1: Sử dụng phương pháp x y 1 x y 3 x y 1 x y 1 x y 1 x 1 3( y 1) y 3 y y 3 y 0 y 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (1;0) Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số x y 1 x y 3 x y 2 x 5 x 1 x 1 3x y 3 x y 1 1 y 1 y 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1;0) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình x y x y (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2010- 2011) Giải Cách 1: Sử dụng phương pháp 5y 5y x x y y y y 5y 15 x x 4 y y x y x y Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = ( 5y x y 4 15 ; ) Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số x y x y y y y y 15 x y x 10 x 15 x Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = ( 15 ; ) Nhận xét: Đối với ví dụ giáo viên lên hướng dẫn học sinh giải phương pháp cộng nhanh hệ số x hai phương trình hệ 7.1.3 Bài tập tương tự Giải hệ phương trình sau: x y 3 x y 5 a) x y 5 x y 10 b) x (1 ) y 1 e) (1 ) x y 1 x y 0 x y 14 c) x y 3 x y 14 d) x g) y x y 10 0 y 27 y 5x 5 2x i) x y y 5x 0,2 x 0,1 y 0,3 f) x y 5 (2 x 3)( y 4) 4 x ( y 3) 54 ( x 1)(3 y 3) 3 y ( x 1) 12 1 ( x 2)( y 3) xy 50 j) xy ( x 2)( y 2) 32 2 h) ( x 20)( y 1) xy ( x 10)( y 1) xy k) 7.2.Dạng 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ hai phương trình bậc hai ẩn 7.2.1.Phương pháp giải: - Tìm điều kiện xác định phương trình hệ (nếu có) - Đặt ẩn phụ điều kiện ẩn phụ (nếu có) - Giải hệ phương trình theo ẩn phụ đặt - Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm hệ 7.2.2.Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: 2( x y ) 3( x y ) 4 a ) ( x y ) 2( x y ) 5 2( x 2) 3(1 y ) b) 3( x 2) 2(1 y ) Giải a)Cách 1: 2( x y ) 3( x y ) 4 x y x y 4 x y 4 a ) ( x y ) 2( x y ) 5 x y x y 5 3x y 5 x x 3x y 5 y 5 x y 13 13 ; 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = Cách 2: Đặt x y u x y v Khi đó, hệ phương trình cho có dạng: 2u 3v 4 2u 3v 4 v v 6 v 6 u 2v 5 2u 4v 10 u 2v 5 u 12 5 u x x x y x x y 6 x y y 5 y 13 13 ; 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = b)Cách 1: 2( x 2) 3(1 y ) x y x y 3( x 2) 2(1 y ) x y x y 5 x y 13x 13 x 1 x 1 x y 15 x y y y Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = 1; 1 x u y v Cách 2: Đặt Khi đó, hệ phương trình cho có dạng: 2u 3v 4u 6v 13u 13 u u 3u 2v 9u 6v 2u 3v 3v v 0 x x 1 y 0 y Theo cách đặt ta có: Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = 1; 1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: 1 x y 1 a ) 5 x y x 2 b) x 2 y 1 y Giải 1 x y 1 a ) 5 x y ĐKXĐ: x 0 ; y 0 1 x u (u 0; v 0) Khi hệ phương trình cho có dạng: Đặt v y 9 u u u v 1 4u 4v 4 7u 9 7 3u 4v 5 3u 4v 5 u v 1 v 1 v 2 1 x 2 y 7 x (Thỏa mãn điều kiện) y 7 7 7 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = ; 2 x 2 b) x 2 y 1 y x u Đặt v y ĐKXĐ: x 2 ; y 1 (u 0; v 0) Khi phương trình cho có dạng: 7 u u u v 2 3u 3v 6 5u 7 5 2u 3v 1 2u 3v 1 u v 2 v 2 v 3 x 3 y 5 19 x x (Thỏa mãn điều kiện) y 1 y 8 3 19 ; 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: x x y a) b) x y 1 y 1 x y 2 Giải x y a) x y 1 x u Đặt y v ĐKXĐ: x 0 ; y 0 (u 0; v 0) Khi hệ phương trình cho có dạng: x 0 3u 2v 3u 2v 7u u 0 y 1 2u v 1 4u 2v 2 2u v 1 v 1 x 0 (Thỏa mãn điều kiện) y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = 0;1 x y 1 b) ĐKXĐ: x 1 ; y 1 x y 2 x u Đặt y v (u 0; v 0) Khi hệ phương trình cho có dạng: x 1 2u v 1 3u 3 u 1 u 1 y 1 u v 2 u v 2 1 v 2 v 1 x 1 x 2 ( Thỏa mãn điều kiện) y 1 y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = 2;2 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau: x y 8 a ) x y 5 x y 8 xy b) x y 5 xy (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2005- 2006) Giải x y 8 10 x y 16 x 1 a ) x y 5 x y 15 x y 8 x 1 x 1 y 8 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = 1;1 b) Cách 1: x y 8 xy 10 x y 16 xy x xy x xy 0 x y 5 xy x y 15 xy x y 8 xy x y 8 xy x(1 y ) 0 x y 8 xy x 0 x 0 Từ phương trình x(1 y ) 0 1 y 0 y 1 - Với x 0 thay vào phương trình x y 8 xy ta y 0 - Với y 1 thay vào phương trình x y 8 xy ta x 8 x x 3 x 1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = (0;0); (1;1) Cách 2: - Ta thấy cặp số (0;0) nghiệm phương trình - Với x 0 ; y 0 : Chia hai vế phương trình hệ cho xy ta được: 3 x 2 x 8 y 5 y 1 x u Đặt v y Khi hệ có dạng: 3u 5v 8 6u 10v 16 v 1 v 1 v 1 2u 3v 5 6u 9v 15 2u 3v 5 2u 5 u 1 1 x 1 x 1 ( Thỏa mãn điều kiện) y 1 1 y Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = (0;0); (1;1) Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: 24 Giải a) Thay a = vào hệ phương trình ta có: 5 x x x y 3 x 5 x y 2 x y 2 y 2 y 3 4 Vậy với a = hệ phương trình có nghiệm (x; y) = ; b) Từ phương trình (a 1) x y a suy y (a 1) x (a 1) ,Thay vào phương trình x (a 1) y 2 ta được: x (a 1) x (a 1) 2 a x a (*) a 1 x a2 a - Nếu hệ phương trình có nghiệm y a 1 a2 - Nếu a 0 (*) có dạng x 1 : vô nghiệm; Hệ cho vô nghiệm Kết luận a 1 a 1 - Nếu a 0 hệ phương trình có nghiệm ( ; ) ; a a - Nếu a 0 hệ phương trình vơ nghiệm mx 2my m x (m 1) y 2 Ví dụ 2: Giải biện luận hệ phương trình: Giải Từ phương trình x (m 1) y 2 suy x 2 (m 1) y Thay vào phương trình mx 2my m ta được: m[2 (m 1) y ] 2my m 2m m(m 1) y 2my m (m m) y m m(m 1) y m (*) m 0 - Nếu m(m 1) 0 hệ phương trình có nghiệm m 1 m 0 - Nếu m(m 1) 0 m 1 y m x m m 25 - Nếu m 0 phương trình (*) có dạng: y , PT vô nghiệm Hệ phương trình vơ nghiệm; - Nếu m 1 phương trình (*) có dạng: y 0 , PT vơ số nghiệm Hệ phương trình vơ số nghiệm Kết luận - Nếu m 0 m 1 hệ phương trình có nghiệm ( m 1 ; ); m m - Nếu m 0 hệ phương trình vơ nghiệm; - Nếu m 1 hệ phương trình vơ số nghiệm 7.4.3 Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hệ phương trình x my mx y 5 a) Giải hệ phương trình với m = b) Giải biện luận hệ phương trình cho với tham số m Bài 2: Cho hệ phương trình (m 1) x my 3m (m tham số) x y m a) Giải hệ phương trình với m ; b) Giải biện luận hệ phương trình cho với tham số m CHUYÊN ĐỀ II: VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ GIẢI TỐN Ta biết, điều kiện để phương trình bậc hai ax bx c a có nghiệm b2 4ac (hoặc ' b'2 ac ) Trong chuyên đề trình bày cách vận dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai để giải số dạng toán 7.5 Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức 7.5.1.Ví dụ 1: Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện x xy x y z y yz (1) Chứng minh 1 y z Lời giải: Viết đẳng thức (1) dạng phương trình bậc hai ẩn x x y 1 x y yz z y (2) 26 Ta có ' y 2 yz z , Vì x, y, z thỏa mãn đẳng thức (1) nên phương trình (2) có nghiệm, phải có ' y 2 yz z y z 1 y z 1 y z (Điều phải chứng minh) 7.5.2.Ví dụ 2: Cho x,y số thực thỏa mãn điều kiện x xy y Chứng minh 4 x xy y (*) Lời giải: Đặt A x xy y B x xy y -Trường hợp 1: Nếu y = x3 B x thỏa mãn (*) -Trường hợp 2: Nếu y đặt x ty Ta có B A Tìm tập giá trị M x xy y t2 t A x xy y t2 t 1 t2 t M 1 t M 1 t M (1) t t 1 Khi M ta t 2 Khi M , phương trình (1) có nghiệm 4 3 M 3 2 Ta có B A.M mà A x xy y M 1 M 1 M 3 4 x xy y (Điều phải chứng minh) 7.6 Dạng 2: Tìm giá trị lớn (GTLN), Giá trị nhỏ (GTNN) 7.6.1.Ví dụ 1: Cho biểu thức P có) P Lời giải: ĐKXĐ x R Ta có P x2 8x Tìm GTLN, GTNN (nếu x2 x 8x P 1 x x P (1) x2 Coi (1) phương trình bậc hai ẩn x -Trường hợp 1: P P x (*) -Trường hợp 2: P p phương trình (1) có nghiệm ' P 8P P 1 P 1 P (**) Kết hợp (*) (**) ta có P 1; max P 2 1 P GTLN P đạt x (Điều phải chứng 1 P Vậy GTNN P -1 đạt x minh) 27 7.6.2.Ví dụ 2: Cho hai số thực x; y thay đổi thỏa mãn hệ thức x y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x xy xy y Lời giải: Ta có P x xy x xy xy y x xy y -Nếu y x P -Nếu y đặt x ty Khi 2t 12t P t P t 3P (1) t 2t 3 3 4 4 Nếu P t , x, y ; x, y ; 5 5 5 Nếu P phương trình (1) có nghiệm ' 2 P P 36 6 P P6 x2 y y y y P 6 t Từ nên 2P 13 xm 13 P6 2 2 P 3t Từ x y y y y nên x 2P 10 10 13 13 ; x ; y ; Vậy MinP 6 x; y 13 13 13 13 10 10 10 10 ; x ; y ; MaxP x; y 10 10 10 10 7.6.3.Ví dụ 3: Tìm cặp số x; y thỏa mãn đẳng thức P x y x y xy (1) cho y đạt giá trị lớn nhất; Lời giải: Viết biểu thức (1) dạng phương trình bậc hai ẩn x, tham số y x2 y x y2 y Giả sử tồn cặp số x; y thỏa mãn đẳng thức (1) phương trình (2) phải có nghiệm ' 3 y y 2 , thay y vào (1) ta x 3 2 Vậy cặp số x; y cần tìm thỏa mãn ; 3 Vậy GTLN y 7.7 Dạng 3: Tìm giá trị nguyên biểu thức 7.7.1 Ví dụ 1: Cho biểu thức P x để P nhận giá trị nguyên x 2 Tìm tất giá trị x x 2 28 Lời giải: ĐKXĐ x ; Đặt a x ( a ) Giả sử tồn giá trị x để P nhận giá trị nguyên phương a2 (ẩn a tham số P) có nghiệm a a2 Pa P 1 a P 1 (*) có nghiệm Vì P nên phương trình (*) ln phương trình bậc hai ẩn a trình P phương trình (*) có nghiệm 7 P 10 P 5 54 ; P 7 Do P 0; P Z nên P = 1; Với P = ta tính x = x = 4; Vậy với x 0; 4 biểu thức P nhận giá trị nguyên; 7.8 Dạng 4: Giải phương trình nghiệm ngun 7.8.1.Ví dụ 1: Tìm cặp số nghuyên x; y thỏa mãn đẳng thức x y y xy (1) Lời giải: Viết lại đẳng thức (1) dạng phương trình bậc hai ẩn x x xy y y 3 (2) Giả sử tồn cặp số nguyên x; y thỏa mãn đẳng thức (1) phương trình (2) phải có nghiệm ' y 1 3 y Vì y Z nên y 3; 2; 1;0;1 Lần lượt thay giá trị y vào phương trình (2) ta -Với y 3 x 12 x 36 x 6 (thỏa mãn); -Với y 2 x x 13 x 4 (loại x Z ); -Với y 1 x x x 0; x 4 (thỏa mãn); -Với y x x (loại x Z ); -Với y x x x (thỏa mãn); Vậy có bốn cặp số nguyên x; y thỏa mãn đẳng thức (1) là: 6; 3 ; 4; 1 ; 0; 1 ; 2;1 7.9 Dạng 5: Giải hệ phương trình 7.9.1.Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 1 y x z y y y 3 x2 z x 4 z0 Lời giải: Từ phương trình (2) ta có y y z z (*); Coi (*) phương trình bậc hai ẩn y; Phương trình (*) có nghiệm 29 z 'y z z z (I) Mặt khác từ phương trình (3) ta có x x z (**); Coi (**) phương trình bậc hai ẩn x; Phương trình (**) có nghiệm 'x z 2 z (II); z Kết hợp (I); (II) (4) ta có z -Với z thay vào hệ phương trình ta có y x x 1 x4 y y y 3 y 3 x x 4 x x 4 -Với z thay vào hệ phương trình ta có y x x x2 y y y 1 y 1 x2 4x x2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x; y; z 4; 3;0 ; 2; 1; ; 7.10 Bài tập vận dụng Cho đẳng thức x x y y 3xy Chứng minh 5 28 y 3 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức x2 x 1 A x2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A x2 y ; Biết x y số thực thỏa mãn x y xy Cho x; y; z số thực thỏa mãn x y z Tìm giá trị lớn biểu thức M xy yz zx x2 Tìm giá trị lớn P x x 2022 x2 x Tìm giá trị nhỏ biểu thức A với x x 2x 1 Tìm cặp số x; y thỏa mãn đẳng thức x yx y x Cho biểu thức P cho y đạt giá trị nhỏ Cho biểu thức A trị nguyên x2 Tìm giá trị x để A nhận giá x2 2x 30 Cho x; y thỏa mãn điều kiện x y xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A x xy y 10 Cho hai số thực x; y thỏa mãn x xy y Tìm giá trị lớn biểu thức P x xy y CHUYÊN ĐỀ 3: BA DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 7.11.Dạng 1: Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai có nghiệm chung Bài tốn: Cho hai phương trình bậc hai a1 x b1 x c1 (*) a2 x b2 x c2 (**) Trong hệ số a1 ; b1 ; c1; a2 ; b2 ; c2 biểu thức chứa tham số Hãy xác định giá trị tham số để hai phương trình có nghiệm chung Phương pháp giải: Điều kiện cần: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x0 , a1 x02 b1 x0 c1 ta có hệ phương trình a2 x0 b2 x0 c2 Từ hệ phương trình ta xác định giá trị tham số Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số tìm vào hai phương trình (*) (**) để tìm nghiệm chung, kết luận 7.11.1.Ví dụ 1: Tìm giá trị tham số m để hai phương trình sau có nghiệm chung x m x m (1) x2 m 2 x m (2) Lời giải: Điều kiện cần: Giả sử hai phương trình (1) (2) có nghiệm chung x0 x02 m x0 m x0 m x0 m Trừ vế hai phương trình ta có 2 x0 x0 , thay x0 vào hệ phương trình tìm m Điều kiện đủ: Với m thay vào PT (1) ta có x x x 2; x Với m thay vào PT (2) ta có x x x 1; x 2 Hai phương trình có nghiệm chung x Vậy m hai phương trình có nghiệm chung 31 7.11.2.Ví dụ 2: Cho hai phương trình x mx (3) x x m (4) Tìm giá trị tham số m để a) Hai phương trình có nghiệm chung; b) Hai phương trình tương đương Lời giải: a)Điều kiện cần: Giả sử hai phương trình (3) (4) có nghiệm chung x0 ta có x02 mx0 x0 x0 m Trừ vế với vế hai phương trình ta m 1 x0 m 1 x0 m m 1 x0 1 Thay x0 vào hệ phương trình tìm m 2 Điều kiện đủ: Với m thay vào PT (3) PT (4) ta PT x x phương trình vơ nghiệm; Với m 2 thay vào PT(3) ta có x x x m 2 thay vào PT(4) ta có x x x 1; x Hai phương trình có nghiệm chung x Vậy m 2 hai phương trình có nghiệm chung b) Hai phương trình (3) (4) tương đương chúng có tập nghiệm Trường hợp 1: Hai PT (3) PT (4) vô nghiệm Khi m m2 4m Trường hợp 2: Nếu hai phương trình (3) (4) có nghiệm chung theo câu a ta có m 2 Khi tập nghiệm PT (3) 1 , tập nghiệm PT (4) 1; 2 ; nên chúng không tương đương; Vậy với m hai phương trình tương đương; 7.11.3.Ví dụ 3: Cho a b hai tham số khác hai phương trình sau x ax 2b (5) x bx 2a (6) Chứng minh hai phương trình có nghiệm chung nghiệm cịn lại phương trình nghiệm phương trình x x ab Lời giải: Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình (5) (6) 32 x02 ax0 2b x0 bx0 2a Suy a b x0 a b x0 (vì a b ) Thay vào hệ phương trình ta có 2a 2b a b 2 Theo định lý Viet phương trình (5) có hai nghiệm x0 x1 b , phương trình (6) có hai nghiệm x0 x2 a Ta có x1 x2 a b x1.x2 a.b nên x1 , x2 hai nghiệm phương trình x a b x ab hay phương trình x x ab a b 2 7.11.4.Ví dụ 4: Giả sử hai phương trình 2 a1 x b1 x c1 0; a2 x b2 x c2 có nghiệm chung Chứng minh a2 c1 a1c2 a2b1 a1b2 c1b2 c2b1 (*) Lời giải: Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình cho, ta có a1 x02 b1 x0 c1 a2 x0 b2 x0 c2 2 Suy ra: a2 a1 x0 b1 x0 c1 a1 a2 x0 b2 x0 c2 a2b1 a1b2 x0 a2c1 a1c2 (7) b2 a1 x02 b1 x0 c1 b1 a2 x02 b2 x0 c2 a1b2 a2b1 x02 b2c1 b1c2 (8) - Nếu a2b1 a1b2 từ (7) suy a2 c1 a1c2 suy (*) đúng; - Nếu a2b1 a1b2 từ (7) (8) suy x0 a1c2 a2 c1 bc b c x02 2 ; a2b1 a1b2 a1b2 a2b1 bc b c a c a c Do 2 2 a2c1 a1c2 a2b1 a1b2 c1b2 c2b1 (Điều a1b2 a2 b1 a2b1 a1b2 phải chứng minh); Nhận xét: Hai phương trình bậc hai có nghiệm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân biệt chúng khơng có nghiệm chung 7.11.5.Ví dụ 5: Tìm tất giá trị m để phương trình x 2mx x m m có bốn nghiệm phân biệt Lời giải: Phương trình cho tương đương với x x x m (9) x m x2 x m x x m (10) Phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt phương trình (9) phương trình (10) phương trình có hai nghiệm phân biệt chúng khơng có nghiệm chung 33 -Điều kiện để phương trình (9) (10) có hai nghiệm phân biệt 4m m 10 4m -Giả sử phương trình (9) phương trình (10) có nghiệm chung x02 x0 m 1 x0 x0 m x0 2 x0 x0 m Vậy để phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt m 7.12.Dạng 2: Chứng minh phương trình bậc hai có phương trình có nghiệm Phương pháp:Ta chứng minh tổng biệt thức số khơng âm 7.12.1.Ví dụ 1: Cho số dương a; b; c thỏa mãn điều kiện a 2b 3c Chứng minh có hai phương trình sau có nghiệm x 2a 1 x 4a 192abc (1) x 2b 1 x 4b 96abc (2) Lời giải: Hai phương trình có 1' 16a 48bc ; '2 16b 24ac Vì a; b số dương nên 1' ; '2 dấu với 48bc 24ac Mặt khác ta 48bc 24ac 24c a 2b 24c 3c 6c 1 lại có Dẫn đến 1' '2 hai phương trình có nghiệm 7.12.2.Ví dụ 2: Cho số a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c Chứng minh ba phương trình sau có nghiệm x ax 0; x bx 0; x cx 0; Lời giải: Ba phương trình cho có 1 a ; b ; c Do 1 3 a b2 c 12 2 2 Lại có a b2 c2 a b c a b b c c a a b c a b c 62 12 3 Do a b c 12 hay 1 3 Vậy có Suy a b c 2 ba phương trình cho có nghiệm 7.13.Dạng 3: Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai có nghiệm xen kẽ 34 Phương pháp giải Ta