Fractals hữu hạn pptx

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG KHOA TOÁN HOÀNG THỊ QUYÊN Lớp: Cử nhân Toán K9 FRACTALS HỮU HẠN FINITE TYPE FRACTALS Người hướng dẫn: TS MAI THẾ DUY Hải Phòng - 2012 Mục lục Mở đầu 4 Ký hiệu 7 1 Lịch sử hình học Fractal 8 1.1 Hình học Fractal trong toán học nói chung . . . . . . . . . 8 1.2 Sự ra đời của hình học Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Các ứng dụng tổng quát của Fractal . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính . . . . 13 1.3.2 Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh . . . . . . . . . 14 1.3.3 Ứng dụng trong khoa học cơ bản . . . . . . . . . . . 16 1.4 Fractals trong thiên nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Những kiến thức cơ bản 23 2.1 Hê hàm lặp và Fractal (attractor) của nó . . . . . . . . . . 23 2.2 Địa chỉ của Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Chiều Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Số chiều tự dồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.1 Chiều Tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.2 Chiều tự đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Ánh xạ lân cận 32 3.1 Điều kiện tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Mối liên hệ giữa chiều Hausdorff và chiều tự đồng dạng . . 32 3.3 Thuật toán kiểm tra sự phân cách giữa các mảnh . . . . . . 33 3.4 Ánh xạ lân cận và đồ thị lân cận . . . . . . . . . . . . . . . 33 4 N-gon fractals và Tiling fractals 37 4.1 Các phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 4.2 Thuật toán ngẫu nhiên trong Fractals . . . . . . . . . . . . 40 4.3 Polygon Fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3.1 Một số kiến thức cơ bản của Polygon Fractals . . . . 43 4.3.2 Fractals n-gon với nhân tử co λ = re iπ/n . . . . . . . 44 4.4 Tiling Fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4.1 Định nghĩa về tiling Fractals . . . . . . . . . . . . . 62 4.4.2 Những tiling fractals trong hình học Euclide . . . . . 63 4.4.3 Tiling fractals với 3 mảnh . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.4.4 Tiling fractals với 4 mảnh . . . . . . . . . . . . . . . 70 Tài liêu tham khảo 75 3 Mở đầu Trong những năm gần đây, toán học và khoa học tự nhiên đã bước lên một bậc thềm mới, sự mở rộng và sáng tạo trong khoa học trở thành một cuộc thử nghiệm liên ngành. Cho đến nay nó đã đưa khoa học tiến những bước rất dài. Fractal đã được đông đảo mọi người chú ý và thích thú nghiên cứu. Với một người quan sát tình cờ màu sắc của các cấu trúc Fractal cơ sở và vẻ đẹp của chúng tạo nên một sự lôi cuốn hình thức hơn nhiều lần so với các đối tượng toán học đã từng được biết đến. Fractal đã cung cấp cho các nhà khoa học một môi trường phong phú cho sự thám hiểm và mô hình hoá tính phức tạp của tự nhiên. Những nguyên nhân của sự lôi cuốn do Fractal tạo ra là nó đã chỉnh sửa được khái niệm lỗi thời về thế giới thực thông qua tập hợp các bức tranh mạnh mẽ và duy nhất của nó. Những thành công to lớn trong các lĩnh vực của khoa