Mời các bạn cùng tham khảo Bài giảng Chương 1 và 2: Toán thống kê xã hội học sau đây để củng cố và ôn tập kiến thức về môn Toán. Giúp các bạn tiếp cận được lý thuyết cũng như làm quen với các dạng bài tập về giới hạn và hàm liên tục và phép tính vi phân hàm một biến. Hi vọng với tài liệu này, các bạn sẽ học tập tốt hơn và đạt thành tích cao trong học tập nhé.
lOMoARcPSD|16911414 Mục lục Giới hạn hàm hàm liên tục 1.1 Dãy số giới hạn dãy số 1.2 Giới hạn hàm số 1.3 Hàm số liên tục Phép tính vi phân hàm biến 2.1 Đạo hàm vi phân cấp 2.2 Các định lý hàm khả vi 2.3 Đạo hàm vi phân cấp cao 2.4 Công thức Taylor 2.5 Một số ứng dụng phép tính vi phân 3 17 17 20 21 22 23 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Chương Giới hạn hàm hàm liên tục Phép tính vi tích phân (cịn gọi Calculus) nghiên cứu thay đổi vật thể theo thời gian, nghiên cứu q trình dãy đại lượng tiệm cận tới đại lượng khác Mục đích cố gắng tiếp cận đại lượng chưa biết dãy đại lượng đơn giản mà ta biết rõ từ trước Để từ rút thơng tin quan trọng đại lượng chưa biết Để thấy điều nói sơ qua số tốn giải theo cách 1.Tính diện tích hình trịn đơn vị: Giả sử ta phải tính diện tích hình trịn đơn vị (hình trịn có bán kính 1) Bằng cách nội tiếp hình trịn dãy đa giác n cạnh với n ngày lớn Bằng số kỹ thuật tính tốn học sau ta thấy diện tích đa giác tiệm cận tới π Một cách tự nhiên ta thừa nhận π diện tích hình trịn Vẽ tiếp tuyến điểm đồ thị hàm số: Giả sử mặt phẳng Oxy có đồ thị hàm số y = x2 Cho trước điểm a = (1, 1) nằm đồ thị Vấn đề đặt vẽ đường thẳng qua điểm a tiếp xúc đồ thị điểm a Cách tự nhiên ta xét dãy điểm an nằm đồ thị ngày cáng sát lại điểm a Qua a an có đường thẳng chạy qua Ta coi tiếp tuyến cần tìm "giới hạn" đường thẳng Chúng ta bắt đầu với khái niệm liên quan tới dãy số sau tiếp cận đối tượng trung tâm môn học hàm số giới hạn hàm 1.1 Dãy số giới hạn dãy số Khái niệm dãy số làm quen với khía cạnh dãy số dùng để mô tả dáng điệu phần tử "điểm xa vô tận" 1.1.1 Định nghĩa dãy số: Dãy số qui tắc ứng số tự nhiên Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 với số thực Nếu viết xác dãy số tậ hợp có dạng a1 , a2 , , an , , hay viết {an }n≥1 Khái niệm quan trọng gắn liền với dãy số giới hạn dãy số 1.1.2 Định nghĩa giới hạn Dãy số a1 , a2 , , an , gọi hội tụ tới giới hạn l với ε > tồn N cho |an − l| < ε với n > N Điều có nghĩa với đoạn thẳng cho trước chứa a đến lúc đó, tồn dãy số rơi vào đoạn thẳng Trong trường hợp ta viết an → a hay đầy đủ lim an = a n→∞ Đương nhiên có dãy số khơng hội tụ chẳng hạn an = n lẻ an = −1 n chẵn Hoặc đơn giản ta thấy dãy số tự nhiên an = n khơng tụ 1.1.3 Hai ví dụ quan trọng dãy số hội tụ: (a) an = n1 Khi {1, 1/2, 1/3, · · · } hội tụ n → ∞ (b) an = 21 + · · · + 21n Khi an = − 21n hội tụ n → ∞ Một vấn đề nảy sinh dãy hội tụ? Nếu dãy hội tụ tính giới hạn nào? Ta có câu trả lời cho câu hỏ dễ là: Khi dãy số không hội tụ Mệnh đề điều kiện cần cho dãy hội tụ (i) Dãy số {an } khơng hội tụ khơng bị chặn, tức với số tự nhiên N ta ln tìm phần tử am cho |am | > N (ii) Dãy số {an } không hội tụ dãy chứa hai dãy {ank } {amk } hội tụ đến hai giới hạn khác Ta thường áp dụng mệnh đề để dãy khơng hội tụ Ngồi dãy số hội tụ, ta quan tâm tới khái niệm sau: Giới hạn vơ Ta nói dãy số an có giới hạn vô (viết lim an = ∞) với số nguyên N có số M để an > N với n→∞ n ≥ M Tương tự thế, ta nói dãy số an có giới hạn âm vô (viết lim an = −∞) với số tự nhiên N có số M để an < −N với n→∞ n ≥ M Để tính giới hạn dãy số, sử dụng công thức sau đây: 1.1.4 Phép