ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN ĐỀ 1 docx

Phạm Tuấn Khải Giải hệ phương trình là bài toán thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Đây là bài toán đòi hỏi kỹ năng giải và tư duy cao nên gây không ít khó khăn cho các bạn học sinh. Trong bài viết này tôi xin giới thiệu cho các bạn một số phương pháp giải hệ phương trình thường gặp, hy vọng các bạn sẽ học hỏi được nhiều điều bổ ích. I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Một số kiến thức cần nắm: • Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm biến đổi phương trình của đề bài thành phương trình tích. • Giải phương trình bậc hai, phương trình bậc ba: au 2 + bu + c = 0, au 3 + bu 2 + cu + d = 0. Nhận dạng phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba: au 2 + buv + cv 2 = 0, au 3 + bu 2 v + cuv 2 + dv 3 = 0, trong đó u, v là các biểu thức chứa biến. • Giả sử hệ phương trình  f(x, y) = 0 g(x, y) = 0 có f(x, y) được phân tích thành f 1 (x, y).f 2 (x, y) f n (x, y). Khi đó để giải hệ phương trình trên ta phải giải n hệ phương trình  f i (x, y) = 0 g(x, y) = 0  i = 1, n  . ✪ Bài toán 1. Giải hệ phương trình        (x − 2)  3x y + 1 = 2x − y (1) y 2  3x y + 1 = 2x 2 + y 2 − 4x (2) Hướng dẫn. Điều kiện    y = 0 3x y + 1 ≥ 0. Ở bài toán này chúng ta không thể phân tích cả hai phương trình, do đó chúng ta nghĩ ngay đến việc kết hợp cả hai phương trình để biến đổi thành phương trình tích. Quan sát hai phương trình ta nhận thấy: vế phải của PT(1) có −y, vế phải của PT(2) có y 2 . Như vậy để triệt tiêu −y thì chúng ta sẽ chia hai vế của PT(2) cho y, khi đó PT(2) trở thành y  3x y + 1 = 2x 2 − 4x y + y (3) Cộng (1) và (3) theo vế ta được phương trình (x + y −2)  3x y + 1 = 2x + 2x 2 − 4x y ⇔(x + y −2)  3x y + 1 = 2x y (x + y −2) ⇔(x + y −2)   3x y + 1 − 2x y  = 0 ⇔ x + y −2 = 0 hoặc  3x y + 1 − 2x y = 0 - Với x + y − 2 = 0 ta có x = 2 − y thay vào PT(1) ta có −y  6 y − 2 = 4 − 3y ⇔  6 y − 2 = 3 − 4 y ⇔ 2  6 y − 2  + 3  6 y − 2 − 5 = 0 ⇔      6 y − 2 = 1 ⇔ y = 2 ⇒ x = 0  6 y − 2 = − 5 3 (vô nghiệm) - Với  3x y + 1 − 2x y = 0 ta biến đổi thành 2  3x y + 1  − 3  3x y + 1 − 2 = 0 ⇔      3x y + 1 = 2 ⇔ x y = 1 ⇔ x = y  3x y + 1 = − 1 2 (vô nghiệm) thay x = y vào PT(1) ta tìm được y = 4 ⇒ x = 4. Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 2) , (4; 4). ❒ Lưu ý. Trong lời giải trên tôi đã thực hiện phép biến đổi để đưa về phương trình bậc hai theo các ẩn  6 y − 2 và  3x y + 1. ✪ Bài toán 2. Giải hệ phương trình   x 2 + 2y + 3 + 2y − 3 = 0 (1) 2(2y 3 + x 3 ) + 3y(x + 1) 2 + 6x(x + 1) + 2 = 0 (2) Hướng dẫn. Điều kiện: x 2 + 2y + 3 ≥ 0. Quan sát PT(2) ta thấy rằng 2x 3 + 6x(x + 1) + 2 = 2(x + 1) 3 , do đó ta biến đổi PT(2) thành phương trình 4y 3 + 3y(x + 1) 2 + 2(x + 1) 3 = 0 ⇔(2y + x + 1)  2y 2 − y(x + 1) + 2(x + 1) 2  = 0 ⇔  2y + x + 1 = 0 2y 2 − y(x + 1) + 2(x + 1) 2 = 0 Phạm Tuấn Khải Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 2. Giải hệ phương trình  5x 2 y −4xy 2 + 3y 3 − 2(x + y) = 0 xy(x 2 + y 2 ) + 2 = (x + y) 2 Hướng dẫn. Điều kiện: x 2 + 2y + 3 ≥ 0. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 3. Giải hệ phương trình  x 4 + 2x 3 y + x 2 y 2 = 2x + 9 x 2 + 2xy = 6x + 6 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 4. Giải hệ phương trình    x y − √ x − 2y = 6y + 2  x + √ x − 2y = x + 3y − 2 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 5. Giải hệ phương trình  (x + y)(x 2 − y 2 ) = 45 (x − y)(x 2 + y 2 ) = 85 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 6. Giải hệ phương trình  x 3 − y 3 = 9 2x 2 + y 2 − 4x + y = 0 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 7. Giải hệ phương trình  xy + x −2 = 0 2x 3 − x 2 y + x 2 + y 2 − 2xy −y = 0 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 8. Giải hệ phương trình  x 2 + 2xy + y 6 = 24y 2 xy + y 2 = −12 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 9. Giải hệ phương trình  xy + x + 1 = 7y x 2 y 2 + xy + 1 = 13y 2 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 10. Giải hệ phương trình  x 2 y 2 + 2y 2 + 16 = 11xy x 2 + 2y 2 + 12y = 3xy 2 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 11. Giải hệ phương trình    x 2 + y 2 + x = 3 x 2 − 4y 2 + 2xy x + y −1 = −1 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 12. Giải hệ phương trình  x 3 + y 3 + 6xy = 8 x 2 + y 2 = 2x + y + 14 Phạm Tuấn Khải Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 13. Giải hệ phương trình    1 3x + 2x 3y = x + √ y 2x 2 + y 2(2x + √ y) = √ 2x + 6 − y Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 14. Giải hệ phương trình         9x + y x + 2  y + 2x y = 4  2x y 2 − 1   y x 2 − 9  = 18 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 15. Giải hệ phương trình    x 2 + y 2 + 8xy x + y = 16 √ x + y = x 2 − y Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 16. Giải hệ phương trình  x 2 + √ x 2 − 2x + 5 = 3y +  y 2 + 4 x 2 − y 2 − 3x + 3y + 1 = 0 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1.  x + √ x 2 − 2x + 2 = 3 y−1 + 1 y +  y 2 − 2y + 2 = 3 x−1 + 1 ❖ ❖ ❖ II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ✪ Bài toán 1. Giải hệ phương trình  x  y 2 + 6 + y √ x 2 + 3 = 7xy x √ x 2 + 3 + y  y 2 + 6 = 2 + x 2 + y 2 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 2. Giải hệ phương trình  2x + y +  x 2 − y 2 = 17 y  x 2 − y 2 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 3. Giải hệ phương trình  x 3 + 3xy 2 = −49 x 2 − 8xy + y 2 = 8y −17x Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 4. Giải hệ phương trình    12xy + 12(x 2 + y 2 ) + 9 (x + y) 2 = 85 6x(x + y) + 3 = 13(x + y) Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 5. Giải hệ phương trình      x 2 + y + x 3 y + xy 2 + xy = − 5 4 x 4 + y 2 + xy(1 + 2x) = − 5 4 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 6. Giải hệ phương trình       x 2 + xy + y 2 3 +  x 2 + y 2 2 = x + y x √ 2xy + 5x + 3 = 4xy − 5x − 3 Phạm Tuấn Khải Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 7. Giải hệ phương trình  √ 7x + y + √ 2x + y = 5 √ 2x + y + x −y = 2 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 8. Giải hệ phương trình  9y 3 (3x 3 − 1) = −125 45x 2 y + 75x = 6y 2 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 9. Giải hệ phương trình      (x − 1) 2 √ y + x(y − 1) = 0  x + y x   xy + 1 x  = 4y Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 10. Giải hệ phương trình  2 3 √ 5 + x − √ 1 − 8y = 1 3 √ 4 − x − √ 1 + y = 1 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 11. Giải hệ phương trình  √ x + 1 + √ y −1 = 4 √ x + 6 + √ y + 4 = 6 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 12. Giải hệ phương trình      x x 2 − y + 5y x + y 2 = 4 5x + y + x 2 − 5y 2 xy = 5 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 13. Giải hệ phương trình      10 2x + 3y + 1 xy = 1 124 4x 2 + 9y 2 − 1 x 2 y 2 = 1 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 14. Giải hệ phương trình  2x 2 − 2xy + 3x −2y − 1 = 3  (x 2 − 1)(x − y) √ x + 1 + √ x − y = √ 2x − y + 2 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 15. Giải hệ phương trình  x 2 + y 2 + xy + 1 = 4y y(x + y) 2 = 2x 2 + 7y + 2 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 16. Giải hệ phương trình    x 2 y + 4xy = 2 + x 3 + 4x 2 3 x 2 + 3x + 3y = 5 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ Phạm Tuấn Khải BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1.  