Xác định tọa độ ảnh của một điểm qua phép tịnh tiến
Cho vectơ #ằv = (a;b)và điểmM(x;y) Khi đú
Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho điểmA(3;−3) Tìm tọa độ diểmA ′ là ảnh củaAqua phộp tịnh tiến theo vộctơ #ằv = (−1; 3) Đỏp số: A ′ (2; 0).
Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho điểmM ′ (−4; 2), biếtM ′ là ảnh củaMqua phép tịnh tiến theo vộctơ #ằv = (1;−5) Tỡm tọa độ điểmM Đỏp số: M(−5; 7).
Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho điểmM(−5; 2)và điểmM ′ (−3; 2)là ảnh củaMqua phộp tịnh tiến theo vộctơ #ằv Tỡm tọa độ vộctơ #ằv Đỏp số: #ằ v = (2; 0).
Ví dụ 4 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho ∆ABC biết A(2; 4),B(5; 1),C(−1;−2) Phép tịnh tiến theo vộctơ # ằ
BC biến ∆ABC thành ∆A ′ B ′ C ′ tương ứng các điểm Tìm tọa độ trọng tâm G ′ của
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(0; 2) và N(−2; 1), cùng với vecto tịnh tiến v = (1; 2) Khi thực hiện phép tịnh tiến theo vecto v, điểm M sẽ biến thành M′ và điểm N sẽ biến thành N′ Độ dài đoạn thẳng M′N′ được tính bằng công thức √.
Ví dụ 6 Cho tam giácABC cóA(1;−1),B(2; 3),C(5;−2)và A ′ ,B ′ ,C ′ lần lượt là ảnh của các điểmA,B,Cqua phộp tịnh tiến theo vộc-tơ #ằv = (1; 2) Tớnh diện tớchScủa tam giỏcA ′ B ′ C ′ Đáp số: S A ′ B ′ C ′ = 17
Xác định phương trình ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến
Cho #ằv = (a;b)vàd: Ax+By+C=0 Tỡm phương trỡnhd ′ là ảnh củad quaT#ằ v.
L Cách 1.Tìm hai điểm trên đường thẳng ảnh và viết phương trình qua hai điểm đó.
• Lấy hai điểmM,N thuộcd Ta có
• Đường thẳngd ′ cần tìm là đường thẳng qua hai điểmM ′ vàN ′ d ′ d
L Cách 2.Sử dụng tính chấtd ′ song song hoặc trùng vớid.
• dqua điểmMvà cú vec tơ phỏp tuyếnn#ằ d = (A;B).
• Đường thẳngd ′ cần tỡm là đường thẳng qua điểmM ′ và nhậnn#ằ d làm vec tơ phỏp tuyến Suy rad ′ : A(x−x 0 ) +B(y−y 0 ) =0.
L Cách 3.Sử dụng quỹ tích điểmM ′ :
• GọiM(x;y)∈dvàM ′ (x ′ ;y ′ )là ảnh của điểmMquaT#ằ v.
• Thay(1)vào phương trìnhd, ta đượcA(x ′ −a) +B(y ′ −b) +C=0 Thu gọn, ta được
Vậy, phương trình ảnh củadlàAx+By+C ′ =0.
Ví dụ 7 Trong mặt phẳng tọa độOxy, tìm phương trình đường thẳng∆ ′ là ảnh của đường thẳng
∆:x+2y−1=0qua phộp tịnh tiến theo vộctơ #ằv = (1;−1) Đỏp số: ∆ ′ : x + 2y = 0.
Ví dụ 8 Trong mặt phẳng tọa độOxycho đường thẳng d:x+3y−1=0 Tìm ảnh củad qua phộp tịnh tiến theo #ằv = (2;−1) Đỏp số: d ′ : x+ 3y = 0.
Ví dụ 9 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường thẳng∆có phương trình2x+y+5=0.Tìm abiết phộp tịnh tiến theo vộc-tơ #ằv = (1;a)biến∆thành chớnh nú Đỏp số: a = −2
Xác định phương trình ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến
Cho #ằv = (a;b)và(C): (x−m) 2 + (y−n) 2 =R 2 Tỡm phương trỡnh(C ′ )là ảnh của(C)quaT#ằ v.
L Cách 1.Đường tròn(C)có tâmI(m;n)và bán kínhR.
• T#ằ v(I) =I ′ (x ′ ;y ′ )⇒ ®x ′ =x+a=m+a y ′ =y+b=n+b. ĐiểmI ′ (m+a;n+b) = (x 0 ;y 0 )chính là tâm của đường tròn(C ′ ).
• Do phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách nênR ′ =R.
L Cách 2.Sử dụng quỹ tích điểmM ′ :
• GọiM(x;y)∈(C)vàM ′ (x ′ ;y ′ )là ảnh của điểmM quaT#ằ v.