tính dãy hội tụ: Giả sử lim an = a lim bn = b Khi ta có: n→∞ n→∞ (a) lim (an + bn ) = a + b; n→∞ (b) lim (an − bn ) = a − b; n→∞ Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 (c) lim (an bn ) = ab n→∞ (d) lim an /bn = a/b, b = n→∞ Để hiểu khái niệm giới hạn chứng minh khẳng định nói Chẳng hạn với (a), lấy ε > số tùy ý (ln hình dung bé) Khi cách áp dụng đinh nghĩa giới hạn cho ε/2, ta tìm N M cho |an − a| < ε/2 ∀n > N, |bn − b| < ε/2 ∀n > M Vậy n > max(N, M ) |(an + bn ) − (a + b)| ≤ |an − a| + |bn − b| ≤ ε Bằng cách quan niệm max(N, M ) N định nghĩa 1.2 ta có điều phải chứng minh (a) Một phương pháp khác hay sử dụng để tính giới hạn dãy số phương pháp kẹp 1.1.5 Phương pháp kẹp Cho an , bn cn dãy số thỏa mãn an ≤ bn ≤ cn Giả sử lim an = lim cn = l Khi lim bn = l n→∞ n→∞ n→∞ Chứng minh kết dựa vào định nghĩa giới hạn bất đẳng thức |bn − l| ≤ |an − l| + |cn − l| ∀n ≥ Ví dụ áp dụng: lim n+1 n→∞ n +1 = 1.1.6 Hội tụ dãy đơn điệu Một dãy số nói chung đơn điệu tăng đơn điệu giảm Tuy nhiên dãy số đơn điệu ta nói dãy số đa "hầu như" hội tụ Điều thể qua kết sâu sắc sau mà chứng minh ta bỏ qua động chạm đến chất số thực 1.1.7 Định lý hội tụ dãy đơn điệu (i) Cho {an } dãy đơn điệu tăng (tức a1 ≤ a2 ≤ · · · ) bị chặn (tức có số tự nhiên N thỏa mãn an ≤ N với n) Khi tồn giới hạn l := lim an Ta viết an ↑ l n→∞ (ii) Cho {an } dãy đơn điệu giảm (tức a1 ≥ a2 ≥ · · · ) bị chặn (tức có số tự nhiên N thỏa mãn an ≥ −N với n) Khi tồn giới hạn l := lim an Ta viết an ↓ l n→∞ Sử dụng định lý ta chứng minh kết kinh điển sau mà nhờ ta định nghĩa số logarit tự nhiên Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Định nghĩa số e Xét hai dãy số an := + n n , bn := + n n+1 Khi an dãy đơn điệu tăng bn đơn điểu giảm Hơn an bn bị chặn (tương ứng chặn dưới) Theo định lý trên, dãy số hội tụ giới hạn ta ký hiệu giới hạn e Người ta chứng minh e = 2, 718281828 · · · số vô tỷ Cùng với số π hai số quan trọng toán học Tuy nhiên khác với số π định nghĩa cách hình học nửa chu vi đường trịn bán kính ta định nghĩa e nhờ giới hạn dãy số Điều phần nói lên tầm quan trọng khái niệm giới hạn 1.2 Giới hạn hàm số Đối tượng quan trọng chương khái niệm "hàm số" Để hiểu hàm số ta lấy hai ví dụ bản: Diện tích hình trịn bán kính r πr2 Như diện tích hàm số biến số bán kính theo nghĩa cho trước bán kính ta tính diện tích Dân số thành phố hàm số theo biến số thời gian Ta có định nghĩa xác sau 1.2.1 Định nghĩa hàm số Cho A tập hợp số thực (ví dụ số thực khoảng mở (0, 1) hay đoạn đóng [0, 1]) Một hàm số f xác định A qui tắc cho ứng x ∈ A với số f (x) Ta gọi f hàm số biến số x Khái niệm quan trọng gắn liền hàm số giới hạn hàm số 1.2.2 Định nghĩa giới hạn hàm số Cho f hàm số xác định tập A (i) Ta nói hàm số f có giới hạn l biến số x tiến tới giá trị a điều sau đúng: Với ε > ta tìm δ > cho |x − a| < δ, x ∈ A ⇒ |f (x) − l| < ε Trong trường hợp này, ta viết f (x) → l x → a lim f (x) = l x→a (ii) Ta nói hàm số f có giới hạn trái l biến số x tiến tới giá trị a điều sau đúng: Với ε > ta tìm δ > cho a − δ < x < a, x ∈ A ⇒ |f (x) − l| < ε Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Trong trường hợp này, ta viết f (x) → l x → a − lim f (x) = l x→a−0 (iii) Ta nói hàm số f có giới hạn phải l biến số x tiến tới giá trị a điều sau đúng: Với ε > ta tìm δ > cho a < x < a + δ, x ∈ A ⇒ |f (x) − l| < ε Trong trường hợp này, ta viết f (x) → l x → a + lim f (x) = l x→a+0 (iv) Ta nói hàm f có giới hạn ∞ l biến số x tiến tới ∞ điều sau đúng: Với ε > ta tìm số M > cho x > M, x ∈ A ⇒ |f (x) − l| < ε (v) Ta nói hàm f có giới hạn ∞ l biến số x tiến tới −∞ điều sau đúng: Với ε > ta tìm số M > cho x < −M, x ∈ A ⇒ |f (x) − l| < ε Ta có ý đơn giản quan trọng sau lim f (x) = l ⇔ lim f (x) = lim f (x) = l x→a x→a−0 x→a+0 Để liên hệ với hội tụ dãy số, đưa vào định nghĩa tương đương sau giới hạn hàm: lim f (x) = l với dãy số xn → a, xn ∈ A có x→a f (xn ) → l Ta có ví dụ đơn giản sau giới hạn hàm Ví dụ (i) lim x2 = a2 Điều chứng minh cách sử dụng định nghĩa x→a giới hạn qua ngôn ngữ dãy (ii) lim 1/x = x→∞ Các ví dụ kiểm chứng cách sử dụng định nghĩa giới hạn qua ngôn ngữ dãy 1.2.3 Các phép toán giới hạn hàm Cho hàm f, g xác định tập hợp A (ta nghĩ A khoảng mở hay đoạn thẳng đóng) Giả sử f, g có giới hạn x → a ∈ A Khi ta có: (i) lim (f + g)(x) = lim f (x) + lim g(x); x→a x→a x→a (ii) lim (f.g)(x) = lim f (x) lim g(x); x→a (ii) lim ( f )(x) x→a g = x→a lim f (x) x→a lim g(x) x→a , vế phải có nghĩa x→a Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 1.3 Hàm số liên tục Một loại hàm quan trọng mà hay gặp thực tế hàm liên tục Ta cần hàm để mô tả chuyển động vật thể (xe máy, người bộ, ) hay đường cong ta vẽ giấy Định nghĩa xác được đưa sau: Định nghĩa hàm liên tục Ta nói hàm số f xác định tập A liên tục a ∈ A lim f (x) = f (a) x→a Hay nói cách khác, giới hạn trái giới hạn phải f x = a f (a) Khi f liên tục điểm A ta nói f liên tục A Ví dụ f (x) = x < f (x) = x x ≥ hàm liên tục tồn tập xác định R Điều khiến hàm liên tục trở nên quan trọng? Thứ hàm liên tục có tính phổ qt (nó bao hàm tất loại hàm mà ta học từ trước đến giờ) ngồi cịn có hàm xác định ví dụ Thứ hai hàm liên tục có nhiều tính chất quan trọng nhà toán học khám phá từ kỷ 19 Chúng ta điểm qua ba định lý quan trọng loại hàm Do cách chứng minh phải sử dụng só kiến thức sâu tồn dãy hội tụ dãy bị chặn sử dụng tính đày R nên không sâu vào chi tiết Định lý Weierstrass tồn cực trị hàm liên tục Cho f hàm số liên tục [a, b] Khi hàm f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ [a, b] Định lý Cantor tính liên tục hàm liên tục Cho f hàm số liên tục [a, b] Khi hàm f liên tục theo nghĩa sau đây: ∀ε > 0, ∃δ > cho |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε Định lý Bolzano giá trị trung gian hàm liên tục Cho f hàm số liên tục [a, b] i) Nếu f (a)f (b) < tồn điểm c ∈ (a, b) cho f (c) = ii) Với λ nằm f (a) f (b), tồn c ∈ [a, b] cho f (c) = λ Ta có số ý liên quan tới định lý kinh điển nói trên: Định lý Weierstrass Định lý Cantor cho hàm liên tục đoạn thẳng đóng Ta lấy ví dụ hàm f (x) = 1/x không đạt cực đại, cực tiểu (0, 1) không liên tục (0, 1) Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Sử dụng định lý Bolzano ta chứng minh đa thức bậc (hay tổng quát bậc lẻ) có nghiệm thực Định lý Cantor sử dụng sau để chứng minh kết tính khả tích hàm liên tục đoạn thẳng đóng Định lý Weierstrass cho sở để giải toán tìm giá trị lớn hay nhỏ đa thức đoạn thẳng đóng Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Bài tập Chương 1 Tính giới hạn dãy sau √ n+ n √ b) xn = 2n + 3 n √ d) xn = n − n3 − 3n2 n2 + n − a) xn = 2n + 2n + √ c) xn = n2 + 3n − n 2.3n − 4n e) xn = 2n+1 − 2n + + 22 + · · · + n f ) xn = + + 32 + · · · + n Tính giới hạn sau (bằng cách dùng nguyên lý kẹp) n + cos n2 n→∞ n + sin n sin n + cos n n→∞ n b) lim a) lim c) lim n→∞ √ n2 +1 +√ n2 +2 + ··· + √ +n n2 a) Dùng đẳng thức (x + 1)n = xn + Cn1 xn−1 + · · · + Cnn−1 x + Cnn để chứng tỏ n(n − 1) (x + 1)n > x , ∀n 2, x > b) Dùng (a) nguyên lý kẹp để chứng minh rằng, với a > 1, ta có n2 lim = n→∞ an n =0 lim n→∞ an Chứng minh dãy sau đơn điệu tăng bị chặn (từ suy dãy hội tụ) 1 1 a) xn = + + + · · · + ; n 1 1 b) xn = + + + + · · · + 1! 