Mời các bạn cùng tham khảo Bài giảng Chương 1 và 2: Toán thống kê xã hội học sau đây để củng cố và ôn tập kiến thức về môn Toán. Giúp các bạn tiếp cận được lý thuyết cũng như làm quen với các dạng bài tập về giới hạn và hàm liên tục và phép tính vi phân hàm một biến. Hi vọng với tài liệu này, các bạn sẽ học tập tốt hơn và đạt thành tích cao trong học tập nhé.
Dãy số và giới hạn dãy số
Dãy số không phải là khái niệm mới, nhưng bài viết này sẽ giới thiệu một khía cạnh mới của dãy số, đó là cách mô tả dáng điệu của các phần tử tại "điểm xa vô tận".
Dãy số được định nghĩa là một quy tắc kết nối giữa các số tự nhiên và số thực Cụ thể, dãy số có dạng a1, a2, , an, và có thể được biểu diễn dưới dạng tập hợp {an}n ≥ 1.
Giới hạn của dãy số là khái niệm quan trọng nhất liên quan đến dãy số Dãy số a1, a2, , an được gọi là hội tụ tới giới hạn l nếu với mọi ε > 0, tồn tại N sao cho |an - l| < ε với mọi n > N Điều này có nghĩa là từ một điểm nhất định trở đi, tất cả các phần tử của dãy số sẽ nằm trong một khoảng gần giới hạn l.
Trong trường hợp này, ta viết giới hạn của dãy số an khi n tiến tới vô cùng là lim n →∞an=a Tuy nhiên, cũng có những dãy số không hội tụ, chẳng hạn như dãy an = 1 với n lẻ và an = −1 với n chẵn Một ví dụ đơn giản khác là dãy số tự nhiên an=n, cũng không hội tụ.
1.1.3 Hai ví dụ quan trọng về dãy số hội tụ:
(a) an = n 1 Khi đú {1,1/2,1/3,ã ã ã } hội tụ về 0khi n → ∞.
(b) an = 1 2 +ã ã ã+ 2 1 n Khi đúan= 1− 2 1 n hội tụ về 1n → ∞.
Một dãy số được coi là hội tụ khi nó tiến gần đến một giá trị nhất định khi số hạng của dãy tăng lên Để xác định tính hội tụ của dãy, ta cần xem xét các điều kiện cụ thể Ngược lại, một dãy không hội tụ sẽ không tiến gần đến bất kỳ giá trị nào, mà có thể dao động hoặc tăng giảm không ngừng.
Dãy số {an} không hội tụ nếu không bị chặn, nghĩa là với mọi số tự nhiên N, luôn tồn tại một phần tử am sao cho |am| lớn hơn N.
(ii) Dãy số {a n } không hội tụ nếu dãy này chứa hai dãy con {a n k} và {a m k} hội tụ đến hai giới hạn khác nhau.
Ta thường áp dụng mệnh đề trên để chỉ ra một dãy là không hội tụ. Ngoài dãy số hội tụ, ta cũng quan tâm tới khái niệm sau:
Dãy số an được coi là có giới hạn bằng vô cùng (viết nlim→∞an =∞) nếu với mọi số nguyên N, luôn tồn tại một chỉ số M sao cho an lớn hơn N với mọi n ≥ M.
Dãy số a_n được coi là có giới hạn bằng âm vô cùng (viết nlim→∞a_n = −∞) nếu với mọi số tự nhiên N, tồn tại một chỉ số M sao cho a_n < −N với mọi n ≥ M Để xác định giới hạn của dãy số, chúng ta cần áp dụng các công thức cơ bản liên quan.
1.1.4 Phép tính trên dãy hội tụ:
Giả sử lim n →∞an=a và lim n →∞bn=b Khi đó ta có:
Giới hạn của tỷ số hai dãy số khi n tiến tới vô cực được định nghĩa bởi lim n →∞an/bn = a/b, với điều kiện b ≠ 0 Để làm rõ khái niệm giới hạn, chúng ta có thể chứng minh một trong bốn khẳng định đã nêu Cụ thể, với khẳng định (a), hãy chọn một số ε > 0 tùy ý, tưởng tượng là rất nhỏ Áp dụng định nghĩa giới hạn cho ε/2, chúng ta sẽ tìm được các số N và M phù hợp.
Bằng cách quan niệm max(N, M) chính là N trong định nghĩa 1.2 ta có điều phải chứng minh (a).
Một phương pháp khác cũng hay được sử dụng để tính giới hạn dãy số là phương pháp kẹp giữa
1.1.5 Phương pháp kẹp giữa Cho an, bn và cn là 3 dãy số thỏa mãn a n ≤b n ≤c n Giả sử lim n →∞a n = lim n →∞c n =l Khi đó lim n →∞b n =l.
