S GIO DC V O TO K LK
TRNG THPT NGUYN HU
THI TH I HC
MễN TON NM 2012 - 2013
Thi gian lm bi: 180 phỳt.
I. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im)
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm s
2 3
2
x
y
x
=
th (C)
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th ( C).
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ti im M thuc (C) bit tip tuyn ú ct tim cn ng v tim cn ngang ln
lt ti A, B sao cho cụsin gúc
ã
ABI
bng
4
17
,vi I l giao 2 tim cn ca (C).
Cõu 2 (1,0 im). Gii phng trỡnh
1
3 sin cos
cos
x x
x
+ =
.
Cõu 3 (1,0 im). Gii bt phng trỡnh
( ) ( )
5 3 1 5 3x x x x+ < + +
.
Cõu 4 (1,0 im). Tớnh tớch phõn:
8
3
ln
1
x
I dx
x
=
+
.
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp
ABCDS.
cú
SD
vuụng gúc vi mt phng
)(ABCD
, ỏy
ABCD
l hỡnh thoi
cnh
a
cú
ã
0
120BAD =
. ng thng
SA
to vi mt phng
)(SBD
mt gúc bng
vi
3cot =
. Tớnh th tớch
khi chúp
ABCDS.
v khong cỏch t
B
n mt phng
)(SAC
theo a.
Cõu 6 (1,0 im). Cho 3 s dng x , y , z cú tng bng 1. Chng minh bt ng thc :
2
3
+
+
+
+
+ yzx
zx
xyz
yz
zxy
xy
.
II. PHN RIấNG (3,0 im) Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc phn B)
A.Theo chng trỡnh chun
Cõu 7.a (1,0 im). Cho tam giỏc ABC cõn ti A, phng trỡnh cỏc cnh AB, BC ln lt l:
2 1 0x y+ =
v
3 5 0x y + =
. Vit phng trỡnh cnh AC bit AC i qua im M(1;-3).
Cõu 8.a (1,0 im). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):
011642
222
=+++ zyxzyx
và mặt phẳng (
): 2x + 2y - z + 17 = 0. Viết phơng trình mặt phẳng (
) song song với (
) và cắt (S) theo giao
tuyến là đờng tròn có chu vi bằng 6.
Cõu 9.a (1,0 im). Gii phng trỡnh:
2
9 3 3
log ( 1) log (4 ) log (4 )x x x+ = + +
.
B.Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu 7.b (1,0 im). Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho hai ng thng
1
: 5 0d x y+ + =
,
2
: 2 7 0d x y+ - =
v tam giỏc ABC cú
(2;3)A
, trng tõm l im
(2;0)G
, im B thuc
1
d
v im C thuc
2
d
.
Vit phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC.
Cõu 8.b (1,0 im). Trong khụng gian vi h trc to Oxyz, cho ng thng
)(
:
1 2
2 1 3
x y z- -
= =
-
v mt
phng
( ) : 2 -- 2 1 0Q x y z + =
. Tỡm to cỏc im thuc ng thng
)(
m khong cỏch t ú n mt phng
( )Q
bng 1.
CõuVII.b (1,0 im) Tỡm s phc z tha món :
( ) ( )
1 3 . 2 . 3 2 0i z i z i + + =
Ht
Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
H v tờn thớ sinh : S bỏo danh
Câu Đápán Điểm
1
a)
• Tập xác định: D=R\
{ }
2
• Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
'
2
1
( 2)
y
x
−
=
−
< 0,
x D∀ ∈
.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (
−∞
;2) và (2;
+∞
).
Giới hạn và tiệm cận:
lim 2
x
y
→±∞
=
; tiệm cận ngang:
2y =
.
2
lim
x
y
+
→
= +∞
,
2
lim
x
y
−
→
= −∞
; tiệm cận đứng:
2x =
.
Bảng biến thiên
• Đồ thị :
0.25
0.25
0.25
0.25
b)
Gọi
0
0
0
2 3
( ; ) ( )
2
x
M x C
x
−
∈
−
,
0
2x ≠
.
Phương trình tiếp tuyến tại M:
0
0
2
0 0
2 3
1
( )
( 2) 2
x
y x x
x x
−
= − − +
− −
(
∆
).
0
0
2 2
(2; ) ( )
2
x
A C
x
−
= ∩
−
TCĐ,
0
(2 2;2) ( )B x C TCN− = ∩
.
Do
·
4
17
CosABI =
nên
·
1
4
IA
tanABI
IB
= =
.
Ta được
2 2
16.IB IA=
⇔
4
0
( 2) 16x − =
⇔
0
0x =
;
0
4x =
.
Khi đó: Tại
3
(0; )
2
M
phương trình tiếp tuyến:
1 3
4 2
y x= − +
.
Tại
5
(4; )
3
M
phương trình tiếp tuyến:
1 7
4 2
y x= − +
.
0.25
0.25
0.25
0.25
2 Điều kiện:
cos 0x
≠
.