• Thay(1)vào phương trình(C), ta được(x ′ −a−m) 2 + (y ′ −b−n) 2 =R 2 Vậy, phương trình ảnh của(C)là(C ′ ): (x−a−m) 2 + (y−b−n) 2 =R 2 Đường tròn(C): x 2 +y 2 −2ax−2by+c=0có
1 PHÉP TỊNH TIẾN Kết nối tri thức với cuộc sống
Ví dụ 10 Trong mặt phẳng tọa độOxycho đường tròn(C):(x+5) 2 + (y−3) 2 % Tìm ảnh của đường trũn(C)qua phộp tịnh tiến theo vộc-tơ #ằv = (5;−4). Đáp số: (C ′ ) : x 2 + (y+ 1) 2 = 25.
Ví dụ 11 Trong mặt phẳng tọa độOxy, tìm phương trình đường tròn(C ′ )là ảnh của đường tròn (C):x 2 +y 2 −2x+4y−1=0quaT#ằ v với #ằv = (1; 2). Đáp số: (C ′ ) : (x −2) 2 + y 2 = 6.
Một số bài toán hình sơ cấp
Cho hình vuông ABCD tâm I Gọi M,N lần lượt là trung điểm AD,DC.
Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến tam giácAMIthànhINC.
Ví dụ 13 Cho đường tròn(O)và hai điểmA,B Một điểmMthay đổi trên đường tròn(O) Tìm quỹ tớch điểmM ′ sao cho # ằ
Cho hai điểmB,Ccố định trên đường tròn (O,R)và Athay đổi trên đường tròn đó,BDlà đường kính Tìm quỹ tích trực tâmH của∆ABC.
Bài tập 1 Trong mặt phẳng tọa độOxychoA(3; 1),B(2; 2).
Tỡm tọa độ ảnh của điểmAqua phộp tịnh tiến theo vộc-tơ #ằv = (1;−2). a)
Tỡm tọa độ điểmCsao choBlà ảnh củaCqua phộp tịnh tiến theo vộc-tơ #ằv = (3; 1). b)
Tìm một phép tịnh tiến biếnAthànhB. c)
Bài tập 2 Trong mặt phẳng tọa độOxycho đường thẳngd: 2x−3y+1=0 Tìm ảnh củad qua phép tịnh tiến theo vộc-tơ #ằv = (3;−1).
Bài tập 3 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(−2; 3); đường thẳng d: 2x−y+5=0; đường tròn (C): (x+3) 2 + (y−2) 2 =4và #ằu = (1; 2).
Tỡm tọa độ ảnh của A qua phộp tịnh tiến theo vộc tơ #ằu; a)
Tỡm phương trỡnh ảnh của d qua phộp tịnh tiến theo #ằu; b)
Tỡm phương trỡnh ảnh của(C)qua phộp tịnh tiến theo #ằu. c)
Bài tập 4 Trong mặt phẳngOxy, cho điểmA(2; 3),B(−1; 2), đường thẳngd: 2x−3y+2=0, đường tròn(C):(x+1) 2 + (y−3) 2 =4.
Tỡm phương trỡnh ảnh của đường thẳng d qua phộp tịnh tiến theo vộc tơ # ằ
AB. a) Tỡm phương trỡnh ảnh của(C)qua phộp tịnh tiến theo vộc tơ # ằ
Bài tập 5 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2; 3), đường thẳng d: 2x−3y+2 =0, đường tròn (C):(x+1) 2 + (y−3) 2 =4và vộc tơ #ằu = (3;−2)
Tịnh tiến theo vộc tơ #ằu biếnAthànhM Xỏc định tọa độ điểmA. a) Tỡm phương trỡnh ảnh củadqua phộp tịnh tiến theo #ằu. b)
Tỡm phương trỡnh ảnh của(C)qua phộp tịnh tiến theo #ằu. c)
Bài tập 6 Trong mặt phẳng tọa độOxy cho đường thẳngd :x−y+1=0 Tìm phương trình đường thẳngd ′ sao chodlà ảnh củad ′ qua phộp tịnh tiến theo vộc-tơ #ằv = (3;−1).
Bài tập 7 Trong mặt phẳng tọa độOxycho đường tròn(C):x 2 +y 2 −8x−2y−3=0 Tìm ảnh của đường trũn(C)qua phộp tịnh tiến theo vộc-tơ #ằv = (1;−2).
Bài tập 8 Trong mặt phẳng tọa độOxy cho đường tròn(C):(x+3) 2 + (y−2) 2 Tìm ảnh của đường trũn(C)qua phộp tịnh tiến theo vectơ #ằv = (1;−4)
Bài tập 9 Cho hỡnh bỡnh hànhABCD Phộp tịnh tiếnT# ằ
AD biến điểmAthành điểm nào?
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Tìm ảnh của ∆AOF qua phép tịnh tiến theo vectơ # ằ
Bài tập 11 Cho hình vuôngABCDtâmI GọiM,Nlần lượt là trung điểm củaAD,DC Tìm phép tịnh tiến biến∆AMIthành∆MDN?
Bài tập 12 Cho hình bình hànhABCD Trình bày các phép tịnh tiến biến đường thẳngABthành đường thẳngCDvà biến đường thẳngADthành đường thẳngBC?
Bài tập 13 Tỡm vectơ #ằv = (a;b)sao cho khi tịnh tiến đồ thịy= f(x) =x 3 +3x+1theo vectơ #ằv ta nhận được đồ thị hàm sốy=g(x) =x 3 −3x 2 +6x−1.
Bài tập 14 Trong mặt phẳngOxy, cho hai điểmA(−5; 2),C(−1; 0) BiếtB=T#ằ u(A),C=T#ằ v(B) Tỡm tọa độ của vectơ #ằu+#ằv để cú thể thực hiện phộp tịnh tiếnT#ằ u + #ằ v biến điểmAthành điểmC.
Bài tập 15 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳngd : 2x−3y+3=0 và d ′ : 2x−3y−5=0. Tỡm tọa độ #ằv cú phương vuụng gúc vớid vàT#ằ v biến đường thẳngdthànhd ′
Cõu 1 Trong mặt phẳng tọa độOxy, ảnh của điểmM(3;−2)qua phộp tịnh tiến theo vộc-tơ #ằu = (2; 1) là điểm nào?
1 PHÉP TỊNH TIẾN Kết nối tri thức với cuộc sống
Cõu 2 Trong mặt phẳng tọa độOxy, ảnh của điểmM(0; 1)qua phộp tịnh tiến theo vộc-tơ #ằu = (1; 2) là điểm nào?
Cõu 3 Xột phộp tịnh tiến theo #ằv biến điểmA(1; 3)thành điểmA ′ (1; 7) Tỡm tọa độ của vộc-tơ tịnh tiến
Câu 4 Cho hình vuôngABCDcó tâmI Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cõu 5 Cho hỡnh bỡnh hànhABCD Phộp tịnh tiếnT# ằ
Cõu 6 Cho hỡnh lục giỏc đềuABCDEFtõmO, đặt #ằv = # ằ
OA Qua phép tịnh tiếnT#ằ v thỡ:
Câu 7 Trong mặt phẳng tọa độOxy, nếu phép tịnh tiến biến điểmA(3; 2) thành điểmA ′ (2; 3) thì nó biến điểmB(2; 5)thành
Câu 8 Trong mặt phẳngOxy, cho đường thẳng∆: x−2y+2=0 Ảnh của đường thẳng ∆qua phép tịnh tiến theo #ằu = (2; 3)cú phương trỡnh là
Cõu 9 Trong mặt phẳngOxy, phộp tịnh tiến theo vộc-tơ #ằv(2;−3)biến đường thẳngd: 2x+3y−1=0 thành đường thẳngd ′ có phương trình là
Cõu 10 Phộp tịnh tiến theo #ằv biến điểmA(2; 4)thành điểmA ′ (−1; 7) Tỡm tọa độ của vộc-tơ tịnh tiến
Cõu 11 Trong mặt phẳng tọa độOxy, phộp tịnh tiến theo vộc-tơ #ằv cựng phương với vộc-tơ #ằi biến đường thẳngd: x+y+1=0thành đường thẳngd ′ : x+y−1=0 Hóy tỡm #ằv.
Câu 12 Cho lưới tọa độ ô vuông như hình vẽ Tỡm tọa độ vộc-tơ #ằv biết rằng qua T#ằ v thỡ
Cõu 13 Trờn mặt phẳng tọa độOxy, phộp tịnh tiến theo vộc-tơ #ằv = (3; 1)biến đường thẳng d thành đường thẳngd ′ : x−2y=0 Khi đó,d có phương trình là
Cõu 14 Trong mặt phẳng tọa độOxy, phộp tịnh tiến theo vộc-tơ #ằv = (a;b)biến đường thẳngd 1 : x+ y=0thànhd 1 ′ : x+y−4=0vàd 2 : x−y+2thànhd 2 ′ : x−y−8=0 Tínhm=a+b
Câu 15 Trong mặt phẳng, cho tam giácABC GọiM, N,Plần lượt là trung điểm cỏc cạnhBC,CA,AB Phộp tịnh tiến theo vộc-tơ #ằv = 1
A điểmPthành điểmN B điểmN thành điểmP.
Cõu 16 Qua phộp tịnh tiến vộc-tơ #ằu, đường thẳngd cú ảnh là đường thẳngd ′ Mệnh đề nào sau đõy là mệnh đề đúng.