Chứng minh kết quả trên chỉ dựa vào định nghĩa của giới hạn và bất đẳng thức
Ví dụ áp dụng: lim n →∞ n+1 n 2 +1 = 0.
1.1.6 Hội tụ của dãy đơn điệu
Một dãy số hiếm khi là đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm Tuy nhiên, nếu dãy số đó đơn điệu, ta có thể khẳng định rằng nó "hầu như" hội tụ Kết quả này được thể hiện qua một định lý sâu sắc, mặc dù chứng minh sẽ được bỏ qua vì liên quan đến bản chất của số thực.
1.1.7 Định lý hội tụ của dãy đơn điệu.
Chuỗi {a_n} là một chuỗi đơn điệu tăng, nghĩa là a1 ≤ a2 ≤ ≤ a_n, và bị chặn trên, tức là tồn tại một số tự nhiên N sao cho a_n ≤ N với mọi n Khi đó, giới hạn l = lim n → ∞ a_n tồn tại, và chúng ta có thể viết a_n tiến tới l.
Chuỗi {an} là một chuỗi đơn điệu giảm, nghĩa là a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ và bị chặn dưới, tức là tồn tại một số tự nhiên N sao cho an ≥ -N với mọi n Do đó, chuỗi này có giới hạn l = lim n → ∞ an, và chúng ta ký hiệu là an ↓ l.
Sử dụng định lý trên, chúng ta có thể chứng minh kết quả kinh điển dẫn đến định nghĩa cơ số logarit tự nhiên Định nghĩa số e được xây dựng từ hai dãy số an: 1 + 1/n.
Khi dãy số an là dãy đơn điệu tăng và bn là dãy đơn điệu giảm, cả hai dãy này đều bị chặn trên và chặn dưới bởi 3 Theo định lý, các dãy số này sẽ hội tụ về cùng một giới hạn, được ký hiệu là e.
Số e, xấp xỉ bằng 2,718281828, là một số vô tỷ quan trọng trong toán học, bên cạnh số π Khác với π được định nghĩa hình học là nửa chu vi của đường tròn bán kính 1, số e chỉ có thể được định nghĩa thông qua giới hạn của một dãy số Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của khái niệm giới hạn trong toán học.
Giới hạn hàm số
Đối tượng quan trọng của chương này là khái niệm "hàm số" Để hiểu về hàm số thì ta có thể lấy hai ví dụ cơ bản:
Diện tích của hình tròn bán kính được tính bằng công thức πr², trong đó diện tích là hàm số của bán kính Điều này có nghĩa là khi biết bán kính, ta có thể dễ dàng tính toán được diện tích tương ứng của hình tròn.
2 Dân số của một thành phố cũng là một hàm số theo biến số thời gian.
Ta có định nghĩa chính xác sau đây.
Hàm số được định nghĩa là một quy tắc gán mỗi giá trị x thuộc tập hợp A, bao gồm các số thực trong một khoảng mở (0,1) hoặc đoạn đóng [0,1], với một giá trị f(x) tương ứng Trong đó, f được gọi là hàm số của biến số x.
Khái niệm quan trọng gắn liền hàm số là giới hạncủa hàm số.
1.2.2 Định nghĩa giới hạn hàm sốChof là hàm số xác định trên một tập A.
(i) Ta nói rằng hàm sốf có giới hạn bằngl khi biến số xtiến tới giá trị a nếu điều sau đây là đúng: Với mọi ε >0ta tìm được δ > 0sao cho
Trong trường hợp này, chúng ta có thể viết giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a là lim x → a f(x) = l Hàm số f được coi là có giới hạn trái bằng l khi x tiến tới giá trị a nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu a−δ < x < a và x thuộc tập A thì |f(x)−l| < ε.
Trong trường hợp này, ta có giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a từ phía trái, ký hiệu là lim x → a−0 f(x) = l Hàm số f có giới hạn bằng l khi x tiến tới giá trị a nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu a < x < a + δ và x thuộc A thì |f(x) − l| < ε.
Hàm số f(x) có giới hạn l khi x tiến tới a từ bên phải (x → a+) nếu lim x → a+ f(x) = l Ngoài ra, hàm f cũng được coi là có giới hạn bằng l tại vô cùng (∞) khi x tiến tới vô cùng, tức là với mọi ε > 0, tồn tại số M > 0 sao cho khi x > M và x thuộc A thì |f(x) - l| < ε.
(v) Ta nói hàmf có giới hạn tại ∞bằng l khi biến sốxtiến tới −∞nếu điều sau đây là đúng: Với mọi ε >0ta tìm được số M >0 sao cho x 2, x > 0. b) Dùng (a) và nguyên lý kẹp để chứng minh rằng, vớia >1, ta có nlim→∞ n a n = 0 lim n →∞ n 2 a n = 0.
