NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TỐI ƯU HÓA

Chƣơng NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TỐI ƢU HÓA I Định nghĩa ý nghĩa thuật ngữ Tối ƣu Tối ưu tốt Số lượng kiện, vật, tượng tập hợp dùng để so sánh lớn tính đại diện cao Tập hợp điều kiện ràng buộc tạo nên miền giới hạn phạm vi so sánh lựa chọn ta thường gọi miền cho phép Tối ƣu hóa Tối ưu hóa làm cho tốt Khái niệm rõ để có kết tốt cần có tác động, điều khiển từ bên ngồi Để làm tốt ta cần xác định: o Mục tiêu mong đợi vật, tượng mà ta quan tâm o Các yếu tố chi phối đến mục tiêu mong đợi o Phạm vi diễn biến vật hiện, tượng ta khảo sát Bài toán tối ƣu Khi tiến hành lập kế hoạch sản xuất, thiết kế sản phẩm, cơng trình hệ thống, điều khiển trình dựa vào nguyên lý cực trị không đạt mục tiêu kỹ thuật mà đạt hiệu kinh tế cao Tốn học giúp giải dung hịa mâu thuẫn yêu cầu kỹ thuật hiệu kinh tế tốn tối ưu Bài tốn tối ưu phát biểu sau: f (x) Thỏa mãn điều kiện: g i (x) x X (1-1) max(min) bi , i Rn 1:m ; (1-2) (1-3) Trong đó: f(x) gọi hàm mục tiêu hàm gi(x), i = 1: n; gọi hàm ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức hệ (1-2) ràng buộc Tập hợp D = x X g i (x) bi , i 1:m gọi miền ràng buộc Mỗi điểm x(x1, x2, , xn) D gọi phương án (hay nghiệm) Mỗi phương án x* D làm cho hàm mục tiêu đạt giá trị max cụ thể là: o f(x*) o f(x) với x D toán Max f(x) với x D toán Min gọi phương án tối ưu f(x*) gọi giá trị tối ưu toán Phân loại toán tối ƣu Với định nghĩa toán tối ưu ta suy phương pháp tổng quát để giải tốn phương pháp duyệt tồn Bản chất phương pháp tìm giá trị hàm mục tiêu f(x) tất phương án, sau so sánh giá trị tính để tìm giá trị tối ưu phương án tối ưu toán Để phân loại toán tối ưu người ta thường dựa vào tính chất thành phần toán đối tượng nghiên cứu để phân thành loại chủ yếu sau: Quy hoạch phi tuyến: hàm mục tiêu f(x) có hàm ràng buộc gi(x) phi tuyến f(x) gi(x) phi tuyến Quy hoạch tuyến tính: hàm mục tiêu f(x) hàm ràng buộc gi(x) tuyến tính Quy hoạch động: đối tượng xét q trình có nhiều giai đoạn nói chung hay trình phát triển theo thời gian nói riêng Quy hoạch tham số: hệ số biểu thức hàm mục tiêu hàm ràng buộc phụ thuộc vào tham số Quy hoạch rời rạc: miền ràng buộc D tập rời rạc Trong trường hợp riêng biến nhận giá trị ngun ta có quy hoạch ngun Trường hợp quy hoạch nguyên mà biến nhận giá trị (0) hay (1) gọi quy hoạch Boole Quy hoạch đa mục tiêu: miền ràng buộc ta xét đồng thời hàm mục tiêu khác II MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH LỒI VÀ ĐẠI SỐ Một số khái niệm giải tích lồi 1.1 Không gian Euclic 1.2 Đường thẳng, đoạn thẳng, siêu phẳng 1.3 Tập lồi 2 Mốt số khái niệm đại số 2.1 Ma trận Ma trận bảng chữ nhật gồm mxn số thành m hàng n cột có dạng: a 11 , a 12 , a n A a 21 , a 22 , a n ký hiệu A =(aij)mxn ma trận có kích thước m n a m , a m , a mn Ma trận có số hàng số cột (m=n) gọi ma trận vuông gọi ma trận có cấp n Ma trận mà có cột hàng tương ứng ma trận ban đầu A gọi ma trận chuyển vị A ký hiệu A’ o Ví dụ: A A’ = Ma trận có cột gọi véctơ cột Ma trận có hàng gọi véctơ hàng , , 0, Ma trận vng có dạng: A , , Nếu ma trận đường chéo có i n = 1, i =1:n gọi ma trận đơn vị; ký hiệu I E Hai ma trận gọi chúng có kích thước phần tử tương ứng Muốn nhân ma trận với số , ta nhân phần tử ma trận với số đó: A = ( aij)mxn o Ví dụ: 4 2 ( 2) 14 Tổng hai ma trận A B có kích