Phương trình đã cho tương đương với:
2
3 1 cos2
3 sin cos cos 1 sin2 1 cos2 3sin2 1
2 2
x
x x x x x x
+
+ = ⇔ + = ⇔ + =
0.25
0.5
8
6
4
2
-2
-4
-
5
0
y’
y
x
+∞
−∞
-
+∞
−∞
2
-
22
2
1 3 1
cos 2 sin2
2 2 2
x x⇔ + =
1
cos 2
3 2
x
π
⇔ − =
÷
3
x k
x k
π
π
π
= +
⇔
=
(
k ∈¢
), thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình có nghiệm là:
;
3
x k x k
π
π π
= + =
(
k ∈¢
).
0.25
3 Điều kiện:
5 3x
− ≤ ≤ −
.
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
5 3 1 5 3
5 3 1 5 3 0
5 1 1 3 0
x x x x
x x x x
x x
+ − − − < − + + − −
⇔ + − − − + − + − − <
⇔ + + − − − <
1 3 0 3 1 3 1 4x x x x⇔ − − − < ⇔ − − > ⇔ − − > ⇔ < −
Đối chiếu với điều kiện ta được
5 4x− ≤ < −
.
Vậy bất phương trình có nghiệm:
5 4x
− ≤ < −
.
0.25
0.5
0.25
4
Đặt
ln
2 1
1
dx
u x
du
x
dx
dv
v x
x
=
=
⇒
=
= +
+
Khi đó
8
8
3
3
1
2 1ln 2
x
I x x dx
x
+
= + −
∫
.
Xét
8
3
1x
J dx
x
+
=
∫
Đặt
1 2t x tdt dx= + ⇒ =
. Đổi cận, với x=3 thì t=2; với x=8 thì t=3.
Khi đó
3
3 3
2
2 2
2 2
2
2 1 1
2 1 2 ln 2 ln3 ln 2
1 1 1
t dt t
J dt t
t t t
−
= = + = + = + −
÷ ÷
− − +
∫ ∫
.
Vậy
( )
6ln8 4ln3 2 2 ln3 ln 2 20ln 2 6ln3 4I = − − + − = − −
.
0.25
0.25
0.25
0.25
5
Gọi
.BDACO ∩=
Từ giả thiết suy ra
)(SBDAC ⊥
tại O
nên
.)(;(
α
==∠ SBDSAASO
ADCADCBAD ∆⇒=∠⇒=∠
00
60120
đều cạnh a. Suy
ra
2
3
2
2
a
SS
ADCABCD
==
và
.
2
,
2
3 a
AO
a
DO ==
Do đó
.
2
3
2
3
cot.
22
a
ODSOSD
a
AOSO =−=⇒==
α
Suy ra
.
4
2
22
.
3
1
33
aa
SSDV
ABCDSABCD
===
* Kẻ
.SODH ⊥
Vì
)(SBDAC ⊥
nên
DHAC ⊥
. Suy ra
)(SACDH ⊥
Ta có
SDO∆
vuông tại D nên
2
2a
DH =
Vì O là trung điểm BD nên
))(;())(;( SACDdSACBd =
Từ đó ta suy ra
.
2
2
))(;(
a
SACBd =
0.25
0.25
0.25
0.25
6
Ta có : x + y + z = 1
)1)(1(1 yxzxyyxz −−=+⇒−−=⇒
0.25
A
D
B
C
S
O
H
a
a
α
( )( )
−
+
−
≤
−−
=
−−
=
+
⇒
y
x
x
y
y
x
x
y
yx
xy
zxy
xy
112
1
1111
Tương tự:
−
+
−
≤
+
−
+
−
≤
+ z
x
x
z
yzx
zx
z
y
y
z
xyz
yz
112
1
;
112
1
2
3
1112
1
=
−
+
+
−
+
+
−
+
≤⇒
z
yx
y
zx
x
zy
VT
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
1
.
0.25
0.25
0.25
7.a
Đường thẳng AC có vec tơ pháp tuyến
( )
1
1;2n =
ur
.
Đường thẳng BC có vec tơ pháp tuyến
( )
1
3; 1n = −
ur
.
Đường thẳng AC qua M(1; -3) nên có phương trình:
( ) ( )
( )
2 2
1 3 0 0a x b y a b− + + = + >
.
Tam giác ABC cân tại đỉnh A nên ta có:
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 3
os , os ,
1 2 3 1 3 1
a b
c AB BC c AC BC
a b
− −
= ⇔ =
+ + + +
2 2 2 2
1
2
5 3 22 15 2 0
2
11
a b
a b a b a ab b
a b
=
⇔ + = − ⇔ − + = ⇔
=
Với
1
2
a b=
, chọn a= 1, b = 2 ta được đường thẳng AC: x + 2y + 5 = 0 (loại vì khi đó
AC//AB).
Với
2
11
a b=
, chọn a = 2, b = 11 ta được đường thẳng AC: 2x + 11y + 31 = 0.