4 Chứng minh các dãy sau đơn điệu tăng và bị chặn (từ đó suy ra dãy hội tụ) a)xn = 1
5 Cho dãy {xn} cho bởi công thức quy nạp x1 =√
2 +xn, n >1. a) Chứng minh dãy {xn} bị chặn trên bởi 2; b) Chứng minh dãy {x n } đơn điệu tăng; c) Tìmlimn →∞xn.
6 Chứng minh các dãy số sau không hội tụ và chỉ ra hai dãy con hội tụ của chúng a)x n = (−1) n
7 a) Chứng minh nếu limn →∞xn=ℓ thì limn →∞(xn+2−xn) = 0; b) Chứng minh dãy {sinn} không hội tụ.
8 Tính các giới hạn sau a) lim x → 2 x 2 + 2x−8 x 2 −4 b) lim x → 3
9 Tính các giới hạn sau a) lim x → 0
10 Tìm các giới hạn sau a) lim x →∞ px 2 +√
11 Tìm các giới hạn sau bằng cách sử dụng nguyên lý kẹp a) lim x → 0x 3 cos1 x b) lim x →∞ x+ 2 sin 2x 2x+ cosx+ 2
12 Trong Vật lý, dao động tắt dần được mô tả bởi hàm số f(t) = e − αt (acosωt+bsinωt), với α >0 vàa, b∈R Tìm lim t →∞f(t).
13 Đặt f(x) = sinπ x với x6= 0 Chứng minh không tồn tại lim x → 0f(x).
Trong Thuyết tương đối, khối lượng của một vật chuyển động với vận tốc v được xác định bởi công thức m = m0 / √(1 - v²/c²), trong đó m0 là khối lượng tĩnh của vật khi đứng yên và c là vận tốc ánh sáng Khi vận tốc v tiến gần đến c, khối lượng của vật sẽ tăng lên vô hạn.
15 Trong Thuyết tương đối, độ dài của vật chuyển động với vận tốc v cho bởi công thức
1−v 2 c 2 , ở đóL0 là độ dài của vật đó khi nó đứng yên, clà vận tốc ánh sáng Tìm vlim→ c − L.
16 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên miền xác định R của chúng a)f(x)
17 Xét tính liên tục của hàm Heaviside (xác định trênR)
Hàm số f(x) = [x], với x thuộc R, trong đó [x] là phần nguyên lớn nhất không vượt quá x, ví dụ như [2] = 2, [3.6] = 3, và [−1.1] = −2 Để vẽ đồ thị hàm số f(x) trong khoảng x ∈ [−3, 3], ta nhận thấy rằng đồ thị sẽ có dạng bậc thang với các điểm nhảy tại các số nguyên Đồng thời, f(x) được chứng minh là liên tục tại mọi x không thuộc Z, nhưng không liên tục tại các x thuộc Z, vì tại các điểm này, hàm số có sự thay đổi đột ngột.
19 Tìm số thựca sao cho các hàm sau liên tục trên R a)f(x)
20 Lực hấp dẫn của trái đất đối với một vật có khối lượng 1kg cách tâm trái đất một khoảng bằng r được cho bởi công thức
Hàm F(r) được xác định theo hai trường hợp: F(r) = 3 khi r < R và F(r) = GM/r² khi r > R, trong đó M là khối lượng của trái đất, R là bán kính của trái đất, và G là hằng số hấp dẫn Để xác định tính liên tục của hàm F(r) trên khoảng [0, +∞), cần xem xét các giá trị tại điểm r = R Đồng thời, cần tìm giới hạn lim r → ∞ F(r) để hiểu rõ hơn về hành vi của hàm khi r tiến tới vô cực.
21 Xét tính liên tục đều của các hàm sau trên tập đã chỉ ra a) Hàm f(x) = cosπ x trên (0,1); b) Hàm f(x) =x 2 trên R.
22 Chứng minh rằng a) Phương trình x 2 + 1 = 2 cosx có nghiệm trên (0,π
3); b) Đa thứcp(x) =x 4 −2x−2 có nghiệm trên(1,2); c) Mọi đa thức bậc lẻ đều có nghiệm thực.
23 Cho hàm liên tụcf : [0,1]→[0,1] Chứng minh tồn tạic∈[0,1]sao cho f(c) =c.
24 Cho hàm liên tụcf : [0,1]→[0,1] thỏa mãn f(0) = 0, f(1) = 1 Chứng minh tồn tạic∈(0,1) thỏa mãn f(c) = 1−c.
25 Cho f(x) là làm tuần hoàn và liên tục trên R Chứng minh f(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên R.
26 Tìm một toàn ánh f : R → R sao cho f(1) = 2, f(2) = −1, nhưng phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (1,2).
27 Cho các hàmf(x) và g(x) liên tục trên[a, b] Chứng minh rằng a) Hàm h(x) :=|f(x)| cũng liên tục trên[a, b]; b) Hai hàm M(x) := max f(x), g(x) và m(x) := min f(x), g(x) cũng liên tục trên[a, b].