thước ma trận C mà phần tử tổng thể phần tử tương ứng ma trận A ma trận B cij = aij + bij o Ví dụ: 3 7 10 1 Ma trận A nhân với ma trận B trường hợp số cột ma trận A số hàng ma trận B A = (aij)mxn , B = (bjk)nxl , C = (ck)mxl o Ví dụ1: o Ví dụ 2: 3 12 2 4 1 3 1 2 10 18 1 2 18 2.2 Định thức Định thức cấp ứng với ma trận vuông cấp ký hiệu: a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 22 a 12 a 21 Định thức cấp ứng với ma trận vuông cấp 3, ký hiệu: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 ( a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 )  Tính chất định thức Định thức không thay đổi ta thay đổi hàng thành cột, cột thành hàng ( = ’) o Ví dụ: 3 2; ' 4 Nếu đổi hai hàng (hai cột) cho định thức đổi dấu o Ví dụ: 3 2; 4 đ Thừa số chung hàng (một cột) đưa ngồi dấu định thức o Ví dụ: 3 4 4 Nếu phần cột hay hàng tỷ lệ với phần tử tương ứng cột hay hàng khác định thức Nếu phần tử cột tách thành tổng hai số định thức tách thành tổng hai định thức tương ứng o Ví dụ: 2 2 10 7 13 Định thức không thay đổi cộng thêm vào phần tử cột (hàng) phần tử cột (hàng khác) nhân với số o Ví dụ: ( 2 ) ( 1) ( ) 3 2.3 Ma trận ngịch đảo Ma trận vuông A gọi không suy biến có định thức 0, ngược lại A gọi suy biến Đối với ma trận không suy biến tồn ma trận (A-1) thỏa mãn điều kiện AA-1= A-1A = E A-1 gọi ma trận nghịch đảo A; o Ví dụ: cho A A A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 An2 A1n A2n A nn tính A-1 = 1.5.8 + 2.3.1 + 3.2.0 – 3.5.1 – 1.3.0 – 2.2.8 = -1 Tính Tính A 11 A 12 A 13 5 A 21 , 13 , 40 A 22 , A 23 -1 Ma trận nghịch đảo A = 16 8 A 31 , , A 32 , A 33 40 16 13 5 2.4 Hệ phương trình đại số tuyến tính a 11 x a 12 x a 1n x n a 21 x a 22 x a 2n x n a m1 x1 am2x2 b1 b2 a mn x n bm  Hệ phương trình đại số tuyến tính phân biệt: 5 3 2 có A-1 Khơng có hệ số bi Thuần tất hệ số bi = Tương thích có nghiệm, tức tồn giá trị x1, x2, x3,… xn thỏa mãn hệ phương trình Khơng tương thích hệ khơng có nghiệm thỏa mãn hệ phương trình Xác định hệ có nghiệm Bất định hệ tồn nghiệm  Trường hợp m = n Giả sử ma trận không suy biến tức tồn ma trận nghịch đảo ta có: A-1Ax = A1b Bởi A-1A = E nhân ma trận với E ma trận nên x = A-1b ta có cơng thức Crame tính nghiệm nhất: x1 Ví dụ: giải hệ phương trình x3 x1 x1 Ta có A 1 x2 6 30 72 3x3 30 3 x3 x3 1 44 4x2 2x2 72  Trường hợp m 3 ,i , n 6 b i xi 30 152 44 n 30 152 44 30 x1 40 44 40 Chƣơng QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH I Những thực tế dẫn đến toán quy hoạch tuyến tính 1.1 Bài tốn lập kế hoạch Một xí nghiệp muốn sản xuất loại sản phẩm S1, S2 loại nguyên liệu N1, N2, N3 Suất chi phí nguyên liệu để sản xuất sản phẩm thống kê theo bảng: Sản phẩm S1 S2 N1 N2 N3 Nguyên liệu Để sản xuất sản phẩm S1 cần đơn vị nguyên liệu N1 đơn vị nguyên liệu N2 Để sản xuất sản phẩm S2 cần đơn vị nguyên liệu N1, đơn vị nguyên liệu N2 đơn vị nguyên liệu N3 Để sản xuất liên tục xí nghiệp dự trữ đơn vị nguyên liệu N1, đơn vị nguyên liệu N2, đơn vị nguyên liệu N3 Theo thị trường tiền lãi đơn vị sản phẩm S1 triệu đồng, Trên đơn vị sản phẩm S2 triệu đồng Yêu cầu lập kế hoạch sản xuất cho xí nghiệp thu tiền lãi lớn với hạn chế ngu liệu  Phân tích mơ hình tốn: Gọi x1 số lượng sản phẩm S1, x2 số lượng sản phẩm S2 tiền lãi mong muốn lớn là: 4x1 + 5x2 max Từ bảng chi phí dự trữ ngun liệu ta có: Ngun liệu N1 dùng cho sản xuất sản phẩm S1, S2 