So hoc 6 CHUYEN DE 5 CHU DE 1 DINH NGHIA TINH CHAT SO NGUYEN TO HOP SO

thuvienhoclieu.com ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 5-SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ CHỦ ĐỀ 1:ĐỊNH NGHĨA,TÍNH CHẤT,SỐ NGUN TỐ,HỢP SỐ PHẦN I.TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.SỐ NGUYÊN TỐ -Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1,chỉ có ước -Số nguyên tố nhỏ vừa số nguyên tố chẵn số -Không thể giới hạn số nguyên tố tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số ngun tố vơ hạn -Khi số ngun tố nhân với tích chúng khơng số phương -Ước tự nhiên nhỏ khác số tự nhiên coi số nguyên tố  a 1  -Để kết luận số tự nhiên a số nguyên tố , cần chứng minh a không chia hết cho số nguyên tố mà bình phương không vượt a  a Mp ab Mp   b Mp ( p số nguyên tố) -Nếu tích n -Đặc biệt a Mp  a Mp ( p số nguyên tố) * -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: 4n  1( n  N ) * -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: 6n  1( n  N ) -Hai số nguyên tố sinh đôi hai số nguyên tố đơn vị 2.HỢP SỐ -Hợp số số tự nhiên lớn lơn có nhiều ước nguyên dương -Để chứng tỏ số tự nhiên a  a 1  hợp số,chỉ cần ước khác a -Ước số nhỏ khác hợp số số nguyên tố bình phương lên khơng vượt q -Một hợp số tổng ước (khơng kể nó) gọi là: Số hoàn chỉnh -Mọi số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố cách (không kể thứ tự thừa số) 3.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU -Hai số tự nhiên gọi nguyên tố chúng có ước chung lớn thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com a, b nguyên tố với  ( a, b )  1; ( a, b  N * ) - Hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố - Hai số nguyên tố khác nguyên tố - Các số nguyên tố khác nguyên tố - Các số a, b, c nguyên tố ( a, b, c )  - a, b, c nguyên tố sánh chúng đôi nguyên tố a, b, c nguyên tố sánh đôi  ( a , b )  ( b , c )  ( c, a )  4.MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐẶC BIỆT * - Định lí Đirichlet: Tồn tai vơ số số ngun tổ p có dạng: p  ax  b; x  N , ( a, b )  - Định lí Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có số ngun tố ( n  2) - Định lí Vinogradow: Mọi số lẻ lớn tổng số nguyên tố PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1:Tính chất đặc trưng số nguyên tố cách nhận biết số nguyên tố,hợp số I.Phương pháp giải - Dựa vào dấu hiệu chia hết tính chất số nguyên tố ,hợp số, để giải toán chứng minh giải thích - Thơng qua việc phân tích xét hết khả xảy ra, đối chiếu với giả thiết định lý, hệ học để loại bỏ trường hợp mâu thuẫn nhận biết đâu số nguyên tố, hợp số II.Bài toán Bài 1: Chứng minh rằng: * a, Mọi số nguyên tố vượt có dạng: 4n  1( n  N ) * b, Mọi số nguyên tố vượt có dạng: 6n  1( n  N ) Lời giải: * a, Gọi A số tự nhiên lớn Khi A có dạng 4n, 4n  1, 4n  2, 4n  3( n  N ) -Nếu A  4n hay A  4n  AM2 A hợp số Suy A số ngun tố A có dạng 4n  1, 4n  thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com n   n    ( k  )  Vì nên suy số nguyên tố vượt có dạng: 4n  1( n  N * ) (đpcm) * b, Gọi A số tự nhiên lớn 3.Khi A có dạng 6n,6 n  1,6 n  2, 6n  3( n  N ) -Nếu A  6n hay A  6n  AM3 A hợp số -Nếu A  6n  AM2 A hợp số Suy A số ngun tố A có dạng 6n  1, 6n  Vì 6n   6n    6( k  1)  nên suy số nguyên tố vượt có dạng: 6n  1( n  N * ) (đpcm) Bài 2: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số số chẵn hay số lẻ? Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố cịn lại số ngun tố lẻ Do tổng 25 số nguyên tố nhỏ 100 số chẵn Bài 3: Tổng số nguyên tố 2003 không ? Lời giải: Ta thấy 2003 số lẻ nên 2003 tổng hai số nguyên tố hai số phải số chẵn Vậy số lại 2001 2001 lại khơng số ngun tố 2001  69.29 Vậy tổng hai số nguyên tó 2003 Bài 4: Cho p p  hai số nguyên tố lớn Chứng minh tổng chúng chia hết cho 12 Lời giải: p số nguyên tố lớn nên p có dạng 6n  1, ( n  N * ) Ta thấy p  6n  1, ( n  N * ) p   6n   3( 2n  1) M3 TH1: Mà p  số lớn nên p  hợp số ( Trái với GT, loại ) TH2: p  6n  1( n  N * ) p   6n  Khi p  p   6n   6n   12n M 12  ĐPCM thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com p Bài 5: Cho số nguyên tố hai p  1,8 p  số nguyên tố Hỏi số lại số nguyên tố hay hợp số Lời giải: -Nếu p  p   8.2   15 hợp số -Nếu p  p   8.3   25 hợp số -Nếu p  p khơng chia hết cho Vậy số p  1,8 p  chia hết cho hợp số Vậy số lại hợp số n n Bài 6: Hai số  1,  1( n  N , n  ) số ngun tố hay khơng ? Vì ? Lời giải: Vì 2n  1, 2n , 2n  số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 3.Mà ( 2,3)  số n nguyên tố nên không chia hết cho (1) n n Mà n  nên   3,   (2) n n Từ (1) , (2) suy số  1,  phải chia hết cho n n  Hai số  1,  1( n  N , n  ) số nguyên tố Bài 7: Cho số nguyên tố lớn 3,trong số sau lớn số trước d đơn vị.Chứng minh d M6 Lời giải * Các số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k  3k  ( k  N ) Có số mà có dạng nên tồn hai số thuộc dạng, hiệu chúng ( d 2d ) chia hết cho ( theo nguyên lý Drichlet ) Mặt khác d chia hết cho d hiệu hai số lẻ.Vậy d chia hết cho Bài 8: Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số nguyên tố sinh đôi chia hết cho Lời giải: Gọi p số nguyên tố lơn p lẻ nên p  1M2 (1) Mà p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k  1,3k  2( k  N , k  1) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Dạng p  3k  khơng xảy p  3k  p   3k  3M3 hợp số (Loại)  p  3k   p   3k  3M3 (2) Từ (1) , (2)  p  1M6  ĐPCM Bài 9: Cho p p  hai số nguyên tố lớn Hỏi p  100 số nguyên tố hợp số ? Lời giải: p số nguyên tố lớn nên p có dạng 6n  1, ( n  N * ) Ta thấy p  6n  1, ( n  N * ) p   6n   3( 2n  3)M3 TH1: Mà p  số lớn nên p  hợp số ( Trái với GT, loại ) TH2: p  6n  1( n  N * ) p   6n  Khi p  100  6n   100  6n  99  3(2n  33) M Mà p  100 số lớn nên p  100 hợp số Bài 10: Cho p p  hai số nguyên tố lớn Hỏi p  số nguyên tố hay hợp số ? Lời giải: p số nguyên tố lớn nên p có dạng 6n  1, ( n  N * ) Ta thấy p  6n  1, ( n  N * ) p   2(6n  1)   12n   3(4n  1) M3 TH1: Mà p  số lớn nên p  hợp số ( Trái với GT, loại ) TH2: p  6n  1(n  N * ) p   2(6n  1)   12n  Khi p   4(6n  1)   24n   3(8n  1) Mà p  số lớn nên p  hợp số Bài 11: Chứng minh số dư phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com p số nguyên tố p có dạng p  30k  r  2.3.5.k  r (k  N * , r  N * ,  r  30) Giả sử r hợp số r có ước ngun tố q cho q  30  q   2,3,5 Nếu Nhưng với q   2, 3,5 p chia hết cho 2,3, ( Vô lý ) Vậy r  r số nguyên tố Bài 12: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r