sách hướng dẫn học môn toán chuyên ngành

SÁCH HNG DN HC TP TOÁN CHUYÊN NGÀNH (Dùng cho sinh viên ngành T-VT h đào to đi hc t xa) Lu hành ni b HÀ NI - 2006 =====(===== HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG SÁCH HNG DN HC TP TOÁN CHUYÊN NGÀNH Biên son : Ts. LÊ BÁ LONG LI NÓI U Tip theo chng trình toán hc đi cng bao gm gii tích 1, 2 và toán đi s. Sinh viên chuyên ngành đin t-vin thông còn cn trang b thêm công c toán xác sut thng kê và toán k thut.  đáp ng nhu cu hc tp ca sinh viên chuyên ngành đin t vin thông ca Hc vin, chúng tôi đã biên son tp bài ging Toán k thut t nm 2000 theo đ cng chi tit môn hc ca H c vin. Qua quá trình ging dy chúng tôi thy rng cn hiu chnh và b sung thêm đ cung cp cho sinh viên nhng công c toán hc tt hn. Trong ln tái bn ln th hai tp bài ging đc nâng lên thành giáo trình, ni dung bám sát hn na nhng đc thù ca chuyên ngành vin thông. Chng hn trong ni dung ca phép bin đi Fourier chúng tôi s dng min tn s f thay cho min ω . Da vào tính duy nht ca khai trin Laurent chúng tôi gii thiu phép bin đi Z đ biu din các tín hiu ri rc bng các hàm gii tích. Tuy nhiên do đc thù ca phng thc đào to t xa nên chúng tôi biên son li cho phù hp vi loi hình đào to này. Tp giáo trình bao gm 7 chng. Mi chng cha đng các ni dung thit yu và đc coi là các công c toán hc đc lc, hiu qu cho sinh viên, cho k s đi sâu vào lnh vc vin thông. Ni dung giáo trình đáp ng đ y đ nhng yêu cu ca đ cng chi tit môn hc đã đc Hc vin duyt. Trong tng chng chúng tôi c gng trình bày mt cách tng quan đ đi đn các khái nim và các kt qu. Ch chng minh các đnh lý đòi hi nhng công c va phi không quá sâu xa hoc chng minh các đnh lý mà trong quá trình chng minh giúp ngi đc hiu sâu hn bn cht ca đnh lý và giúp ngi đc d  dàng hn khi vn dng đnh lý. Các đnh lý khó chng minh s đc ch dn đn các tài liu tham kho khác. Sau mi kt qu đu có ví d minh ho. Cui cùng tng phn thng có nhng nhn xét bình lun v vic m rng kt qu hoc kh nng ng dng chúng. Tuy nhiên chúng tôi không đi quá sâu vào các ví d minh ho mang tính chuyên sâu v vin thông vì s hn ch ca chúng tôi v lãnh vc này và c ng vì vt ra khi mc đích ca cun tài liu. Th t ca tng Ví d, nh lý, nh ngha, đc đánh s theo tng loi và chng. Chng hn Ví d 3.2, nh ngha 3.1 là ví d th hai và đnh ngha đu tiên ca chng 3… Nu cn tham kho đn ví d, đnh lý, đnh ngha hay công thc nào đó thì chúng tôi ch rõ s th t c a ví d, đnh lý, đnh ngha tng ng. Các công thc đc đánh s th t theo tng chng. H thng câu hi ôn tp và bài tp ca tng chng có hai loi. Loi trc nghim đúng sai nhm kim tra trc tip mc đ hiu bài ca hc viên còn loi bài tp tng hp giúp hc viên vn dng kin thc mt