2! 3! n! Cho dãy {xn } cho công thức quy nạp x1 = √ 2, xn+1 = √ + xn , n a) Chứng minh dãy {xn } bị chặn 2; b) Chứng minh dãy {xn } đơn điệu tăng; c) Tìm limn→∞ xn 10 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Cho x → sử dụng phương pháp kẹp ta có điều phải chứng minh Đối với (v) phép chứng minh cịn khó khăn Cũng trên, ta cần chứng minh đạo hàm ex Theo định nghĩa đạo hàm điều tương đương với chứng minh ex − = x→0 x lim Muốn vậy, lấy dãy xn → tùy ý, ta chứng minh exn − lim = n→∞ xn Không giảm tổng quát ta coi xn > Thế với n có N để 1 ≤ xn < N +1 N Điều dẫn đến e N +1 − 1 N e xn − eN − ≤ ≤ xn N +1 Cho N → ∞ sử dụng định nghĩa e với tiêu chuẩn kẹp có điều phải chứng minh Sau ta thấy hàm số ex hàm khả vi mà đạo hàm lên không làm bị thay đổi 2.1.4 Vi phân hàm biến Cho f hàm số xác định (a, b) Giả sử f khả vi x0 ∈ (a, b) Khi vi phân f x0 biểu thức có dạng df (x0 )(h) = f ′ (x0 )h h số thực (ta hiểu h bé) Tương tự vậy, f khả vi (a, b) vi phân f (a, b) biểu thức df (x) = f ′ (x)dx Ta hiểu vi phân f x0 xấp xỉ tuyến tính tốt f (x0 + h) − f (x0 ) h đủ bé Điều có sở, theo định nghĩa đạo hàm ta có f (x0 + h) − f (x0 ) = f ′ (x0 )h + o(h) = df (x0 )(h) + o(h) 19 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Tính chất bất biến vi phân Giả sử f hàm khả vi biến số x x lại hàm khả vi biến số t Khi f đương nhiên coi hàm khả vi biến số t, t → f ◦ x(t) Ta có theo định nghĩa vi phân theo qui tắc dây chuyền d(f ◦ ϕ)(t) = f ′ (ϕ(t))∆′ (t)dt = f ′ (ϕ(t))dϕ(t) = f ′ (x)dx = df (x) Điều có nghĩa vi phân lấy theo biến t (mới) hay biến x cũa hàm f Đây tính chất hay vi phân mà đạo hàm khơng có 2.2 Các định lý hàm khả vi Định lý Fermat cực trị địa phương Nếu f hàm khả vi (a, b) x0 điểm cực trị địa phương hàm f , tức có khoảng mở (x0 − δ, x0 + δ) cho f (x0 ) giá trị lớn nhỏ hàm f khoảng mở Khi ta có f ′ (x0 ) = Chứng minh Phép chứng minh đơn giản ta nắm vững khái niệm giới hạn hàm số học phần trước Ta cần xét trường hợp f (x0 ) giá trị nhỏ f rên khoảng (x0 − δ, x0 + δ) Khi theo định nghĩa đạo hàm có f (x0 + h) − f (x0 ) ≥ h→0+ h f ′ (x0 ) = lim Tương tự f (x0 + h) − f (x0 ) ≤ h→0− h f ′ (x0 ) = lim Kết hợp lại ta có điều phải chứng minh Ta xét vấn đề tìm cực trị toàn cục hàm liên tục f [a, b] khả vi khoảng mở (a, b) Phương pháp làm tìm tất điểm cực trị địa phương f với hai giá trị f (a), f (b) sau tìm cực trị tất cực trị địa phương Định lý Fermat điểm xuất phát cho tất định lý quan trọng hàm khả vi Ta bắt đầu định lý thú vị sau tồn điểm mà đạo hàm triệt tiêu Chú ý chứng minh định lý cần sử dụng hai định lý quan trọng Định lý Weierstrass tồn cực trị toàn cục hàm liên tục định lý Fermat cực trị địa phương nói 20 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 2.2.1 Định lý Rolle tồn điểm dừng hàm khả vi Cho f hàm liên tục [a, b] khả vi (a, b) Giả sử f (a) = f (b) Khi tồn c ∈ (a, b) cho f ′ (c) = Định lý quan trọng mục này, đóng vai trị then chốt nhiều tốn hàm khả vi định lý sau đây: 2.2.2 Định lý Lagrange giá trị trung bình hàm khả vi Cho f hàm liên tục [a, b] khả vi (a, b) Khi tồn giá trị c ∈ (a, b) cho f (a) − f (b) f ′ (c) = a−b Ý nghĩa định lý nói ta ln tìm điểm đồ thị để tiếp tuyến song song với đường thằng nối điểm đầu (a, f (a)) điểm cuối (b, f (b)) Hơn cho thấy rõ mối liên hệ mật thiết hàm số liên tục đạo hàm Sử dụng định lý ta chứng minh f ′ = f phải hàm Có vẻ khơng có chứng