A d ′ trựng vớid khi và chỉ khidsong song với giỏ #ằu.
B d ′ trựng vớid khidvuụng gúc với giỏ #ằu.
C d ′ trựng vớid khidcắt đường thẳng chứa #ằu.
D.d ′ trựng vớid khidsong song hoặcd trựng với giỏ #ằu.
Câu 17 Có 12tấm hình tròn như nhau được xếp theo hình bên Sau một phép tịnh tiến, hình1biến thành hình8 Hỏi ảnh của hình5là hình nào?
Câu 18 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho lưới tọa độ ô vuông như hình vẽ Tìm tọa độ củaA ′ , B ′ là ảnh của A, Bqua phép tịnh tiến theo vộc-tơ #ằv.
1 PHÉP TỊNH TIẾN Kết nối tri thức với cuộc sống
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy với lưới tọa độ ô vuông, cần xác định công thức phép dời hình f để biến điểm M(x;y) thành M′(x′;y′) Mục tiêu là biến tam giác ABC thành tam giác A′B′C′ thông qua phép biến đổi này.
Câu 20 Trong mặt phẳng tọa độOxy, ảnh của đường tròn(C): x 2 +y 2 −2x+4y−4=0qua phép tịnh tiến theo vộc-tơ #ằu = (1; 1)là đường trũn cú phương trỡnh
Câu 21 Trong mặt phẳng tọa độOxy, ảnh của đường tròn(C): (x−1) 2 + (y−2) 2 =9qua phép tịnh tiến theo vộc-tơ #ằv = (−2; 2)là đường trũn cú phương trỡnh
Cõu 22 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho vộc-tơ #ằv = (3; 3) và hai điểmA(2; 2), B(0;−6) Ảnh của đường trũn đường kớnhABquaT #ằ v là
Câu 23 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường tròn(C): (x−1) 2 + (y−2) 2 =9và (C ′ ): x 2 +y 2 + 2x−8y+8=0 Tỡm vộc-tơ #ằv để qua phộp tịnh tiến theo vộc-tơ #ằv thỡ(C)biến thành(C ′ ).
A #ằv = (−2; 2) B Khụng tồn tại vộc-tơ #ằv.
Câu 24 Trong mặt phẳng tọa độOxy, choA(1;−2)và đường thẳngd: 4x+3y−8=0 Phép tịnh tiến theo #ằv = (1;−3)biến đường trũn tõmAvà tiếp xỳc vớidthành đường trũn cú phương trỡnh
Câu 25 Cho đường tròn(O), đường thẳngdvà hai điểmA,B Có thể dựng được tối đa bao nhiêu hình bình hànhABCDmàCthuộc đường thẳngdcònDthuộc đường tròn(O).
—HẾT— § 2 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
Phép đối xứng qua đường thẳng d là một phép biến hình, trong đó mỗi điểm M thuộc đường thẳng d sẽ được giữ nguyên, trong khi mỗi điểm M không thuộc đường thẳng d sẽ được biến đổi thành điểm M' sao cho đường trung trực của đoạn MM' trùng với đường thẳng d.
① Đường thẳngd được gọi là trục đối xứng.
② Phép đối xứng trụcd thường được kí hiệu là Đ d
☼ Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
☼ Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến
• đường thẳng thành đường thẳng,
• đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó,
• tam giác thành tam giác bằng nó,
• đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
• GọiM ′ (x ′ ;y ′ )là điểm đối xứng của điểmM(x;y)qua trụcOx Ta có Đ Ox (M) =M ′ ⇔ ®x ′ =x y ′ =−y x y
• GọiM ′ (x ′ ;y ′ )là điểm đối xứng của điểmM(x;y)qua trụcOy Ta có Đ Oy (M) =M ′ ⇔ ®x ′ =−x y ′ =y x y
4 Trục đối xứng của một hình
☼ Định nghĩa: Đường thẳngdđược gọi là trục đối xứng củ hìnhH nếu phép đối xứng quadbiến
2 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Kết nối tri thức với cuộc sống
☼ Minh họa một số hình có trục đối xứng:
B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1 Xác định tọa độ ảnh của điểm qua phép đối xứng trụcd
Cho điểmM(x;y) GọiM ′ (x ′ ;y ′ )là điểm đối xứng củaMqua trụcd.
☼ Trường hợp đặc biệt: Trục đối xứng là trụcOxhoặcOy Ta áp dụng công thức
☼ Tổng quát: Vớid: ax+by+c=0, ta thực hiện như sau:
• Viết phương trìnhMM ′ đi qua điểmMvàMM ′ ⊥d.
• GọiH =MM ′ ∩d Giải hệ phương trình tìm tọa độH.