cách sâu sc hn. Vì nhn thc ca chúng tôi v chuyên ngành in t Vin thông còn hn ch nên không tránh khi nhiu thiu sót trong vic biên son tài liu này, cng nh cha đa ra ht các công c toán hc cn thit cn trang b cho các cán b nghiên cu v chuyên ngành đin t vin thông. Chúng tôi rt mong s đóng góp ca các nhà chuyên môn đ chúng tôi hoàn thin tt hn tp tài liu này. Tác gi xin bày t li cám n t i PGS.TS. Lê Trng Vinh, TS Tô Vn Ban, đã đc bn tho và cho nhng ý kin phn bin quý giá và đc bit ti KS Nguyn Chí Thành ngi đã giúp tôi biên tp hoàn chnh cun tài liu. Chng 1: Hàm bin s phc 4 Cui cùng, tác gi xin bày t s cám n đi vi Ban Giám đc Hc vin Công ngh Bu Chính Vin Thông, Trung tâm ào to Bu Chính Vin Thông 1 và bn bè đng nghip đã khuyn khích, đng viên, to nhiu điu kin thun li đ chúng tôi hoàn thành tp tài liu này. Hà Ni 5/2006 Tác gi Chng 1: Hàm bin s phc 5 CHNG I: HÀM BIN S PHC PHN GII THIU Gii tích phc là mt b phn ca toán hc hin đi có nhiu ng dng trong k thut. Nhiu hin tng vt lý và t nhiên đòi hi phi s dng s phc mi mô t đc. Trong chng này chúng ta tìm hiu nhng vn đ c bn ca gii tích phc: Lân cn, gii hn, hàm phc liên tc, gii tích, tích phân phc, chui s ph c, chui ly tha, chui Laurent…  nghiên cu các vn đ này chúng ta thng liên h vi nhng kt qu ta đã đt đc đi vi hàm bin thc. Mi hàm bin phc () ( ) (, ) (, )wfz fxiy uxyivxy==+= + tng ng vi hai hàm thc hai bin (, )uxy, (, )vxy. Hàm phc () f z liên tc khi và ch khi (, )uxy, (, )vxy liên tc. () f z kh vi khi và ch khi (, )uxy, (, )vxy có đo hàm riêng cp 1 tha mãn điu kin Cauchy-Riemann. Tích phân phc tng ng vi hai tích phân đng loi 2 …Mi chui s phc tng ng vi hai chui s thc có s hng tng quát là phn thc và phn o ca s hng tng quát ca chui s phc đã cho. S hi t hay phân k đc xác đnh bi s hi t hay phân k ca hai chui s thc này. T nhng tính cht đc thù ca hàm bin phc chúng ta có các công thc tích phân Cauchy. ó là công thc liên h gia giá tr ca hàm phc ti mt đim vi tích phân dc theo đng cong kín bao quanh đim này. Trên c s công thc tích phân Cauchy ta có th chng minh đc các kt qu: Mi hàm phc gii tích thì có đo hàm mi cp, có th khai trin hàm phc gii tích thành chui Taylor, hàm gi i tích trong hình vành khn đc khai trin thành chui Laurent. Bng cách tính thng d ca hàm s ti đim bt thng cô lp ta có th áp dng đ tính các tích phân phc và tích phân thc, tính các h s trong khai trin Laurent và phép bin đi Z ngc. Da vào tính duy nht ca khai trin Laurent ta có th xây dng phép bin đi Z.Phép bin đi Z cho phép biu din dãy tín hiu s ri rc bng hàm gii tích.  hc tt ch ng này hc viên cn xem li các kt qu ca gii tích thc. NI DUNG 1.1. S PHC 1.1.1. Dng tng