Hocmai vn – Học chủ động Sống tích cực Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn 1900 6933 Trang | 1 A Hàm số lượng giác I Các hàm số lượng giác cơ bản siny x= cosy x= tany x= coty x= Định nghĩa Quy tắ.
Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Tổng hợp kiến thức A Hàm số lượng giác I Các hàm số lượng giác y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực sin x : Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực cos x : Hàm số tang hàm số xác định công thức: Hàm số côtang hàm số xác định công thức: → sin : Định nghĩa y = sin x x → cos : y= y = cos x x gọi hàm số sin gọi hàm cơsin Kí hiệu: Kí hiệu: y = sin x y = cos x Tập xác định sin x ( cos x ) cos x y= cos x ( sin x ) sin x Kí hiệu: Kí hiệu: y = tan x y = cot x \ + k ( k 2 \ k ( k ) ) Tập giá trị −1;1 −1;1 Chu kì tuần hồn 2 2 Tính chẵn, lẻ Là hàm số lẻ Là hàm số chẵn Là hàm số lẻ Là hàm số lẻ y Đồ thị hàm số y π 2π 3π 3π π O π π π 3π x 2π 2π π x O Hệ thống giáo dục HOCMAI π 2 y y π 3π 2π π 2π 3π π 2 π O 2π x 2π π π 3π 3π π 2 2 π O 2π π 3π 2 x Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực II Tập xác định hàm số lượng giác Cách giải: • • Tìm điều kiện để hàm số có nghĩa Giải điều kiện rút kết luận Chú ý: Với hàm chứa bậc chẵn biểu thức dấu phải ; hàm phân thức mẫu số phải ; hàm liên quan đến tan,cot sin cos phải ;… III Tính chẵn lẻ hàm số lượng giác Cách giải: • • Tìm tập xác định D hàm số Với x D −x D • Tính f ( − x ) : Nếu f ( − x ) = f ( x ) , x D hàm số chẵn Nếu f ( −x ) = −f ( x ) , x D hàm số lẻ IV Chu kỳ hàm số lượng giác Cách giải: Áp dụng cách tính chu kì sau: • Hàm số y = k sin ( ax + b ) ; y = k cos ( ax + b )( ka ) có chu kì T = 2 a • Hàm số y = k tan ( ax + b ) ; y = k cot ( ax + b )( ka ) có chu kì T = a B Phương trình lượng giác I Phương trình lượng giác x = + k2 sin x = sin a (k x = − + k2 tan x = tan x = + k ( k cos x = cos x = + k2 ( k ) ) cot x = cot x = + k ( k ( II Phương trình bậc sinx cosx: asinx + bcosx = c a + b2 ) ) ) Cách giải: - Nếu a + b2 c phương trình vơ nghiệm - Nếu a + b2 c phương trình Hệ thống giáo dục HOCMAI a a + b2 sin x + b a + b2 cos x = Tổng đài tư vấn: 1900 6933 c a + b2 (1) - Trang | - Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực Đặt a a + b2 = cos ; b a + b2 = sin Khi đó: (1) sin x cos + cos x sin = c a + b2 sin ( x + ) = c a + b2 = sin ( III Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin2 x + bsin xcos x + c cos2 x = a2 + b2 + c2 ) Cách giải: Cách 1: + Xét xem x = + k có nghiệm phương trình khơng + k ( cos x ), chia hai vế phương trình cho cos2 x ta phương trình bậc theo tan x + Với x Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc công thức nhân đơi ta đưa phương trình dạng bậc theo sin 2x cos 2x ( IV Phương trình đối xứng: a ( sin x + cos x ) + bsin x cos x + c = a + b2 ) Cách giải: ( ) t2 − Đặt t = s inx + cosx = s in x + , t sin xcosx = ta phương trình bậc 4 hai theo t Giải phương trình bậc tìm t từ tìm nghiệm Với phương trình a ( sin x − cos x ) + bsin x cos x + c = tương tự ta đặt t = sin x − cos x = s in x − , 4 ( ) t sin xcosx = − t2 Nguồn Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 : Hocmai - Trang | - Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Tổng hợp kiến thức Phép biến Định nghĩa, tính chất hình Biểu thức tọa độ • Tv ( M ) = M ' MM ' = v • Nếu Tv ( M ) = M '; Tv ( N ) = N ' M ' N ' = MN từ suy M ’N = MN Phép tịnh • Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song tiến trùng với nó, biến đoạn thẳng Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v = ( a; b ) Với điểm M ( x; y ) ta có M ' ( x '; y ') ảnh M qua phép tịnh tiến theo v Khi đó: MM' = v x '− x = a y '− y = b x ' = x + a y ' = y + b thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn bán kính • M = Đ d ( M ) M M = −M M • Phép đối xứng trục bảo tồn khoảng cách hai điểm • Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng ĐOx: M ( x; y ) M ( x; y ) Khi x = x đó: y = − y • ĐOy: M ( x; y ) M ( x; y ) Khi • x = − x đó: y = y • Cho đường thẳng d : Ax + By + C = Phép đối nó, biến tam giác thành tam giác xứng trục nó, biến đường tròn thành M ( x; y ) d ; M ' ( x '; y ') ảnh đường trịn có bán kính điểm M qua phép đối xứng qua đường thẳng d Khi đó, A ( Ax + By + C ) x ' = x − A2 + B y ' = y − B ( Ax + By + C ) A2 + B Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực Phép đối xứng tâm • Đ I ( M ) = M IM = − IM • Đ I ( M ) = M Đ I ( M ) = M • Đ I ( M ) = M ; Cho I ( a; b ) Đ I ( N ) = N M ( x ; y ) Cho điểm O góc lượng giác Phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O M' thành điểm cho OM ' = OM góc lượng giác ( OM ; OM ') gọi • • quay Q(O, ) : M ( x; y ) x ' = x cos − ysin y' = xsin + ycos Phép quay bảo toàn khoảng cách Q(O,900 ) : M ( x; y ) tròn thành đường tròn bán M ( x ; y ) M '( x '; y ') Các trường đặc biệt: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường đó: Phép quay quanh tâm O ( 0;0 ) , góc phép quay tâm O góc hai điểm Khi x = a − x y = 2b − y M N = −MN • Phép đối xứng tâm biến điểm thành điểm, đoạn thẳng thành đoạn Đặc biệt: Đ : M ( x; y ) O thẳng nó, đường thẳng thành x = − x đường thẳng song song trùng với Khi đó: y = − y , biến đường trịn thành đường trịn bán kính • Phép Đ I : M ( x; y ) M '( x '; y ') x ' = − y y' = x Q(O,–900 ) : M ( x; y ) M ' ( x '; y ') x ' = y y ' = −x Trường hợp tổng quát phép quay quanh tâm I ( a; b ) , góc kính Q( I , ) : M ( x; y ) M '( x '; y ') x ' = ( x − a ) cos − ( y − b ) sin + a y ' = ( x − a ) sin + ( y − b ) cos + b Phép vị tự • V(O;k ) ( M ) = M ' OM ' = kOM Cho I ( a; b ) Khi đó, • V( I ;k) ( M ) = M ', V( I ;k) ( N ) = N ' V( I ;k ) M ( x; y ) M ' ( x '; y ' ) M ' N ' = kMN Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực • Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự x ' = kx + (1 − k ) a y ' = ky + (1 − k ) b điểm ấy; • Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng; • Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc nó; • Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính k R • Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k ( k ) với hai điểm M , N ảnh M ', N ' tương ứng ln có M ' N ' = kMN • điểm ấy; Phép đồng Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo tồn thứ tự • dạng Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng; • Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc nó; • Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính kR Nguồn Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 : Hocmai - Trang | - Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Tổng hợp kiến thức I Các tính chất thừa nhận Tính chất 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Tính chất 2: Có mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng Tính chất 3: Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng Tính chất 4: Tồn bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn có điểm chung khác Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung qua điểm chung Tính chất 6: Trên mặt phẳng, kết biết hình học phẳng Định lí: Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng II Cách xác định mặt phẳng Có ba cách xác định mặt phẳng: • Một mặt phẳng hồn tồnxác định biết qua ba điểm A,B,C khơng thẳng hàng Kí hiệu: ( ABC ) • Một mặt phẳng xác định biết qua điểm A chứa đường thẳng d khơng qua điểm Kí hiệu: ( A,d ) • Một mặt phẳng xác định biết chứa hai đường thẳng a,b cắt Kí hiệu: ( a, b ) Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực III Một số hình đa diện Hình chóp tứ diện Định nghĩa: Cho đa giác A1A2 An cho điểm S nằm mặt phẳng chứa đa giác Nối S với đỉnh A1 ,A ,,A n ta n miền đa giác SA1A2 ,SA2 A3 ,,SAn −1An Hình gồm n tam giác đa giác A1A2 A3 An gọi hình chóp S.A1A2 A3 An S A1 A7 A6 A4 A2 (α) A5 A3 Trong đó: Điểm S gọi đỉnh hình chóp Đa giác A1A2 An gọi mặt đáy hình chóp Các đoạn thẳng A1A2 ,A2 A3 ,,A n −1A n gọi cạnh đáy hình chóp Các đoạn thẳng SA1 ,SA2 ,,SAn gọi cạnh bên hình chóp Các miền tam giác SA1A2 ,SA2 A3 ,,SAn −1An gọi mặt bên hình chóp Nếu đáy hình chóp miền tam giác, tứ giác, ngũ giác,… hình chóp tương ứng gọi hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,… Chú ý: • Hình chóp tam giác cịn gọi hình tứ diện • Hình tứ diện có bốn mặt tam giác hay có tất cạnh gọi hình tứ diện Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực Hình lăng trụ hình hộp Định nghĩa hình lăng trụ: Hình gồm đa giác A1A2 An ; A1 ' A 'A n ' hình bình hành A1A1 ' A ' A ; A2 A ' A ' A ; ; A n A n ' A1 ' A1 gọi hình lăng trụ kí hiệu A1A A n A1 ' A 'A n ' A'5 A'1 A'4 α A'3 A'2 A5 A1 β A4 A2 A3 Trong đó: • Hai đa giác A1A2 An ; A1 ' A 'A n ' gọi hai mặt đáy hình lăng trụ • Các đoạn thẳng A1A1 '; A2 A2 '; ; A n A n ' gọi cạnh bên hình lăng trụ • Các hình bình hành A1A1 ' A ' A ; A2 A2 ' A3 ' A3 ; ; A n A n ' A1 ' A1 gọi mặt bên hình lăng trụ • Các đỉnh hai đa giác gọi đỉnh hình lăng trụ Nhận xét: • Các cạnh bên hình lăng trụ song song • Các mặt bên hình lăng trụ hình bình hành • Hai đáy hình lăng trụ hai đa giác • Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác … Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp Hình hộp có tất mặt bên mặt đáy hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật Hình hộp có tất mặt bên mặt đáy hình vng gọi hình lập phương Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Hocmai.vn – Học chủ động - Sống tích cực Hình chóp cụt Định nghĩa: Cho hình chóp S.A1A2 A n Một mặt phẳng ( P ) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt cạnh SA1 ,SA2 ,,SAn theo thứ tự A'1 ,A'2 ,,A'n Hình tạo thiết diện A'1 A'2 A'n A1A2 An đáy hình chóp với mặt bên A1A A'2 A'1 ; A A A'3 A'2 ; ; A n A1A'1 A'n gọi hình chóp cụt S A'1 A'5 A'2 α A'4 A'3 A5 A1 A4 A2 A3 Tính chất: • Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song tỉ số cặp cạnh tương ứng • Các mặt bên hình chóp cụt hình thang • Các đường thẳng chứa cạnh bên đồng quy điểm IV Thiết diện Thiết diện hình ( H ) hình ( Q ) phần chung hình Thiết diện mặt phẳng ( ) với hình chóp ( H ) phần chung mặt phẳng ( ) hình chóp ( H ) Đặc điểm thiết diện: • Thiết diện đa giác kín • Các cạnh thiết diện nằm mặt hình đa diện • Cạnh thiết diện hình thành từ đoạn giao tuyến mặt phẳng cắt với mặt hình đa diện • Trong giới hạn hình đa diện thiết diện cắt khơng cắt tất mặt hình chóp Hệ thống giáo dục HOCMAI Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | - Với x > √2 ta có hàm số f (x) = (2 − a) x liên tục khoảng (√2; +∞) Với x < √2 ta có hàm số f (x) = a x liên tục khoảng (−∞; √2) Với x = √2 ta có f (√2) = 2a lim x→√2 f (x) = lim + (2 − a) x x→√2 = (2 − a) + lim f (x) = x→√2 ⇔ 2a lim x→√2 Để hàm số liên tục x = √2⇔ ; = (2 − a)⇔ a f (x) = − x→√2 + a − = 0⇔ [ a = f (x) = f (√2) 2x + x 2x A (x 2 Ta có y (x + 10x + + 3x + 3) B −2x (x = + 3x + 3) − (2x + 5) (2x + 3) (x −2x = (x 10 + 3x + 3) − 10x − + 3x + 3) + = − 10x − + 3x + 3) = 2 C x (x + 3x + 3) 2 − 2x − + 3x + 3) D −2x (x 2 − 5x − + 3x + 3) ′ 2x + 6x + − 4x (x 2 − 6x − 10x − 15 + 3x + 3) Cho hàm số y = x 2 + 3x + 3) − (2x + 5) (x = ′ (2x + 5) (x 2 Đạo hàm y hàm số (x2 + 3x + 3) = 2a + 3x + ′ ′ Cho hàm số y = a x − − a = −2 Vậy a = a = −2 hàm số liên tục R lim x→√2 lim + + 3x , phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết song song với đường thẳng d : 3x − y + = A y = 3x B y = −3x − C y = 3x − D y = 3x + Đường thẳng d : y = 3x + Vì tiếp tuyến đồ thị song song với đường thẳng y = 3x + ⇒ PTTT có hệ số góc k = + Gọi A tiếp điểm ⇒ A (x ; y ) + y = 3x + + Hệ số góc k = y (x ) = 3x + = ⇔ x = ⇒ y = + PTTT đồ thị điểm A (0; 0) y = 3x ′ ′ 11 0 Tìm vi phân hàm số y = √x + A dy = dx √(x + 1) dx √(x + 1) dx √(x + 1) D dy = dx 3√(x + 1) dx 3√(x + 1) Vi phân hàm số y = sin2x điểm x = π ứng với Δ A 0, 01 y = f (x) = sin 2x ⇒ y ′ = cos 2x ′ df (x0 ) = f (x0 ) (Δx) = cos 13 2 C dy = ′ 3 B dy = dy = (√x + 1) dx = 12 x = 0, 01 B 0, 001 C −0, 001 D −0, 01 C Chéo D Thẳng hàng 2π (0, 01) = −0, 01 Tính chất khơng bảo tồn qua phép toán song song A Đồng quy B Song song Tính chất khơng bảo tồn qua phép toán song song chéo 14 Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm Mệnh đề sau đúng? − − → A OG − − → C GA = − − → − − → − − → − − → (OA + OB + OC + OD ) − − → − − → + GB + GC = 0⃗ − − → B AG D AG = − → − − → − − → − (AB + AC + AD) = − − → − − → (AC + AD) − − → Trang 2/8 Hướng dẫn giải Tính chất của trọng tâm G tứ diện − − → OG = 15 − − → − − → − − → − − → (OA + OB + OC + OD ) Cho hình lập phương ABCDEF GH , góc hai đường thẳng AB GH A 0 Nhận thấy AB//GH 16 ⇒ B 45 C 180 D 90 Góc AB và GH bằng 00 Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có tất cạnh và cạnh bên không vuông góc với đáy Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A A C ⊥BD ′ ′ B BB ⊥BD ′ C A B⊥DC ′ ′ D BC ⊥A D ′ ′ Trang 3/8 Các đường chéo của các mặt của hình hộp đều vuông góc với ⇒ BB ⊥BD sai ′ 17 Cho hai đường thẳng phân biệt a, b mặt phẳng (P ), a⊥ (P ) Mệnh đề sau sai? A Nếu b⊥a b⊥ (P ) B Nếu b// (P ) b⊥a C Nếu b⊥ (P ) b//a D Nếu b//a b⊥ (P ) Trong khơng gian khơng thể khẳng định nếu a⊥ (P ) và b⊥a b⊥ (P ) 18 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu O mp(ABC) Mệnh đề sai mệnh đề sau A H trực tâm ΔABC B OC C OH Gọi M = + OA OB + OC = OA + OB D CH đường cao ΔABC = BC ∩ AH Ta có OA⊥OB, OA⊥OC mà OH ⊥ (ABC) ⇒BC⊥OH ⇒ OA⊥(OBC) ⇒ OA⊥BC ⇒ BC⊥(OAH) ⇒ BC⊥AH, BC⊥OM tam giác ABC Chứng minh tương tự ⇒ H là trực tập của Ta có OB⊥OC, OM ⊥BC OA⊥ (OBC) ⇒ OA⊥OM ⇒ OH 19 2 = OA + OM ⇒ = + OM OB OC mà OH ⊥AM (do OH ⊥ (ABC)) 1 = 2 + OA OB + OC 2 Cho hai mặt phẳng (P ) (Q), a đường thẳng nằm (P ) Mệnh đề sau sai ? A Nếu a//b với b = (P ) ∩ (Q) a// (Q) B Nếu (P ) ⊥ (Q) a⊥ (Q) C Nếu a cắt (Q) (P ) cắt(Q) D Nếu (P ) // (Q) a// (Q) Gọi b = (P ) ∩ (Q) a//b a// (Q) 20 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C ′ A 2a√5 ′ ′ D B ′ , có AB = 2BC 2a = 2a Khoảng cách từ điểm C đến (DBB D ) ′ C a√5 ′ D a Trang 4/8 Kẻ CH ⊥BD Ta có ′ ′ d (C, (DBB D )) = d (C, BD) = CH 1 CH 21 2 = BC + CD 2 2a√5 a 4a ⇒ CH = √ a 2 = + 4a Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D, AD = DC = a, AB = 2a SA vng góc với AB SA = đường thẳng DC SB A 60 B 30 C 45 D 90 D 120 2√3a Góc ˆ ˆ Do DC//AB ⇒ (DC, SB) = (AB, SB) = α Tam giác SAB vuông A nên α góc nhọn, 2a√3 Khi tan α = SA = AB ˆ Vậy (DC, SB) = 30 22 √3 = 2a ⇒ α = 30 Cho hình lập phương ABCD ABCD có cạnh a Số đo góc (BAC) (DAC) A 45 B 60 C 30 0 + Kẻ BH ⊥A C, (H ∈ A C) (1) + Mặt khác: BD⊥AC (gt) , AA ⊥(ABCD) ⇒ AA ⊥BD ⇒ BD⊥(ACA ) ⇒ BD⊥A C (2) Từ (1) (2) suy A C⊥(BDH ) ⇒ A C⊥DH Do đó, ((BA C), (DA C)) = (H B, H D) + Xét tam giác vng BCA’ có ′ ′ ′ ′ ′ ′ BH = BC ′ ′ ′ ′ + ′2 BA ˆ + Ta có: cos BH D = = 2a2 2BH ⇒ BH = a √ ⇒ DH = a √ − BD 2BH 2 = − 2 ˆ ⇒ BH D = 120 Vậy ((BA C), (DA C)) = 60 ′ 23 ′ Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác vng B , AB = BC ′ ′ ′ = a , V ABC.A′ B′ C ′ cạnh BC khoảng cách đường thẳng AM B C là: = a √2 Gọi M trung điểm ′ A a√7 B a√7 C a√3 D a√3 Trang 5/8 a √2 VABC.A′ B′ C ′ = ′ ⇒ AA = √2a Gọi N trung điểm cạnh BB đó: B C//M N ⇒ B C// (AM N ) ′ ′ ′ ′ ′ ⇒ d (AM ; B C) = d (M N ; B C) = d (B; M N ) Xét hình chóp B M N A có BA; BN ; BM đơi vng góc, gọi H hình chiếu B lên ta có cơng thức (AM N ) BH 24 = AB + BN + BM a√7 ⇒ BH = a√7 ′ ⇒ d (AM ; B C) = 7 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A, B, SA vng góc với đáy; AB = BC (SCD) tạo với đáy góc 45 Khoảng cách SB CD là: = 2a, AD = 4a, mặt phẳng A 2a√10 2a B C 5 a √6 D a 5 Gọi E trung điểm AD, O = AC ∩ BE ⇒ BE//CD ⇒ d (SB, CD) = d ((SBE) , CD) = d (C, (SBE)) = d (A, (SBE)) CE = AE = ED ⇒ AC⊥CD ˆ = 450 ⇒ SA = AC = 2a√2 ⇒ SCA Kẻ AH vng SO H d (A, (SBE)) = AH ⇒ AH 25 = AS Giới hạn lim x→1 A + AO sin(πx m ) m n sin π (1 − x x→1 = limx→1 = limx→1 m ) n sin π (1 − x x→1 m−1 π (1 − x (1−x)(x m 1−xn x = limx→1 +x m−2 + +1 xn−1 +xn−2 + +1 B = lim sin π (1 − x ) 1−x ⇒ AH = sin(πxn ) A = lim 26 2a√10 = m−1 (1−x)(x n−1 +x +x m−2 n−2 m m n ) lim ) x→1 π (1 − x ) n m − x lim n sin π (1 − x ) x→1 D D 13 m − xn + +1) + +1) m n ⎧ a2 x − x + Tổng bình phương giá trị a để hàm f (x) = ⎨ ⎩ (x ≤ 2) x √3x+2−2 B = (x > 2) x−2 A C C 10 Ta có Trang 6/8 lim x→2 f (x) = − lim x→2 − (a x − x + 1 2 ) = 2a − + = 2a − 4 3 (√3x+2−2)(√(3x+2) +2.