• H là trung điểm củaMM ′ nênx M ′ =2x H −x M ,y M ′ =2y H −y M
Ví dụ 1 Trong mặt phẳngOxy, hãy tìm ảnh của các điểmA(1; 2) qua các phép đối xứng trục
Ví dụ 2 Trong mặt phẳngOxy, Cho hai điểmA(1; 2)vàB(3;−2)và I là trung điểm của đoạn AB.
Tìm ảnh của điểmIqua phép đối xứng trụcOx. a)
GọiA ′ ,B ′ lần lượt là ảnh củaA,Bqua phép đối xứng trụcOy Tính độ dàiA ′ B ′ b)
Ví dụ 3 Trong mặt phẳngOxy, cho đường thẳngd: 2x−y+1=0và điểmM(3; 2) Tìm điểm đối xứng củaMqua đường thẳngd.
Dạng 2 Xác định phương trình ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng trục
Ví dụ 4 Trong mặt phẳngOxy, cho đường thẳng∆:x−2y+3=0.
Tìm phương trình ảnh của∆qua phép đối xứng trụcOx. a)
Tìm phương trình ảnh của∆qua phép đối xứng trụcOy. b)
Ví dụ 5 Trong mặt phẳngOxy, cho đường thẳng∆: ®x=1+3t y=2−t
Tìm phương trình ảnh của∆qua phép đối xứng trụcOx. a) Tìm phương trình ảnh của∆qua phép đối xứng trụcOy. b)
Ví dụ 6 Trong mặt phẳngOxy, cho đường thẳng∆: 2x−y=0 Tìm phương trình đường thẳng
∆ ′ đối xứng với∆qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Dạng 3 Xác định phương trình ảnh của đường tròn qua phép đối xứng trục
Ví dụ 7 Trong mặt phẳngOxy, cho đường tròn(C): (x−1) 2 + (y−2) 2 =9.
Tìm phương trình ảnh của(C)qua phép đối xứng trụcOx. a) Tìm phương trình ảnh của(C)qua phép đối xứng trụcOy. b)
Ví dụ 8 Trong mặt phẳngOxy, cho đường tròn(C): x 2 +y 2 −4x+2y+1=0.
Để tìm phương trình ảnh của đường cong (C) qua phép đối xứng trục Ox, chúng ta cần xác định các tọa độ điểm trên (C) và thực hiện phép biến đổi tương ứng Tương tự, để tìm phương trình ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Oy, ta cũng thực hiện các bước tương tự với tọa độ điểm Cuối cùng, để tìm phương trình ảnh của (C) qua phép đối xứng trục d: y = x, chúng ta sẽ đổi chỗ tọa độ x và y của các điểm trên đường cong (C).
Dạng 4 Ứng dụng phép đối xứng trục
Ví dụ 9 Cho đường thẳngdvà hai điểmA,Bnằm cùng phía đối vớid Tìm trên đường thẳngd điểmMsao choMA+MBngắn nhất.
Ví dụ 10 Trong mặt phẳng Oxy, cho d :x−2y+2=0và điểm A(3; 5), B(5; 7) Tìm tọa độ điểmMthuộc đường thẳngd sao choMA+MBđạt giá trị nhỏ nhất.
Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn tâm O, điểm A di động trên đường tròn O Khi A di chuyển, trực tâm của tam giác ABC sẽ di chuyển trên một đường tròn.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tam giác ABC có các đỉnh A(1; 5), B(−1; 2), C(6;−4) Trọng tâm G của tam giác ABC cần được xác định Sau đó, tìm tọa độ điểm G′, là ảnh của điểm G qua phép đối xứng trục ĐOy.
Bài tập 2 Trong mặt phẳng tọa độOxy,cho đường tròn(C):(x−1) 2 + (y+2) 2 =4 Tìm đường tròn (C ′ )là ảnh của đường tròn(C)qua phép đối xứng trụcOx.
Bài tập 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 5x+y−3= 0 Tìm phương trình đường thẳngd ′ là ảnh của đường thẳngdqua phép đối xứng trục tung.
Bài tập 4 Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng∆có phương trình2x−y+1=0và điểmA(3; 2). Tìm tọa độ điểmA ′ là điểm đối xứng củaAqua đường thẳng∆.
Bài tập 5 Trong mặt phẳng tọa độOxycho parabol(P):y=x 2 −2x+3.Tìm parabol(P ′ )là ảnh của parabol(P)qua phép đối xứng trụcOx.
2 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Kết nối tri thức với cuộc sống
Bài tập 6 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d:x+2y+4=0 và đường tròn (C):x 2 +y 2 +2x−4y−4=0.