28 Cho hàm f : (a, b)→(0,+∞) là hàm liên tục thỏa mãn xlim→ a + f(x) = lim x → b − f(x) = 0. a) Chứng minh hàm g(x) cho bởi g(x) (f(x) khi x6=a vàx6=b
0 khi x=a hoặcx=b. liên tục trên[a, b]; b) Hàm f đạt giá trị lớn nhất trên (a, b).
29 Cho hàm f :R→(0,+∞) là hàm liên tục thỏa mãn x →lim+ ∞f(x) = lim x →−∞f(x) = 0.
Chứng minhf đạt giá trị lớn nhất trên R.
Lời giải một số bài toán
Rõ ràng, giả sử lim n →∞sinx = ℓ, thì lim n →∞(sin(n + 1) − sin(n − 1)) = 0 Điều này dẫn đến lim n →∞cosn = 0, từ đó suy ra lim n →∞(cos(n + 1) − cos(n − 1)) = 0 Do đó, nlim→∞sinn = 0, nhưng điều này không thể xảy ra vì sin²n + cos²n = 1.
25 Giả sử hàmf tuần hoàn chu ỳ là T > 0 Ta thấy f đạt được max và min trên [0, T] Do tính tuần hoàn, đó cũng chính là max và min toàn cục củaf(x).
26 Ta có thể chọn hàm f(x) như sau f(x)
27 (b) Dùng (a) và đẳng thức sau max(α, β) = α+β+|α−β|
Hàm g(x) liên tục trên đoạn [a, b] do dễ dàng chứng minh tính liên tục tại hai đầu mút Tại điểm x0 ∈ (a, b), hàm g(x) đạt giá trị lớn nhất, cho thấy rằng f(x) cũng đạt giá trị lớn nhất tại x0.
29 Ta thấy f(0) > 0 Từ giả thiết suy ra tồn tại R > 0 sao cho 0 < f(x) < f(0) với mọi |x| > R Hàm f đạt giá trị lớn nhất trên [−R, R] tại x0 Suy ra f(x0)>f(x), ∀x∈[−R, R] và f(x0)>f(0) > f(x), ∀|x|> R.
Suy ra f(x) đạt giá trị lớn nhất trên R tại x 0
Phép tính vi phân hàm một biến
Trong Chương 1, chúng ta đã tìm hiểu về hàm liên tục và các tính chất cơ bản của nó Một câu hỏi quan trọng là cách đo độ thay đổi của hàm số theo biến số, điều này thể hiện rõ khi tính gia tốc của chuyển động Gia tốc được định nghĩa là giới hạn của sự thay đổi vận tốc chia cho sự thay đổi thời gian Hơn nữa, nhờ vào đạo hàm, chúng ta có thể giải quyết bài toán vẽ tiếp tuyến với đồ thị tại một điểm cụ thể đã đề cập trong Chương 1.
Đạo hàm và vi phân cấp một
Ta có định nghĩa quan trọng sau đây:
Đạo hàm của một hàm số f được định nghĩa là khả vi tại điểm x₀ nếu tồn tại giới hạn sau: lim h→0 (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h Điều này có nghĩa là hàm f xác định trên khoảng mở (a, b) có thể tính được đạo hàm tại x₀.
Giới hạn này (nếu tồn tại) thì được ký hiệu là f ′ (x0) và đươc gọi là đạo hàm của f tại x0.
Nếu điều này xảy ra ta cũng có thể viết f(x0+h)−f(x0) =f ′ (x0)h+o(h).
Ví dụ (i) f(x) = c với c hằng số là hàm khả vi và thỏa mãn f ′ (x) = 0 với mọi x.
(ii) f(x) = x 2 là khả vi tại mọix 0 và f ′ (x 0 ) = 2x 0
(iii)f(x) =|x|khả vi tại mọi điểm x 0 6= 0nhưngkhôngkhả vi tạix 0 = 0.Chú ý rằng hàm f liên tục tại mọi điểm của trục số.
Mối quan hệ giữa tính liên tục và tính khả vi cho thấy rằng nếu một hàm khả vi tại một điểm, thì hàm đó phải liên tục tại điểm đó Tuy nhiên, điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng.
2.1.2 Các phép tính về đạo hàm (a) Giả sử f, g là các hàm số khả vi tại điểm x0 Khi đó ta có các công thức sau:
(b) Công thức tính đạo hàm của hàm hợp hay còn gọi là qui tắc dây chuyền. Nếuf khả vi tại g(x0)và g khả vi tại x0 thì
Công thức đạo hàm của hàm hợp là một trong những công thức khó chứng minh, đặc biệt là công thức (ii) Để chứng minh, chúng ta sẽ tiến hành biến đổi một cách cụ thể, và trường hợp còn lại sẽ được xử lý tương tự.