minh dễ khẳng định Chứng minh định lý Lagrange giá trị trung bình dựa vào định lý Rolle Ta việc xét hàm g(x) = f (x) − f (b) − f (a) (x − a), a ≤ x ≤ b b−a Khi g hàm liên tục [a, b] thỏa mãn g ′ (x) = f ′ (x) − f (b) − f (a) b−a Chú ý g(a) = g(b) = f (a) nên ta áp dụng định lý Rolle để kết thúc chứng minh 2.3 Đạo hàm vi phân cấp cao Đạo hàm cấp từ trở lên (nếu tồn tại) hiểu đạo hàm cấp cao hàm số f Ta hiểu đạo hàm cấp cao định nghĩa thông qua đạo hàm (cấp một) theo cách sau: f ′′ := (f ′ )′ , f ′′′ := (f ′′ )′ , · · · , f (n) := (f n−1 )′ Vi phân cấp cao định nghĩa thông qua đạo hàm cấp cao cách sau dn f (x0 )(h) := f (n) (x0 )hn , dn f (x) := f (n) (x)dn x 21 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Các hàm ta gặp chương trình phổ thơng nói chung có đạo hàm cấp cao tùy ý miền xác định chúng Ta kiểm tra điều với hàm mục 2.1.3 2.4 Cơng thức Taylor Vai trị quan trọng đạo hàm cấp cao thể công thức Taylor xấp xỉ gần hàm khả vi f đa thức xác định thông qua đạo hàm cấp cao f điểm cho trước 2.4.1 Định lý khai triển Taylor Cho f hàm khả vi cấp n x0 ∈ (a, b) Xác định đa thức Taylor bậc n f x0 công thức Tn (f, x0 , h) := f (x0 ) + f ′ (x0 )h + f ′′ (x0 ) f (n) (x0 ) n h + ··· + h 2! n! Khi ta viết f (x0 + h) = Tn (f, x0 , h) + o(hn ) Điều có nghĩa f (x0 + h) − Tn (f, x0 , h) = h→0 hn lim Thay chứng minh định lý có số ý sau đây: (i) Giả thiết f có đạo hàm cấp n x0 nhìn thật đơn giản bao hàm ý f có đạo hàm tới cấp (n − 1) khoảng mở chứa x0 (ii) Khi n = định lý Taylor định nghĩa đạo hàm f ′ (x0 ) (iii) Chứng minh định lý Taylor sử dụng định lý Lagrange giá trị trung bình áp dụng tới hàm thích hợp 2.4.2 Cơng thức Taylor số hàm (i) sin x = x − x3! + o(x3 ) (ii) cos x = − x2! + x4! + o(x4 ) (iii) ex = + x + x2! + o(x2 ) (iv) ln(1 + x) = − x + x2 + o(x2 ) 22 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 2.5 Một số ứng dụng phép tính vi phân Ta biết số ứng dụng phép tính vi phân như: (i) Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong: Nếu hàm số y = f (x) khả vi x = x0 đường tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y = f (x) điểm (x0 , f (x0 )) có phương trình y − y0 = f ′ (x0 )(x − x0 ) (ii) Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khả vi khoảng mở (a, b) liên tục [a, b] Bây giới thiệu thêm ứng dụng khử dạng bất định giới hạn Qui tắc L’Hospital để tính giới hạn Cho f, g hàm khả vi (a, b) x0 ∈ (a, b) thỏa mãn f (x0 ) = g(x0 ) = Giả sử tồn giới hạn hàm lim f ′ (x) = l g ′ (x) lim f (x) = l g(x) x→x0 Khi x→x0 23 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Bài tập Chương a) Cho hàm f (x) = √ xg(x) với g(4) = 8, g ′ (4) = Tìm f ′ (4); g(x) b) Cho hàm f (x) = với g(2) = g ′ (2) = −3 Tìm f ′ (2) x Tình đạo hàm hàm số sau a) y = x+ √ x b) y = 10 (1 − x)4 (1 + x)6 c) y = + x3 − x3 sin x − x cos x d) y = tan2 (x)−cot2 x e) y = sin3 x cos 3x f) y = cos x + x sin x √ x h) y = e ln(sin x) i) y = xx g) y = ln(x + x + 1) Cho hàm số f (x) = x|x| với x ∈ R a) Tính đạo hàm f ′ (x) với x = 0; b) Dùng định nghĩa đạo hàm để tính f ′ (0); c) Hàm f ′ (x) có liên tục R không? Cho hàm số xn sin fn (x) = x 0 x = 0; x = a) Chứng minh hàm f1 (x) liên tục R, không khả vi x = 0; b) Chứng minh hàm f2 (x) khả vi R tính f2′ (x); c) Chứng minh f2′ (x) khơng liên tục x = Từ suy f2 có đạo hàm cấp R, khơng có đạo hàm cấp x = √ Cho hàm số f (x) = x với x ∈ R a) Dùng định nghĩa đạo hàm để chứng minh f không khả vi x = 0; √ b) Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ điểm A(a, a) với a = Nhận xét vị