Tìm ảnh củaMqua phép đối xứng trụcOx. a)
Tìm ảnh củadqua phép đối xứng trụcOx. b)
Tìm ảnh của(C)qua phép đối xứng trụcOx. c)
Tìm ảnh củaMqua phép đối xứng qua đường thẳngd. d)
Bài tập 7 Cho hai đường thẳngd :x+y−2=0, d 1 :x+2y−3=0và đường tròn (C):(x−1) 2 + (y+1) 2 =4. a) Tìm ảnh củad 1 qua phép đối xứng trụcd. b) Tìm ảnh của(C)qua phép đối xứng trụcd.
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2; 1), cần tìm tọa độ điểm B trên trục hoành và điểm C trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất, d:y=x, để chu vi tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 1 Xét trong mặt phẳng, hình nào không có trục đối xứng trong các hình dưới đây?
A Hình thang cân B Hình tam giác đều C Hình bình hành D Hình chữ nhật.
Câu 2 Hình gồm hai đường tròn đồng tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng?
Câu 3 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nàođúng?
A Hình tam giác đều có vô số trục đối xứng B Hình vuông có vô số trục đối xứng.
C Hình lục giác đều có vô số trục đối xứng D Hình tròn có vô số trục đối xứng.
Câu 4 Trong mặt phẳng, cho các hình dưới đây, hình nào có đúng bốn trục đối xứng?
A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình thoi D Hình vuông.
Câu 5 Trong mặt phẳng, cho các hình dưới đây, hình nào có đúng ba trục đối xứng?
A Đoạn thẳng B Đường tròn C Tam giác đều D Hình vuông.
Câu 6 Cho hình vuôngABDC có hai đường chéoADvà BC cắt nhau tạiI Khẳng định nào sau đây đúng?
A Hai điểmAvàBđối xứng nhau qua trụcCD.
B Phép đối xứng trụcADbiến điểmCthành điểmB.
C Phép đối xứng trụcACbiến điểmDthành điểmC.
D Hai điểmAvàCđối xứng nhau qua trụcBD.
Câu 7 Trong mặt phẳng, hình ngũ giác đều có tất cả bao nhiêu trục đối xứng?
Câu 8 Trong mặt phẳngOxy, cho điểmA(−1; 3) Tìm tọa độ điểmA ′ là ảnh của điểmAqua phép đối xứng trụcOx
Câu 9 Trong mặt phẳngOxy, cho điểmA(−1; 3) Tìm tọa độ điểmA là ảnh của điểmAqua phép đối xứng trụcOy
Câu 10 Trong mặt phẳngOxy, cho điểmM(2;−5) Tìm tọa độ điểmN để qua phép đối xứng trụcOx điểmN biến thành điểmM.
Câu 11 Trong mặt phẳng tọa độOxy, phép đối xứng trục biến điểm A(2; 1)thànhA ′ (2; 5)có trục đối xứng là
Câu 12 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho∆ABCvớiA(2; 6),B(−1; 2),C(6; 1) GọiGlà trọng tâm của
∆ABC Phép đối xứng trụcOxbiến điểmGthành điểmG ′ có tọa độ là
Câu 13 Trong mặt phẳngOxy, cho đường thẳngd: x−3y+6=0 Viết phương trình đường thẳngd ′ là ảnh của đường thẳngdqua phép đối xứng trụcOy.
Câu 14 Trong mặt phẳngOxy, cho đường tròn(C): (x−1) 2 + (y+2) 2 =4 Viết phương trình đường tròn(C ′ )là ảnh của đường tròn(C)qua phép đối xứng trụcOx.
Câu 15 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường tròn(C): x 2 +y 2 −4x+5y+1=0.Tìm ảnh đường tròn(C ′ )của(C)qua phép đối xứng trụcOy.
Câu 16 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho parabol(P)có phương trìnhy=2x 2 +x+5 Phép đối xứng trụcOybiến parabol(P)thành parabol(P ′ )có phương trình là
Cho hình chữ nhậtMNPQ, tâm là O, lấy trung điểmE, F, G, H như hình vẽ Phép đối xứng trục EF biến tam giác MEG thành tam giác nào dưới đây?
Câu 18 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình 2x−3y−6=0 Đường thẳng đối xứng của∆qua trục hoành có phương trình là
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường phân giác của góc phần tư thứ nhất được xác định Xét đường thẳng ∆ với phương trình 3x - 4y + 5 = 0, phép đối xứng qua trục Đ sẽ biến đường thẳng ∆ thành một đường thẳng mới.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường phân giác của góc phần tư thứ hai được xác định Xét đường thẳng ∆ với phương trình y = 5x + 3 Thực hiện phép đối xứng qua trục Đ, đường thẳng ∆ sẽ biến thành đường thẳng ∆' với phương trình mới.
3 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho điểmI Phép biến hình biến điểmI thành chính nó, biến mỗi điểm
MkhácI thànhM ′ sao choI là trung điểm của đoạn thẳngMM ′ được gọi là phép đối xứng tâmI.