Tìm r biết r khơng số nguyên tố Lời giải: * Gọi số nguyên tố p ( p  N ) * * Ta có: p  30k  r  2.3.5.k  r (k  N , r  N ,  r  30) Vì p số nguyên tố nên r không chia hết cho 2,3,5 Số nguyên dương không số nguyên tố nhỏ 30 không chia hết cho 2, 3,5 có số Vậy r  Bài 13: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư r Tìm r biết r hợp số Lời giải: * Gọi số nguyên tố p ( p  N ) Ta có: p  42k  r  2.3.7.k  r (k  N * , r  N * ,  r  42) Vì p số nguyên tố nên r không chia hết cho 2,3, Số nguyên dương hợp số nhỏ 42 khơng chia hết cho 2, 3, có số 25 Vậy r  25 Bài 14: Trong dãy số tự nhiên tìm 1997 số liên tiếp mà khơng có số ngun tố hay không ? Lời giải: Chọn dãy số: a1  1998! a1 M2 a2  1998! a2 M3 thuvienhoclieu.com Trang a3  1998! …… a1997  1998! 1998 thuvienhoclieu.com a3 M4 ………… a1997 M 1998 Như vậy: Dãy số a1 ; a2 ; a3 ; ; a1997 gồm có 1997 số tự nhiên liên tiếp khơng có số số ngun tố Bài 15: Trong dãy số tự nhiên tìm n số liên tiếp ( n  1) mà số ngun tố hay khơng ? Lời giải: Chọn dãy số: a1  ( n  1)! a1 M2, a1  nên a1 hợp số a2  (n  1)! a2 M3, a2  nên a2 hợp số a3  ( n  1)! a3 M4, a3  nên a3 hợp số …… an  (n  1)! (n  1) ………… an M( n  1), an  n  nên an hợp số Như vậy: Dãy số a1 ; a2 ; a3 ; ; an gồm có n số tự nhiên liên tiếp khơng có số số ngun tố Bài 16: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số số chẵn hay số lẻ? Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố lại số nguyên tố lẻ Do tổng 25 số nguyên tố nhỏ 100 số chẵn Bài 17: Chứng minh tổng tố (n,30)  n lũy thừa bậc số nguyên tố lớn số nguyên Lời giải: Số nguyên tố p chia cho 30 dư là: 1, 7,11,13,17,19, 23, 29 Với r  p  1( mod 30) tương tự với r  11 , r  , r  19 Với r  p  19 ( mod 30 ) tương tự với r  13 , r  17 , r  23 Suy p  1( mod 30 ) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Giả sử p1 , p2 , , pn số nguyên tố lớn Khi q  p14  p2   pn  n(mod 30)  p  30 k  n( k  N * ) số nguyên tố nên ( n,30)  1) Dạng 2:Tìm số nguyên tố p để thỏa mãn điều kiện I.Phương pháp giải - Trong n số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho n - Nắm tính chất đặc trưng số nguyên tố để giải tốn II.Bài tốn Bài 1: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a, p  10, p  14 b, p  2, p  6, p  8, p  12, p  14 Lời giải: a, Vì p  10, p  14 số nguyên tố 10;14 hợp số  p  *  p có dạng 3k ,3k  1,3k  2( k  N ) hợp số (Loại) -Nếu p  3k   p  14  3k  15  3( k  5) M -Nếu p  3k   p  10  3k  12  3( k  4) M3 hợp số (Loại)  p  10   10  13  -Nếu p  3k  p  (vì p số nguyên tố)  p  14   14  17 (đều số nguyên tố,thỏa mãn) Vậy p  p  10, p  14 số nguyên tố b, Vì p  2, p  6, p  8, p  12, p  14 số nguyên tố  p   p có dạng 5k ,5k  1,5k  2,5k  3,5k  4(k  N ) -Nếu p  5k   p  14  5k  15M5 hợp số (loại) -Nếu p  5k   p   5k  10M5 hợp số (loại) -Nếu p  5k   p  12  5k  15M5 hợp số (loại) -Nếu p  5k   p   5k  10M5 hợp số (loại) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com p  k p p   p   7; p   11, p   13; p  12  17; p  14  19 -Nếu mà số nguyên tố nên số nguyên tố (thỏa mãn, lấy) Vậy p  p  2, p  6, p  8, p  12, p  14 số nguyên tố Bài 2: Tìm số lẻ liên tiếp số nguyên tố Lời giải: * Gọi số lẻ liên tiếp là: 2k  1, 2k  3, 2k  5( k  N ) Trong số lẻ liên tiếp ln có