√3x+2+4) √ 3x+2−2 limx→2+ f (x) = limx→2+ x−2 = limx→2+ 3 (√(3x+2) +2.√3x+2+4)(x−2) 3x−6 = limx→2+ 3 = limx→2+ 3 (√(3x+2) +2.√3x+2+4)(x−2) Để hàm số liên tục x o = lim x→2 ⇒ 27 + = − f (x) = lim x→2 + f (x) = f (2) ⇔ 2a A m = = 3x ⇒ y − 4x + m − ⇔ y ′ − = ⇔ a = ±1 = m − x = m) ′ = (x C m = 11 + m − ⇒ y ′ D m = ≥ m − m) vng góc 11 có hệ số góc nhỏ hệ số góc có giá trị k = m − Yêu cầu toán 4 x + ) + m − = 3(x − ) 3 − Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị (C B m = Tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = 28 ′ Cho hàm số y = x − 2x + (m − 1)x + 2m có đồ thị (C với đường thẳng Δ : y = 2x + Ta có y = (√(3x+2) +2.√3x+2+4) 7 11 ⇔ k = −1 ⇔ (m − ) = −1 ⇔ m = Gọi (C ) đồ thị hàm số y = x − (m + 1) x + 3m + , m tham số Tìm giá trị dương tham số m để (C ) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt tiếp tuyến (C ) giao điểm có hồnh độ lớn hợp với hai trục toạ độ tam giác có diện tích 24 m m m A m = B m = C m = Phương trình hồnh độ giao điểm (C m) trục hoành x D m = − (m + 1) x + 3m + = (1) Đặt t = x , t ≥ Phương trình (1) trở thành t − (m + 1) t + 3m + = (2) (C ) cắt trục Ox bốn điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt Vì (2) ln có hai nghiệm t = 1, t = 3m + với m m > (giả thiết) nên ta có 3m + > , suy với tham số m > 0, (C ) cắt Ox diểm phân biệt gọi A giao điểm có hồnh độ lớn hồnh độ A x = √3m + Ta có f (x) = 4x − (m + 1) x Phương trình tiếp tuyến d (C ) A (√3m + ; 0) y = y (x ) (x − x ) + y 2 m m A ′ m ′ A = [4x A A A − (m + 1) xA ] (x − xA ) = [4 (3m + 2) √3m + − (m + 1) √3m + 2] (x − √3m + 2) = (6m + 2) √3m + (x − √3m + 2)) Gọi B giao điểm tiếp tuyến d với trục Oy B (0 ; − (6m + 2) (3m + 2)) Tam giác mà tiếp tuyến d tạo với hai trục toạ độ tam giác vuông OAB (vuông O), theo giả thiết ta có S = 24 ⇔ OA OB = 48 ⇔ |x | |y | = 48 ⇔ √3m + (6m + 2) (3m + 2) = 48 (3) Đặt t = √3m + (t > √2) (3) ⇔ t (2t − 2) t = 48 OAB A ⇔ t ⇔ t − t (t B − 24 = − 4) + (t ⇔ (t − 2) (t + 2t 3 − 8) = + 3t + 6t + 12) = ⇒ t = (TM) ⇒ √3m + = ⇒ m = (TM) Vậy m = 29 Cho tứ diện ABCD , gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, CB, AD G trọng tâm tam giác BCD , α góc − − → − − → hai vectơ M G , P N Khi cos α có giá trị A √2 B √2 C √2 D Trang 7/8 − − → − − → Đặt AB = a; ⃗ AC − − → − − → − − → − − → − − → 1 (a⃗ + b⃗ + c ) ⃗ ⇒ M G = M A + AG = − a⃗ + ⇒ AG = − − → PN − − → ⃗ AD = c ⃗ = b; − − → = AN − AP = (a⃗ + b⃗ + c ) ⃗ = (−a⃗ + 2b⃗ + 2c ) ⃗ (a⃗ + b⃗ − c ) ⃗ Không tính tổng quát, giả sử độ dài cạnh tứ diện 1 ∣ ∣ ⃗ c ⃗ = a ⇒ |a| ⃗ = ∣b⃗∣ = |c | ⃗ a ⃗ b⃗ = b ⃗ c ⃗ = 1.1 cos 60 = − − → − − → − − → − − → MG P N Ta có cos α = cos(M G P N ) = Ta có − − → − − → MG P N = (−a⃗ 12 − →∣ ∣− ∣M G ∣ = ∣ ∣ − →∣ ∣− ∣P N ∣ = ∣ ∣ = (∗) (−a⃗ + 2b⃗ + 2c ) ⃗ (a⃗ + b⃗ − c ) ⃗ − a ⃗ b⃗ + a⃗ c ⃗ + 2a⃗ b⃗ + 2b⃗ − 2b⃗c ⃗ + 2a⃗ c ⃗ + 2b⃗c ⃗ − 2c ⃗ ) = 2 1√ (−a⃗ + 2b⃗ + 2c ) ⃗ 1√ 12 (a⃗ + b⃗ − c ) ⃗ = Thay vào (∗) ta cos α = 30 − →∣ ∣ − − →∣ ∣− ∣M G ∣ ∣P N ∣ ∣ ∣∣ ∣ = 1√ (2b⃗ + 2c ) ⃗ + a⃗ 12 − 2a⃗ (2b⃗ + 2c ) ⃗ = 1√ 4b⃗ + 4c ⃗ ⃗ c ⃗ + a⃗ − 4a⃗ b⃗ − 4a⃗ c ⃗ = + 8b 1 √9 = ; √2 √2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, SA⊥ (ABCD) Mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB, SC, SD theo thứ tự H , M , K Chọn khẳng định sai khẳng định sau A AK⊥H K Kẻ AM ⊥SC Ta có BD⊥AC { B H K⊥AM C BD//H K D AH ⊥SB ⇒ BD⊥ (SAC) ⇒ BD⊥AM BD⊥SA Gọi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ AM Qua I kẻ Δ//BD ⇒ Δ⊥AM , Δ⊥ (SAC) ⇒ Δ⊥SC ⇒ Δ ⊂ (P ) Khi K = Δ ∩ SD, H = Δ ∩ SB⇒ H K//BD mà BD⊥AM ⇒ H K⊥AM Ta có DC⊥ (SAD) ⇒ DC⊥AK mà SC⊥ (AKM H ) ≡ (P ) ⇒ SC⊥AK nên AK⊥ (SCD) Tương tự AH ⊥ (SCD) ⇒ AH ⊥SB Ta có AK⊥ (SDC) ⇒ AK⊥KM mà KH ⊄ (SDC) ⇒ AK không vuông góc với H K Trang 8/8 ĐÁP ÁN BÀI TẬP ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ - SỐ 02 Học tốt Toán 11 - Thầy Tùng, Thầy Hà, Thầy Thiệu Cho hình lăng trụ ABC A B C có BC = 2a, AC = a, AB = a√3 Tất cạnh bên 2a Hình chiếu C (ABC) trung điểm O BC Cosin góc hai mặt phẳng (ABB A ) (ABC) ′ ′ ′ ′ ′ A B √13 ′ C √15 D √15 √13 Ta có C O = √C C − CO = a√3 Kẻ A H ⊥ (ABC) Vì C O⊥ (ABC) ⇒ A H //C O