quát ca s phc S phc có dng tng quát zxiy=+ , trong đó , x y là các s thc; 1 2 −=i . x là phn thc ca z , ký hiu Re z . y là phn o ca z , ký hiu Im z . Khi 0y = thì zx = là s thc; khi 0x = thì ziy = gi là s thun o. S phc x iy− , ký hiu z , đc gi là s phc liên hp vi s phc zxiy=+ . Chng 1: Hàm bin s phc 6 Hai s phc 11 1 zxiy = + và 222 zxiy = + bng nhau khi và ch khi phn thc và phn o ca chúng bng nhau. 12 11 12 2 2 12 12 ,; x x zxiyz xiy zz y y = ⎧ =+ =+ = ⇔ ⎨ = ⎩ (1.1) Tp hp tt c các s phc ký hiu . 1.1.2. Các phép toán Cho hai s phc 11 1 zxiy=+ và 222 zxiy = + , ta đnh ngha: a) Phép cng: S phc () ( ) 12 12 zxx iyy=++ + đc gi là tng ca hai s phc 1 z và 2 z , ký hiu 12 zz z=+. b) Phép tr: Ta gi s phc zxiy−=−− là s phc đi ca zxiy = + . S phc () ( ) 1212 12 ()zz z x x iy y=+− = − + − đc gi là hiu ca hai s phc 1 z và 2 z , ký hiu 12 zz z=−. c) Phép nhân: Tích ca hai s phc 1 z và 2 z là s phc đc ký hiu và đnh ngha bi biu thc: () ( ) ( ) ( ) 12 1 1 2 2 12 12 12 12 zzz xiy x iy xx yy ixy yx==+ += − + + . (1.2) d) Phép chia: Nghch đo ca s phc 0zxiy = +≠ là s phc ký hiu 1 z hay 1 z − , tha mãn điu kin 1 1zz − = . Vy nu 1 ''zxiy − = + thì 22 22 ''1 ',' ''0 xx yy x y xy yx xy x yxy −= ⎧ − ⇒= = ⎨ += ++ ⎩ . (1.3) S phc 1 12 12 12 12 12 22 22 22 22 x xyy yxxy zzz i x yxy − +− == + ++ đc gi là thng ca hai s phc 1 z và 2 z , ký hiu 1 2 z z z = ( 2 0z ≠ ). Ví d 1.1: Cho zxiy=+ , tính 2 ,zzz. Gii: () () () 2 222 2zxiy xyixy=+ = − + , 22 zz x y = + . Ví d 1.2: Tìm các s thc , x y là nghim ca phng trình ( ) ( ) ( ) ( ) 51 23311 x yixii i++−+ +=−. Gii: Khai trin và đng nht phn thc, phn o hai v ta đc 2523 7 3, 456 11 5 xy xy xy ++= ⎧ ⇒=− = ⎨ +−=− ⎩ . Chng 1: Hàm bin s phc 7 Ví d 1.3: Gii h phng trình 1 21 ziw zw i += ⎧ ⎨ + =+ ⎩ . Gii: Nhân i vào phng trình th nht và cng vào phng trình th hai ta đc () ( ) ( ) 12 2 12 43 212 255 ii ii iz i z i +− ++ +=+⇒= = = + , () 13 3 1 55 ii wiz i −+ + ⎛⎞ ⇒= −= =− ⎜⎟ ⎝⎠ . Ví d 1.4: Gii phng trình 2 250zz++=. Gii: () ()()( )( ) 222 2 25 1 4 1 2 12 12zz z z i z iz i++=+ +=+ − =+− ++ . Vy phng trình có hai nghim 12 12, 12ziz i = −+ =−− . 1.1.3. Biu din hình hc ca s phc, mt phng phc Xét mt phng vi h ta đ trc chun Oxy , có véc t đn v trên hai trc tng ng là i  và j  . Mi đim M trong mt phng này hoàn toàn đc xác đnh bi ta đ (; ) x y ca nó tha mãn OM x i y j=+  . S phc zxiy=+ cng hoàn toàn đc xác đnh bi phn thc x và phn o y ca nó. Vì vy ngi ta đng nht mi đim có ta đ (; ) x y vi s phc zxiy = + , lúc đó mt phng này đc gi là mt phng phc. 1.1.4. Dng lng giác ca s phc Trong mt phng vi h ta đ trc chun Oxy , nu ta chn Ox   làm trc cc thì đim (; ) M xy