Phạm Tuấn Khải
Giải hệ phương trình là bài toán thường xuyên
xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học,
Cao đẳng. Đây là bài toán đòi hỏi kỹ năng
giải và tư duy cao nên gây không ít khó khăn
cho các bạn học sinh. Trong bài viết này tôi
xin giới thiệu cho các bạn một số phương pháp
giải hệ phương trình thường gặp, hy vọng các
bạn sẽ học hỏi được nhiều điều bổ ích.
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
Một số kiến thức cần nắm:
• Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm
biến đổi phương trình của đề bài thành phương trình
tích.
• Giải phương trình bậc hai, phương trình bậc ba:
au
2
+ bu + c = 0, au
3
+ bu
2
+ cu + d = 0.
Nhận dạng phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba:
au
2
+ buv + cv
2
= 0, au
3
+ bu
2
v + cuv
2
+ dv
3
= 0,
trong đó u, v là các biểu thức chứa biến.
• Giả sử hệ phương trình
f(x, y) = 0
g(x, y) = 0
có f(x, y)
được phân tích thành f
1
(x, y).f
2
(x, y) f
n
(x, y). Khi
đó để giải hệ phương trình trên ta phải giải n hệ
phương trình
f
i
(x, y) = 0
g(x, y) = 0
i = 1, n
.
✪ Bài toán1. Giải hệ phương trình
(x − 2)
3x
y
+ 1 = 2x − y (1)
y
2
3x
y
+ 1 = 2x
2
+ y
2
− 4x (2)
Hướng dẫn. Điều kiện
y = 0
3x
y
+ 1 ≥ 0.
Ở bài toán này chúng ta không thể phân tích cả hai
phương trình, do đó chúng ta nghĩ ngay đến việc kết
hợp cả hai phương trình để biến đổi thành phương
trình tích. Quan sát hai phương trình ta nhận thấy:
vế phải của PT(1) có −y, vế phải của PT(2) có y
2
.
Như vậy để triệt tiêu −y thì chúng ta sẽ chia hai vế
của PT(2) cho y, khi đó PT(2) trở thành
y
3x
y
+ 1 =
2x
2
− 4x
y
+ y (3)
Cộng (1) và (3) theo vế ta được phương trình
(x + y −2)
3x
y
+ 1 = 2x +
2x
2
− 4x
y
⇔(x + y −2)
3x
y
+ 1 =
2x
y
(x + y −2)
⇔(x + y −2)
3x
y
+ 1 −
2x
y
= 0
⇔ x + y −2 = 0 hoặc
3x
y
+ 1 −
2x
y
= 0
- Với x + y − 2 = 0 ta có x = 2 − y thay vào PT(1)
ta có −y
6
y
− 2 = 4 − 3y ⇔
6
y
− 2 = 3 −
4
y
⇔ 2
6
y
− 2
+ 3
6
y
− 2 − 5 = 0
⇔
6
y
− 2 = 1 ⇔ y = 2 ⇒ x = 0
6
y
− 2 = −
5
3
(vô nghiệm)
- Với
3x
y
+ 1 −
2x
y
= 0 ta biến đổi thành
2
3x
y
+ 1
− 3
3x
y
+ 1 − 2 = 0
⇔
3x
y
+ 1 = 2 ⇔
x
y
= 1 ⇔ x = y
3x
y
+ 1 = −
1
2
(vô nghiệm)
thay x = y vào PT(1) ta tìm được y = 4 ⇒ x = 4.
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm
(x; y) = (0; 2) , (4; 4). ❒
Lưu ý. Trong lời giải trên tôi đã thực hiện phép
biến đổi để đưa về phương trình bậc hai theo các
ẩn
6
y
− 2 và
3x
y
+ 1.
✪ Bài toán 2. Giải hệ phương trình
x
2
+ 2y + 3 + 2y − 3 = 0 (1)
2(2y
3
+ x
3
) + 3y(x + 1)
2
+ 6x(x + 1) + 2 = 0 (2)
Hướng dẫn. Điều kiện: x
2
+ 2y + 3 ≥ 0.
