Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh bà rịa vũng tàu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÀ RỊA – VŨNG TÀU ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH VŨNG TÀU NĂM HỌC 2022-2023 Mơn : TỐN CHUN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (3,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức  P=   b) Giải phương trình : c) Giải phương trình x −2 ( )( x −1 − ) ( x +1 ( )  x +  x −1 : 2 x +1  ( 1− x)  ) với x ≥ 0, x ≠ x − x + − ( x − 1) x − =  x + xy + x − =   y + x + y − = Câu (2,0 điểm) a) Cho số thực có nghiệm (x a, b, c, d thỏa mãn + ax + b ) ( x + cx + d ) = Chứng minh phương trình sau ln b) Tìm tất cặp số nguyên ( x + y ) ( 2x + 3y ) ac ≥2 b+d ( x; y ) thỏa mãn phương trình + 2x + y + = Câu (1,0 điểm) Với số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức x, y , z thỏa mãn ( x2 + y + z ) = y ( x + z ) P = ( x + y + z ) − ( x2 + z ) Câu 4.(3,0 điểm) Cho tam giác cao AD, BE , CF a) ABC nhọn ( AB < AC ) cắt H Gọi Chứng minh IJ I, J nội tiếp đường trịn tâm O có ba đường trung điểm vng góc với EF IJ AH BC song song với OA EF Gọi K, Qlần lượt giao điểm b) với BC AD Chứng minh QE KE = QF KF Đường thẳng chứa tia phân giác c) ∠CAB phân giác cắt AB, AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác A Chứng minh ba điểm H , P, J Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC đổi qua trọng tâm tam giác S1 , S2 ∠FHB AMN M,N điểm P khác thẳng hàng cố định có diện tích S Đường thẳng ABC diện tích tam giác Tia cắt cạnh ABN ACM AB, AC d thay M, N Gọi Tìm giá trị nhỏ S1 + S ĐÁP ÁN Câu (3,0 điểm) a)  P=   b)  P=   Rút gọn biểu thức ( x −2 )( x −1 − ) ( x +1 Điều kiện: ( x − 1) ( x − − Vậy )( x −1 ( − ) ( x +1 ) ( ( ( ) ) )( ) ) x − x + − ( x − 1) x − = Phương trình tương đương  x = 1(ktm) 2x − = ⇔   x − = x − ⇔ ⇔ x = 3(tm) ) x=3 c) Giải phương trình )  x +  x −1 : 2 x +1  ( 1− x)   −2 x ( x − 1) x +  x −1 : = =− x 2 2 − x ( ) x +1  x −1 x +1  Giải phương trình : x≥ ( x −2   x + xy + x − =   4 y + x + y − = với x ≥ 0, x ≠ Cộng hai phương trình cho vế theo vế ( x + 2y) x + 2y =1 + 2( x + 2y) − = ⇔   x + y = −3 Trường hợp 1: x + y = 1⇒ x = 1− 2y thay vào phương trình hệ ta : y = ⇒ x =1 y +1− y + y −1 = ⇔ y + y = ⇔  y = − ⇒ x =  2 Trường hợp 2: x + y = −3 ⇒ x = −2 y − thay vào pt hệ ta :  −1 + 17 −5 − 17 ⇒x= y = 4 y2 − − y + y −1 = ⇔ y2 + y − = ⇔   −1 − 17 −5 + 17 ⇒x= y =  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( 1; ) ,  2; −    −5 − 17 −1 + 17   −5 + 17 −1 − 17  ; ; ÷ ÷ ÷;  ÷;  ÷   4    Câu (2,0 điểm) a) Cho số thực ln có nghiệm (x a, b, c, d thỏa mãn ac ≥2 b+d + ax + b ) ( x + cx + d ) = Chứng minh phương trình sau  x + ax + b = ( 1) ⇔ x + cx + d = ( )  Phương trình cho Giả sử phương trình vơ nghiệm, hai phương trình (1), (2) vô nghiệm Tức :  ∆ ( 1) > 4b > a ⇔ ⇒ b > 0, d > ⇒ b + d >   4d > c  ∆ ( ) > Lúc theo giả thiết ac ≥ ⇒ ac ≥ ( b + d ) b+d 2( b + d ) > 2 ( a + c ) ≥ ac Tuy nhiên