trí đường thẳng a → Cho hàm số −1 − 2x x < −1 f (x) = x2 − x x x > 1 Tính đạo hàm hàm f (x) Vẽ đồ thị f (x) f ′ (x) (tại điểm đạo hàm tồn tại) 24 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Tìm số thực a, b để hàm số sau có đạo hàm R f (x) = x2 x ax + b x > Nêu ý nghĩa hình học kết tìm Tìm đạo hàm phải đạo hàm trái hàm số sau x = a) f (x) = |x| sin(x2 ) b) f (x) = Vị trí vật chuyển động đường thẳng (với gốc hướng cho) cho phương trình s = f (t) = t3 − 6t2 + 9t, t 0, t đơn vị giây, s đơn vị mét a) Tìm vận tốc vật theo thời gian t; b) Tìm vận tốc vật thời điểm s, s; c) Tại thời điểm vận tốc tức thời vật 0? d) Khi vật chuyển động hướng phía trước (chuyển động theo hướng dương)? Khi vật chuyển động hướng phía sau? 10 Đối với kim loại đồng đồng hình dạng (hình dạng chỗ theo chiều dài giống nhau), ta gọi khối lượng dài (linear density) khối lượng (theo kg) kim loại đơn vị độ dài (theo m) Giả sử ta có kim loại khơng đồng nhất, đồng hình dạng Giả sử khối lượng phần kim loại tính từ đầu bên trái (coi điểm gốc) đến điểm cách đầu bên trái khoảng x mét m = f (x) với x > a) Tính khối lượng dài trung bình phần kim loại nằm x = x1 x = x2 (x1 < x2 ) Từ tính khối lượng dài x1 ; √ b) Áp dụng (a) cho kim loại ứng với m = f (x) = x i) Tính khối lượng dài trung bình phần kim loại ứng với x = x = 1.21; ii) Tính khối lượng dài x = 1, x = 1.21 11 Xét phản ứng hóa học tạo chất C từ hai chất A B A + B → C 25 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Giả sử nồng độ hai chất A B [A] = [B] = a (mol/l) Khi nồng độ C theo thời gian cho công thức [C] = a2 Kt (mol/l), aKt + K số a) Tìm tốc độ phản ứng thời điểm t; b) Chứng minh x = [C] dx = K(a − x)2 dt c) Chuyện xảy với nồng độ chất t → ∞? d) Chuyện xảy với tốc độ phản ứng t → ∞? 12 Một quần thể vi khuẩn ban đầu có triệu số lượng quần thể tăng gấp đơi vịng Khi số lượng cá thể thời điểm t > n = f (t) = 106 2t với t đơn vị a) Tính số lượng vi khuẩn vịng giờ, b) Tính tốc độ tăng trưởng quần thể vi khuẩn sau (tức thời điểm t = giờ) 13 Khơng khí bơm vào bóng hình cầu cho thể tích bóng tăng 100 cm3 /s Hỏi tốc độ tăng bán kính bóng đường kính 50 cm? 14 Chứng minh hàm số y = aeαx + beβx , với a, b, α, β số thực, thỏa mãn phương trình y ′′ − (α + β)y ′ + αβy = 15 Chứng minh hàm hàm y = e−αx (a sin ωx + b cos ωx), với a, b, α, ω, số thực thỏa mãn phương trình y ′′ + 2αy ′ + (α2 + ω )y = 16 Tìm đạo hàm cấp n hàm số sau a) y = (c = 0) cx + d d) y = x − 3x + g) y = sin(2x) ax + b (c = 0) cx + d √ e) y = 3x − b) y = h) y = sin2 x c) y = ln(2x+1) f ) y = eax i) y = sin x sin 3x 26 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 17 Công thức Leibniz: Nếu f g khả vi (a, b) f (x)g(x) (n) n Cnk f (k) (x)g (n−k) (x), = x ∈ (a, b) k=0 f (0) (x) = f (x) g (0) (x) = g(x) Dùng công thứ Leibniz để tính đạo hàm cấp 10 hàm sau y = x3 e x y = x2 cos 2x 18 Vị trí vật chuyển động đường thẳng (với gốc hướng cho) cho phương trình s = f (t) = t3 − 6t2 + 9t, t 0, t đơn vị giây, s đơn vị mét a) Tìm gia tốc vật thời điểm t; b) Khi vật chuyển động nhanh dần? c) Vẽ đồ thị biểu thị vị trí, vận tốc, gia tốc vật hệ tọa độ ứng với t 19 Tìm cực trị hàm số sau a) f (x) = sin 2x − sin x với < x < 2π; b) f (x) = x3 ; c) f (x) = |x2 − 1| 20 Từ 0o đến 30o , thể tích V kg nước (tính theo cm3 ) nhiệt độ T tính gần công thức V = 999.87 − 0.06426T + 0.0085043T − 0.0000679T Tìm nhiệt độ mà thể tích nước nhỏ 21 Cho hàm f liên tục [0, 2], khả vi (0, 2) thỏa mãn f (0) = 0, f (1) = f (2) = Chứng minh tồn c ∈ (0, 2) cho f ′ (c) = 