2x1 + x2 Nguyên liệu N2 dùng cho sản xuất sản phẩm S1, S2 x1 + 2x2 Nguyên liệu N3 dùng cho sản xuất sản phẩm S1, S2 x2 Tất nhiên x1, x2 số lượng sản phẩm S1, S2 x1 0, x2 f (x) x1 x1 Tổng hợp phân tích ta có tốn: 5x2 x2 x1 2x2 x2 3 x1 0, x2 max Dạng tổng quát toán lập kế hoạch tối ƣu Giả sử đơn vị muốn sản xuất n sản phẩm (S1, S2,…Sn) cách sử dụng m loại nguyên liệu khác (N1, N2,…Nm) Ta đặt ký hiệu: xj lượng sản phẩm loại (j= 1: n) cj tiền lãi đơn vị sản phẩm aij suất chi phí nguyên liệu loại i để sản xuất đơn vị sản phẩm loại j bi lượng dự trữ nguyên liệu (i = 1:m) Hãy xác định xj (j= 1: n) cho tổng tiền lãi lớn điều kiện nguyên liệu có? n f (x) c j xi max bi , j : n,i j Mơ hình tốn dạng tổng qt sau: n a ij x j 1:n j x j 0, j 1:n 1.2 Bài toán sử dụng vật tƣ  Bài toán: Một nhà máy sử dụng m loại vật tư Vi (i=1:m) để sản xuất n mặt hàng Hj; gọi bi lượng vật tư thứ i aij số đơn vị vật tư thứ i để sản xuất đơn vị mặt hàng j cj tiền lãi đơn vị sản phẩm Hj xj lượng sản phẩm mặt hàng Hj (j= 1: n) Yêu cầu: Hãy tìm số lượng sản phẩm sản xuất điều kiện cho tiền lãi thu lớn n f (x) c j xi max bi , i 1:m j Mơ hình tốn dạng tổng qt sau: n a ij x j j x 0, j j 1:n  Bài tập ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất bốn loại mặt hàng A, B, C, D từ loại vật tư I, II, III Số lượng hạn chế loại vật tư, định mức tiêu hao vật tư cho đơn vị mặt hàng lãi thu từ đơn vị mặt hàng cho bảng sau: Mặt hàng A (x1) B(x2) C (x3) D (x4) I (300Đơn vị) 12 15 II (500đơn vị) 14 III (200đơn vị) 17 13 12 Tiền lãi/1ĐVSP Vật tư Hãy lập phương án sản xuất để tổng tiền lãi lớn đồng thời đảm bảo chủ động vật tư Bài làm: Gọi x1 số lượng sản phẩm A; Gọi x2 số lượng sản phẩm B; Gọi x3 số lượng sản phẩm C; Gọi x4 số lượng sản phẩm D tiền lãi mong muốn lớn là: f(x) = 5x1 + 8x2 + x3 + x4 → max Từ bảng sản xuất nguyên liệu ta có: o Nguyên liệu I dùng cho SX sản phẩm A, B, C, D là: 12x1 + 5x2 + 15x3 + 6x4 ≤ 300 o Nguyên liệu II dùng cho SX sản phẩm A, B, C, D là: 14x1 + 8x2 + 7x3 + 9x4 ≤ 500 o Nguyên liệu III dùng cho SX sản phẩm A, B, C, D là: 17x1 + 13x2 + 9x3 + 12x4 ≤ 200 Do x1; x2 ; x3 ; x4 số lượng sản phẩm xj ≥ 0, j = 1: Tổng hợp phân tích ta có tốn: (1) (2) (3) f(x) = 5x1 + 8x2 + 4x3 + 6x4 → max 12 x 5x2 15 x 14 x 8x2 x3 17 x 13 x x3 6x4 9x4 12 x 300 500 200 xj ≥ 0, i = 1: X1 Kết giải bải toán tối ƣu: X2 15 X3 X4 F(x) 120 1.3 Bài toán túi  Bài toán: Một người khách du lịch muốn mang theo túi nặng không b kg Người khách dự định mang theo n loại vật dụng, loại vật dụng j có khối lượng aj kg có giá trị ci Người khách du lịch muốn chất vào túi vật dụng cho tổng giá trị đồ vật mang theo lớn Phân tích mơ hình tốn: Gọi xj đồ vật loại j chất vào túi, ta có tốn sau: n f (x) c jx j max j n a jx b j j x j 0, j : n , x j nguyên 1.4 Bài toán pha trộn  Bài toán: Một nhà máy luyện kim muốn sản xuất hợp kim với thành phần 20%bạc, 30% đồng, 50% nhôm Họ sử dụng loại nguyên liệu bạc, đồng, nhôm, hợp kim A, hợp kim B, hợp kim C Hàm lượng nguyên liệu giá đơn vị khối lượng loại (USD/kg) cho bảng sau: Bạc Đồng Nhôm (x1) (x2) (x3) Bạc 90% 5% Đồng 10% Nhôm Đơn giá (USD/kg) A (x4) B (x5) C (x) 30% 50% 40% 90% 40% 20% 35% 5% 100% 30% 30% 25% 1500 300 100 1000 1200 1100 Hãy lập phương án pha trộn để đơn giá thành sản phẩm thấp * Phân tích mơ hình tốn: Đặt xj; j = 1:6 khối lượng (kg) bạc, đồng, nhôm, hợp kim A, hợp kim B, hợp