CHUYÊN BÌNH ĐỊNH 2021 2022

Đề thi TS 10 : 0905.884.951 – 0929.484.951 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Đề thức KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2021 – 2022 Mơn: TỐN (Chun Tốn – Tin) – Ngày: 11/06/2021 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) oOo -Bài (2.0 điểm) æ x- y ỗ Cho biu thc: A = ỗ ỗ ç x+ y è ỉ1 1ư x + ÷ ữ ỗ - ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ x - y ø èx ỳ Tính giá trị biểu thức A với x = 2021+ 505 , y = 2021- 505 1 1 Cho số thực a, b, c¹ a + b+ c ¹ thỏa mãn + + = a b c a + b+ c 1 1 Chứng minh rằng: 2021 + 2021 + 2021 = 2021 2021 a b c a + b + c2021 Bài (2.5 điểm) Cho tập hợp A gồm 21 số tự nhiên khác thỏa mãn tổng 11 số lớn tổng 10 số lại Biết số 101 102 thuộc tập hợp A Tìm số cịn lại tập hợp A Tìm tất số nguyên dương x cho x2 - x +13 số phương Bài (1.5 điểm) ìï 2xy- y + 2x + y = 10 ï Giải hệ phương trình: í ïï 3y + - 2y +1+ 2x - = ïỵ Bài (3.0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O , D điểm thuộc cạnh BC ( D khác B C ) Gọi M , N trung điểm cạnh AB AC Đường thẳng MN cắt đường tròn ( O) P , Q (theo thứ tự P , M , N , Q ) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB I (khác B ) Các đường thẳng DI AC cắt K a) Chứng minh điểm A , I , P , K nằm đường tròn QA PD = b) Chứng minh QB PK c) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP G (khác P ) Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC E Chứng minh D di chuyển CD đoạn BC tỉ số khơng đổi CE Bài (1.0 điểm) Cho a , b số dương thỏa mãn a+ 2b³ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3a2 + a2b+ ab2 +( 8+ a) b3 P= ab  HẾT  -ĐÁP ÁN THAM KHẢO – CHUYÊN TOÁN TIN – BÌNH ĐỊNH 2021 – 2022 Bài (2.0 điểm) GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang Đề thi TS 10 : 0905.884.951 0929.484.951 ổ x- y ỗ ỗ A = Cho biu thc: ỗ ỗ x+ y ố ổ1 1ử x + yử ữ ữ ỗ - ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ x - y ứ ốx yứ Tính giá trị biểu thức A với x = 2021+ 505 , y = 2021- 505 1 1 Cho số thực a, b, c¹ a + b+ c ¹ thỏa mãn + + = a b c a + b+ c 1 1 ( *) Chứng minh rằng: 2021 + 2021 + 2021 = 2021 2021 a b c a + b + c2021 Điều kiện: x> ; y> x ¹ y ổ x- y ổ1 x + yử ữ ỗ ữ ỗ Ta cú: A = ỗ ữ ỗ ỗx ữỗ ỗ ố x- yứ ố x+ y Thay x = A= 2021+ 505 , y= 2021+ 505 Vậy A = x - xy + y- x - xy - y y- x 1ö ÷ = = ÷ ÷ yø x- y xy xy 2021- 505 vào biểu thức thu gọn, ta được: = = 2021- 4.505 2021- 505 ìï ï x= x ¹ y (với x> ; y> ) A = ïí ïï xy ïỵ y = 1 1 1 1 + + = Û + + =0 Û a b c a + b+ c a a+ b+ c b c ỉ 1ư ữ ỗ ữ ( b+ c) ỗ + =0 ữ ỗ ữ ỗ a a + b + c bc ( ) è ø Ta có: 2021+ 505 2021- 505 b+ c b+ c + = a( a + b+ c) bc Û ( b+ c) ( bc+ a2 + ab+ ca) = (do a, b, c¹ a+ b+ c ¹ ) éa =- b ê Û ( b+ c) ( a+ b) ( c+ a) = Û êb =- c ê êc =- a ë ìï 1 1 1 ïï 2021 + 2021 + 2021 = 2021 - 2021 + 2021 = 2021 ïa b c a a c c  Với a =- b, suy ra: ïí ; ( *) ïï 1 = 2021 2021 2021 = 2021 ïï 2021 2021 2021 a - a +c c ïỵ a + b + c  Tương tự hai trường hợp lại là: b =- c c =- a ( *) Do toán chứng minh Bài (2.5 điểm) Cho tập hợp A gồm 21 số tự nhiên khác thỏa mãn tổng 11 số lớn tổng 10 số lại Biết số 101 102 thuộc tập hợp A Tìm số cịn lại tập hợp A Tìm tất số nguyên dương x cho x2 - x +13 số phương Giả sử A = { a1 ; a2 ; a3 ; ; a21} với a1 ; a2 ; a3 ; ; a21 Î ¥ a1 < a2 < a3 < < a21 Từ đề, suy ra: a1 + a2 + + a11 > a12 + a13 + + a21 Û a1 > a12 - a2 + a13 - a3 + + a21 - a11 ( 1) Vì a1 ; a2 ; a3 ; ; a21 Î ¥ nên a12 - a2 ³ 10 ; a13 - a3 ³ 10 ; ; a21 - a11 ³ 10 ( 2) +102444444 + +10 