PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 7,0 điểm.. Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Trên mp P cho đường tròn T đường kính AB bằng 2R.. Mặt phẳng Q đi qua A và vuông góc với SB c
Trang 1SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012- 2013 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG Môn: Toán - Khối A, A1,B
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Ngày thi: 08/ 12/ 2012
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1
1
x y x
(C)
1 Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm các giá trị của mđể hệ phương trình sau có đúng 4 nghiệm nguyên:
Câu II (2,0 điểm).
1 Giải phương trình: 2
2 cos 3 cos + 3(1 s in 2 ) = 2 3 cos (2 )
4
2 Giải phương trình: x-2 + 4-x = 2x 2 − 5x − 1
Câu III (1,0 điểm) Tìm các giá trị của tham số mđể bất phương trình: 2
x x m x x nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn 0; 1 3
Câu IV (1,0 điểm) Trên mp (P) cho đường tròn (T) đường kính AB bằng 2R S là một điểm nằm trên đường thẳng
vuông góc với (P) tại A Đặt SA = h Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SB cắt SB tại K C là một điểm nằm trên đường tròn (T) sao cho , (0 )
2
BAC
SC cắt mp (Q) tại H Tính thể tích tứ diện SAHK theo
h, R và
Câu V (1,0 điểm) Cho các số dương x y z, , thoả mãn x y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần( Phần A hoặc Phần B)
A.Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường cao AH và trung tuyến AM lần lượt là:x2y130 và 13x6y 9 0 Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(-5; 1) Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C
2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2
(x4) y 25 và M(1; - 1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho MA = 3MB
Câu VIIa (1,0 điểm) Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, từ các chữ số thuộc tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên
có 5 chữ số và số đó chia hết cho 3
B.Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có M là trung điểm của BC, đỉnh A thuộc đường thẳng d: x y 2 0, phương trình đường thẳng DM: x3y 6 0và đỉnh C(3; - 3) Tìm toạ độ các đỉnh A, B, D biết D có hoành độ âm
2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Elip (E) có phương trình chính tắc là:
2 2
1
x y và hai điểm A(4;-3), B(- 4; 3) Tìm toạ độ điểm C thuộc (E) sao cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất
Câu VIIb (1,0 điểm) Tính tổng 0 11 1 10 10 1 11 0
20 12 20 12 20 12 20 12
S C C C C C C C C ……….Hết…………
( Đề thi gồm có 01 trang)
Trang 2SỞ GD & ĐT THANH HOÁ ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2012- 2013 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG Môn: Toán - Khối A, A1,B
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề Ngày thi: 08/ 12/ 2012
Tập xác định D = R\1
Sự biến thiên:
-Chiều biến thiên: ' 3 2 0,
( 1)
x
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ; 1) và ( 1 ; + )
- Cực trị: Hàm số không có cực trị
0.25
- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:
Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang
Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng
0,25
-Bảng biến thiên:
y’ - -
y
2 +
- 2
0,25
Đồ thị:
- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là giao điểmhai tiệm cận I( 1; 2)
0,25
2 Tìm các giá trị của mđể hệ phương trình sau có đúng 4 nghiệm nguyên
1,0
O 1
2
x
y
I
Trang 3Nhận thấy x = 1 không thỏa mãn phương trình (1) dù y lấy bất kì giá trị nào
1
x
x
(x 1) (y 2) m
là phương trình đường tròn (T) có tâm I(1;2)
bán kính m với mọi m khác 0
Vậy hệ phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm nguyên khi và chỉ khi đồ thị (C) ở câu 1
và đường tròn (T) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt có tọa độ nguyên
0,25
Đồ thị (C) chỉ đi qua đúng 4 điểm có tọa độ nguyên là A(1;5), B(4; 3), C(0,-1)và
D(-2; 1)
Từng cặp AvaC, B và D đối xứng nhau qua I(1;2)
0,5
Hệ đã cho có đúng 4 nghiệm nguyên khi và chỉ khi đường tròn (T) phải đi qua 4 điểm
A, B, C, D khi và chỉ khi (T) đi qua A khi và chỉ khi 2 2
R m m
0,25
II 1
2cos 3 cos + 3(1 s in 2 ) = 2 3 cos (2 )
4
2
2 cos 3 cos + 3(1 s in 2 ) = 2 3 cos (2 )
4
2 cos 3 cos 3 3 sin 2 3 1 cos(4 )
2
2 cos 3 cos 3 3 sin 2 3 3 sin 4
2 cos 3 cos 3(sin 4 sin 2 ) 0
2 cos 3 cos 2 3 sin 3 cos 0 2 cos (cos 3 3 sin 3 ) 0
x
2
3 cos 3 3 sin 3 0 tan 3
3
k Z
x k x k k Z
0,5
0,5
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-1
5
4 1
3
-2
I y
x o
D
C
B A
Trang 42 Giải phương trình: x-2 + 4-x = 2x 2 − 5x − 1 (1) 1,0
2 (1) x 2 1 4 x 1 2x 5x3
3 0
2 1 (2)
x
x
*x 3 0 x 3
*Xét phương trình (2)
ĐK 2 x 4
VP 5
VT đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [2;4] bằng 1 1
2 1
khi x = 2 nên phương trình (2)
vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
0,25 0,25 III Tìm các giá trị của tham số mđể bất phương trình:x(2 x) m x( 22x 2 1) 0 1.0
t x x Lập BBT của hàm 2
y x x với x thuôc 0;1 3ta có t
thuộc đoạn 1; 2
0,25
Bpt trở thành
2
1
t
t
(do t+1>0) Bpt đã cho nghiệm đúng với mọi x thuôc 0;1 3 khi và chỉ Bpt (1) nghiệm đúng
với moi t thuộc đoạn 1; 2
0,25
1
t
t
1
( 1)
t
t 1 2 f’(t) +
f(t)
2 3 1
2
0,25
Từ BBT ta có Bpt (1) nghiệm đúng với moi t thuộc đoạn 1; 2 khi 1
2
Vậy với 1
2
IV Trên mp (P) cho đường tròn (T) đường kính AB bằng 2R S là một điểm nằm trên
đường thẳng vuông góc với (P) tại A Đặt SA = h Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông
góc với SB cắt SB tại K C là một điểm nằm trên đường tròn (T) sao cho
2
SC cắt mp (Q) tại H Tính thể tích tứ diện SAHK theo h, R và
1.0
Trang 5
Chứng minh AHSC
Ta có:
( )
Lại có:mp Q( )SBSB AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra AH (SBC)AH SC
Suy ra 2
4
SAHK
SABC
0,25
0,25
2 2
2 2 2 2
2 2 2
4
SABC
R h
2 5
sin 2
SAHK
R h V
V
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 2 y2 2 z2 2
1,0
P x y z
O
H
K
C
B S
A
Trang 6Ta có
2
2
2
2 2
;
z y
z y
0,25
Mặt khác
4
x y z xy yz xz
P x y z
0,25
2 2 2 2
Dấu = xảy ra khi
1 1; 1; 1
1 1 3
x
y
z
x y z
Vậy GTNN của P là 3/2 khi x = y = z =1
0,25
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ
( 3; 8)
A
0,25
Ta có IM đi qua I(-5; 1) và song song với AH Phương trình IM là x2y 7 0
M
Đường thẳng BC qua M và vuông góc với AH Phương trình BC là 2x y 11 0
Gọi B(b;11-2b) Ta có IB = IA
( 5) (10 2 ) 85 6 8 0
4
b
b
0,25
Với b = 2 suy ra B(2;7), C(4;3)
A
I
Trang 7Với b = 4 suy ra B(4;3), C(2,7)
Vậy A( -3; -8), B(2;7), C(4;3) hoặc A( -3; -8), B(4;3), C(2;7)
0,25
Đường tròn (C ) có tâm I(4;0), bán kính R=5
Do IM <5 nên M nằm trong đường tròn (C)
Gọi H là hình chiếu của I trên AB, H là trung điểm của AB
Do MA= 3MB nên M là trung điểm của HB
Xét hai tam giác vuông IHM và IHB ta có
0,5
Đường thẳng (d) đi qua M(1; - 1) có phương trình
a x b y a b
2 2
2 3
2
a b
a b
Với b2a chon a1;b2 Phương trình (d): x + 2y +1 = 0
Với a 2b chon b 1;a2 Phương trình (d): 2x - y -3 = 0
Vậy phương trình đường thẳng (d) là x + 2y +1 = 0 hoặc 2x - y -3 = 0
0,5
Gọi số có 5 chữ số là abcde a( 0) Do abcde nên (3 a b c d e ) 3
Nếu a b c d thì e = 0 hoặc e = 3 3
Nếu a b c d chia 3 dư 1 thì e = 2 hoặc e = 5
Nếu a b c d chia 3 dư 2 thì e = 1 hoặc e = 4
Như vậy từ một số có 4 chữ sô abcd (các chữ số được lấy từ tập A) sẽ tạo được 2 số tự
nhiên có 5 chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán
Từ các chữ số của tập A lập được: 5.6.6.6 = 1080 số tự nhiên có 4 chữ số
Nên từ các chữ số của tập A lập được: 2.1080 = 2160 sô chia hết cho 3 có 5 chữ số
VII
b
Do A thuộc d: x y 2 0, gọi A( ;a a 2) Ta có
3
10 10
a a
a
I
H M
A
M
B
I
Trang 8Với a 3 A(3; 5) , trường hợp này không thoả mãn vì A, C nằm cùng phía với
đường thẳng DM
Với a 3 A( 3;1) Gọi I là tâm của hình chữ nhật, I là trung điểm của AC suy ra
I(0;-1)
Điểm D thuộc DM: x3y 6 0, gọi D(3d+6;d) (d < -2)
3
5
d
d
Suy ra D(-3;-3), B(3;1)
Vậy A(-3;1), D(-3;-3), B(3;1)
0,5
Gọi C x y( ;o 0) ta có
2 2
0
o
Phương trình AB là: 3x +4y = 0
0,25
0 0
Do AB không đổi nên diện tích tam giác ABC lớn nhất khi d(C,AB) lớn nhất 0,25
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ số ta có
0 0
12 2
5
o
(Dấu = xảy ra khi 3x0 4y0)
Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi và chỉ khi 3x0 4y0
0,25
Kết hợp với (1) ta có
0 0
3
2 2;
3
2 2;
2
Vậy toạ độ điểm C là (2 2;3 2)
2 hoặc ( 2 2; 3 2)
2
0,25
VII
b Tính tổng
0 11 1 10 10 1 11 0
20 12 20 12 20 12 20 12
(1x) (1 x) (x1) (1)
32 0 1 2 2 32 32
32 32 32 32
VT x C C x C x C x
Hệ số của x11trong khai triển vế trái là 11
32
C (2)
0 1 2 2 20 20 0 1 2 2 12 12
VP C C x C x C x C C x C x C x
Hệ số của x11trong khai triển vế phải là 0 11 1 10 10 1 11 0
20 12 20 12 20 12 20 12
C C C C C C C C (3)
Từ (1),(2),(3) ta có 0 11 1 10 10 1 11 0 11
20 12 20 12 20 12 20 12 32
S C C C C C C C C C
0,25 0,25
0,25 0,25
Chú ý: Đối với ý 2 câu 1 thí sinh có thể giải không sử dụng đồ thị mà viết phương trình (1) tương đương
x
y
(sau khi nhận xét x = 1 không thỏa mãn phương trình với mọi y)
Nhận xét y nguyên khi x nguyên thì 3
1
x phải nguyên
Suy ra x – 1 phải là ước của 3 hay x { 2;0; 2; 4} thay vào tìm y tương ứng
Thay 4 cặp (x; y) nguyên vào phương trình (2) tìm được m2= 10