kim C tương ứng để sản xuất 1kg hợp kim (xj đồng thời tỷ lệ pha trộn nguyên liệu sản xuất hợp kim) Trong kg hợp kim tạo chứa 0,2kg bạc, 0,3kg đồng, 0,5kg Nhơm Từ bảng cho ta có số liệu: 10 - Nếu phương án có tồn tại:  Nếu j>  Nếu j 0, với j có aij > (i = 1:m) tốn Z < với j có aij > (i = 1:m) toán Z max Thì chuyển sang phương án tốt Bƣớc 3: Xác định cột chuẩn – tìm ẩn đƣa vào Dựa vào tính chất hệ số đặc trưng - Với tốn Z j ta có quy tắc xác định cột chuẩn sau: min; cột chuẩn cột ứng với L= j lớn với j >0 xj khơng - Với tốn Z max; cột chuẩn cột ứng với L = j nhỏ với j 0 ) - Ẩn tương ứng với hàng k (xk) ẩn đưa khỏi bảng đơn hình - Phần tử aij ứng với cột chuẩn i = l, hàn chuẩn j = k gọi phần tử xoay akl Bƣớc 5: Biến đổi thay phƣơng án - Sau xác định ẩn đưa vào xl, ẩn đưa xk, phần tử xoay akl - Thay biến hàng k biến xl (loại xk ra) - Giá trị số liệu hàng sở (hàng xl) tính sau: ' a kj a kj , j 1:n a kl ' ; bk bk , j 1:n a kl a’kj ; b’k giá trị bảng Trong đó: akj ; akl; bk giá trị bảng cũ - Giá trị hàng lại biến đổi theo quy tắc bảng sau: b i a kl ' bi b k a il ; i = 1: m; j =1: n a kl a ' a ij ii a kl a kj a il ; i = 1: m; j =1: n a kl j ' j a kl a kj a kl l ; i = 1: m; j =1: n 29 BÀI TẬP PHƢƠNG PHÁP LẬP BẢNG ĐƠN HÌNH Giải tốn QHTT sau: f (x) x1 x1 x 3x2 5x2 x3 3x x4 x1 3x3 x5 10 2x2 4x3 x6 12 j 0, j 3x4 2x5 x6 Min 1:6 Xác định ẩn Đây phương trình tắc có ẩn x4 = 6; x5 = 10; x6 = 12 Lập bảng đơn hình ban đầu ACB Hệ số Phương x1 x2 x3 x4 x5 x6 ACB án -3 X4 -3 -1 0 X5 10 10/3 X6 12 0 12/4 = 14 1=-2 2=-12 3=10 4= 5= =0 Từ bảng đơn hình xuất phát ta kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu nhận thấy: tốn Z có = 10 > phương án xuất phát khơng phải phương án tối ưu nên phải chuyển phương án Biến đổi phƣơng án Xác định cột chuẩn, tìm ẩn đưa vào: toán Z min, nên cột chuẩn đưa vào cột ứng với j > lớn Do cột l = cột chuẩn x3 ẩn đưa vào Xác định hàng chuẩn, tìm ẩn đưa ra: điều kiện hàng chuẩn k phải hàng có k = bi a i3 ai3 > 0; k = phần tử đưa x6 Xác định phần tử xoay: akl = a33 = 4; hàng chuẩn bảng đơn hình k = Dựa vào cách tính tốn giá trị bảng đơn hình biến đổi ta lập bảng đơn hình là: ACB Hệ số Phương x1 x2 x3 x4 x5 x6 ACB án -3 X4 -3 b’1= 7/2 1/4 X5 b’ = -3/2 0 -3/4 10/3 ’ X3 b3= 1/2 0 1/4 12/4 = -16 1=-2 2=-12 3= 4= 5= =-5/2 Từ bảng ta thấy với j = 1: j ≤ 0, toán Z Nên phương án bảng phương án tối ưu x* = (0, 0, 3, 9, 1, 0) giá trị tối ưu f(x*) = -16 30 ACB x4 x5 x6 Hệ số ABC C1 = -3 C2 = C3 = Phương án b1 = b2 = 10 b3 = 12 0= j x4 x5 x3 14 ’ C1 = -3 C2 = C3 = b1 = b2’ = b3’ = ’ ’ j = x1 a11= a21= a31= x2 a12 = a22 = a32 = = -2 ’ a11 = a21’= a31’ = ’ x3 a13 = -1 a23 = a33 = = x4 -3 a14 = a24 = a34 = = Bảng a12 = a13’ = a22’ = a23’ = a32’ = a33’ = = ’ ’ ’ = = ’ a15’ = a25’ = a35’ = ’ = x6 a16 = a26 = a36 = = a14’ = a24’ = a34’ = = x5 a15 = a25 = a35 = a16’ = a26’ = a36’ = ’ = = = Phƣơng án xoay Phƣơng án ban đầu m cibi ' b1 b a 33 b a 13 12 ( a 33 i 1) m c i a ij j c ' j b2 i = -3.6 + 2.10 + 1.12 = 14 = (-3.1 + 2.2 + 1.0) – = -2 = (-3.3 + 2.0 + 1.2) – = -12 = (-3.