học tự nhiên và kỹ thuật dẫn đến sự ảo tưởng về một thế giới hoạt động như một cơ chế đồng hồ vĩ đại, trong đó các quy luật của nó chỉ còn phải chờ đợi để giải mã từng bước một. Một khi các quy luật đã được biết, người ta tin rằng sự tiến hoá hoặc phát triển của các sự vật sẽ được dự đoán trước chính xác hơn nhiều, ít ra là về mặt nguyên tắc. Những bước phát triển ngoạn mục đầy lôi cuốn trong lĩnh vực kỹ thuật máy tính và sự hứa hẹn cho việc điều khiển thông tin nhiều hơn nữa của nó đã làm gia tăng hy vọng của nhiều người về máy móc hiện có và cả những máy móc ở tương lai. Nhưng ngày nay người ta đã biết chính xác dựa trên cốt lõi của khoa học hiện đại là khả năng xem xét tính chính xác các phát triển ở tương lai như thế sẽ không bao giờ đạt được. Một kết luận có thể thu được từ các lý thuyết mới còn rất non trẻ đó là : giữa sự xác định có tính nghiêm túc với sự phát triển có tính ngẫu nhiên không những không có sự loại trừ lẫn nhau mà 4 chúng còn cùng tồn tại như một quy luật trong tự nhiên. Fractal và lý thuyết hỗn độn xác định kết luận này. Khi xét đến sự phát triển của một tiến trình trong một khoảng thời gian, chúng ta sử dụng các thuật ngữ của lý thuyết hỗn độn, còn khi quan tâm nhiều hơn đến các dạng có cấu trúc mà một tiến trình hỗn độn để lại trên đường đi của nó, chúng ta dùng các thuật ngữ của Fractal là bộ môn hình học cho phép “sắp xếp thứ tự” sự hỗn độn. Trong ngữ cảnh nào đó Fractal là ngôn ngữ đầu tiên để mô tả, mô hình hoá và phân tích các dạng phức tạp đã tìm thấy trong tự nhiên. Nhưng trong khi các phần tử của ngôn ngữ truyền thống (Hình học Euclide) là các dạng hiển thị cơ bản như đoạn thẳng, đường tròn và hình cầu thì trong Fractal đó là các thuật toán chỉ có thể biến đổi thành các dạng và cấu trúc nhờ máy tính. Việc nghiên cứu ngôn ngữ hình học tự nhiên này mở ra nhiều hướng mới cho khoa học cơ bản và ứng dụng. Trong đề tài này chỉ mới thực hiện nghiên cứu một phần rất nhỏ về Fractal và ứng dụng của nó. Nội dung của đề tài gồm có ba chương được trình bày như sau: Chương I: Trình bày về lịch sử hình học Fractal, các ứng dụng tổng quat của hình học Fractal, nêu các phong cảnh Fractal trong tự nhiên. Chương II: Trình bày các kiến thức cơ bản của hình học Fractal. Chương III: Trình bày ánh xạ lân cận, điều kiện mở, đồ thị lân cận. Chương IV: N-gon fractals và Tiling fractals. Nhân đây, em xin chân thành cảm ơn thầy T.S Mai Thế Duy đã tận tình hướng dẫn, chỉ dạy giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện đề tài nghiên cứu này. Em cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa Toán tin đã tận tình giảng dạy, trang bị cho chúng em những kiến thức cần thiết trong suốt quá trình học tập, và em cũng xin gởi lòng biết ơn đến gia đình, cha, mẹ, và bạn bè đã ủng hộ, giúp đỡ và động viên em trong những lúc khó khăn. Đề tài được thực hiện trong một thời gian tương đối ngắn, nên dù đã hết sức cố gắng hoàn thành đề tài nhưng chắc chắn sẽ không thể 5 tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Rất mong nhận được sự thông cảm và đóng góp những ý kiến vô cùng quý báu của các Thầy Cô, bạn bè, nhằm tạo tiền đề thuận lợi cho việc phát triển đề tài trong tương lai. Sinh viên thực hiện Hoàng Thị Quyên. 