Quan sát PT(2) ta thấy rằng
2x
3
+ 6x(x + 1) + 2 = 2(x + 1)
3
,
do đó ta biến đổi PT(2) thành phương trình
4y
3
+ 3y(x + 1)
2
+ 2(x + 1)
3
= 0
⇔(2y + x + 1)
2y
2
− y(x + 1) + 2(x + 1)
2
= 0
⇔
2y + x + 1 = 0
2y
2
− y(x + 1) + 2(x + 1)
2
= 0
Phạm Tuấn Khải
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 2. Giải hệ phương trình
5x
2
y −4xy
2
+ 3y
3
− 2(x + y) = 0
xy(x
2
+ y
2
) + 2 = (x + y)
2
Hướng dẫn. Điều kiện: x
2
+ 2y + 3 ≥ 0.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 3. Giải hệ phương trình
x
4
+ 2x
3
y + x
2
y
2
= 2x + 9
x
2
+ 2xy = 6x + 6
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 4. Giải hệ phương trình
x
y
−
√
x − 2y = 6y + 2
x +
√
x − 2y = x + 3y − 2
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 5. Giải hệ phương trình
(x + y)(x
2
− y
2
) = 45
(x − y)(x
2
+ y
2
) = 85
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 6. Giải hệ phương trình
x
3
− y
3
= 9
2x
2
+ y
2
− 4x + y = 0
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 7. Giải hệ phương trình
xy + x −2 = 0
2x
3
− x
2
y + x
2
+ y
2
− 2xy −y = 0
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 8. Giải hệ phương trình
x
2
+ 2xy + y
6
= 24y
2
xy + y
2
= −12
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 9. Giải hệ phương trình
xy + x + 1 = 7y
x
2
y
2
+ xy + 1 = 13y
2
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 10. Giải hệ phương trình
x
2
y
2
+ 2y
2
+ 16 = 11xy
x
2
+ 2y
2
+ 12y = 3xy
2
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 11. Giải hệ phương trình
x
2
+ y
2
+ x = 3
x
2
− 4y
2
+
2xy
x + y −1
= −1
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 12. Giải hệ phương trình
x
3
+ y
3
+ 6xy = 8
x
2
+ y
2
= 2x + y + 14
Phạm Tuấn Khải
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 13. Giải hệ phương trình
1
3x
+
2x
3y
=
x +
√
y
2x
2
+ y
2(2x +
√
y) =
√
2x + 6 − y
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 14. Giải hệ phương trình
9x +
y
x
+ 2
y +
2x
y
= 4
2x
y
2
− 1
y
x
2
− 9
= 18
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 15. Giải hệ phương trình
x
2
+ y
2
+
8xy
x + y
= 16
√
x + y = x
2
− y
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 16. Giải hệ phương trình
x
2
+
√
x
2
− 2x + 5 = 3y +
y
2
+ 4
x
2
− y
2
− 3x + 3y + 1 = 0
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1.
x +
√
x
2
− 2x + 2 = 3
y−1
+ 1
y +
y
2
− 2y + 2 = 3
x−1
+ 1
❖ ❖ ❖
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
✪ Bài toán1. Giải hệ phương trình
x
y
2
+ 6 + y
√
x
2
+ 3 = 7xy
x
√
x
2
+ 3 + y
y
2
+ 6 = 2 + x
2
+ y
2
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 2. Giải hệ phương trình
2x + y +
x
2
− y
2
= 17
y
x
2
− y
2
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 3. Giải hệ phương trình
x
3
+ 3xy
2
= −49
x
2
− 8xy + y
2
= 8y −17x
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 4. Giải hệ phương trình
12xy + 12(x
2
+ y
2
) +
9
(x + y)
2
= 85
6x(x + y) + 3 = 13(x + y)
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 5. Giải hệ phương trình
x
2
+ y + x
3
y + xy
2
+ xy = −
5
4
x
4
+ y
2
+ xy(1 + 2x) = −
5
4
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 6. Giải hệ phương trình
x
2
+ xy + y
2
3
+
x
2
+ y
2
2
= x + y
x
√
2xy + 5x + 3 = 4xy − 5x − 3
Phạm Tuấn Khải
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 7. Giải hệ phương trình
√
7x + y +
√
2x + y = 5
√
2x + y + x −y = 2
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 8. Giải hệ phương trình
9y
3
(3x
3
− 1) = −125
45x
2
y + 75x = 6y
2
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 9. Giải hệ phương trình
(x − 1)
2
√
y + x(y − 1) = 0
x +
y
x
xy +
1
x
= 4y
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 10. Giải hệ phương trình
2
3
√
5 + x −
√
1 − 8y = 1
3
√
4 − x −
√
1 + y = 1
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 11. Giải hệ phương trình
√
x + 1 +
√
y −1 = 4
√
x + 6 +
√
y + 4 = 6
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 12. Giải hệ phương trình
x
x
2
− y
+
5y
x + y
2
= 4
5x + y +
x
2
− 5y
2
xy
= 5
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 13. Giải hệ phương trình
10
2x + 3y
+
1
xy
= 1
124
4x
2
+ 9y
2
−
1
x
2
y
2
= 1
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 14. Giải hệ phương trình
2x
2
− 2xy + 3x −2y − 1 = 3
(x
2
− 1)(x − y)
√
x + 1 +
√
x − y =
√
2x − y + 2
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 15. Giải hệ phương trình
x
2
+ y
2
+ xy + 1 = 4y
y(x + y)
2
= 2x
2
+ 7y + 2
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 16. Giải hệ phương trình
x
2
y + 4xy = 2 +
x
3
+ 4x
2
3
x
2
+ 3x + 3y = 5
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
Phạm Tuấn Khải
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1.