22 Cho hàm f (x) liên tục [0, 1], khả vi (0, 1) thỏa mãn f (0) = 0, f (1) = Chứng minh tồn c ∈ (0, 1) cho f ′ (c) = 2020c2019 23 Cho hàm f (x) liên tục [a, b], khả vi (a, b) thỏa mãn f (a) = f (b) = Chứng minh tồn c ∈ (a, b) để f ′ (c) + 2f (c) = 27 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 24 Cho hàm f khả vi R thỏa mãn f (0) = −3 f ′ (x) x ∈ R Tìm giá trị lớn f (2) với 25 Dùng Định lý Lagrange để chứng minh bất đẳng thức sau a) | sin a − sin b| |a − b| với a, b ∈ R; b b) < ln < với < a < b b a a 26 Viết khai triển Taylor hàm sau x = a) f (x) = sin 3x đến số hạng x3 ; b) f (x) = cos2 x đến số hạng x4 ; c) f (x) = e√x+x đến số hạng x2 ; d) f (x) = + x đến số hạng x2 27 Tìm số thực a b để limx→0 sin 2x b +a+ x x = √ 28 Viết√ phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = − x2 điểm (a, − a2 ) với −1 < a < Nhận xét vị trí tiếp tuyến a → 1− 29 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau a) y = 3x4 − 16x3 + 18x2 c) y = x2 x2 − b) y = xex d) y = √ x2 x+1 30 Dùng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn sau ex − x − ln x x − sin x b) lim f ) lim α (α > 0) a) lim x→0 x→∞ x→0 x x x xn g) lim x (n ∈ N∗ , a > 1) c) lim xα ln x (α > 0) x→∞ a x→0 1 h) lim x 1−x − d) lim− ln x ln(1−x) e) lim x→0 sin x x→1 x→1 tan x √ sin x x2 i) lim x x k) lim+ x x j) lim x→∞ x→0 x→0 x 31 Chứng minh hàm số f (x) = e−1/x x = x = khả vi R 28 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Lời giải số tốn √ Phương trình đường thằng x− a2 y = Khi a → đường thằng "hội √ tụ" tới đường thẳng x = Đó tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x Đáp số f (x) = 4x − Đường thẳng y = 4x − tiếp tuyến đồ thị hàm số (2; 4) a) Vận tốc đạo hàm quãng đường theo thời gian Suy v(t) = ds = 3t2 − 12t + dt b) Tại t = s ta có v(2) = −3 (m/s) t = s ta có v(4) = (m/s) c) Vân tốc tức thời có nghĩa v(t) = ⇔ 3t2 − 12t + = ⇔ t = 1, t = Vậy vận tốc tức thời thời điểm s s d)Vật chuyển động hướng phía trước v(t) > ⇔ 3t2 − 12t + > ⇔ < t < 1, t > Vật chuyển động hướng phía sau v(t) < ta tìm < t < 10 a) Khối lượng phần kim loại nằm x = x1 x = x2 ∆m = f (x2 ) − f (x1 ) Nên khối lượng dài trung bình (average density) cho f (x2 ) − f (x1 ) ∆m = ∆x x2 − x1 Cho x2 → x1 tức ∆x → 0, khối lượng dài trung bình dần tới khối lượng dài x1 ∆m = f ′ (x1 ) ρ(x1 ) = lim ∆x→0 ∆x b) Khối lượng dài trung bình cần tìm √ f (1.21) − f (1) ∆m 1.21 − = = ≈ 0.476 (kg/m) ∆x 1.21 − 0.21 Khối lượng dài x = 1, x = 1.21 tương ứng ρ(1) = f ′ (1) = 0.5 (kg/m), ρ(1.21) = f ′ (1, 21) = ≈ 0.455 (kg/m) 2.2 29 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 11 a) Xét thay đổi nồng độ C khoảng thời gian từ t1 đến t2 : ∆[C] = [C](t2 ) − [C](t1 ) Tốc độ phản ứng trung bình ∆[C] [C](t2 ) − [C](t1 ) = ∆t t2 − t1 Tốc độ phản ứng t = t1 [C](t2 ) − [C](t1 ) d[C] = lim ∆t→0 dt t2 − t1 Do tốc độ phản ứng d[C] a2 K a2 K(aKt + 1) − a2 Kt.aK = = dt (aKt + 1)2 (aKt + 1)2 b) Theo tính tốn (a) ta có có dx a2 K Mặt khác, từ định nghĩa ta = dt (aKt + 1)2 a2 Kt K(a − x) = K a − aKt + 2 Ka2 = (aKt + 1)2 Nên ta có đẳng thức c) Hiển nhiên a2 Kt = a (mol/l) t→∞ t→∞ aKt + a2 Kt lim [A] = lim [B] = lim a − = (mol/l) t→∞ t→∞ t→∞ aKt + Vậy nồng độ C dần tới a (mol/l), nồng độ [A] [B] dần tới (mol/l) d) Ta có a2 K dx = = lim lim t→∞ (aKt + 1)2 t→∞ dt lim [C] = lim Vậy tốc độ phản ứng dần tới 12 Ta thấy độ tăng trưởng trung bình hai thời điểm t1 t2 f (t2 ) − f (t1 ) ∆n = ∆t t2 − t1 Nên tốc độ tăng trưởng thời điểm t1 f (t2 ) − f (t1 ) ∆n = lim = f ′ (t1 ) ∆t→0 ∆t→0 ∆t t2 − t1 