Ta có điều phải chứng minh.
Sử dụng các công thức trên ta có thể tính được đạo hàm của một số hàm số đã học ở trước
2.1.3 Đạo hàm của một số hàm sơ cấp
(vi)(lnx) ′ = 1/x ∀x >0. Để chứng minh (ii), bằng cách sử dụng qui tắc dây chuyền để chuyển về gốc tọa độ, ta chỉ cần chứng minh
Muốn vậy, ta sử dụng định nghĩa hình học của hàm sin để chứng minh bất đẳng thức sau (bằng cách so sánh diện tích): cosx≤ sinx x ≤1∀x >0.
Khi x tiến gần đến 0, chúng ta áp dụng phương pháp kẹp giữa để chứng minh điều cần thiết Đối với hàm số (v), việc chứng minh trở nên phức tạp hơn Tương tự như trước, chúng ta cần chứng minh rằng đạo hàm của hàm số e^x tại điểm 0 bằng 1 Theo định nghĩa về đạo hàm, điều này tương đương với việc chứng minh giới hạn xlim→ 0 (e^x - 1)/x = 1.
Muốn vậy, lấy một dãy xn→0 tùy ý, ta sẽ chứng minh nlim→∞ e x n −1 xn
Không giảm tổng quát ta có thể coixn >0 Thế thì với mỗi n sẽ có N để
Cho N → ∞và sử dụng định nghĩa của ecùng với tiêu chuẩn kẹp giữa chúng ta có điều phải chứng minh.
Sau này ta sẽ thấy rằng hàm sốe x là hàm khả vi duy nhấtmà đạo hàm lên không làm nó bị thay đổi.
Vi phân hàm một biến được định nghĩa cho hàm số f xác định trên khoảng (a, b) Nếu hàm f khả vi tại điểm x0 thuộc (a, b), thì vi phân của f tại x0 được biểu diễn bằng công thức df(x0)(h) = f ′(x0)h, với h là một số thực rất nhỏ Tương tự, nếu hàm f khả vi trên toàn bộ khoảng (a, b), thì vi phân của f trên khoảng này được diễn đạt bằng df(x) = f ′(x)dx.
Vi phân của hàm f tại điểm x0 được hiểu là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất cho sự thay đổi của hàm f(x0 + h) - f(x0) khi h rất nhỏ Điều này được xác định bởi định nghĩa của đạo hàm, trong đó f(x0 + h) - f(x0) = f'(x0)h + o(h) = df(x0)(h) + o(h).
Tính chất bất biến của vi phân cho thấy rằng nếu f là hàm khả vi của biến x và x là hàm khả vi của biến t, thì f cũng có thể được coi là hàm khả vi của t Theo định nghĩa vi phân và quy tắc dây chuyền, ta có d(f◦ϕ)(t) = f′(ϕ(t))dϕ(t) = f′(x)dx Điều này chứng tỏ rằng vi phân theo biến t hay biến x của hàm f là như nhau, thể hiện một tính chất độc đáo mà đạo hàm không có.
Các định lý cơ bản của hàm khả vi
Định lý Fermat về cực trị địa phương cho biết rằng nếu hàm f khả vi trên khoảng (a, b) và x0 là điểm cực trị địa phương của f, tức là tồn tại một khoảng mở (x0−δ, x0 +δ) sao cho f(x0) là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên khoảng này, thì đạo hàm tại điểm x0 sẽ bằng 0, tức là f ′ (x0) = 0.
Để chứng minh, ta cần nắm vững khái niệm giới hạn hàm số Ta xem xét trường hợp f(x0) là giá trị nhỏ nhất của f trong khoảng (x0−δ, x0+δ) Theo định nghĩa của đạo hàm, ta có f ′ (x0) = lim h → 0+ (f(x0+h)−f(x0)) / h ≥ 0.
Tương tự như vậy f ′ (x0) = lim h → 0 − f(x0+h)−f(x0) h ≤0.
Kết hợp lại ta có điều phải chứng minh.
Để tìm cực trị toàn cục của hàm liên tục f trên đoạn [a, b] và khả vi trên khoảng mở (a, b), ta cần xác định tất cả các điểm cực trị địa phương của f, cùng với giá trị tại hai đầu đoạn f(a) và f(b) Sau đó, so sánh các giá trị này để tìm ra cực trị toàn cục Định lý Fermat đóng vai trò quan trọng, là nền tảng cho các định lý khác liên quan đến hàm khả vi.
Bài viết bắt đầu với một định lý thú vị liên quan đến sự tồn tại của các điểm mà đạo hàm triệt tiêu Để chứng minh định lý này, cần phải áp dụng hai định lý quan trọng: Định lý Weierstrass về sự tồn tại cực trị toàn cục của hàm liên tục và Định lý Fermat về cực trị địa phương.
