ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Môn Toán 6 Năm học 2018 2019 Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Chứng minh rằng nếu là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được ở câu a là một phâ.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Mơn: Tốn Năm học 2018-2019 Câu (2 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Chứng minh a a + 2a − A= a + 2a + 2a + số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a phân số tố giản Câu (1 điểm) Tìm tất số tự nhiên có chữ số cba = ( n − ) abc cho abc = n − Câu a (1 điểm) Tìm n để n + 2006 số phương n + 2006 b (1 điểm) Cho n số nguyên tố lớn Hỏi số nguyên tố hay hợp số a , b, n ∈ ¥ * a+n b+n a b Câu a) Cho Hãy so sánh 11 10 10 − 10 + A = 12 ; B = 11 10 − 10 + b) Cho So sánh A B a1 , a2 , , a10 Câu Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: Chứng minh có số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10 Câu (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng đường thẳng cắt Khơng có đường thẳng đồng quy Tính số giao điểm chúng ĐÁP ÁN Câu Ta có: ( a + 1) ( a + a − 1) a + a − a + 2a − a) A = = = ( a ≠ −1) a + 2a + 2a + ( a + 1) ( a + a + 1) a + a + a + a − 1; a + a + b) Gọi d UCLN a + a − = a ( a + 1) − Vì số lẻ nên d số lẻ = a + a + − ( a + a − 1) Md Mặt khác, d =1 a2 + a + a2 + a − Nên tức nguyên tố Vậy biểu thức A phân số tối giản Câu abc = 100a + 10b + c = n − (1) cba = 100c + 10b + c = n − 4n + 4(2) ⇒ 99 ( a − c ) = 4n − ⇒ 44n − 5M 99 Từ (1), (2) 100.( n − 1) = 999 ⇒ 4n − = 99 ⇒ n = 26 , mặt khác: abc = 675 Vậy Câu n + 2006 a) Giả sử số phương ta đặt 2 n + 2006 = a ( a ∈ ¢ ) ⇒ a − n = 2006 ⇔ ( a − n ) ( a + n ) = 2006(*) a, n Thấy khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( a − n ) M2, ( a + n ) M2 a, n Nếu tính chẵn lẻ nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết cho n n + 2006 Vậy không tồn để số phương n n>3 n2 b) số nguyên tố nên không chia hết cho Vậy chia cho dư n + 2006 = 3m + + 2006 = 3m + 2007 = 3.( m + 669 ) M n + 2006 Vậy hợp số Câu a) Ta xét trường hợp a a+n a =1⇒ a = b ⇒ = =1 b b+n b Th1: a a+n a−b >1⇔ a > b ⇒ a + m > b + n b b+n b+n Th2: , mà có phần thừa so với a a−b a−b a−b a+n a , < < b b b+n b b+n b có phần thừa so với nên a b+n b b b+n b+n b Khi có phần bù tới nên 11 10 − A = 12 10 − b) Cho 1011 − 1) + 11 1011 + 10 ( a a+n a ⇒ A< = 12 b b+n b 1012 − 1) + 11 10 + 10 ( A n) (đpcm) Câu 2005 2005 Mỗi đường thẳng cắt đường thẳng lại tạo nên giao điểm Mà có 2005.2006 2006 đường thẳng nên có: giao điểm Nhưng giao điểm tính lần nên số giao điểm thực tế là: ( 2005.2006 ) : = 2011015 giao điểm ... + 20 06 Vậy khơng tồn để số phương n n>3 n2 b) số nguyên tố nên không chia hết cho Vậy chia cho dư n + 20 06 = 3m + + 20 06 = 3m + 2007 = 3.( m + 66 9 ) M n + 20 06 Vậy hợp số Câu a) Ta xét trường. .. 1) = 999 ⇒ 4n − = 99 ⇒ n = 26 , mặt khác: abc = 67 5 Vậy Câu n + 20 06 a) Giả sử số phương ta đặt 2 n + 20 06 = a ( a ∈ ¢ ) ⇒ a − n = 20 06 ⇔ ( a − n ) ( a + n ) = 20 06( *) a, n Thấy khác tính chất... thẳng cịn lại tạo nên giao điểm Mà có 2005.20 06 20 06 đường thẳng nên có: giao điểm Nhưng giao điểm tính lần nên số giao điểm thực tế là: ( 2005.20 06 ) : = 2011015 giao điểm