• ĐiểmIđược gọi làtâm đối xứng.
• Phép đối xứng tâmI được kí hiệu là Đ I
• Theo định nghĩa suy raM=Đ I (M ′ )⇔ # ằ
☼ Tính chất 1: Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Phép đối xứng tâm có khả năng biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, đồng thời biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó Ngoài ra, phép đối xứng tâm cũng chuyển đổi tam giác thành tam giác bằng nhau và biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Trong mặt phẳngOxy, gọiM(x ′ ;y ′ )là ảnh củaM(x;y)qua phép đối xứng tâm
☼ Trường hợp đặc biệt: Tâm đối xứng là điểmOthì Đ O (M) =M ′ ⇔ ®x ′ =−x y ′ =−y
☼ Tổng quát: Tâm đối xứng là điểmI(a,b)thì Đ I (M) =M ′ ⇔ ®x ′ *−x y ′ +−y
Tâm đối xứng của một hình H là điểm I, nếu phép đối xứng qua điểm I biến hình H thành chính nó Khi đó, hình H được coi là hình có tâm đối xứng.
Minh họa một số hình có tâm đối xứng:
B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1 Tìm ảnh của điểm, đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng tâmO
Ví dụ 1 Trong hệ tọa độOxycho điểmM(3;−4) Tìm ảnh củaMqua phép đối xứng tâmO.
Ví dụ 2 Trong hệ tọa độOxycho đường thẳng∆: 2x+y−4=0 Tìm ảnh của đường thẳng∆ qua phép đối xứng tâmO.
Ví dụ 3 Trong hệ tọa độOxycho đường tròn(C):(x−1) 2 + (y+2) 2 =4 Tìm ảnh của đường tròn(C)qua phép đối xứng tâmO.
Dạng 2 Tìm ảnh của điểm, đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng tâmI
Phương pháp: Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâmI bất kỳ, hoặc sử dụng công thức tọa độ trung điểm.
Ví dụ 4 Trong hệ tọa độOxycho điểmM(3;−4)và điểmI(1; 2) Tìm ảnh củaMqua phép đối xứng tâmI.
Ví dụ 5 Trong hệ tọa độOxycho đường thẳng∆:x+y−3=0và điểmI(−2; 3) Tìm ảnh của đường thẳng∆qua phép đối xứng tâmI.
Ví dụ 6 Trong hệ tọa độOxycho đường tròn(C):(x+3) 2 + (y−4) 2 và điểmI(−2;−5). Tìm ảnh của đường tròn(C)qua phép đối xứng tâmI.
Dạng 3 Ứng dụng phép đối xứng tâm
Ví dụ 7 Cho tam giácABCcó cạnhBCcố định, điểmAdi động trên đường thẳngd Dựng hình bình hànhABMC Tìm tập hợp các điểmM.
Cho tứ giác lồi ABCD, điểm M thuộc miền trong ABCD Gọi
A ′ ,B ′ ,C ′ ,D ′ lần lượt là điểm đối xứng của M qua trung điểm của
AB,BC,CD,DA Chứng minhA ′ B ′ C ′ D ′ là hình bình hành.
3 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Kết nối tri thức với cuộc sống
Bài tập 1 Trong hệ tọa độOxycho điểmM(−4;−1) Tìm ảnh củaMqua phép đối xứng tâmO.
Bài tập 2 Trong hệ tọa độOxycho đường thẳng∆:x−4y−1=0 Tìm ảnh của đường thẳng∆qua phép đối xứng tâmO.
Bài tập 3 Trong hệ tọa độOxy cho đường tròn(C):x 2 +y 2 −4x−2y+1=0 Tìm ảnh của đường tròn(C)qua phép đối xứng tâmO.
Bài tập 4 Trong hệ tọa độOxycho điểmM(−3;−10)và điểmI(1;−1) Tìm ảnh củaMqua phép đối xứng tâmI.
Bài tập 5 Trong hệ tọa độOxycho đường thẳng∆:x−4y−2=0và điểmI(−1;−2) Tìm ảnh của đường thẳng∆qua phép đối xứng tâmI.
Bài tập 6 Trong hệ tọa độOxycho đường tròn(C):x 2 +y 2 +2x+2y−7=0và điểmI(2;−1) Tìm ảnh của đường tròn(C)qua phép đối xứng tâmI.
Bài tập 7 Cho hình thoiABCD,Mlà trung điểmBC Xác định ảnhA ′ ,B ′ ,C ′ ,D ′ của các điểmA,B,C,D qua phép đối xứng tâmM.
Bài tập 8 Cho hai điểmAvàBcố định, cúAB=2 Tỡm tập hợp những điểmM ′ sao choMA# ằ+MB# ằ# ằ
Câu 1 Trong các hình dưới đây, hình nào không có tâm đối xứng?