1444444 3= 100 mà a1 số nhỏ số Từ ( 1) ( 2) , suy ra: a1 > 10 10 sè 10 tập hợp A nên a1 = 101 ( 3) GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang Đề thi TS 10 : 0905.884.951 – 0929.484.951 Từ ( 1) ( 3) , suy ra: a12 - a2 + a13 - a3 + + a21 - a11 với x ³ ; y³ Þ phương trình ( 4) vơ nghiệm Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: ( x ; y) = ( 1;4) 3y + - Bài (3.0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , D điểm thuộc cạnh BC ( D khác B C ) Gọi M , N trung điểm cạnh AB AC Đường thẳng MN cắt đường tròn ( O) P , Q (theo thứ tự P , M , N , Q ) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB I (khác B ) Các đường thẳng DI AC cắt K a) Chứng minh điểm A , I , P , K nằm đường tròn GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang Đề thi TS 10 : 0905.884.951 – 0929.484.951 QA PD = QB PK c) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP G (khác P ) Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC E Chứng minh D di chuyển CD đoạn BC tỉ số khơng đổi CE · · a) Vì tứ giác APBC nội tiếp Þ PAC + PBC = 180° ( 1) b) Chứng minh · · Vì tứ giác BDIP nội tiếp Þ PID + PBC = 180° ( 2) · · Từ ( 1) ( 2) , suy ra: PID = PAC · · · · Lại có: PID + PIK = 180° ; PAC + PAK = 180° · · Do đó: PIK ; mà hai góc = PAK nhìn cạnh PK Þ tứ giác AIPK nội tiếp hay điểm A , I , P , K nằm đường tròn · · · · b) Ta có: APK = AIK = BID = BPD  Xét D PBD D PAK , ta có: · · · · (cmt); APK (cmt) PBD = PAK = BPD PB PD Þ D PBD # D PAK (g – g) Þ = ( 3) PA PK  Vì tứ giác APBQ nội tiếp, suy ra: ìï PB MP ïï = PB QB PB QA ïï QA MA =1 Þ = Þ ( 4) í ïï QB MB QA PA PA QB = ïï ïỵ PA MP QA PD = QB PK · · c)  Trên AB xác định điểm H cho APH = KPI · · Vì tứ giác AIPK nội tiếp, nên KPI = BAC · Lại có A , P BAC khơng đổi nên H điểm cố định KI KP  Dễ dàng chứng minh D KPI # D APH (g – g) Þ ( 5) = AH AP KP KD = ( 6) Dễ dàng chứng minh D PKD # D PAB (g – g) Þ AP AB KD KI KD AB Þ = = ( 7) Từ ( 5) ( 6) suy ra: AB AH KI AH CD KD · · · =  Ta có: PGI nên GI P AC hay IE P AC Þ ( 8) = PBI = PCA CE KI CD AB AB CD =  Từ ( 7) ( 8) suy mà không đổi nên không đổi CE AH AH CE Bài (1.0 điểm) Cho a , b số dương thỏa mãn a+ 2b³ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3a2 + a2b+ ab2 +( 8+ a) b3 P= ab Từ ( 3) ( 4) , suy ra: GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang Đề thi TS 10 : 0905.884.951 – 0929.484.951 3a2 + a2b+ ab2 +( 8+ a) b3 3a 9b 8b2 Ta có: P= = + a+ + + b2 ab b a 8b 4b.2b 4b( 3- a) 12b Theo đề a+ 2b³ Þ 2b³ 3- a Þ = = = - 4b a a a a 3a 9b 8b2 3a 9b 12b 3a 12b 3b Do đó: P = + a+ + + b2 ³ + 3- 2b+ + - 4b+ b2 = + +b +3 b a b a b a 2 3a 12b ỉ 3ư 39 39 231 ữ ỗ +ỗb- ữ + 12+ = ữ ỗ b a ố 4ø 16 16 16 ìï a, b> ïï ï 3a 12b = Û a = 2b = Đẳng thức xảy ïí ïï b a ïï ïỵ a+ 2b = Vậy giá trị nhỏ P ỉ3 3ư 231 ; ữ ( a;b) = ỗ ữ ỗ ữ ç è2 4ø 16  CHÚC CÁC EM HỌC TỐT  GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang ... + 2021 = 2021 - 2021 + 2021 = 2021 ïa b c a a c c  Với a =- b, suy ra: ïí ; ( *) ïï 1 = 2021 2021 2021 = 2021 ïï 2021 2021 2021 a - a +c c ïỵ a + b + c  Tương tự hai trường hợp lại là: b =-. .. 2021+ 505 , y= 2021+ 505 Vậy A = x - xy + y- x - xy - y y- x 1ư ÷ = = ÷ ÷ yø x- y xy xy 202 1- 505 vào biểu thức thu gọn, ta được: = = 202 1- 4.505 202 1- 505 ìï ï x= x ¹ y (với x> ; y> ) A = ïí... rằng: 2021 + 2021 + 2021 = 2021 2021 a b c a + b + c2021 Điều kiện: x> ; y> x ¹ y ỉ x- y ổ1 x + yử ữ ỗ ữ ỗ Ta cú: A = ỗ ữ ỗ ỗx ữỗ ỗ ố x- yø è x+ y Thay x = A= 2021+ 505 , y= 2021+ 505 Vậy A = x -