số chia hết cho -Nếu 2k  3M3  2k   (vì 2k  số nguyên tố)  k   2k   (Loại khơng số ngun tố) -Nếu 2k  5M3  2k   (vì 2k  số nguyên tố)  k  1 (Loại -1 khơng phải số tự nhiên) -Nếu 2k  1M3  2k   (vì 2k  số nguyên tố)  k   2k   5; 2k   (Thỏa mãn số nguyên tố) Vậy số tự nhiên lẻ cần tìm 3,5,7 Bài 3: Tìm số nguyên tố p cho p vừa tổng vừa hiệu hai số nguyên tố Lời giải: Giả sử p số ngun tố cần tìm ta có p  p1  p2  p3  p4 ( p1 , p2 , p3 , p4 số nguyên tố p3  p4 ) Để p số nguyên tố p1 , p2 có hai số số chẵn p3 , p4 có hai số số chẵn Giả sử p1  p2  p2  p4  Ta có: p  p 2  p3   p3  p1  Ta thấy p1 , p1  2, p1  số nguyên tố lẻ liên tiếp Theo câu a  p1   p  p1   Thử lại: p       Vậy số cần tìm Bài 4:Tìm k  N để dãy số k  1, k  2, , k  10 chứa nhiều số nguyên tố Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 1; 2;3; ;10 -Nếu k   Ta có dãy số có số nguyên tố 2;3;5;7  Có số nguyên tố -Nếu k   Ta có dãy số 2;3; 4; ;11 có số nguyên tố 2;3;5;7;11  Có số nguyên tố -Nếu k   Ta có dãy số 3; 4;5; ;12 có số nguyên tố 3;5; 7;11  Có số nguyên tố -Nếu k   Dãy số k  1, k  2, , k  10 gồm số lớn bao gồm số lẻ liên tiếp sơ chẵn liên tiếp Vì số dãy lớn nên suy số chẵn liên tiếp hợp số số lẻ liên tiếp tồn số chia hết cho số hợp số Vậy k  giá trị cần tìm Bài 5: Ta gọi p, q số nguyên tố liên tiếp p q khơng có số nguyên tố khác Tìm số 2 nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p  q  r số nguyên tố Lời giải: +Nếu p, q, r khác mà p, q, r số nguyên tố  p, q, r chia dư dư ( hay dư -1 )  p , q , r chia dư  p  q  r chia hết cho  Vậy tồn số 2 TH1: Ba số nguyên tố 2, 3, Khi    38 hợp số ( Loại ) 2 TH2: Ba số nguyên tố 3, 5, Khi    83 số nguyên tố ( Thỏa mãn ) Vậy số nguyên tố liên tiếp cần tìm là: 3,5, q p Bài 6: Tìm số nguyên tố p, q, r cho: p  q  r Lời giải: q p Vì p  q   r   r số lẻ ( r số nguyên tố )  p q , q p có số lẻ số chẵn q q Giả sử p số chẵn  p chẵn  p  ( p số nguyên tố )   q  r +Nếu q   q  1( mod 3)  q  1( mod 3) thuvienhoclieu.com Trang 10 10n 1 Ta chứng minh ( thuvienhoclieu.com  19 )M23 với n  10 10 n 1  2( mod 22 )  210n 1  22k  2( k  N ) Ta có:  1( mod 22 )  Theo định lý Fermat: 222  1( mod 23)  210 n 1  22 k   4( mod 23)  ( 210 n1  19) M23 10 n1  19  23 nên 210 n1  19 hợp số ( ĐPCM ) Mà Bài 5: Cho n  N , chứng minh rằng: * 34 n1  32 n1  hợp số Lời giải: 10 10 Theo định lí Fermat nhỏ ta có  1( mod11),  1( mod11) n1 n1 Ta tìm số dư phép chia cho 10, tức tìm chữ số tận chúng 24 n1  2.16n  2( mod10 )  n1  10k  2, ( k  N ) 34 n 1  3.81n  3( mod10 )  34 n 1  10l  3, ( l  N ) 10 10 Mà  1( mod11)  1( mod11) nên n 1 23  32 n 1 Mà n1 n 1  32 n1 Vậy   310 k   210l 3   32  23   0( mod11)  32   11 với số tự nhiên n khác n1  hợp số với số tự nhiên n khác p Bài 6: Tìm số nguyên tố p để (  1)Mp Lời giải: p Vì p số nguyên tố mà (  1)Mp  p  Ta thấy p không chia hết cho p  p 1 p Theo định lí Fermat nhỏ ta có  1Mp mà (  1)Mp ( Giả thiết )  2.2 p 1   3Mp  2( p  1)  3Mp  3Mp ( p 1  1Mp )  p  ( p số nguyên tố ) Vậy số nguyên tố cần tìm thuvienhoclieu.com Trang 22 thuvienhoclieu.com p p Bài 7: Cho số nguyên tố lớn Chứng minh có vơ số số tự nhiên n thỏa mãn ( n.2n  1)Mp Lời giải: p 1 n Ta có:  1( mod p ) , ta tìm n  ( p  1) cho n.2  1( mod p ) n m ( p 1) ( mod p )  n.2 n   m  1( mod p )  m  kp  1, ( k  N * ) Ta có: n.2  m.