Định lý Rolle khẳng định rằng nếu f là hàm liên tục trên đoạn [a, b] và khả vi trên khoảng (a, b) với điều kiện f(a) = f(b), thì tồn tại ít nhất một điểm c trong khoảng (a, b) sao cho đạo hàm f'(c) = 0 Đây là một định lý quan trọng, đóng vai trò then chốt trong nhiều bài toán liên quan đến hàm khả vi.
Định lý Lagrange về giá trị trung bình khẳng định rằng, với hàm f liên tục trên đoạn [a, b] và khả vi trên khoảng (a, b), tồn tại ít nhất một giá trị c thuộc (a, b) sao cho f ′(c) = (f(a) - f(b)) / (a - b) Điều này có nghĩa là trên đồ thị của hàm f, luôn tồn tại một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với đoạn thẳng nối hai điểm đầu (a, f(a)) và cuối (b, f(b)) Định lý này cũng làm nổi bật mối quan hệ giữa tính liên tục của hàm số và đạo hàm của nó, cho phép chúng ta chứng minh rằng nếu f ′ = 0, thì f là một hàm hằng Chứng minh này dường như không có cách nào đơn giản hơn.
Chứng minh định lý Lagrange về giá trị trung bình dựa vào định lý Rolle Ta chỉ việc xét hàm g(x) =f(x)− f(b)−f(a) b−a (x−a), a≤x≤b.
Khi đóg là hàm liên tục trên [a, b]và thỏa mãn g ′ (x) = f ′ (x)− f(b)−f(a) b−a
Chú ý rằng g(a) = g(b) = f(a) nên ta có thể áp dụng định lý Rolle để kết thúc chứng minh.
Đạo hàm và vi phân cấp cao
Đạo hàm cấp từ 2 trở lên, nếu tồn tại, được gọi là đạo hàm cấp cao của hàm số f Đạo hàm cấp cao được định nghĩa thông qua đạo hàm cấp một, cụ thể là f ′′ = (f ′ ) ′, f ′′′ = (f ′′ ) ′, và tổng quát là f (n) = (f n − 1 ) ′.
Vi phân cấp cao được định nghĩa thông qua đạo hàm cấp cao bằng cách như sau d n f(x0)(h) :=f (n) (x0)h n , d n f(x) := f (n) (x)d n x.
Các hàm trong chương trình phổ thông thường có đạo hàm cấp cao trên miền xác định của chúng, và điều này có thể được kiểm tra qua các hàm ở mục 2.1.3.
Công thức Taylor
Đạo hàm cấp cao đóng vai trò quan trọng trong việc xấp xỉ một hàm khả vi thông qua công thức Taylor, cho phép biểu diễn hàm đó bằng một đa thức dựa trên các đạo hàm cấp cao của hàm f tại một điểm xác định.
2.4.1 Định lý khai triển Taylor
Cho f là hàm khả vi cấpn tại x0 ∈(a, b) Xác định đa thức Taylor bậc n của f tại x 0 bởi công thức
2! h 2 +ã ã ã+ f (n) (x0) n! h n Khi đó ta có thể viết f(x0 +h) = Tn(f, x0, h) +o(h n ). Điều này có nghĩa là hlim→ 0 f(x0+h)−Tn(f, x0, h) h n = 0.
Thay vì chứng minh định lý này chúng ta có một số chú ý sau đây:
(i) Giả thiết f có đạo hàm cấpn tại x0 nhìn thật thì đơn giản nhưng nó bao hàm ý làf có đạo hàm tới cấp (n−1) trong một khoảng mở chứax0.
Định lý Taylor có thể được hiểu là định nghĩa của đạo hàm f′(x0) khi Khin = 1 Để chứng minh định lý Taylor, ta áp dụng định lý Lagrange về giá trị trung bình cho một hàm phù hợp.
2.4.2 Công thức Taylor của một số hàm cơ bản
Một số ứng dụng của phép tính vi phân
Ta đã biết một số ứng dụng của phép tính vi phân như:
Để viết phương trình của tiếp tuyến với đường cong, nếu hàm số y = f(x) khả vi tại x = x0, thì phương trình của đường tiếp tuyến tại điểm (x0, f(x0)) được xác định bằng công thức y - y0 = f'(x0)(x - x0).
(ii) Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khả vi trên khoảng mở (a, b) và liên tục trên[a, b].
Bây giờ chúng ta giới thiệu thêm một ứng dụng về khử các dạng bất định trong giới hạn.
Qui tắc L’Hospital để tính giới hạnCho f, glà các hàm khả vi trên (a, b) và x0 ∈(a, b) thỏa mãn f(x0) = g(x0) = 0 Giả sử tồn tại giới hạn hàm xlim→ x 0 f ′ (x) g ′ (x) =l.