-1 + 2.3 +1.4) – = 10 = (-3.1 + 2.0+1.0) – (-3) = = (-3.0 + 2.1+1.0) – = = (-3.0 + 2.0+1.1) – = Phương án xoay b a 33 b a 23 a 33 10 12 bk ' bk , j a kj ' ' , j 1:n a kl ' bi a a ij ii j j a 11 a 33 a 31 a 13 ( a 33 a 21 a 33 1) a 31 a 23 a 33 a kl ' a kj a il a kl ; i = 1: m; j =1: n a kj a kl a 31 a 33 a 12 a 33 a 22 ' l ; i = 1: m; j =1: n a 32 a 32 a 13 ( 1) a 33 ; i = 1: m; j =1: n a kl ' a 12 b k a il a kl ' a 33 a 21 ' b i a kl ' 12 a 11 a 31 a kj b3 1:n a kl ' ' b3 a 22 a 33 a 32 a 23 a 33 a 32 a 33 31 /2 4 1/2 3/2 VII BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU KHÁI NIỆM CẶP BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 2.1 Cặp toán P - D Cho toán QHTT sau (Bài tốn gốc P): Tìm x = (x1, x2,… xn) cho hàm mục tiêu Zp → max với ràng buộc sau: n Z c jxJ p max j n (2) a ij x j bi ; i m j (3) x 0; i j 1: m; j 1:n Bài toán đối ngẫu D tương ứng với toán P phát biểu sau: tìm y = (y1, y2,… ym) cho hàm mục tiêu ZD →min với ràng buộc sau: m Z bi y i D i m (2) i a ij y i c j; j 0; i 1:m; n (3) yi 2.2 Trình tự lập tốn P - D Bƣớc 1: Lập sơ đồ Viết biến xj tương ứng (hàng cùng) Viết ma trận hệ số ma trận ràng buộc thành dạng bảng Viết hệ số Cj tương ứng (hàng cuối cùng) Viết hệ số bi tương ứng (cột bên phải) Viết biến yi tốn D (cột ngồi bên trái) Đánh dấu hạn chế biến Bƣớc 2: Từ sơ đồ lập toán D 32 Bài tập 1: Cho toán gốc P Z 27 x p x1 50 x 2 x2 x1 x1 x3 x2 18 x x3 2x2 Max Lập toán đối ngẫu D x3 x , x tùyý ; x Bài làm Bƣớc 1: Lập sơ đồ đối ngẫu X1 X TY TY Y1 Y TY Y C1 27 C2 X 1 50 C3 b1 b2 b3 18 Bƣớc 2: Từ sơ đồ đối ngẫu viết thành toán đối ngẫu Z D y1 2 y1 y1 y1 y1 y2 y2 y3 y2 y2 Min 27 y3 y3 y3 50 18 , y TY , y 33 Bài tập 2: Cho toán gốc P Z 2 x1 p x2 x4 x1 x2 x3 15 x1 x2 x3 x4 x1 x x3 18 x1 , x , x , x Min Lập toán đối ngẫu D 27 Bài làm x1 y1 y2 tùyý y3 x2 1 1 x3 1 1 x4 Z 15 27 18 15 y D y1 y2 y3 y1 y2 y3 y1 y2 y 18 y Max y3 y1 , y 27 y , y tùyý QUAN HỆ GIỮA BÀI TOÁN P VÀ BÀI TOÁN D Các định lý đối ngẫu Định lý 1: Với cặp toán P D xảy trường hợp sau: - Cả P D khơng có phương án - Cả P D có phương án, lúc hai có phương án tối ưu giá trị tối ưu ZP(tối ưu) = ZD(tối ưu) - Một hai tốn khơng có phương án tối ưu, cịn tốn có phương án, tốn có phương án khơng có phương án tối ưu hàm mục tiêu khơng bị chặn Định lý 2: (Định lý độ lệch bù) điều kiện cần đủ để phương án x0 toán P y0 toán D tối ưu là: m x 0 a ij y i j c j 0, j 1:n i n yi a ij x j bi 0,i 1:m j Chú ý: Trong tích thừa số khác khơng thừa số phải khơng Nhờ tính chất mà ta lập hệ phương trình tuyến tính giúp cho việc giải tốn D 34 Tìm nghiệm tốn P từ nghiệm tốn D Giả sử giải toán D, ta suy kết tốn P sau: Theo định 1: Nếu tốn D khơng có phương án tối ưu kết luận tốn P khơng có phương án tối ưu Theo định lý 2: Nếu tốn D có phương án tối ưu y 0 0 ( y , y , y m ) giá trị hàm mục tiêu ZD(Yo) ta có - Bài tốn P có phương án tối ưu x 0 0 ( x , x , x n ) với giá trị hàm mục tiêu ZP(Xo) = ZD(Yo) - Việc tính tốn giá trị phương án tối ưu  Thứ 1: Nếu yi tính để tính giá trị  Thứ 2: Ta thay số j mà y E x 0 ta có a ij x i x bi 0 0 ( x , x , x n ) tiến hành sau: , nhờ ta lập hệ phương trình tuyến j 0 ( y , y , y m ) vào biểu thức a ij y i c j E Với theo định lý có xj =  Với phương trình lập cơng việc thứ kết xác định công việc thứ 2, ta tìm nghiệm tối ưu tốn P BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Giải toán QHTT sau f (x) 52 x 60 x x1 2 x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 36x Min 3 x j tùy ý , j 1:3 Bƣớc 1: Chuyển toán P toán D 35 x1 x2 x3 t ý t ý t ý y1 0 y2 y3 4 y4 y5 0 f (x) y1 y1  Bài toán D 2 y2 y2 y3 y2 y5 y2 4y y3 52 y4 60 y4 y5 Max 36 3 yi 0; i 1:3 Min 52 60 36 max Bƣớc 2: Giải toán D phương pháp thử - Chọn biến sở Theo định lý có PT ràng buộc nên có nghiệm dương; ta có y1 Y0=(y1,y2,y3,0,0); thay vào ràng buộc ta có 2y2 4y2 y3 3y2 36 y3 y1 52 60 giải y2 12 y3 giá trị hàm mục tiêu Z0 = -2.4 + 6.12 + 4.6 = 88 - Thử đưa y4 vào sở ta có Y0=(y1,y2,y3,y4,0); thay vào ràng buộc ta có y1 2y2 4y2 y3 3y2 36 a1 y3 52 y4 60 2; a a1 ba phương trình ẩn nên chuyển thành 0; a 2a2 4a2 2a3 3a 4a3 giải ta ,5 Hiệu suất y4 : 4 = -2.