x + √ x 2 − 2x + 2 = 3 y−1 + 1 y +  y 2 − 2y + 2 = 3 x−1 + 1 ❖ ❖ ❖ III. SỬ DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ✪ Bài toán 1. Giải hệ phương trình  x 3 − 12x − y 3 + 6y 2 − 16 = 0 4x 2 − 3x + 3x √ 4 − x 2 −  4y −y 2 = 10 Hướng dẫn. Điều kiện:  −2 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 4 Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 2. Giải hệ phương trình  (4x 2 + 1)x + (y −3) √ 5 − 2y = 0 4x 2 + y 2 + 2 √ 3 − 4x = 7 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 3. Giải hệ phương trình    x 3 − 3x 2 − 9x + 22 = y 3 + 3y 2 − 9y x 2 + y 2 − x + y = 1 2 Hướng dẫn. chúng ta có x fia dk hfdk fdhf dk hd eih fn dkfd kd fhdk Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 4. Giải hệ phương trình    −2x 3 + 3x − 1 = 2x 3 (y 2 − 1)  1 + 2y 2 3 √ x − 4 + 3 =  −4 − x  1 + 2y 2 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 5. Giải hệ phương trình  3x 2 − 2x − 5 + 2x √ x 2 + 1 = 2(y + 1)  y 2 + 2y + 2 x 2 + 2y 2 = 2x − 4y + 3 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 6. Giải hệ phương trình  x 11 + xy 10 = y 22 + y 12 7y 4 + 13x + 8 = 2y 4 3  x(3x 2 + 3y 2 − 1) Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 7. Giải hệ phương trình  x 3 − y 3 = (3y + 1)(y + 1) + 1 − x √ x + y + 3 √ x + 3y + 19 = 105 −y 3 − xy Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 8. Giải hệ phương trình  x 3 − x 2 y = x 2 − x + y + 1 x 3 − 9y 2 + 6(x − 3y) − 15 = 3 3 √ 6x 2 + 2 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 9. Giải hệ phương trình  x + √ x 2 − 2x + 5 = 3y +  y 2 + 4 x 2 − y 2 − 3x + 3y + 1 = 0 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 10. Giải hệ phương trình  (23 − 3x) √ 7 − x + (3y −20) √ 6 − y = 0 √ 2x + y + 2 − √ 2y −3x + 8 + 3x 2 − 14x − 8 = 0 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ Phạm Tuấn Khải ✪ Bài toán 11. Giải hệ phương trình    2 1−x 2 x 2 + xy + 3 2 = 2 y (x 2 y + 2x) 2 − 2x 2 y −4x + 1 = 0 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 12. Giải hệ phương trình  x + √ x 2 − 2x + 2 = 3 y−1 + 1 y +  y 2 − 2y + 2 = 3 x−1 + 1 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 13. Giải hệ phương trình  2y 3 + 2x √ 1 − x = 3 √ 1 − x − y y + 1 = 2x 2 + 2xy √ 1 − x Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 14. Giải hệ phương trình  x 6 − y 3 + 2x 2 − 9y 2 − 33 = 29y √ 2x + 3 + x = y Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 15. Giải hệ phương trình  x 3 (4y 2 + 1) + 2(x 2 + 1) √ x = 6 x 2 y(2 + 2  4y 2 + 1) = x + √ x 2 + 1 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 16. Giải hệ phương trình  (x + 1)  y 2 + 2y + 4 = x 2 + y + 3 3 x−y + (x − y)2 x−y+1 = 7.2 x−y−1 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 17. Giải hệ phương trình    x 2 + x x + 1 = (y + 2)  (x + 1)(y + 1) 4x √ y + 1 + 8x =  4x 2 − 4x − 3  √ x + 1 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 18. Giải hệ phương trình      (1 + 4 x−y ).5 1−x+y = 1 + 3 2+x−y x 2 − 3y  y − 1 x = 1 − 2y Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1.  x + √ x 2 − 2x + 2 = 3 y−1 + 1 y +  y 2 − 2y + 2 = 3 x−1 + 1 ❖ ❖ ❖ IV. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ✪ Bài toán 1. Giải hệ phương trình  x(x 2 − y 2 ) + x 2 = 2  (x − y 2 ) 3 76x 2 − 20y 2 + 2 = 3  4x(8x + 1) Hướng dẫn. Điều kiện:  −2 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 4 Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 2. Giải hệ phương trình      1 √ 1 + 2x 2 + 1  1 + 2y 2 = 2 1 + 2xy  x(1 − 2x) +  y(1 − 2y) = 2 9 Hướng dẫn. Điều kiện:  −2 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 4 Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ . − √ 1 − 8y = 1 3 √ 4 − x − √ 1 + y = 1 Hướng dẫn. Vậy nghiệm hệ phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 11 . Giải hệ phương trình  √ x + 1 + √ y. phương trình là (x; y) =  1; 7 2  ❒ ✪ Bài toán 13 . Giải hệ phương trình      10 2x + 3y + 1 xy = 1 124 4x 2 + 9y 2 − 1 x 2 y 2 = 1 Hướng dẫn. Vậy nghiệm