( p  1).2 * n Vậy, với n  ( kp  1)( p  1), ( k  N ) ( n.2  1)Mp p Bài 8: Cho p số nguyên tố,chứng minh số  có ước nguyên tố có dạng là: pk  Lời giải: p Gọi q ước nguyên tố  q lẻ, nên theo định lý Fermat: 2q 1  1Mq  ( p  1, 2q 1  1)  ( p.q 1)  1Mq  q  1Mp ,vì ( q  1, p )  1Mq ,vơ lý Mặt khác q  chẵn  q  1M2 p  q  pk  Bài 9: Chứng minh dãy số 2003  23k với k  1, 2,3, chứa vô hạn số lũy thừa số nguyên tố Lời giải: Gỉa sử tồn số nguyên tố cho: 2003  23k  p n (1) Trong k , n số nguyên dương Từ (1) dễ thấy p không chia hết cho 23 nên (23, p)  22 22t Theo định lý Fermat p  1M23  p   23s với số nguyên dương t , s 22 t  n  (1  23s ) p n  p n  23 p n  2003  23k  23s p n hay p 22t  n  2003  23( k  sp n ) với Từ p t  1, 2,3, Bài toán giải đầy đủ ta tồn số nguyên tố p thỏa mãn (1) Chẳng hạn: 12 Với p  2003  23.2  Với p  2003  23.8  23 Với p  2003 tồn k theo định lí Fermat thỏa mãn 2003  23k  2003 thuvienhoclieu.com Trang 23 thuvienhoclieu.com p 1 m Chứng minh m hợp số lẻ không chia hết Bài 10: Giả sử p số nguyên tố lẻ đặt m 1 cho  1(mod m) Lời giải:  p   p   m   ab    Ta có p 1 p 2 dễ thấy a, b số nguyên dương lớn nên m hợp số mà m     suy m lẻ chia dư p Theo định lí Fermat nhỏ:  9Mp ( p,8)  Vì m  chẵn nên có m  1M2 p p 1 3m1  1M32 p  1M  m  3m1  1(mod p )  ĐPCM Do Bài 11: Cho số nguyên tố n n 1 p , số dương a  1(mod p ) Tìm số dư chia a cho p Lời giải:; Xét trường hợp sau: n 1) p  Ta có a  1(mod )  a lẻ Đặt a  x  1( x  N )  2( x  1) x M2 n  x( x  1)M2 n n 1 Dễ suy a  1( mod ) p 2) p  ta có t a  a  1( mod p ) ( định lí Fermat nhỏ )  d  ( a  1; a p 1  a p    a  a) Mp  d  p d khơng chia hết cho p ( a  1)( a p 1  a p 2   a  1) Mp n p 1 p 2 mà a  a   a   p( mod p )  a  1Mp n 1  a  1(mod p n 1 ) thuvienhoclieu.com Trang 24 thuvienhoclieu.com Bài 12: Chứng minh A    1M42 p ( với p số nguyên tố lớn ) p p Lời giải: p Ta có:   0( mod )  AM2 p   0( mod 3)  AM3 p số nguyên tố lớn nên p có dạng 6n  1(n  N ) * Nếu p  6n  A  36 n 1  26 n 1   3(36 n  1)  2(26 n  1) Vì 36  1(mod 7) 36  1M7   AM7  2  1(mod 7)   1M7 6t 6t 5 Nếu p  6n   A  (3  1)  (2  1)    5 Ta có: t    0(mod 7)  AM7 Vậy A chia hết cho Mặt khác theo định lí Fermat nhỏ ta có: p  39( mod p ) p  2( mod p ) nên A  0( mod p ) 2,3, 7, p đôi nguyên tố nên t AM(2.3.7 p )  AM42 p ( đpcm ) q 1 p 1 Bài 13: Cho p, q hai số nguyên tố phân biệt Chứng minh rằng: p  q  1Mpq chia hết cho Lời giải: q q 1 Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có: ( p  p )Mq  p ( p  1)Mq p, q số nguyên tố) (1) Vì p, q số nguyên tố nên ( p, q)  q 1 Từ (1) suy ( p  1)Mq (2) q 1 p 1 Từ (2) suy ( p  q  1)Mq (3) q 1 p 1 Vì p q có vai trị nên ( p  q  1)Mp (4) Lại ( p, q)  nên từ (3) (4) ta suy điều phải chứng minh thuvienhoclieu.com Trang 25 thuvienhoclieu.com n Bài 14: Tìm tất số nguyên dương n cho M2  Lời giải: Ta có khơng chia hết cho 7; số nguyên tố nên theo định lí Fermat ta có 26  1(mod 7) Ta có   1(mod 7) Do tất số chia hết cho thỏa mãn yên cầu đề p Bài 15: Tìm tất số nguyên tố p cho  1(mod p ) Lời giải: Gỉa sử số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện cho 2p Khi  1(mod p) 2( p Vì ( p  1)Mp  nên theo định