6 Ký hiệu I = {1, 2, . . . , m} : Tập hợp chỉ số I n = {i 1 i 2 . . . i n | i k ∈ I, k = 1, 2, . . . , n} : Tập hợp từ với độ dài n. u ∈ I n : từ với độ dài n, u = i 1 i 2 . . . i n , i k ∈ I, k = 1, 2, . . . , n |u| : độ dài của từ u. u = uuu : từ tuần hoàn vô hạn I ∞ = {i = (i k ) ∞ k=1 , i k ∈ I ∀k = 1, 2, } : tập hợp của tất cả các từ vô hạn. I ∗ = ∞  n=1 I n : tập hợp tất cả các từ có độ dài hữu hạn. f hoặc f i , i ∈ I : ánh xạ co R d . r hoặc r i : nhân tử co của f, f i trong R d f u = f i 1 i 2 i n = f i 1 ◦ f i 2 ◦ . . . ◦ f i n với u = i 1 i 2 . . . i n ∈ I n r u : nhân tử co của ánh xạ co f u F : fractal sinh bởi {f i | i ∈ I}. F u = f u (F ), nếu u ∈ I n thì F u mảnh con bậc n của F id : ánh xạ đồng nhất E : ma trận đơn vị h hoặc h α , α = 1, 2, : ánh xạ lân cận K α : lân cận của fractals F tương ứng với ánh xạ lân cận h α , K α = h α (F ) L α : giao của fractals F và lân cận của nó L α = F ∩ K α 7 Chương 1 Lịch sử hình học Fractal 1.1 Hình học Fractal trong toán học nói chung Hình học Fractal là một môn hình học mới nhưng đã có những ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Tuy nhiên, hiện nay cơ sở lý thuyết của môn hình học này vẫn chưa hoàn thiện vì vẫn chưa có được một định nghĩa chính xác và đầy đủ về Fractal. Vấn đề này đang là thách thức lớn đối với các nhà nghiên cứu toán học. Sự phát triển của hình học qua các thời đại đã đóng góp những thành tựu quan trọng trong lịch sử văn minh nhân loại. Ở các nền văn hóa cổ của Babilon và Ai cập, con người đã biết cách tính diện tích các hình đơn giản như tam giác, hình thang, hình tròn và cũng biết cách tính thể tích một số loại vật thể đơn giản như hình hộp chữ nhật, hình chóp đáy vuông Từ thế kỷ thứ VII đến thế kỷ thứ III trước công nguyên, các nhà hình học Hy Lạp đã có những đóng góp quan trọng trong việc phát triển môn hình học. Họ đã cố gắng tập hợp và sắp xếp các hiểu biết về hình học theo một kết cấu logic nhất định. Trong số đó người có công lớn nhất, đặt nền móng cho cơ sở hình học chính là Euclide (330 - 275 TCN) với tác phẩm “Nguyên lý”. Trong tác phẩm của mình, Euclide đã trình bày đầy đủ và có hệ thống, tìm ra cách chứng minh nhiều định lý và sắp xếp chúng theo một trình tự logic. Tuy nhiên, đứng trên quan điểm của toán học hiện đại thì tác phẩm “Nguyên lý” của Euclide vẫn còn nhiều thiếu sót về phương diện đặt cơ sở logic cho việc xây dựng hình học. Cuối thế kỷ XIX, nhà toán học người Đức David Hilbert (1862 - 8 CHƯƠNG 1. LỊCH SỬ HÌNH HỌC FRACTAL 1943) mới khắc phục được những thiếu sót của Euclide với tác phẩm “Cơ sở hình học” năm 1899. Trong tác phẩm của mình, Hilbert đã đưa ra một hệ tiên đề đầy đủ của hình học Euclide, từ đó suy diễn để thu được tất cả các nội dung của hình học Euclide. Trong quá trình cố gắng thử chứng minh định đề V của Euclide [31] đã dẫn đến sự ra đời của