có ta đ cc () ;r ϕ xác đnh bi ( ) ,,rOM OxOM ϕ ==   tha mãn cos sin xr yr ϕ ϕ = ⎧ ⎨ = ⎩ Ta ký hiu và gi 22 zrOM x y== = + (1.4) Argz 2 ,k  k ϕ = +∈  (1.5) là mô đun và argument ca s phc zxiy = + . x x M y y O i   j   r ϕ x x M y y O i   j   Chng 1: Hàm bin s phc 8 Góc ϕ ca s phc 0zxiy=+ ≠ đc xác đnh theo công thc sau ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +=ϕ =ϕ 22 cos tg yxx/ y/x (1.6) Giá tr ca Argz nm gia π− và π đc gi là argument chính, ký hiu arg z . Vy arg z π π − <≤. T công thc (1.4) ta có ( ) cos sinzxiyr i ϕ ϕ =+ = + (1.7) gi là dng lng giác ca s phc. S dng khai trin Maclaurin có th chng minh đc công thc Euler cos sin i ei ϕ ϕ ϕ =+ (1.8) Do đó cos , sin 22 ii ii ee ee i ϕ ϕϕϕ ϕϕ − − +− == . (1.9) T (1.7)-(1.8) ta có th vit s phc di dng m i zze ϕ = (1.10) Các tính cht ca s phc ̇ 11 1212 1212 2 2 ;; zz zz zz zz zz z z ⎛⎞ +=+ = = ⎜⎟ ⎝⎠ . (1.11) ̇ Re ; Im 22 zz zz zz i +− == . zzz ∈ ⇔= . (1.12) ̇ 12 12 12 12 12 arg arg Arg Arg 2 zz zz zz zz zzk π ⎧⎧ == ⎪⎪ =⇔ ⇔ ⎨⎨ ==+ ⎪⎪ ⎩⎩ (1.13) ̇ 2 zz z= , 2 1 z z zz z z == , 112 2 2 2 zzz z z = . (1.14) ̇ 1 1 12 1 2 1 2 1 2 22 ,, z z zz z z z z z z zz ==+≤+ . (1.15) ̇ () 1 12 1 2 1 2 2 Arg Arg Arg , Arg Arg Arg z zz z z z z z ⎛⎞ =+ =− ⎜⎟ ⎝⎠ (1.16) ̇ iy x z + = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ⇒ zy zx và yxz +≤ (1.17) Chng 1: Hàm bin s phc 9 Ví d 1.5: a) Tp các s phc z tha mãn 23z − = tng ng vi tp các đim có khong cách đn (2;0)I bng 3, tp hp này là đng tròn tâm I bán kính 3. b) Tp các s phc z tha mãn 24zz − =+ tng ng vi tp các đim cách đu (2;0)A và (4;0)B − đó là đng trung trc ca đon A B có phng trình 1x =− . 1.1.5. Phép nâng ly tha, công thc Moivre Ly tha bc n ca s phc z là s phc n n zzzz=    lÇn T công thc (1.15)-(1.16) ta có công thc Moivre: () cos sin , Arg 2 n n zz nin z k ϕ ϕϕπ =+ =+. (1.18) c bit, khi 1z = ta có () ( ) cos sin cos sin n inin ϕϕ ϕ ϕ +=+ (1.18)' Ví d 1.6: Tính () 10 13i−+ . Gii: () 10 10 10 2 2 20 20 13 2cos sin 2cos sin 33 3 3 ii i π πππ ⎡⎤ ⎛⎞⎛ ⎞ −+ = + = + ⎜⎟⎜ ⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎣⎦ 10 10 9 9 22 13 2cos sin 2 2 32 33 22 iii ππ ⎛⎞ ⎛⎞ =+=−+=−+ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ . 1.1.6. Phép khai cn S phc ω đc gi là cn bc n ca z , ký hiu n z=ω , nu z n =ω . Nu vit di dng lng giác: )sin(cos,)sin(cos θ + θ ρ = ω ϕ + ϕ = iirz thì ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ π+ϕ =θ =ρ ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈π+ϕ=θ =ρ ⇔ω= n k r kkn r z n n n 2 ,2  . (1.19) Vì Argument ca mt s phc xác đnh sai khác mt bi s nguyên ca π2 nên vi mi s phc 0≠z có đúng n cn bc n . Các cn bc n