lí Fermat nhỏ ta có : 1)  1(mod p ) p   2;3 Từ suy  1(mod p) nên Thử lại ta thấy p  thỏa mãn điều kiện đề Dạng 6: Các toán hai số nguyên tố I.Phương pháp giải - Sử dụng lý thuyết tính chất số nguyên tố để giải toán hai số nguyên tố II.Bài toán Bài 1: Chứng minh rằng: hai số nguyên tố Lời giải: Ta có  5.1 ;  7.1 UCLN (5; 7)  Vậy hai số hai số nguyên tố Bài 2: Chứng minh rằng: Hai số tự nhiên liên tiếp khác hai số nguyên tố Lời giải: * Gọi số tự nhiên liên tiếp là: n, n  1( n  N ) thuvienhoclieu.com Trang 26 thuvienhoclieu.com Đặt d  (n, n  1), ( d  N ) * nMd   n   n Md  1Md  d  n  1Md Vậy n n  hai số nguyên tố Bài 3: Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp hai số nguyên tố Lời giải: Gọi số lẻ liên tiếp là: 2k  1, 2k  3(k  N ) * Đặt (2k  1; 2k  3)  d ( d  N ) 2k  1Md   2k   2k   2Md 2k  3Md  d   1; 2 Mà d ước số lẻ nên d  Vậy hai số lẻ liên tiếp hai số nguyên tố Bài 4: Chứng minh : 2n  3n  hai số nguyên tố Lời giải: (2n  1,3n  1)  d ( n  N ) 2n  1Md 3(2n  1)Md 6n  3Md     6n   6n   1Md  d  3n  1Md 2(3n  1) Md 6n  2Md Vậy 2n  3n  hai số nguyên tố Bài : Cho a b hai số nguyên tố Chứng minh hai số sau hai số nguyên tố nhau: a a  b Lời giải: * Đặt (a, a  b)  d ( d  N ) a Md   bMd a  b Md Mà a b số nguyên tố nên  d  Vậy a a  b hai số nguyên tố ( ĐPCM ) thuvienhoclieu.com Trang 27 thuvienhoclieu.com b a Bài 6: Cho hai số nguyên tố Chứng minh hai số sau hai số nguyên tố nhau: a a  b Lời giải: * Đặt ( a , a  b)  d ( d  N ) a Md a Md a Md    a  b Md a  b Md b Md Mà a b số nguyên tố nên  d  Vậy a a  b hai số nguyên tố ( ĐPCM ) Bài 7: Cho a b hai số nguyên tố Chứng minh hai số sau hai số nguyên tố nhau: ab a  b Lời giải: * Đặt ( ab, a  b)  d ( d  N )   a Md ab Md     b Md a  b Md   a  b Md + TH1: a Md  bMd Mà a b số nguyên tố nên  d  Vậy ab a  b hai số nguyên tố ( ĐPCM ) + TH2: b Md  a Md Mà a b số nguyên tố nên  d  Vậy ab a  b hai số nguyên tố ( ĐPCM ) Bài : Cho a b hai số nguyên tố Chứng minh hai số sau hai số nguyên tố nhau: b a  b(a  b) Lời giải: * Đặt (b, a  b)  d ( d  N ) thuvienhoclieu.com Trang 28 thuvienhoclieu.com   a Md ab Md     b Md c Md  c Md Mà a b số nguyên tố nên  d  Vậy b a  b hai số nguyên tố ( ĐPCM ) Bài 9: Chứng minh nếu c nguyên tố với a b c ngun tố với tích ab Lời giải: Gọi p ước chung nguyên tố c ab c Md  ab Md + TH1: a Md Mà a c số nguyên tố nên  d  Vậy ab c hai số nguyên tố ( ĐPCM ) + TH2: b Md Mà c b số nguyên tố nên  d  Vậy ab c hai số nguyên tố ( ĐPCM ) Bài 10: Tìm số tự nhiên n để số 9n  24 3n  số nguyên tố Lời giải: Giả sử 9n  24 3n  chia hết cho số nguyên tố d 9n  24  3( 3n  )Md  12Md  d   2,3  Điều kiện để (9n  24;3n  4)  d  2; d  Hiển nhiên d  3n  khơng chia hết cho 3.Muốn d  phải có số 9n  24 3n  không chia hết cho 2.Ta thấy: + Nếu 9n  24 số lẻ  9n lẻ  n lẻ, + Nếu 3n  số lẻ  3n lẻ  n lẻ Vậy điều kiện để hai số 9n  24 3n  số nguyên tố n lẻ Bài 11: Tìm số tự nhiên n để số 18n  21n  số nguyên tố thuvienhoclieu.com Trang 29 thuvienhoclieu.com Lời giải: Giả sử 18n  21n  chia hết cho số nguyên tố d 6(21n  7)  7(18n  3) Md  21Md  d   1;3;7; 21 Điều kiện để (18n  3; 21n  7)  d  3; d  7; d  21 Hiển nhiên d  3; d  21 21n  không chia hết cho Muốn d  số 18n  khơng chia hết cho (vì 21n  ln