(-2) + 6.0 + 4.0,5 = = c4 - 4= -2 - = - < nên đưa y4 vào khơng có lợi - Thử đưa y5 vào sở ta có Y0=(y1,y2,y3,0,y5); thay vào ràng buộc ta có y1 2y2 y3 4y2 y3 3y2 y5 52 a1 ba phương trình ẩn nên chuyển thành 60 36 a ; a , ; a Hiệu suất y5 : Tính y1 a1 giá trị I 4a2 2a3 3a 4a3 0 giải ta = -2.3 + 6.0,5 + 4.(-1) = -7 = c5 - = – (-7) = 10 > nên đưa y5 vào có lợi ; 2a2 y2 a2 12 24 ,5 ; y3 a3 6 ; ta loại bỏ biến có giá > có giá trị nhỏ loại bỏ y1 khỏi biến sở; Biến sở 36 Y0=(0,y2,y3,0,y5); Thay biến vào ràng buộc ta y2 hệ ta 2y2 y3 52 4y2 y3 60 3y2 y5 giải 36 11 , 333 y3 giá trị hàm mục tiêu Z0 = 6.11,333 + 4.7,333 + 3.2 = 103,33 , 333 y5 Kết luận phương án tối ưu toán D Y0 = (0;11,333;7,333;0;2) giá trị tối ưu Z0 = 103,33 Bƣớc 3: Tìm nghiệm tốn P từ nghiệm tốn D - Thứ 1: Kết giải toán D cho thấy (y2, y3, y5) nên ta có x1 4x2 3x3 x1 2x2 x3 - Thứ 2: Thay kết Y0 = (0; 11,333; 7,333; 0; 2) vào biểu thức tính y1 a ij y i c j y2 y2 y3 3y2 y5 y3 52 y4 60 11 , 333 , 333 11 , 333 36 11 , 333 , 333 36 52 60 ta nhận kết E = 0, j = 1: xj 0; giải phương trình thứ ta phương án tối ưu toán P 11 * x0 ( , ,3 ) giá trị tối ưu Z * P(X (103 , 333 ) ) Bài 2: Giải toán QHTT sau f (x) x x1 x2 x1 x2 x3 15 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 18 0, j j x Min 27 1:4 Bƣớc 1: Chuyển toán P toán D x1 x2 x3 x4 f (x) y1 y2 y3 t ý 1 1 1 1 15 27 18  Bài toán D 1 y2 y3 y1 y2 y3 y2 y1 max 27 y y1 y1 2 15 y y2 y3 ; y tùy ý ; y Bƣớc 2: Giải toán tối ƣu D ta đƣợc phƣơng án tối ƣu nhƣ sau 37 18y Max Y0 = (-1; -1; 0) giá trị tối ưu Z0D = -42 Bƣớc 3: Tìm nghiệm tốn P từ nghiệm toán D - Thứ 1: Kết giải toán D cho thấy (y1, y2) - Thứ 2: Thay a ij y i c kết Y0 = (-1; nên ta có -1; y1 y2 y3 ( 2) 1 ( 2) y1 y2 y3 1 1 ( 1) j y1 y2 y2 y3 1 x1 x2 x3 15 x1 x2 x3 x4 vào 0) biểu 27 thức tính ta nhận kết E1 = 0; E3 = 0, x1, x3 0; E1 = ; E3 = 0, x1, x3 0; E2 0; E4 = 0, x2= 0, x4 = 0; Giải phương trình thứ x1 x2 x3 15 x1 x2 x3 x4 27 ưu toán P * x0 x1 x3 15 x1 x3 ( 21 , , , ) 27 x1 x3 15 x1 21 x1 x3 27 x2 giá trị tối ưu Z P(X * ) ta phương án tối 42 IIX BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NHIỀU MỤC TIÊU Khái niệm Trong thực tế ta đòi hỏi phải cân nhắc, so sánh nhiều mục tiêu khác nhau; Ví dụ lập kế hoạch sản xuất mục tiêu thu lãi lớn nhất, đòi hỏi ổn định lực lượng lao động, nâng cao đời sống, vốn đầu tư Những toán yêu cầu ta phải đạt nhiều mục tiêu khác gọi toán quy hoạch nhiều mục tiêu Bài toán quy hoạch nhiều mục tiêu thường gắn với mơ hình tốn tương ứng tốn QHPT, toán QHTT nhiều mục tiêu Cách tiếp cận với toán nhiều mục tiêu ta quy định mục tiêu mức số cụ thể, tiếp đến xác định hệ số phạt vi phạm quy định cuối tìm phương án đạt cực tiểu tổng độ lệch hệ số phạt xác đinh giá trị hàm mục tiêu so với mức quy định cho mục tiêu Phân loại mức mục tiêu: - Mức phía, cận dưới: quy định giới hạn cho giá trị mục tiêu cần đạt, đạt cao tốt - Mức phía cận trên: quy định giới hạn cho giá trị mục tiêu cần đạt, đạt thấp tốt 38 - Mức hai phía: quy định giá trị mà mục tiêu phải đạt khơng khơng Bài tốn quy hoạch nhiều mục tiêu khơng có ƣu tiên Bài tốn: Một xí nghiệp dự kiến sản xuất ba sản phẩm A, B, C Giám đốc quan tâm tới mục tiêu là: lợi nhuận, lao động, vốn đầu tư Cụ thể là: Cần đạt lợi nhuận tối thiểu 125 triệu đồng từ sản phẩm Duy trì đội ngũ lao động có mức 4000 người Mức đầu tư không vượt 55 triệu đồng Giám đốc nhận thấy khả đạt đồng thời ba mục tiêu nêu ra, ơng định hệ số phạt sau: - Hệ số phạt triệu đồng lợi nhuận thấp mức quy định - Hệ số phạt 100 lao động phải sử dụng thêm vượt quy định hệ số phạt 100 lao động không sử dụng - Hệ số phạt triệu đồng vốn đầu tư phải tăng thêm so với mức quy định Giả sử mức lợi nhuận, số lao động vốn đầu tư tỷ lệ thuận với mức sản xuất sản phẩm Các số liệu, định mức hệ số phạt cho bảng sau: Mục tiêu Sản phẩm Mức mục Hệ số phạt A B C tiêu Lợi nhuận 12 15 ≥ 125 Lao động = 40 (x100) 2(+); 4(-) Vốn đầu tư ≤ 55 BÀI LÀM - Đặt x1, x2, x3, sản phẩm A, B, C muốn sản xuất Vậy mục tiêu diễn đạt sau: Lợi nhuận: 12x1 + 9x2 + 15x3 ≥ 125 Lao động: 5x1+ 3x2 + 4x3 = 40 Vốn đầu tư: 5x1 + 7x2 + 8x3 ≤ 55 - Đặt Z lượng phạt vi phạm mục tiêu quy định Với hệ số phạt cho mục tiêu tổng thể tìm x1, x2, x3 cho Z - Để tiện cho nghiên cứu ta đưa biến phụ y1, y2, y3 vào sau : y1 = 12x1 + 9x2 + 15x3 - 125 39 y2 = 5x1+ 3x2 + 4x3 - 40 y3 = 5x1 + 7x2 + 8x3 – 55 - Do yi dương âm, nên ta đặt y1 y1 y1 ; y y2 y2 ; y3 y3 y3 với yi+, yi- ≥ 0; i =1 ÷ - Quan hệ cho thấy yi+ biểu thị phần dương biến yi dấu (+) yi- biểu thị phần âm biến yi dấu (-) - Với biến phụ ta lập hàm mục tiêu sau: Z y1 y2 y2 y3 - Để chuyển toán quy hoạch nhiều mục tiêu thành mục tiêu, ta cần phải đưa biến phụ vào ràng buộc sau: y1 = y1+ - y1- = 12x1 + 9x2 + 15x3 – 125 hay 12x1 + 9x2 + 15x3 – (y1+ - y1-) = 125 y2 = y2+ - y2- = 5x1+ 3x2 + 4x3 – 40 hay 5x1+ 3x2 + 4x3 – (y2+ - y2-) = 40 y3 = y3+ - y3- = 5x1 + 7x2 + 8x3 – 55 hay 5x1 + 7x2 + 8x3 – (y3+ - y3-) = 55 - Tổng hợp phân tích ta tốn mục tiêu sau : (1 ) Z y1 12 x x2 y2 15 x y2 y3 ( y1 y1 ) 125 ( ) x1 3x2 x3 ( y2 y2 ) 40 x1 x2 x3 ( y3 y3 ) 55 (3) x j 0, yi 0, yi 0; j 3; i - Giải tốn phương pháp đơn hình ta được: x1=25 /3; x2 =0; x3 =5/3; y1+ = 0, y1- = 0, y2+ = 25/3, y2- = 0, y3+ = 0, y3- = - Kết giải toán ta thấy:  y1+ - y1- = 0, tức mục tiêu thứ hoàn toàn thỏa mãn  y2+ - y2- = 8.33, mục tiêu thứ hai vượt mức quy định 833 người so với mức quy định 4000 người  y3+ - y3- = 0, tức mục tiêu thứ ba hoàn toàn thỏa mãn Kế hoạch sản xuất là: sản phẩm A, sản phẩm C, không sản xuất sản phẩm B thu lợi nhuận 126 triệu, Lao động cần 4800, Vốn đầu tư cần 56 triệu Tổng lượng vi phạm 19 Kế hoạch sản xuất là: 25/3 =8,33 sản phẩm A, 5/3 =1,66 sản phẩm C, không sản xuất sản phẩm B thu lợi nhuận 125 triệu, Lao động cần 4833.1/3, Vốn đầu tư cần 55 triệu Tổng lượng vi phạm 50/3= (16,66) 40 Bài tốn quy hoạch nhiều mục tiêu có ƣu tiên Trong thực tế có nhiều trường hợp toán quy hoạch nhiều mục tiêu khác Để tiện khảo sát, người yêu cầu phải đặt thứ tự mức ưu tiên Với toán ta tập trung vào mức mục tiêu ưu tiên sau giải có lời giải mức ưu tiên Sau ta xét mức ưu tiên Thực chất phương pháp giải dãy toán QHTT theo giai đoạn khác nhau: * Phƣơng pháp thực Giai đoạn 1: Chỉ đưa vào mô hình QHTT mục tiêu có mức ưu tiên áp dụng phương pháp