điều vô lý Vậy điều giả sử sai Ta có điều phải chứng minh b) Tìm tất cặp số nguyên ( x + y ) ( 2x + 3y ) thỏa mãn phương trình + 2x + y + = a = x + y; b = x + y Đặt ( x; y ) từ giả thiết ta : ab + 4a − b + = ⇔ a ( b + ) = b − ⇔ a = x, y ∈ ¢ ⇒ a , b ∈ ¢ ⇒ Do Với b−2 b2 + b−2 ∈¢ b2 + x + y =  x = −2 b=2⇒a =0⇒ ⇔ 2 x + y = y = (thử lại đúng) b − ≥ b + b − b + ≤   b ≠ 2⇒ b−2 ≥b +4⇒  ⇔ 2 2 − b ≥ b + b + b + ≤   2 Với Vậy ( x; y ) = ( −2; ) (vô lý) x, y , z Câu (1,0 điểm) Với số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức Ta có : 3y ( x + z ) = y + ( x + z 2 P = ( x + y + z ) − ( x2 + z ) ) ≥ 2y + ( x + z) Do : thỏa mãn 2  x+z  x+z x+z ⇒ ≤2 ÷ − 3 ÷+ ≤ ⇒ ≤ y  y   y  P ≤ ( x + z ) − x2 − z = x + z − x2 − z ≤ x + z + − x2 − z 2 =  1  1 − x − ÷ − z − ÷ ≤  2  2 Max P = ⇔ x = z = ; y =1 2 Vậy Câu 4.(3,0 điểm) ( x2 + y2 + z ) = y ( x + z ) Cho tam giác đường cao BC a) AD, BE , CF nhọn ( AB < AC ) IJ AT ⇒ IJ / / AT I, J vng góc với 1 BC ; IE = IF = AH ⇒ IJ 2 Kẻ đường kính nội tiếp đường trịn tâm O có ba cắt H Gọi Chứng minh JE = JF = b) ABC (O) EF trung điểm IJ hình bình hành Gọi K, Qlần lượt giao điểm EF với BC ⇒I ⇒ IJ ⊥ EF trung điểm HT AD Chứng minh QE KE = QF KF Các tứ giác BDHF , CDHE , BCEF song song với OA đường trung trực EF ⇒ BHCT AH tứ giác nội tiếp nên ta có : ∠EDH = ∠HCE = ∠HBF = ∠HDF ⇒ DQ, DK phân giác phân giác ngồi Theo tính chất đường phân giác c) HD ⊥ HK QE KE  DE  = = ÷ QF KF  DF  Đường thẳng chứa tia phân giác Tia phân giác ∠CAB ∠FHB ⇒ AP cắt AB, AC H , P, J Gọi G giao điểm ( AMN ) ⇒ PM / / HC , PN / / HB PM , HB L giao điểm HGPL AMN M,N thẳng hàng ∠AMH = ∠MBH + ∠MHB = ∠NCH + ∠NHC = ∠HNA ⇒ ∆AMN đường kính cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác điểm P khác A Chứng minh ba điểm Ta có ∆DEF cân A PN , HC HP Khi tứ giác hình bình hành nên qua trung điểm R Áp dụng định lý Talet tính chất đường phân giác ta : GL GH MF HF LH NE HE = = ; = = GB MB HB LC NC HC ∆HFB ∽ ∆HEC ⇒ Mặt khác Giả sử HR HF HE GH LH = ⇒ = ⇒ GL / / BC HB HC GB LC cắt BC J’ Áp dụng định lý Talet ta có : Vậy ba điểm H , P, J RG AR RL = = ⇒ J ' B = J 'C ⇒ J ' ≡ J J ' B AJ ' J ' C thẳng hàng Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC cố định có diện tích S Đường thẳng thay đổi qua trọng tâm tam giác N Gọi S1 , S ABC cắt cạnh diện tích tam giác S1 + S ABN AB, AC ACM d M, Tìm giá trị nhỏ Gọi D trung điểm Ta có : BC G trọng tâm ∆ABC AM AN S AMN S AMG + S ANG S AMG S ANG = = = + AB AC S S S ABD S ACD AM AG AN AG  AM AN  = + =  + ÷ AB AD AC AD  AB AC  ⇒ AB AC + =3 AM AN Mà S1 + S2 S ABN + S ACM AN AM = = + S S ABC AC AB S + S2  AN AM   AB AC  ⇒ = + + ÷ ÷ ≥ ⇒ S1 + S2 ≥ S S  AC AB   AM AN  ⇔ Đẳng thức xảy AM AN = ⇔ d / / BC AB AC Vậy giá trị nhỏ biểu thức S1 + S S, đạt d / / BC ... hợp 1: x + y = 1⇒ x = 1− 2y thay vào phương trình hệ ta : y = ⇒ x =1 y +1− y + y −1 = ⇔ y + y = ⇔  y = − ⇒ x =  2 Trường hợp 2: x + y = −3 ⇒ x = −2 y − thay vào pt hệ ta :  −1 + 17 −5 − 17