A H Tứ giác C OH A hình chữ nhật AC a ′ ′ 2 ′ ′ ′ ′ ′ ′ I = OH ∩ AC ⇒ OI = = 2 vuông A ⇒ AC⊥AB ⇒ OH ⊥AB Mà A H ⊥AB ⇒ AB⊥ (C ′ ′ ′ ′ OH A ) ⇒ AB⊥A I Góc hai mặt phẳng (ABB A ) (ABC) Aˆ IH ′ ′ ′ A I = √A A − AI = ′ a√13 ′ ˆ ′ ⇒ cos A I H = 2 a ⇒ IH = ΔABC ′ = C O = a√3 ′ IH A′ I = √13 Cho a, b, c đường thẳng khơng gian Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A Nếu a⊥b b⊥c a//c C Nếu a//b b⊥c c⊥a B Nếu a vng góc với mặt phẳng (α) b//(α) a⊥b D Nếu a⊥b, c⊥b a cắt c b vng góc với mặt phẳng chứa a c Khơng thể khẳng định hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ không gian thì song song với Cho hình lập phương ABCD A B1 C D1 A Góc AC B D1 C Góc AD B 1C 90 ∘ 45 ∘ Chọn khẳng định sai? B Góc B D Góc BD A D1 AA 60 ∘ 1 C1 90 ∘ Trang 1/8 − − → − − − → Ta có AA − − → − − → − − → − − → − − → B1 D1 = BB1 BD = BB1 (BA + BC ) − − → − − → − − → − − → = BB1 BA + BB1 BC = − − → − − → (vì (BB , BA ) = 90 − − → − − → (BB − − → − − − → Do (AA , B1 D1 ) = 90 , BC ) = 90 ) ⇒ (AA1 , B1 D1 ) = 90 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A, B, SA vng góc với đáy; AB = BC (SCD) tạo với đáy góc 45 Khoảng cách SB CD là: = 2a, AD = 4a, mặt phẳng A 2a√10 B 2a C 5 a √6 D a 5 Gọi E trung điểm AD, O = AC ∩ BE ⇒ BE//CD ⇒ d (SB, CD) = d ((SBE) , CD) = d (C, (SBE)) = d (A, (SBE)) CE = AE = ED ⇒ AC⊥CD ˆ = 450 ⇒ SA = AC = 2a√2 ⇒ SCA Kẻ AH vuông SO H d (A, (SBE)) = AH ⇒ AH = AS 2a√10 + AO ⇒ AH = Trong mặt phẳng (α) cho tứ giác ABCD điểm S tùy ý Mệnh đề sau đúng? − − → A AC − − → − − → − − → −→ C Nếu tồn điểm S mà SA ABCD + BD = AD − BC − − → + SC − − → − − → = SB + SD −→ B SA − − → + SC − − → hình bình hành D OA − − → = SB + SD − − → − − → (với S điểm tùy ý) − − → + OB + OC + OD = 0⃗ O giao điểm AC BD − − → −→ − − → − − → − − → −→ − − → − − → − − → − − → SA + SC = SB + SD ⇔ SA − SB = SD − SC ⇔ BA = CD ⇒ ABCD − − → hình bình hành Tính chất khơng bảo tồn qua phép tốn song song A Đồng quy B Song song C Chéo D Thẳng hàng D Tính chất khơng bảo tồn qua phép tốn song song chéo Tìm giới hạn lim [n (√n A +∞ 2 + − √n − 4)] =? B C Trang 2/8 (√n2 +2−√n2 −4)(√n2 +2+√n2 −4) lim [n (√n2 + − √n2 − 4)] = lim [n ] (√n2 +2+√n2 −4) 2 (n +2)−(n −4) = lim [n ] = lim [n √n2 +2+√n2 −4 6n = lim = lim √n2 +2+√n2 −4 mx Cho y = ] √n2 +2+√n2 −4 √1+ = +√1− n2 n2 − mx + 3m + (3m − 1) x + A m ≤ √2 Tất giá trị m để y B m ≤ Ta có y = mx − 2mx + 3m − Nên y ≤ ⇔ mx − 2mx + 3m − ≤ (2) ∙ m = (1) trở thành −1 ≤ với ∀x ∈ R ′ ≤ 0, ∀x ∈ R C m ≤ D m < C q = −3 D q = C −1 D ′ ∙ m ≠ , (1) với ∀x ∈ R ⇔ { m < m < ⇔ { m(1 − 2m) ≤ a = m < Δ ⇔ { ′ ′ ≤ ⇔ m < − 2m ≥ Vậy m ≤ giá trị cần tìm Tìm cơng bội q cấp số nhân (u A q = Ta có u 10 = u1 q biết u n) ⇔ 81 = 3.q = 3, u4 = 81 B q = ±3 ⇔ q = 27 ⇔ q = tan x − sin x Lim x x→0 =? A B √2 sin x Lim tan x−sin x x x→0 x x→0 x cos x x→0 11 = Lim s inx(1−cosx) = Lim −sin x cos x = Lim s inx sin = Lim 12 C x tan 2 x x x→0 + 2019 sin s inx = Lim cos x x 4.( = ) Biểu thức sau vi phân hàm sốf (x)? B dy = (x − 1) (x) dx = (x − 1) dx Vi phân y = A x cos x x→0 A dy = (x − 1) dx ′ x cos x x Cho hàm số y = f (x) = (x − 1) Ta có dy = f s inx−sin x.cosx x→0 dx x x ⎡ x cos 2x − (sin −2 ⎢ dy = ⎢ 2 x sin x ⎣ x + cos ) ⎤ ⎥ dx ⎥ B dy = ( D x sin x Ta có: y = ′ = ( x + cot sin [2x ( x2 x [ 2 2cos ( ) x −cos 2 sin x −2x cos 2x x sin ) − sin x − x 2 sin x 2 sin x +cos x +cos x x 2 cos 2sin ( x x cos 2x+sin x(sin ′ 2a√5 ) x − (tan ) x + cot x + cos x ) ⎤ ⎥ dx ⎥ ⎦ x ) 2 ] ) ] = ⎡ x cos 2x + sin x (sin −2 ⎢ dy = ⎢ 2 x sin x ⎣ x2 x −2 x [ x ′ x x 2 +cos ) ] sin x + cos x ) ⎤ ⎥ ⎥ dx ⎦ Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C A ) = ⎡ x cos 2x + sin x (sin −2 ⎢ ⇒ dy = ⎢ x2 sin x ⎣ 13 − x x 2(sin = ( ′ x 2(x cos x + sin x) ) dx x sin x ⎦ 2(cos x + sin x) dy = (− ) dx tan D dy = (x − 1) dx x + cot C dy = (x − 1) ′ D B ′ , có AB = 2BC 2a = 2a Khoảng cách từ điểm C đến (DBB D ) ′ C a√5 ′ D a Trang 3/8 Kẻ CH ⊥BD Ta có ′ ′ d (C, (DBB D )) = d (C, BD) = CH 1 CH 14 2 = BC + CD a n Giá trị C + = lim n(2n + 1) n x x→0 n x n (1 + nx) x n − x m x n−1 m−1 + Cm n x