1 a) Cho hàm f(x) =√ xg(x) với g(4) = 8,g ′ (4) = 7 Tìmf ′ (4); b) Cho hàmf(x) = g(x) x với g(2) = 4và g ′ (2) =−3 Tìm f ′ (2).
2 Tình đạo hàm của các hàm số sau a)y q x+√ x b)y= 10 p
1−x 3 d)y= tan 2 (x)−cot 2 x e)y= sin 3 xcos 3x f)y= sinx−xcosx cosx+xsinx g)y= ln(x+√ x 2 + 1) h)y =e x ln(sinx) i)y =x x
3 Cho hàm số f(x) =x|x| với x∈R. a) Tính đạo hàmf ′ (x) với x6= 0; b) Dùng định nghĩa đạo hàm để tínhf ′ (0); c) Hàm f ′ (x) có liên tục trên R không?
Hàm số f1(x) được chứng minh là liên tục trên R, nhưng không khả vi tại x = 0 Ngược lại, hàm f2(x) khả vi trên R và có thể tính được đạo hàm f2′(x) Tuy nhiên, f2′(x) lại không liên tục tại x = 0, điều này dẫn đến kết luận rằng f2 có đạo hàm cấp 1 trên R, nhưng không có đạo hàm cấp 2 tại x = 0.
Hàm số f(x) = √3 không khả vi tại x = 0, điều này có thể chứng minh bằng định nghĩa đạo hàm Để tìm phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm A(a, √3 a) với a ≠ 0, ta có thể sử dụng công thức đường thẳng Khi a tiến gần 0, vị trí của đường thẳng sẽ có sự thay đổi đáng chú ý, thể hiện sự biến thiên của hàm số f(x).
Tính đạo hàm của hàm f(x) Vẽ đồ thị của f(x) và f ′ (x) (tại những điểm đạo hàm tồn tại).
7 Tìm các số thực a, bđể hàm số sau có đạo hàm trên R f(x) (x 2 nếu x62 ax+b nếu x >2.
Nêu ý nghĩa hình học của kết quả tìm được.
8 Tìm đạo hàm phải và đạo hàm trái của các hàm số sau tại x= 0 a)f(x) = |x| b)f(x) = p sin(x 2 ).
Vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng được mô tả bởi phương trình s=f(t) = t³ - 6t² + 9t, với t > 0, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét Để tìm vận tốc của vật theo thời gian t, ta cần tính đạo hàm của s theo t Vận tốc tại thời điểm 2 giây và 4 giây cũng có thể được xác định bằng cách thay giá trị t vào phương trình vận tốc Để xác định thời điểm mà vận tốc tức thời bằng 0, ta giải phương trình vận tốc bằng 0 Cuối cùng, vật chuyển động hướng về phía trước khi vận tốc dương và chuyển động hướng về phía sau khi vận tốc âm.
Khối lượng dài (linear density) của một thanh kim loại đồng nhất và đồng hình dạng được định nghĩa là khối lượng (tính bằng kg) của thanh kim loại trên mỗi đơn vị chiều dài (tính theo mét).
Giả sử chúng ta có một thanh kim loại không đồng nhất nhưng đồng hình dạng, với khối lượng của phần thanh kim loại tính từ đầu bên trái đến điểm cách đầu bên trái một khoảng x mét được xác định bởi m = f(x) với x > 0 Để tính khối lượng dài trung bình của phần thanh kim loại nằm giữa x = x1 và x = x2 (với x1 < x2), ta thực hiện các bước sau: đầu tiên, tính khối lượng dài trung bình trong khoảng này và sau đó xác định khối lượng dài tại x1 Áp dụng cho trường hợp m = f(x) = √x, ta sẽ tính khối lượng dài trung bình của phần thanh kim loại khi x = 1 và x = 1.21, sau đó tính khối lượng dài tại x = 1 và x = 1.21.
11 Xét phản ứng hóa học tạo ra chấtC từ hai chất A và B
Giả sử nồng độ của hai chất A và B bằng nhau[A] = [B] = a(mol/l). Khi đó nồng độ của C theo thời gian được cho bởi công thức
Tốc độ phản ứng tại thời điểm t được xác định bởi công thức [C] = a 2 Kt aKt+ 1(mol/l), trong đó K là một hằng số Để chứng minh rằng nếu x = [C] thì dx/dt = K(a - x)², ta cần phân tích mối quan hệ giữa nồng độ và thời gian Khi t tiến tới vô cùng (t → ∞), nồng độ các chất sẽ đạt đến trạng thái cân bằng, trong khi tốc độ phản ứng sẽ giảm xuống gần bằng 0.
Quần thể vi khuẩn ban đầu có 1 triệu cá thể và tăng gấp đôi mỗi giờ, được mô tả bằng hàm f(t) = 10^6 2^t, với t là thời gian tính bằng giờ Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn đạt 8 triệu cá thể, và sau 4 giờ, số lượng tăng lên 16 triệu cá thể Tại thời điểm t = 6 giờ, tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn là 64 triệu cá thể.