lim 30 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Cho nên tốc độ tăng trưởng t = f ′ (6) = 106 26 ln ≈ 44361419 dV dr 13 Ta biết = 100 cm3 /s cần tìm r = 25 cm Do V = πr3 dt dt nên dV dr dr dr dV dV = = 4πr2 ⇒ = dt dr dt dt dt 4πr2 dt dV dr Khi = 100 r = 25 ta có = dt dt 25π 18 a) Đạo hàm hàm vị trí hàm biểu thị vận tốc, đạo hàm vận tốc gia tốc Nên vận tốc giá tốc thứ tự v(t) = 3t2 − 12t + 9, a(t) = 6t − 12 b) Vật chuyển động nhanh dần vận tốc gia tốc âm hay dương (khi hai đại lượng dương chúng chuyển động nhanh dần phía chiều dương, hai đại lượng âm chúng chuyển động nhanh dần phía chiều âm) Vậy ta cần tìm t cho (3t2 − 12t + 9)(6t − 12) > ⇔ < t < 2, t > 19 a) Hàm đạt cực trị x = 2π/3 x = 4π/3; b) Hàm khơng có cực trị x = đạo hàm triệu tiêu (nhưng khơng đổi dấu); c) Hàm có cực trị x = 0, x = ±1 20 Ta có V ′ (T ) = −0.06426 + 0.0170086T − 0.0002037T = T ≈ 3.9665o (chú ý 0o V (0) = 999.87, T 30o ) Ta tính V (30) ≈ 1003.7641, V (3.9665) ≈ 999.7447 Cho nên T = 3.9665o , thể tích kg nước nhỏ 21 Hàm f đạt giá trị lớn x = c với c ∈ [0, 2] Do f (c) f (1) = nên c khác Cho nên c điểm cực đại f Định lý Fermat kéo theo f ′ (c) = 22 Chỉ cần áp dụng Định lý Rolle cho hàm g(x) = f (x) − x2020 23 Chỉ cần áp dụng Định lý Rolle cho hàm g(x) = f (x)e2x 24 Theo Định lý Lagrange ta có f (2) − f (0) = f ′ (c)(2 − 0) c ∈ (0, 2) 31 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Do f ′ (c) nên f (2) = f (0)+2f ′ (c) −3+2.5 = Chọn hàm f (x) = 5x−3 dấu đạt Nên giá trị lớn f (2) 25 Chỉ cần áp dụng Định lý Lagrange cho hàm f (x) = sin x g(x) = ln x [a, b] 27 Ta có (2x)3 4x3 sin 2x = 2x − + o(x3 ) = 2x − + o(x3 ) 3! Cho nên sin 2x = − + + o(1) x x Cho nên ta phải chọn a = 4/3 b = −2 √ −x 28 Ta có y ′ = √ Nên phương trình tiếp tuyến (a, − a2 ) có − x2 phương trình y=√ √ √ −a (x − a) + − a2 ⇔ ax + − a2 y = 1 − a2 Khi a → 1− tiếp tuyến "dần tới" đường thẳng x = Chú ý đồ thị hàm số nửa đường tròn đơn vị đường thẳng x = tiếp tuyến đường tròn 31 Ta cần chứng minh tồn đạo hàm x = Ta có e − h2 f (0 + h) − f (0) = h h Đặt t = 1/h |t| → ∞ h → Cho nên 1 f (0 + h) − f (0) t e − h2 lim = lim = lim t2 = lim = h→0 h h→0 |t|→∞ 2tet |t|→∞ e h Vậy f khả vi x = f ′ (0) = 32 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD|16911414 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê, Phạm Ngọc Thao, Lê Mậu Hải, Nguyễn Đình Sang, Tốn cao cấp - Tập (A1) Giải tích biến, NXB Giáo dục, 1997 [2] James Stewart, Calculus, 7th edition, Brooks/Cole, Cengage Learning, 2012 [3] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tốn học cao cấp, tập 1,2,3, NXB Giáo dục 2006 [4] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Bài tập Toán cao cấp, tập 1,2,3, NXB Giáo dục 2006 [5] Y.Y Liasko, A.C Boiatruc, I.A.G Gai, G.P Golobac, Giải tích tốn học, ví dụ tốn (tập 1, 2), NXB Đại học THCN, 1978 33 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) ... cần tìm √ f (1. 21) − f (1) ∆m 1. 21 − = = ≈ 0.476 (kg/m) ∆x 1. 21 − 0. 21 Khối lượng dài x = 1, x = 1. 21 tương ứng ρ (1) = f ′ (1) = 0.5 (kg/m), ρ (1. 21) = f ′ (1, 21) = ≈ 0.455 (kg/m) 2.2 29 Downloaded... giá trị lớn R x0 15 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD |16 911 414 16 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com) lOMoARcPSD |16 911 414 Chương Phép tính vi... lOMoARcPSD |16 911 414 11 a) Xét thay đổi nồng độ C khoảng thời gian từ t1 đến t2 : ∆[C] = [C](t2 ) − [C](t1 ) Tốc độ phản ứng trung bình ∆[C] [C](t2 ) − [C](t1 ) = ∆t t2 − t1 Tốc độ phản ứng t = t1 [C](t2