A Hình Elip B Hình tròn C Hình thang cân D Hình chữ nhật.
Câu 2 Hình nào sau đây không có tâm đối xứng?
A Hình vuông B Hình tròn C Hình tam giác đều D Hình thoi.
Câu 3 Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến một đường thẳngacho trước thành chính nó?
Câu 4 Hình nào sau đây có trục đối xứng và đồng thời có tâm đối xứng?
A Hình1và Hình2 B Hình1và Hình3.
C Hình2và Hình3 D Hình1, Hình2và Hình3.
Câu 5 Cho lục giác đềuABCDEF tâmO Tìm ảnh của tam giácABDqua phép đối xúng tâmO.
Câu 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I(a;b) Nếu phép đối xứng tâm I biến điểmM(x;y) thànhM ′ (x ′ ;y ′ )thì ta có biểu thức tọa độ là
Câu 7 Trong mặt phẳng tọa độOxy, tìm tọa độ điểmM ′ là ảnh của điểmM(˘2; 3)qua phép đối xứng tâmO(0; 0).
Câu 8 Trong mặt phẳng tọa độOxy, tìm ảnhA ′ của điểmA(5; 3)qua phép đối xứng tâmI(4; 1).
Câu 9 Phép đối xứng tâmO(0; 0)biến điểmA(m;−m)thành điểmA ′ nằm trên đường thẳngx−y+
Câu 10 Trong mặt phẳng toạ độOxy, nếu phép đối xứng tâm biến điểmA(5; 2)thành điểmA ′ (−3; 4) thì nó biến điểmB(1;−1)thành điểm
Câu 11 Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy), cho điểm I(2;−1) và ∆ABC với A(1; 4),B(−2; 3),C(7; 2). Phép đối xứng tâmIbiến trọng tâmGcủa∆ABCthành điểmG ′ có toạ độ là
Câu 12 Trong mặt phẳng toạ độOxy, phép đối xứng tâmObiến đường thẳng3x−4y+13=0thành đường thẳng nào sau đây.
Câu 13 Trong mặt phẳng toạ độOxy, cho phép đối xứng tâm với tâm là điểm I(1;−1) Khi đó, nó biến đường thẳngd: 2x−3y+5=0thành đường thẳng
Câu 14 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho điểmI(2;−1)và đường thẳng∆có phương trìnhx+2y−20 Ảnh của∆qua phép đối xứng tâm Đ I là đường thẳng có phương trình
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hai đường thẳng song song có phương trình 3x + 4y - 1 = 0 và 3x + 4y + 5 = 0 Để xác định tâm đối xứng khi biến điểm a thành b, ta cần tìm điểm nào trong các điểm cho trước là tâm đối xứng.
Câu 16 Trong mặt phẳng toa độOxy, cho đường tròn(C):x 2 +y 2 −8x+10y+32=0 Phương trình của đường tròn(C ′ )đối xứng của(C)qua gốc tọa độOcó phương trình là
Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho parabol(P):y=x 2 +x Phương trình của parabol(Q)đối xứng với(P)qua gốc tọa độOlà
Câu 18 Trong mặt phẳng tọa độOxycho elip(E)có phương trình x 2
1 =1 Viết phương trình elip (E ′ )là ảnh của elip(E)qua phép đối xứng tâmI(1; 0).
3 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Kết nối tri thức với cuộc sống
Câu 19 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho điểm I(2;−1) và đường tròn (T):x 2 +y 2 =9 Phép đối xứng tâm Đ I biến đường tròn(T)thành đường tròn(T ′ )có phương trình là
Câu 20 Trong mặt phẳng tọa độOxycho đường thẳng∆:y+2=0và đường tròn(C): x 2 +y 2 Qua phép đối xứng tâmI(1; 0)điểm M trên∆biến thành điểm N trên (C) Độ dài nhỏ nhất của đoạn
Phép quay tâm O với góc α là một phép biến hình trong đó điểm O được giữ nguyên, trong khi mỗi điểm M khác O được biến đổi thành điểm M' sao cho khoảng cách OM' bằng OM và góc giữa OM và OM' bằng α.
• ĐiểmOđược gọi là tâm quay, cònα được gọi là góc quay của phép quay đó.
• Phép quay tâmOgócα thường được kí hiệu làQ (O,α)
Q (O,α ) (M) =M ′ ⇔ ®OM=OM ′ góc lượng giác OM,OM ′
Phép quayQ (O,2kπ ) là phép đồng nhất.
Phép quayQ(O,(2k+1)π) là phép đối xứng tâmO.
• Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.
Nếu quay theo chiều ngược kim đồng hồ thìα >0.
Nếu quay theo cùng chiều kim đồng hồ thìα0.
Nếu quay theo cùng chiều kim đồng hồ thìα