chia hết cho ) 18n  3M7  18n   21M7  18( n  1) M7  n  1M7 * Vậy điều kiện để hai số 18n  21n  số nguyên tố n  7k  1,(k  N ) Bài 12: Chứng minh hai số 2n  4n  12 số nguyên tố với số tự nhiên n Lời giải: Gọi d  (2n  5; 4n  12) 2n  5Md  4n  12Md 2(2n  5)Md  4n  12Md 4n  10Md  4n  12Md  4n  12  4n  10Md  2Md Mà 2n  số lẻ nên d  Vậy hai số 2n  4n  12 số nguyên tố với số tự nhiên n Bài 13: Chứng minh hai số 12n  30n  số nguyên tố với số tự nhiên n Lời giải: Gọi d  (12n  1;30n  2) 12n  1Md  30n  2Md thuvienhoclieu.com Trang 30 thuvienhoclieu.com 5(12n  1)Md  2(30n  2) Md 60n  5Md  60n  4Md  6n   6n  4Md  1Md  d 1 Vậy hai số 12n  30n  số nguyên tố với số tự nhiên n Bài 14: Chứng minh hai số 2n  4n  số nguyên tố với số tự nhiên n Lời giải: Gọi d  (2n  3; 4n  8) 2n  3Md  4n  8Md 2(2n  3) Md  4n  8Md 4n  6Md  4n  8Md  4n   4n  6Md  2Md  d 1 Vì 2n  số lẻ Vậy hai số 2n  4n  số nguyên tố với số tự nhiên n Bài 15: Chứng minh hai số 3n  5n  số nguyên tố với số tự nhiên n Lời giải: Gọi d  (3n  2;5n  3) 3n  2Md  5n  3Md thuvienhoclieu.com Trang 31 thuvienhoclieu.com 5(3n  2) Md  3(5n  3) Md 15n  10Md  15n  9Md  15n  10  15n  9Md  1Md  d 1 Vậy hai số 3n  5n  số nguyên tố với số tự nhiên n PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG 2018 2002 Bài 1: Tìm số tự nhiên n để A  n  n  số nguyên tố (HSG Tỉnh Quảng Ngãi 2015 – 2016) Lời giải: Xét n  A  số nguyên tố Xét n  A  số nguyên tố 2018 2002 Xét n  : A  n  n  n  n  n  n   n2 n  Mà 672 1 n  Tương tự: n  672  1  n n  667   n3 n  chia hết cho , suy 667 1     n2  n   672 1 chia hết cho n  n  chia hết cho n  n  Vậy A chia hết cho n  n   nên A hợp số Số tự nhiên cần tìm n  p Bài : Tìm số nguyên tố p để p  số nguyên tố (HSG Thành phố Hà Nội 2016 – 2017) Lời giải: p Nếu p  p     (không thỏa mãn) p Nếu p  p     17 (thỏa mãn) p  p   p     p   M3 Nếu p  Kết luận p  giá trị cần tìm  p; q  thỏa mãn p  5q  Bài 3: Tìm tất cặp số nguyên tố (Chuyên Vũng Tàu 2016 – 2017) Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang 32 p  5q   p   q   p    2 2 thuvienhoclieu.com p    5q 2 Do  p   p  q nguyên tố nên p  nhận giá trị 1;5; q; q Ta có bảng giá trị tương ứng: p q p2 p2 5q 2 q q 5q q2 Do p, q số nguyên tố nên có cặp  p; q    7;3  thỏa mãn Bài 4: Tìm tất số tự nhiên N (theo hệ thập phân) thỏa mãn điều kiện sau: N  aabb , abb aab số nguyên tố Lời giải: Do aab số nguyên tố, tức 110a  b số nguyên tố ta có b  1,3, Từ điều kiện thứ ta có: N  11 100a  b  Theo bảng số nguyên tố ta tìm cặp số nguyên tố abb aab thỏa mãn điệu kiện thứ sau đây:  223; 233  ,  227; 277  ,  331;311  ,  443; 433  ,  449; 499  ,  557;577  ,  773;733  ,  881;811  ,  887;877  ,  991;911  ,  997;977  Tương ứng với 100a  b số sau: 203  2.29 ; 207  9.23 ; 301  7.43 ; 403  13.31 ; 409 số 2 nguyên tố; 507  3.13 ; 703  19.37 ; 801  89 ; 807  2.269 ; 901  17.53 ; 907 số nguyên tố Vậy N  8877  3.11.269 Bài 5: Tìm số tự nhiên p cho p p  số nguyên tố Lời giải: Một số tự nhiên có hai dạng: 2n; 2n  với n  N Nếu p  2n  p   2n  chia hết cho Ta có p   p  chia hết cho Nên p  hợp số trái đề Do đó: p  2n Nhưng p nguyên tố nên p  p   nguyên tố Vậy p  Bài 6: Tìm số nguyên tố p cho p  p  số nguyên tố Lời giải: Bất kì số tự nhiên có ba dạng: 3n ;3n  1;3n  2; n  N Nếu p  3n p   3n  9M3 , vơ lí thuvienhoclieu.com Trang 33 thuvienhoclieu.com p  n  p   n  Nếu , vơ lí Do p  3n Nhưng p nguyên tố nên p  3; p   7; p   11 nguyên tố Vậy p  y Bài 7: Tìm số nguyên tố x, y, Z thỏa mãn x   Z Lời giải: Vì x, y số nguyên tố  x  2, y   Z   Z số nguyên tố lẻ  x y số chẵn  x chẵn  x  thay vào ta có Z  2y 1 y n n Nếu y lẻ   1M3 ( a  b Ma  b lẻ)  Z M3 vơ lí Do y số chẵn  y  Thay x  2, y   Z  Vậy x  2, y   Z  Bài 8: Tìm n  N * để n  số nguyên tố Lời giải: 4 2 a) n   n  4n   4n   n     2n  2   n  2n    n  2n   Để n  số nguyên tố 2n  2n    n  Thử lại với n  n   số nguyên tố Vậy với n  n  số nguyên tố Bài 9: Tìm số nguyên tố p cho p  p  số nguyên tố (trích đề thi HSG Quãng Trạch) Lời giải: Với p  p   p   số nguyên tố Với p  p  3k  Nếu p  3k  p   3k  3M3 Nếu p  3k  p   3k  3M3 thuvienhoclieu.com Trang 34 thuvienhoclieu.com p  p  p  Vậy số nguyên tố Bài 10: Tìm số tự nhiên n để n  12n số nguyên tố.( trích đề thi HSG Thanh Oai) Lời giải: Ta có n  12n  n(n  12) Vì n  12  nên để n  12n số nguyên tố n  2 Thử lại n  12n   12.1  13 số nguyên tố Vậy với n  n  12n số nguyên tố Bài 11: Chứng minh p p  số nguyên tố p  số nguyên tố (trích đề thi HSG Nga Sơn) Lời giải: * Với số nguyên tố lớn chia hết cho có dạng p  3k  p  3k  2(k  N ) 2 Với p  3k  p   9k  6k  chia hết cho 2 Với p  3k  p   9k  6k  chia hết cho Vì p số nguyên tố nên p  hai trường hợp p  lớn chia hết cho , tức p  hợp số  p  hợp số p  p   11 số nguyên tố  p   33   29 số nguyên tố Vậy p p  số nguyên tố p  số nguyên tố 100 Bài 12:Cho A      số nguyên tố hay hợp số? sao? (trích đề thi HSG Nam Trực) Lời giải: A   32  33   3100  (3  32 )  (33  34 )   (399  3100 )  3(1  3)  33 (1  3)   399 (1  3)  3.4  33.4   399.4  4(3  33   399 ) M Mà A4 thuvienhoclieu.com Trang 35 thuvienhoclieu.com Nên A      hợp số 100 10 Bài 13: Cho n số nguyên tố Hỏi n  số nguyên tố hay hợp số? (trích đề thi HSG Bá Thước) Lời giải: Ta có n số nguyên tố suy n chia dư  n10 chia dư  n10  chia hết cho 10 Vậy n  hợp số Bài 14: Tìm số tự nhiên n cho p  ( n  2)( n  n  5) số ngun tố (Trích đề thi HSG Hiệp Hịa) Lời giải: 2 Vì p  (n  2)(n  n  5) nên n  n  n   Ư ( p) Vì p số nguyên tố nên n   n  n   + Nếu n    n  p  (3  2)(3   5)  1.7  (thỏa) 2 + Nếu n  n    n  n   n(n  1)   2.3  n  2 p  (2  2)(2   5)  số nguyên tố, loại Vậy n  p  (n  2)( n  n  5) số nguyên tố n Bài 15: Tìm số tự nhiên n để  số nguyên tố (trích đề thi HSG Hưng Hà) Lời giải: n Với n  ta có     số nguyên tố n n n n Với n  ta có M3, 6M3 nên  6M3 mà    hợp số n Vậy n   số nguyên tố  HẾT  thuvienhoclieu.com Trang 36 ...  10 0! chia hết CM3 Mà C  nên C hợp số (ĐPCM ) 311 11 d) D  311 1 411 11  311 110 000  311 11  311 11( 10000  1) M  D hợp số (ĐPCM ) Bài 8: Chứng minh số N 51 25  52 5  hợp số Lời giải: 25 Đặt...  1( k  N ) 19 .8  17  13 .8  6. 8 .64  17  13 .84 k ? ?1  39 .64 2 k  9 (1  65 ) k  (13  )  0( mod13) * + Nếu n  4k  3( k  N ) 19 .8n  17  15 . 84 k 3  4.83 .64 2 k  17 15 . 84 k   4 .5. 10 .64 ...  19 811 00  19 8 210 0 M200283 Lời giải: 19 83 S M 10 1 Vì 200283  19 83 .10 1 mà (19 83 ;10 1)  nên cần chứng minh S M * Chứng minh chia hết cho 19 83 S  (11 00  19 8 210 0 )  ( 210 0  19 811 00 )  ( 310 0