đơn hình để giải Nếu lời giải dừng trình giải mà khơng cần xét mục tiêu cịn lại Trường hợp có nhiều lời giải ứng với giá trị tối ưu hàm mục tiêu chuyển sang giai đoạn đưa vào mơ hình mục tiêu mức ưu tiên Giai đoạn 2: trường hợp cần chuyển sang giai đoạn 2, ta phải vào giá trị hàm mục tiêu Z* tính giai đoạn sau: - Nếu Z* = tức biến phụ không (mọi mục tiêu mức ưu tiên đạt) Trong trường hợp biến phụ loại khỏi mơ hình giai đoạn - Nếu Z* > giai đoạn thêm vào mơ hình thiết lập giai đoạn mục tiêu có mức ưu tiên 2, sau cần thêm vào ràng buộc phản ánh giá trị hàm mục tiêu giai đoạn Z* Bài tập áp dụng Sau giải tốn Giám đốc xí nghiệp khơng chấp nhận phương án tăng thêm lao động Vì ơng đặt lại mục tiêu tốn là: Ưu tiên mức không tăng nhân lực, tránh đầu tư mức ưu tiên mức giữ lại lợi nhuận tối thiểu 125 tránh giảm lao động mức 4000 Với định hai mức ưu tiên với số liệu cho ta lập bảng sau : Mức ƣu tiên Mức ưu tiên Mức ưu tiên Mục tiêu Lao động Vốn đầu tư Lợi nhuận Lao động A 5 12 Sản phẩm B 41 C 15 Mức mục tiêu Hệ số phạt ≤40 (x100) ≤ 55 ≥ 125 ≥40 (x100) Theo số liệu bảng cho ta có hai mục tiêu mức ưu tiên đưa vào toán QHTT GIAI ĐOẠN - Đặt x1, x2, x3, sản phẩm A, B, C muốn sản xuất Vậy mục tiêu diễn đạt sau: 5x1+ 3x2 + 4x3 ≤ 40 5x1 + 7x2 + 8x3 ≤ 55 - Đặt Z lượng phạt vi phạm mục tiêu quy định Với hệ số phạt cho mục tiêu tổng thể tìm x1, x2, x3 cho Z - Để tiện cho nghiên cứu ta đưa biến phụ y2, y3 vào sau : y2 = 5x1+ 3x2 + 4x3 - 40 y3 = 5x1 + 7x2 + 8x3 – 55 - Do yi dương âm, nên ta đặt y2 y2 y2 ; y3 y3 y3 với yi+, yi- ≥ 0; i =2 ÷ - Với biến phụ ta lập hàm mục tiêu sau: Z y2 y3 - Để chuyển toán quy hoạch nhiều mục tiêu thành mục tiêu, ta cần phải đưa biến phụ vào ràng buộc sau: y2 = y2+ - y2- = 5x1+ 3x2 + 4x3 – 40 hay 5x1+ 3x2 + 4x3 – (y2+ - y2-) = 40 y3 = y3+ - y3- = 5x1 + 7x2 + 8x3 – 55 hay 5x1 + 7x2 + 8x3 – (y3+ - y3-) = 55 - Tổng hợp phân tích ta toán mục tiêu sau : (1 ) Z (2) y2 y3 x1 x2 x3 ( y2 y2 ) 40 x1 x2 x3 ( y3 y3 ) 55 (3) x j 0, yi 0, yi 0; j 3; i - Giải toán phương pháp đơn hình ta được: x1= 5, x2 =0, x3 = 3.75, y2+ = 0, y2- = 0, y3+ = 0, y3- = ; Z* = tức hai mục tiêu ưu tiên đạt Do loại bỏ y2+ = 0, y3+ = khỏi mô hình GIAI ĐOẠN Sau loại bỏ y2+ = 0, y3+ = đồng thời thêm mục tiêu ưu tiên mơ hình tốn QHTT giai đoạn : 42 (1 ) Z y1 12 x y2 x2 15 x ( y1 y1 ) ( ) x1 x2 x3 (0 y2 ) 40 x1 x2 x3 (0 y3 ) 55 3; i (3) x j 0, yi 0, yi 0; j 125 - Giải toán phương pháp đơn hình ta được: x1= 5, x2 =0, x3 = 3.75, y1+ = 0, y1- = 8.75, y2- = 0, y3- = ; Z* = 43.75; Do lời giải nên trình giải kết thúc với x* = (5, 0, 3.75) phương án tối ưu toán Kết luận: Như với phương án tối ưu x* = (5, 0, 3.75) mục tiêu lao động vốn đầu tư thỏa mãn lợi nhuận đạt 116.25 triệu (còn thiếu 8.75 triệu đạt) 43 ... j c ' j b2 i = -3 .6 + 2.10 + 1.12 = 14 = (-3 .1 + 2.2 + 1.0) – = -2 = (-3 .3 + 2.0 + 1.2) – = -1 2 = (-3 .-1 + 2.3 +1.4) – = 10 = (-3 .1 + 2.0+1.0) – (-3 ) = = (-3 .0 + 2.1+1.0) – = = (-3 .0 + 2.0+1.1)... + 15x3 – (y1+ - y 1-) = 125 y2 = y2+ - y 2- = 5x1+ 3x2 + 4x3 – 40 hay 5x1+ 3x2 + 4x3 – (y2+ - y 2-) = 40 y3 = y3+ - y 3- = 5x1 + 7x2 + 8x3 – 55 hay 5x1 + 7x2 + 8x3 – (y3+ - y 3-) = 55 - Tổng hợp phân... là: ACB Hệ số Phương x1 x2 x3 x4 x5 x6 ACB án -3 X4 -3 b’1= 7/2 1/4 X5 b’ = -3 /2 0 -3 /4 10/3 ’ X3 b3= 1/2 0 1/4 12/4 = -1 6 1 =-2 2 =-1 2 3= 4= 5= =-5 /2 Từ bảng ta thấy với j = 1: j ≤ 0, tốn Z Nên