Khi không khí được bơm vào một quả bóng hình cầu với tốc độ tăng thể tích 100 cm³/s, cần xác định tốc độ tăng bán kính của quả bóng khi đường kính đạt 50 cm.
14 Chứng minh rằng hàm số y = ae αx +be βx , với a, b, α, β là các số thực, thỏa mãn phương trình y ′′ −(α+β)y ′ +αβy= 0.
15 Chứng minh rằng hàm hàm y =e − αx (asinωx+bcosωx), với a, b, α, ω, là các số thực thỏa mãn phương trình y ′′ + 2αy ′ + (α 2 +ω 2 )y= 0.
16 Tìm đạo hàm cấpn của các hàm số sau a)y= 1 cx+d (c6= 0) b)y= ax+b cx+d (c6= 0) c)y = ln(2x+1) d)y= 1 x 2 −3x+ 2 e)y= √ 3
17 Công thức Leibniz: Nếu f và g khả vi trên (a, b) thì f(x)g(x)(n) n
Dùng công thứ Leibniz để tính các đạo hàm cấp 10 của các hàm sau y=x 3 e x y=x 2 cos 2x.
Vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng được mô tả bởi phương trình s = f(t) = t³ - 6t² + 9t, với t > 0, trong đó t là thời gian tính bằng giây và s là vị trí tính bằng mét Để tìm gia tốc của vật tại thời điểm t, ta cần tính đạo hàm bậc hai của phương trình vị trí Vật chuyển động nhanh dần khi gia tốc dương, điều này xảy ra khi đạo hàm bậc nhất của phương trình vận tốc lớn hơn 0 Cuối cùng, việc vẽ đồ thị biểu thị vị trí, vận tốc và gia tốc của vật trên cùng một hệ tọa độ trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây sẽ giúp trực quan hóa chuyển động của vật.
19 Tìm cực trị của các hàm số sau a)f(x) = sin 2x−2 sinxvới 0< x < 2π; b)f(x) =x 3 ; c)f(x) =|x 2 −1|.
20 Từ 0 o đến 30 o , thể tích V của 1kg nước (tính theo cm 3 ) ở nhiệt độ T được tính gần đúng bởi công thức
Tìm nhiệt độ mà tại đó thể tích nước nhỏ nhất.
21 Cho hàm f liên tục trên [0,2], khả vi trên (0,2) thỏa mãn f(0) = 0, f(1) = 2 và f(2) = 1 Chứng minh tồn tại c∈(0,2)sao cho f ′ (c) = 0.
22 Cho hàmf(x)liên tục trên[0,1], khả vi trên(0,1)và thỏa mãnf(0) = 0, f(1) = 1 Chứng minh tồn tại c∈(0,1)sao cho f ′ (c) = 2020c 2019
23 Cho hàm f(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và thỏa mãn f(a) f(b) = 0 Chứng minh tồn tại c∈(a, b) đểf ′ (c) + 2f(c) = 0.
24 Cho hàm f khả vi trên R thỏa mãn f(0) = −3 và f ′ (x) 6 5 với mọi x∈R Tìm giá trị lớn nhất củaf(2).
25 Dùng Định lý Lagrange để chứng minh các bất đẳng thức sau a)|sina−sinb|6|a−b| với mọi a, b∈R; b) 1 b 0) g) lim x →∞ x n a x (n ∈N ∗ , a >1) c) lim x → 0x α lnx (α >0) d) lim x → 1 − lnxln(1−x) e) lim x → 0
1 sinx− 1 tanx h) lim x → 1x 1−x 1 i) lim x →∞x 1 x j) lim x → 0 sinx x x2 1 k) lim x → 0 + x √ x
31 Chứng minh rằng hàm số f(x) (e − 1/x 2 nếu x6= 0
Lời giải một số bài toán
5 Phương trình đường thằng làx−√ 3 a 2 y= 0 Khia→0thì đường thằng "hội tụ" tới đường thẳng x= 0 Đó cũng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=√ 3 x.
7 Đáp số f(x) = 4x−4 Đường thẳng y = 4x−4 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (2; 4).
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo thời gian, được biểu diễn bởi công thức v(t) = ds/dt = 3t² - 12t + 9 Tại thời điểm t = 2 giây, vận tốc đạt giá trị v(2) = -3 m/s, trong khi tại t = 4 giây, v(4) = 9 m/s Khi vận tốc tức thời bằng 0, điều này tương đương với phương trình v(t) = 0, dẫn đến các nghiệm t = 1 và t = 3.
Vậy vận tốc tức thời tại thời điểm 1s và 3s bằng 0. d)Vật chuyển động hướng về phía trước khi v(t)>0⇔3t 2 −12t+ 9>0⇔0< t 3.
Vật chuyển động hướng về phía sau khi v(t)