0.25
0.25
0.25
0.25
8.a
Do (
β
) // (
α
) nên (β) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D
≠
17).
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = 5
Đường tròn có chu vi 6π nên có bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới (β) là h =
435rR
2222
=−=−
Do đó
=
−=
⇔=+−⇔=
−++
+−−+
(lo¹i) 17D
7D
12D54
)1(22
D3)2(21.2
222
Vậy (β) có phương trình: 2x + 2y - z - 7 = 0.
0.25
0.25
0.25
0.25
9.a
Điều kiện:
4 4
1
x
x
− < <
≠
Khi đó phương trình trở thành
( )
2 2
3 3
log 1 log 16 1 16x x x x+ = − ⇒ + = −
2
2
1 4
1 61
15 0
2
4 1
1 69
2
17 0
x
x
x x
x
x
x x
− < <
− +
=
+ − =
⇒ ⇒
− < < −
−
=
− − =
Vậy phương trình có nghiệm
1 61
2
x
− +
=
và
1 69
2
x
−
=
.
0.25
0.5
0.25
7.b
Do B
∈
d
1
nên B (m; - m – 5), C
∈
d
2
nên C (7 – 2n; n).
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên
2 7 2 3.2
3 5 3.0
m n
m n
ì
+ + - =
ï
ï
í
ï
- - + =
ï
î
2 3 1
2 1
m n m
m n n
ì ì
- =- =-
ï ï
ï ï
Û Û
í í
ï ï
- + = =
ï ï
î î
Suy ra B (-1; -4), C(5; 1).
0.25
0.25
Giả sử đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình:
2 2
2 2 0x y ax by c+ + + + =
.
Do A, B, C
∈
(C) nên ta có hệ:
4 9 4 6 0 83/ 54
1 16 2 8 0 17 / 18
25 1 10 2 0 338 / 27
a b c a
a b c b
a b c c
ì ì
+ + + + = =-
ï ï
ï ï
ï ï
ï ï
+ -- + = Û =
í í
ï ï
ï ï
+ + + + = =-
ï ï
ï ï
î î
Vậy (C) có phương trình
2 2
83 17 338
0
27 9 27
x y x y+ - + - =
.
0.25
0.25
8.b
Gọi
( ; ; )M a b c
là điểm cần tìm. Do
( )M Î D
nên:
2 5
1 2
2 1 3 3 6
a b
a b c
b c
ì
- - =-
ï
- -
ï
= = Û
í
ï
- + =
ï
î
Lại có:
2 2 1
( ,( )) 1 1 2 2 1 3
3
a b c
d M Q a b c
- - +
= Û = Û -- + =
.
Ta có hệ phương trình:
- - 2 -5
3 6
2 -- 2 1 3
a b
b c
a b c
ì
ï
=
ï
ï
ï
+ =
í
ï
ï
ï
+ =
ï
î
- - 2 -5
3 6
2 - -2 2
- - 2 -5
3 6
2 - -2 -4
a b
b c
a b c
a b
b c
a b c
é
ì
=
ï
ï
ê
ï
ï
ê
+ =
í
ê
ï
ï
ê
=
ï
ï
ê
î
Û
ê
ì
=
ê
ï
ï
ê
ï
ï
ê
+ =
í
ï
ê
ï
ê
=
ï
ï
î
ë
-3
4
-6
9
-2
12
a
b
c
a
b
c
é
ì
=
ï
ï
ê
ï
ï
ê
=
í
ê
ï
ï
ê
=
ï
ï
ê
î
Û
ê
ì
=
ê
ï
ï
ê
ï
ï
ê
=
í
ï
ê
ï
ê
=
ï
ï
î
ë
Vậy có hai điểm cần tìm là:
(-3;4;- 6), (9;- 2;12)M M
.
0.25
0.25
0.25
0.25
9.b
Ta có
( ) ( )
( )
1 3 0
1 3 . 2 . 3 2 0
2 . 3 2 0
i z
i z i z i
i z i
+ − =
+ − − + = ⇔
− + =
3
3 3
1
2 2
3 2 3 3
1 1
2 2 2
z
z i
i
i
z z i z i
i
=
= −
+
⇔ ⇔
−
= = − − ⇔ = − +
0.25
0.75
. c
ì
- - =-
ï
- -
ï
= = Û
í
ï
- + =
ï
î
Lại có:
2 2 1
( ,( )) 1 1 2 2 1 3
3
a b c
d M Q a b c
- - +
= Û = Û - - + =
.
Ta có hệ phương trình:
- - 2 -5
3. phương trình:
- - 2 -5
3 6
2 - - 2 1 3
a b
b c
a b c
ì
ï
=
ï
ï
ï
+ =
í
ï
ï
ï
+ =
ï
î
- - 2 -5
3 6
2 - -2 2
- - 2 -5
3 6
2 - -2 -4
a b
b c
a b c
a b
b c
a