thực theo bước sau: -Tìm điều kiện để hai phương trình có hai nghiệm phân biệt Gọi x1 ; x2 x1 x2 hai nghiệm phương trình thứ nhất; x3 ; x4 x3 x4 hai nghiệm phương trình thứ hai; -Điều kiện để hai nghiệm x3 ; x4 nằm ( x1 ; x2 ) nghiệm nằm ( x1 ; x2 ) x3 x1 x3 x2 x4 x1 x4 x2 -Áp dụng định lý Viet để tìm giá trị tham số thỏa mãn u cầu tốn; 7.13.1.Ví dụ 1: Tìm điều kiện a để hai phương trình x x a x x 6a có nghiệm xen kẽ Lời giải: Điều kiện để hai phương trình đồng thời có hai nghiệm phân biệt 1' a 2 a (*) ' 6a Gọi x1 ; x2 x1 x2 hai nghiệm phương trình thứ nhất; x3 ; x4 x3 x4 hai nghiệm phương trình thứ hai Điều kiện để hai nghiệm x3 ; x4 nằm ( x1 ; x2 ) nghiệm nằm ( x1 ; x2 ) x3 x1 x3 x2 x4 x1 x4 x2 (**) Theo định lý Viet ta có x1 x2 2; x1.x2 a ; x3 x4 4; x3 x4 6a 2 Suy x3 x1 x3 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x3 a x4 x1 x4 x2 x42 x1 x2 x4 x1 x2 x42 x4 a Dẫn đến (**) x3 x3 a x4 x4 a 2 x3 x4 x3 x4 x3 x4 x3 x4 a x32 x42 2a x3 x4 a 49a 48a a Vậy a 48 (thỏa mãn điều kiện (*)) 49 48 hai phương trình có nghiệm xen kẽ 49 7.14.Bài tập vận dụng 1.Tìm tất giá trị a để hai phương trình x 2a 1 x 2a x 2ax 3a có nghiệm chung 2 2.Cho hai phương trình: x 3k 1 x x 2k 3 x a) Tìm giá trị k để hai phương trình có nghiệm chung; b) Tìm giá trị k để hai phương trình tương đương Với giá trị tham số a b, phương trình bậc hai: 2a 1 x 3a 1 x b x 2b 1 x có nghiệm chung Cho phương trình bậc hai: x ax bc (1) x bx ac (2) (a, b, c đôi khác khác 0); 35 Cho biết phương trình (1) (2) có nghiệm chung Chứng minh hai nghiệm cịn lại cuat phương trình (1) (2) nghiệm phương trình x cx ab 5.Cho số a1 ; a2 ; b1 ; b2 thỏa mãn điều kiện a1a2 b1 b2 Chứng minh có hai phương trình sau có nghiệm x a1 x b1 ; x a2 x b2 6.Tìm điều kiện a để hai phương trình x 3x 2a x x 5a có nghiệm xen kẽ B.Về khả áp dụng chuyên đề Để học sinh làm tốn liên quan đến phương trình,hệ phương trình giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: - Củng cố lại quy tắc biến đổi, phương pháp giải phương trình, hệ phương trình - Dựa vào mối quan hệ hệ số để đốn nhận số nghiệm phương trình, hệ phương trình, kĩ sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra nghiệm phương trình, hệ phương trình Khi gặp tốn tổng qt phương trình, hệ phương trình, học sinh cần: -Quan sát đặc điểm toán; -Nhận dạng toán; -Chọn lựa phương pháp giải thích hợp Xây dựng học sinh thói quen trước làm cần quan sát, nhận dạng toán, nhận xét đánh giá toán, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào tốn, sử dụng thành thạo kĩ giải tốn 8.Những thơng tin cần bảo mật: Không 9.Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Áp dụng cho học sinh lớp 10.Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tác giả: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tác giả: Sáng kiến nêu số dạng toán phương trình, hệ phương trình thường gặp đề thi vào lớp 10 THPT Nếu học sinh nắm phương pháp giải dạng tập sở để HS học tốt dạng toán: giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình, tốn đồ thị hàm số, tốn hệ phương trình có chứa tham số Kết áp dụng sáng kiến vào thực tế : a) Chưa áp dụng sáng kiến Kiểm tra tiết 36 Thời điểm Chưa áp dụng giải pháp TS Trung bình trở lên HS Số lượng Tỉ lệ (%) 80 35 43,75% Nhận xét: Học sinh biết sử dụng phương pháp phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình dạng bản, khơng làm giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ hệ phương trình có chứa tham số, tốn nâng cao phương trình bậc hai, tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất… b) Áp dụng giải sáng kiến Lần 1: Kiểm tra tiết Thời điểm Kết áp dụng sáng kiến (lần 1) TS Trung bình trở lên HS Số lượng Tỉ lệ (%) 80 45 56,25% Nhận xét: Học sinh giải thành thạo hệ phương trình dạng bản, biết sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình phức tạp, học sinh cịn mắc nhiều sai lầm giải tốn hệ phương trình có chứa tham số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đơn giản Lần 2: Kiểm tra tiết Thời điểm Kết áp dụng sáng kiến (lần 2) TS Trung bình trở lên HS Số lượng Tỉ lệ (%) 80 72 90% Nhận xét: Học sinh giải thành thạo hệ phương trình dạng bản, biết sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình phức tạp, giải tốn phương trình, hệ phương trình có chứa tham số, tìm điều kiện tham số để hai phương trình bậc hai có nghiệm chung 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức nhân Năm học 2020-2021 nhà trường áp dụng sáng kiến để giảng dạy, bồi dưỡng cho học sinh lớp thi vào lớp 10 THPT, nhà trường dự kiến năm học 2021-2022 nhà trường tiếp tục áp dụng sáng kiến này; 11.Danh sách tổ chức /cá nhân tham gia áp dụng thử chuyên đề lần đầu STT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Vương Thị Phương Trường THCS Lũng Hịa Tốn 37 Hoa Trần Thị Thanh Tâm Trường THCS Lũng Hòa Vĩnh Tường, ngày 15 tháng 02 năm 2022 Toán Vĩnh Tường, ngày 15 tháng 02 năm 2022 Thủ trưởng đơn vị Tác giả sáng kiến Bùi Quang Ba Cao Quốc Cường TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT -Tỉnh Vĩnh Phúc 2) Một số đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh 3)Sách giáo khoa toán – Tập Tác giả:Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận 38 4) Sách tập toán – Tập Tác giả:Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận 5) Ôn tập đại số – Nhà xuất giáo dục Tác giả: Nguyễn Ngọc Đam- Vũ Dương Thụy 6) Các dạng toán phương pháp giải toán 9- Tập Tác giả :Tơn Thân-Vũ Hữu Bình- Nguyễn Hữu Thanh-Bùi Văn Tuyên 7) Nâng cao phát triển toán lớp 9- Tập Tác giả: Vũ Hữu Bình 8) Tạp chí Tốn tuổi thơ Nhiều tác giả - nhà xuất giáo dục ... giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng thi vào lớp 10 THPT viết sáng kiến kinh nghiệm: ? ?Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 THPT. .. minh họa, hướng giải cụ thể, số sai lầm học sinh thường gặp tập vận dụng tương ứng cho dạng 2.Tên sáng kiến: Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 THPT môn Toán 3.Tác giả sáng kiến:... STT Mục Trang Lời giới thi? ??u Tên chuyên đề Tác giả chuyên đề Chủ đầu tư tạo chuyên đề Lĩnh vực áp dụng chuyên đề Ngày chuyên đề áp dụng lần đầu áp dụng thử Mô tả chất chuyên đề Những thông tin cần