này có cùng mô đun là n r , Argument nhn các giá tr n k n π + ϕ =θ 2 ng vi 1, ,1,0 − = nk , vì vy nm trên đnh ca n-giác đu ni tip trong đng tròn tâm O bán kính n r . Ví d 1.7: Gii phng trình 01 4 =+z Gii: Nghim ca phng trình là cn bc 4 ca π + π=− sincos1 i tng ng là: x y 0 z 1 z 2 z 3 z O 1 i 4 π Chng 1: Hàm bin s phc 10 2 1 4 sin 4 cos 0 i iz + = π + π = , 2 1 01 i izz + − == , 2 1 02 i zz − − =−= , 2 1 03 i izz − =−= . 1.1.7. Các khái nim c bn ca gii tích phc 1.1.7.1. Mt cu phc Trong 1.1.3 ta đã có mt biu din hình hc ca tp các s phc  bng cách đng nht mi s phc iy x z += vi đim M có ta đ );( yx trong mt phng vi h ta đ Oxy . Mt khác nu ta dng mt cu )( S có cc nam tip xúc vi mt phng Oxy ti O, khi đó mi đim z thuc mt phng Oxy s tng ng duy nht vi đim ω là giao đim ca tia Pz và mt cu )( S , P là đim cc bc ca )( S . Vy mi đim trên mt phng Oxy đc xác đnh bi mt đim trên mt cu )( S ngoi tr đim cc bc P. Ta gán cho đim cc bc này s phc vô cùng ∞ . Tp hp s phc  thêm s phc vô cùng đc gi là tp s phc m rng  . Nh vy toàn b mt cu )( S là mt biu din hình hc ca tp s phc m rng. Quy c: ∞=−∞∞=∞+≠∞=∞≠∞= zzzzz z ,,)0(,)0( 0 . 1.1.7.2. Lân cn, min a. Lân cn Khái nim −ε lân cn ca  ∈ 0 z đc đnh ngha hoàn toàn tng t vi −ε lân cn trong 2  , đó là hình tròn có tâm ti đim này và bán kính bng ε . ( ) { } ε<−∈= ε 00 zzzzB  (1.23) −N lân cn ∈∞ : ( ) { } { } ∞∪>∈=∞ NzzB N  (1.23)’ b. im trong, tp m Gi s E là mt tp các đim ca mt phng phc hoc mt cu phc. im 0 z đc gi là đim trong ca E nu tn ti mt lân cn ca 0 z nm hoàn toàn trong E . Tp ch gm các đim trong đc gi là tp m. • • ω z x O y P )( S [...]... ch z sh z sh z , coth z ch z ish z , cos iz ch z ch 2 z sh 2 z 2ch z sh z , ch 2 z 1.3 PHÉP BI N HÌNH B O GIÁC Nhi u v n trong khoa h c và th c ti n (ví d bài toàn n mìn, bài toán thi t k cánh máy nào ó mà ta ã bay…) a n bài toán: Tìm phép bi n hình b o giác bi n mi n D thành mi n bi t ho c d dàng kh o sát h n Trong m c này ta a ra vài nguyên lý và ph ng pháp tìm phép bi n hình trong nh ng tr ng h... bi n hình này Trong th c hành, tìm phép bi n hình bi n mi n D thành mi n ng i ta tìm phép bi n hình bi n D, v hình tròn nv z 1 hay n a m t ph ng trên (Các phép bi n hình này có th tìm trong các s tay toán h c) N u f z bi n hình n tr hai chi u bi n D lên hình tròn N u g w bi n hình n tr hai chi u bi n thì w g b S t 1 f z bi n D thành 1, 1, lên hình tròn ng ng biên nh lý 1.4: Cho hai mi n n liên D và . SÁCH HNG DN HC TP TOÁN CHUYÊN NGÀNH (Dùng cho sinh viên ngành T-VT h đào to đi hc t xa) Lu hành. SÁCH HNG DN HC TP TOÁN CHUYÊN NGÀNH Biên son : Ts. LÊ BÁ LONG LI NÓI U Tip theo chng trình toán hc đi