x +
√
x
2
− 2x + 2 = 3
y−1
+ 1
y +
y
2
− 2y + 2 = 3
x−1
+ 1
❖ ❖ ❖
III. SỬ DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM
SỐ ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
✪ Bài toán1. Giải hệ phương trình
x
3
− 12x − y
3
+ 6y
2
− 16 = 0
4x
2
− 3x + 3x
√
4 − x
2
−
4y −y
2
= 10
Hướng dẫn. Điều kiện:
−2 ≤ x ≤ 2
0 ≤ y ≤ 4
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 2. Giải hệ phương trình
(4x
2
+ 1)x + (y −3)
√
5 − 2y = 0
4x
2
+ y
2
+ 2
√
3 − 4x = 7
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 3. Giải hệ phương trình
x
3
− 3x
2
− 9x + 22 = y
3
+ 3y
2
− 9y
x
2
+ y
2
− x + y =
1
2
Hướng dẫn. chúng ta có x fia dk hfdk fdhf dk hd eih
fn dkfd kd fhdk
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 4. Giải hệ phương trình
−2x
3
+ 3x − 1 = 2x
3
(y
2
− 1)
1 + 2y
2
3
√
x − 4 + 3 =
−4 − x
1 + 2y
2
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 5. Giải hệ phương trình
3x
2
− 2x − 5 + 2x
√
x
2
+ 1 = 2(y + 1)
y
2
+ 2y + 2
x
2
+ 2y
2
= 2x − 4y + 3
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 6. Giải hệ phương trình
x
11
+ xy
10
= y
22
+ y
12
7y
4
+ 13x + 8 = 2y
4
3
x(3x
2
+ 3y
2
− 1)
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 7. Giải hệ phương trình
x
3
− y
3
= (3y + 1)(y + 1) + 1 − x
√
x + y + 3
√
x + 3y + 19 = 105 −y
3
− xy
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 8. Giải hệ phương trình
x
3
− x
2
y = x
2
− x + y + 1
x
3
− 9y
2
+ 6(x − 3y) − 15 = 3
3
√
6x
2
+ 2
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 9. Giải hệ phương trình
x +
√
x
2
− 2x + 5 = 3y +
y
2
+ 4
x
2
− y
2
− 3x + 3y + 1 = 0
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 10. Giải hệ phương trình
(23 − 3x)
√
7 − x + (3y −20)
√
6 − y = 0
√
2x + y + 2 −
√
2y −3x + 8 + 3x
2
− 14x − 8 = 0
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
Phạm Tuấn Khải
✪ Bài toán 11. Giải hệ phương trình
2
1−x
2
x
2
+ xy +
3
2
= 2
y
(x
2
y + 2x)
2
− 2x
2
y −4x + 1 = 0
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 12. Giải hệ phương trình
x +
√
x
2
− 2x + 2 = 3
y−1
+ 1
y +
y
2
− 2y + 2 = 3
x−1
+ 1
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 13. Giải hệ phương trình
2y
3
+ 2x
√
1 − x = 3
√
1 − x − y
y + 1 = 2x
2
+ 2xy
√
1 − x
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 14. Giải hệ phương trình
x
6
− y
3
+ 2x
2
− 9y
2
− 33 = 29y
√
2x + 3 + x = y
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 15. Giải hệ phương trình
x
3
(4y
2
+ 1) + 2(x
2
+ 1)
√
x = 6
x
2
y(2 + 2
4y
2
+ 1) = x +
√
x
2
+ 1
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 16. Giải hệ phương trình
(x + 1)
y
2
+ 2y + 4 = x
2
+ y + 3
3
x−y
+ (x − y)2
x−y+1
= 7.2
x−y−1
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 17. Giải hệ phương trình
x
2
+
x
x + 1
= (y + 2)
(x + 1)(y + 1)
4x
√
y + 1 + 8x =
4x
2
− 4x − 3
√
x + 1
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 18. Giải hệ phương trình
(1 + 4
x−y
).5
1−x+y
= 1 + 3
2+x−y
x
2
− 3y
y −
1
x
= 1 − 2y
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1.
x +
√
x
2
− 2x + 2 = 3
y−1
+ 1
y +
y
2
− 2y + 2 = 3
x−1
+ 1
❖ ❖ ❖
IV. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
✪ Bài toán1. Giải hệ phương trình
x(x
2
− y
2
) + x
2
= 2
(x − y
2
)
3
76x
2
− 20y
2
+ 2 =
3
4x(8x + 1)
Hướng dẫn. Điều kiện:
−2 ≤ x ≤ 2
0 ≤ y ≤ 4
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 2. Giải hệ phương trình
1
√
1 + 2x
2
+
1
1 + 2y
2
=
2
1 + 2xy
x(1 − 2x) +
y(1 − 2y) =
2
9
Hướng dẫn. Điều kiện:
−2 ≤ x ≤ 2
0 ≤ y ≤ 4
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
. −
√
1 − 8y = 1
3
√
4 − x −
√
1 + y = 1
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm hệ phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 11 . Giải hệ phương trình
√
x + 1 +
√
y. phương trình là
(x; y) =
1;
7
2
❒
✪ Bài toán 13 . Giải hệ phương trình
10
2x + 3y
+
1
xy
= 1
124
4x
2
+ 9y
2
−
1
x
2
y
2
= 1
Hướng dẫn.
Vậy nghiệm