n−1 x x m−1 mn 2 − ] = lim m x n−2 + Cn (1 + mx) n x m x lim − (1 + mnx) (1 + nx) 2 x2 x→0 2 n x (√1 + 2x + √1 + 3x) [(1 + 2x) + (1 + 2x) √(1 + 3x) + √(1 + 3x) ] = lim x→0 √1 + 2x − √1 + 3x x2 [(1 + 2x) 3 3 + (1 + 2x) √(1 + 3x) + √(1 + 3x) ] = 8x + x→0 (1 + mx) n − (1 + nx) m ⇒ V = lim x→0 √1 + 2x − √1 + 3x Cho hàm số y = x + 3x A y = − 33 x + 11 C y = − 33 x + − 6x + mn(n − m) = = mn(n − m) y = −6x + y = −6x + B y = − 33 x + 12 D y = − 33 x + y = −6x − y = −6x − ′ = (3x (C) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm N (0; 1) Gọi M (x ; y ) tiếp điểm Ta có y = 3x + 6x − Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) M (x Vì tiếp tuyến qua N (0; 1) nên ta có − (1 + 3x) ] = lim 2 + 6x0 − 6)(−x0 ) + x ∙ x0 = ⇒ y ∙ − (1 + mnx) (√1 + 2x + √1 + 3x) [(1 + 2x) 16 m − lim = m−2 + Cm mn(n − m) x n x x mn m−3 − (n − m) x→0 + +Cm (m − 1) C n−3 x = D mn (n − m) √1 + 2x − √1 + 3x m + +Cn x→0 m − ] − m n (n − 1) D x2 m − lim x→0 = (n − m) mn m (1 + nx) x→0 n n B − + Cn m = lim − [ n (1 + mx) x→0 C √1 + 2x − √1 + 3x (1 + mx) V = lim [ 2 ) − (1 + nx) A (m + n) mn m x = = lim x→0 Ta có lim (2 + n n3 = lim (1 + mx) Giá trị V + 4a + 2a√5 = B −∞ + = lim n(2n + 1) 15 A +∞ Ta có C a 4a ⇒ CH = √ ′ = 1; y (x0 ) = −6 + 3x 0; y0 ) có dạng y = (3x − 6x0 + ⇔ 2x + 3x 2 + 6x0 − 6)(x − x0 ) + x + 3x − 6x0 + x0 = = ⇔ [ x0 = − Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) M y = −6 (x − 0) + = −6x + Trang 4/8 x0 = − y 17 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) M 107 33 = − x + 33 (x + ) + = − Đạo hàm hàm số sau f (x) = (2x + 1) cosx y 18 ′ 107 33 ′ , y (x0 ) = − ⇒ y0 = ′ A y ′ C y ′ = cos x − 2x sin x − sin x B y ′ = cos x + 2x sin x − sin x D y ′ = ((2x + 1) cosx) ′ ′ ′ − √2x + x (x + 5) ′ 2x − 13 = − B y ′ 17 = √2x (x + 5) − (2x − 3) (5 + x) − (2x − 3) (5 + x) ′ = (5 + x) − (2x − 3) = (5 + x) = (5 + x) Có thể dùng công thức 19 x Với y = x ax + b ( ) cx + d ′ x − 2x x y 20 ′′ + 2018x − 2018 = ( 13 D y ′ 2√2x 17 = (x + 5) − √2x = √2x (5 + x) − √2x B [1; 4] x + 2018x − 2018) = 3x ≤ là C [−1; 4] − ′′ − 4x + 2018 D (−1; 4) ′ − − 4x + 2018) = x − 3x − 2 − 3x ≤ ⇔ x Tập nghiệm của bất phương trình y − 3x − ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ − − → Cho hình hộp ABDC ABCD Gọi O tâm hình hộp Khi vector BO phân tích thành − − → A BO − − → − − → − − → − − → = (BA + BC + BB ) B BO − − → − − → − − → ′ (BA − BC − BB ) D BO − − → C BO = ′ − − → Theo tính chất hình hộp: BA 21 (cx + d) ′ − 2x y = − x a d − b c 12 ′′ (5 + x) = ( ′ − = 2√2x ′ √2x 13 − A R y ′ 13 = − 12 (5 + x) (2x) 2.5 + 3.1 ′ (2x) − ′ (x + 5) 2√2x = 2√2x C y − 10 + 2x − 2x + − ′ (5 + x) Cách Ta có y 2√2x ′ Cách Ta có y = cos x − x sin x − sin x = (2x + 1) cosx + (2x + 1) cos x = cos x − (2x + 1) sin x = cos x − 2x sin x − sin x Đạo hàm hàm số y = A y = cos x − 2x sin x + sin x Giới hạn dãy số u n − − → − − → + BC + BB = lim n − − − → = BD ′ − − → − − → − − → ′ (BA + BC + BB ) − − → − − → − − → = BA + BC + BB ′ − − → = 2BO A ′ − − → = B -1 C C D -2 D D 25 Ta có lim ( 22 n ) = lim ( n − − 3x Giới hạn hàm số lim x→+∞ 2x 2 3x 23 Giá trị C 2x + B −∞ lim x→+∞ (1 + 3x) + 3 = x 2 − (1 − 4x) = lim x x→0 A −1 Ta có C = ) = n lim x→+∞ ) = lim ( + A +∞ Ta có (1 + 3x) − (1 − 4x) = lim x→0 B −2 x C − Trang 5/8 (1 + 3x) − = lim (1 − 4x) − − lim x x→0 x x→0 3x [(1 + 3x) + (1 + 3x) + 1] = lim −4x (2 − 4x) [(1 − 4x) + 1] − lim x x→0 = lim [(1 + 3x) x x→0 + (1 + 3x) + 1] + lim (2 − 4x) [(1 − 4x) x→0 + 1] = 25 x→0 24 √x−1 ⎧ ⎪ , khi x > Cho hàm số f (x) = ⎨ Khẳng định sau √x−1 √1−x+2 ⎩ ⎪ , khi x ≤ x+2 A Hàm số liên tục khoảng xác định B Hàm số không liên tục R C Hàm số không liên tục (1; +∞) D Hàm số gián đoạn điểm x = TXĐ D = R∖ {−2} ∙ Với x < ⇒ f (x) = √1 − x + ⇒ x + Hàm số liên tục ∙ Với x > ⇒ f (x) = √x − ⇒ √x − hàm số liên tục Tại x = ta có f (1) = ; ∙ (x − 1) (√x + 1) √x − lim x→1 f (x) = + lim x→1 + = √x − f (x) = − lim x→1 − = + √1 − x + lim x→1 √x + lim x→1 3 (x − 1) (√x2 + √ x + 1) = x + = lim x→1 f (x) = f (1) + Đạo hàm hàm số y = x A y = Vì y ′ ′ − 2x + 5) = (2x − 2)(x (x 2 (x2 − 2x + 5) 26 ; B y ′ −2x + = D y ′ = − 2x + 5) 2x − ′ −2x + = (x2 − 2x + 5) − − → M điểm cạnh AD cho AM đường thẳng CC cho điểm M , N , P thẳng hàng Tính + √x + (x B1 C D1 biểu thức sau đây? Cho hình hộp ABCD A A √x − 2x + − 2x + 5) − 2x + 5) = − = 2x − ′ (x C y + Hàm số liên tục x = Vậy hàm số liên tục (−∞; −2) (−2; +∞) 25 lim x→1 B = − → 1− AD N điểm đường thẳng BD 1, P điểm − − →∣ ∣− ∣M N ∣ ∣ ∣ − →∣ ∣− ∣N P ∣ ∣ ∣ C D Trang 6/8 − − → − − → − − → ⃗ AA = a, ⃗ AD = b, = c⃗ Đặt AB − − → BN − − − → − − → = xBD1 ; CP − − − → Ba điểm M , N , P thẳng hàng nên M N Ta có − − − → MN − − → − − → − − → = M A + AB + BN − − → = α N P (1) − − − → 1 − − → ⇒ NP − − → − − → = N B + BC + CP ) b⃗ + xc ⃗ (2) − − − → Thay (2) , (3) vào (1) ta ⎨ x − Giải hệ ta α = = α (1 − x) ⎪ ⎩ ⎪ x = α (y − x) 27 − →∣ ∣− ∣N P ∣ ∣ ∣ ⎧ ⎪ ⎪ − x = αx Vậy − − → = −xBD1 + b⃗ + yc ⃗ = −x (b⃗ − a⃗ + c ) ⃗ + b⃗ + yc ⃗ = xa⃗ + (1 − x) b⃗ + (y − x) c ⃗ (3) − − →∣ ∣− ∣M N ∣ ∣ ∣ − − → 3 − − → − − → − − → = − b⃗ + a⃗ + xBD1 = − b⃗ + a⃗ + x (BA + BC + BB1 ) = − b⃗ + a⃗ + x (−a⃗ + b⃗ + c ) ⃗ = (1 − x) a⃗ + (x − Ta lại có N P − − → = yCC1 = yc ⃗ 3 ,x = ,y = = Gọi (C ) đồ thị hàm số y = x − (m + 1) x + 3m + , m tham số Tìm giá trị dương tham số m để (C ) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt tiếp tuyến (C ) giao điểm có hồnh độ lớn hợp với hai trục toạ độ tam giác có diện tích 24 m m m A m = B m = C m = Phương trình hồnh độ giao điểm (C m) trục hoành x D m = − (m + 1) x + 3m + = (1) Đặt t = x , t ≥ Phương trình (1) trở thành t − (m + 1) t + 3m + = (2) (C ) cắt trục Ox bốn điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt Vì (2) ln có hai nghiệm t = 1, t = 3m + với m m > (giả thiết) nên ta có 3m + > , suy với tham số m > 0, (C ) cắt Ox diểm phân biệt gọi A giao điểm có hồnh độ lớn hồnh độ A x = √3m + Ta có f (x) = 4x − (m + 1) x Phương trình tiếp tuyến d (C ) A (√3m + ; 0) y = y (x ) (x − x ) + y 2 m m ′ A m ′ A = [4x A A A − (m + 1) xA ] (x − xA ) = [4 (3m + 2) √3m + − (m + 1) √3m + 2] (x − √3m + 2) = (6m + 2) √3m + (x − √3m + 2)) Gọi B giao điểm tiếp tuyến d với trục Oy B (0 ; − (6m + 2) (3m + 2)) Tam giác mà tiếp tuyến d tạo với hai trục toạ độ tam giác vuông OAB (vuông O), theo giả thiết ta có S = 24 ⇔ OA OB = 48 ⇔ |x | |y | = 48 ⇔ √3m + (6m + 2) (3m + 2) = 48 (3) Đặt t = √3m + (t > √2) OAB A B Trang 7/8 (3) ⇔ t (2t ⇔ t ⇔ t − t (t − 2) t = 48 − 24 = − 4) + (t ⇔ (t − 2) (t + 2t 3 − 8) = + 3t + 6t + 12) = ⇒ t = (TM) (TM) ⇒ √3m + = ⇒ m = Vậy m = 28 Cho hàm số Khẳng định sau đúng? A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục C Hàm số không liên tục D Hàm số gián đoạn điểm TXĐ Ta có Vậy hàm số liên tục điểm gián đoạn 29 Cho hàm số y = f (x) = (1 − 2x 2 ) √1 + 2x (I) f ′ −2x (1 + 6x ) (x) = (II) f (x) f ′ Ta xét hai mệnh đề sau (x) = 2x (12x − 4x − 1) √1 + 2x2 Mệnh đề đúng? A Chỉ (II) Ta có f ′ B Chỉ (I) ′ ′ (x) = (1 − 2x ) √1 + 2x2 + (1 − 2x ) (√1 + 2x2 ) C Cả hai sai 2x = −4x√1 + 2x2 + (1 − 2x ) √1+2x 2 −4x(1+2x )+(1−2x ).2x = √1+2x Suy f (x) f = −2x−12x √1+2x = √1+2x 2 ′ 2 (x) = (1 − 2x ) √1 + 2x −2x(1+6x ) √1+2x = −2x (−12x 30 −2x(1+6x ) D Cả hai + 4x 2 2 = −2x (1 − 2x ) (1 + 6x ) + 1) = 2x (12x − 4x − 1) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = a,BC A a√2 B 3a = 2a,SA⊥ (ABC) , SA = 2a C 4a Lấy điểm D cho ABCDlà hình chữ nhật Ta có: AB//CD ⇒ d (AB, SC) = D (AB, (SCD)) = d (A, (SCD)) = 3VSACD Tính d (AB, SC) D a √7 = a√2 SΔSCD Trang 8/8 ... giá) để giải toán Lời giải: sin x sin x sin x + cos11 x sin x + cos x Ta có 11 cos x cos x sin x = sin x Do sin x + cos x = = sin x + cos x 11 cos x = cos x 11 2 sin x... cạnh chung với đa giác: Cn3 − n − n ( n − ) tam giác Bài toán Cho đa giác 2n đỉnh Số tam giác vuông có đỉnh đỉnh đa giác n ( 2n − ) Bài toán Cho đa giác n đỉnh Xét tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác... tan x + cot x = t ( t − 3) 10 Dạng: a sin x + b sin x cos x + c cos x = , đặt t = tan x (t ) 11 Dạng: a sin x + b sin x + c cos3 x = a sin x + b cos x + c cos x = Đặt t = tan x ( t 12 f