một môn hình học mới khác với hình học Euclide. Cuối những năm ba mươi của thế kỷ XIX, nhà toán học người Nga Lôbasepxki (Nikolai Ivanovitch Lobatchevski, 1792 - 1856), giáo sư trường đại học tổng hợp Kadan (Nga) đã đưa ra lời giải đáp về vấn đề định đề V của Euclide. Ông đã khẳng định: định đề V không thể suy ra từ các tiên đề và định đề còn lại của Euclide. Lôbasepxki đã phát triển hình học của mình không thua kém hình học Euclide, ngườ ta gọi đó là hình học phi Euclide, hay hình học Lôbasepxki. Giữa thế kỷ XX, khi công nghệ điện toán phát triển, một môn hình học mới đã ra đời để đáp ứng nhu cầu mô tả các đối tượng của thế giới thực trên máy tính, đó là hình học Fractal. Hình học Fractal được chính thức biết đến thông qua bài báo nổi tiếng của Benoit Mandelbrot vào năm 1975. Bằng công cụ máy tính, ông đã khám phá ra một lĩnh vực hình học mới phản ánh thế giới một cách tự nhiên mà hình học Euclide khó có thể đáp ứng được. Vì vậy, hình học Fractal đã thu hút được sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu và nó trở thành một chủ đề nóng trong giới toán học. 1.2 Sự ra đời của hình học Fractal Cuối thế kỷ XIX đến những năm đầu thế kỷ XX, trong nghiên cứu toán học đã xuất hiện một số tập hợp “lạ” với một số tính chất bất thường hoặc có những hình thù kỳ lạ, ngộ nghĩnh, chẳng hạn: Tập Cantor: là tập con của đoạn [0,1], không chứa bất kỳ một đoạn thẳng nào nhưng vẫn có lực lượng continum. (hình 1.1) Hình bông tuyết Von Kock: tuy chỉ chiếm một diện tích hữu hạn nhưng có chu vi vô hạn. Hàm Weierstrass: hàm số liên tục mà không có đạo hàm tại bất 9 [...]... (3.2) Chúng ta lưu ý rằng nghịch đảo của ánh xạ lân cận là ánh xạ lân −1 −1 cận vì khi h = fu fv thì h−1 = fv fu và 2 điều kiện trên vẫn thỏa mãn Khi tập hợp các ánh xạ lân cận là hữu hạn thì tập tự đồng dạng F gọi là Fractal hữu hạn Khái niệm này đã được nghiên cứu một cách kỹ càng bởi Lau, Ngai, Hui [?], Bandt và Hui [?] và gần đây Bandt và Mesing [12] Ở [12] Bandt đưa ra một định nghĩa rất rõ ràng Mỗi... học Fractals và những gì ẩn dấu với mọi người cho đến khi Mandelbrot phân loại chúng, đó là cách nhìn vào sự vật Nếu bạn chỉ nhìn ra bên ngoài bạn thấy nó rất phức tạp và có lẽ chẳng có gì liên quan đến toán học Những gì Mandelbrot chỉ ra sẽ không phải là những gì bạn nhìn thấy mà là cái nền tảng tạo ra cái mà bạn nhìn thấy Nó là một quá trình lặp lại vô hạn, điều đó dẫn đến một tính chất cơ bản của Fractals. .. {1, 2, , m} Chúng ta đặt I n = {i1 i2 in |ik ∈ I, k = 1, 2, , n}, n = 1, 2, Mỗi thành phần của I n được gọi là một từ có độ dài n, tập hợp tất cả các từ có độ dài hữu hạn ký hiệu I ∗ , I ∗ = n∈N I n Tập hợp tất cả các từ với độ dài vô hạn ký hiệu I ∞ Với mỗi từ u = {i1i2 in}, đặt fu = fi1 fi2 fin , Fu = fu(E), Fu gọi là mảnh con bậc n của F Độ dài của u được ký hiệu là |u| = n Nhân tử co của ánh... một số thuật ngữ cơ bản Một lực lượng các tập con hữu hạn Ui của Rd gọi là δ - bao của tập E ⊂ Rd nếu E ⊂ ∞ Ui và |Ui| ≤ δ với mọi i ở đây i=1 |x, y ∈ Ui} Với mọi s, δ > 0, E ⊂ Rd |Ui| = max{ x − y chúng ta định nghĩa ∞ s Hδ (E) |Ui|s | {Ui} là một δ - bao của E} = inf{ i=1 s Chúng ta có thể chứng minh rằng lim Hδ (E) tồn tại với mỗi E ∈ δ−→0 d R , giói hạn này được gọi là s- chiều của độ đo Hausdorff... CHƯƠNG 1 LỊCH SỬ HÌNH HỌC FRACTAL 1.4 Fractals trong thiên nhiên Những hình dáng quen thuộc, có thể bạn chưa bao giờ được nghe, nhưng nó ở xung quanh bạn; những hình dáng lởm chởm, lặp đi lặp lại được gọi là Fractals Chúng tồn tại khắp nơi trong thế giới sinh học Đó là những giải pháp mà thiên nhiên đã lựa chọn để tồn tại và thích nghi, phát triển và phát triển liên tục Fractals như lá phổi của chúng ta,... THỨC CƠ BẢN 2 f là ánh xạ đồng dạng nếu : f (x) − f (y) = r x−y với r là số dương 3 f là ánh xạ affine nếu : f (x) = Ax + v với A là ma trận vuông, v là vector tịnh tiến trong Rd Định nghĩa 2.2 Một họ hữu hạn các ánh xạ co {f1 , f2 , , fm }, với m ≥ 2 được gọi là hệ hàm lặp ký hiệu là IFS (Iterated Function System) Chú ý 2.3 1 Ánh xạ đồng dạng là co nếu r < 1 2 Ánh xạ affine là co nếu modun của mọi giá... thể dùng công thức để mô tả (hình 1.10) Câu hỏi lớn đặt ra là Tại sao đến tận những năm 1970 chúng ta mới biết đến nó Trước khi người ta viết cuốn sách Fractals hình học 19 CHƯƠNG 1 LỊCH SỬ HÌNH HỌC FRACTAL Hình 1.7: Tập Mandelbrot của tự nhiên” thì Fractals đã tồn tại trong các bức tranh cổ của Nhật như Hokusai và nhiều người nhận ra rằng toán học rất gần với nghệ thuật chỉ là họ sử dụng ngôn ngữ khác... thể xem xét tập I n của các từ u = i1i2 in từ tập chỉ số I = {1, 2, , m} Định nghĩa fu = fi1 fi2 fin và Fu = fu (F ), Chúng ta có F = {Fu | u ∈ I n } Khi n ra vô hạn, suy ra ánh xạ liên tục π : I ∞ −→ F Tập I ∞ là tập các từ với độ dài vô hạn u ∈ I n gọi là một từ có độ dài n, và u gọi là địa chỉ của mảnh Fu = fu(F ) Trong hình 2.1 tam giác Sierpinski, mảnh bị mất là F31 , F321 , F332 và F21 Có một... Sierpinski có hai địa chỉ như điểm M có hai địa chỉ là 12 và 21, điểm A chỉ có một địa chỉ 1 26 CHƯƠNG 2 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Hình 2.1: Địa chỉ của Fractals 2.3 Chiều Hausdorff Với mục đích trả lời cho câu hỏi : “Fractal lớn như thế nào? khi nào hai fractals giống nhau theo một nghĩa nào đó? ” Độ đo Lebesgue không thể có một câu trả lời hoàn chỉnh cho những câu hỏi trên vì chúng thường bằng 0 Một... bây giờ chúng ta vẫn chưa có một định nghĩa chính xác cho Fractals Nhưng những ý tưởng nền tảng đằng sau nó được dựa trên sự tự đồng dạng Nói một cách nôm na sự tự đồng dạng nghĩa là một bộ phận thì đồng dạng với cái toàn bộ Dựa trên ý tưởng này Hutchinson [20] đã giới thiệu về tập tự đồng dạng 2.1 Hê hàm lặp và Fractal (attractor) của nó Fractals là các tập hợp hoặc thực thể mà khi ta phóng đại thì . HỌC HẢI PHÒNG KHOA TOÁN HOÀNG THỊ QUYÊN Lớp: Cử nhân Toán K9 FRACTALS HỮU HẠN FINITE TYPE FRACTALS Người hướng dẫn: TS MAI THẾ DUY Hải Phòng - 2012 Mục. hoàn vô hạn I ∞ = {i = (i k ) ∞ k=1 , i k ∈ I ∀k = 1, 2, } : tập hợp của tất cả các từ vô hạn. I ∗ = ∞  n=1 I n : tập hợp tất cả các từ có độ dài hữu hạn. f