Thực hành Toán cao cấp - Chương 7: Dãy, chuỗi số và ứng dụng

Thực hành Toán cao cấp - Chương 7: Dãy, chuỗi số và ứng dụng. Chương này cung cấp cho học viên những nội dung về: một số lưu ý khi sử dụng sympy; hàm số, sai phân và tích phân số; giới thiệu một số ứng dụng của đường cong; xử lý dãy số và chuỗi số trong thư viện sympy;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Bộ mơn Khoa học Dữ liệu THỰC HÀNH TỐN CAO CẤP TÀI LIỆU PHỤC VỤ SINH VIÊN NGÀNH KHOA HỌC DỮ LIỆU Nhóm biên soạn: TS Hồng Lê Minh – Khưu Minh Cảnh – Hoàng Thị Kiều Anh – Lê Thị Ngọc Huyên – … TP.HCM – Năm 2019 Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ mơn Khoa học Dữ liệu MỤC LỤC CHƯƠNG 7: DÃY, CHUỖI SỐ VÀ ỨNG DỤNG Một số lưu ý sử dụng sympy (phần 1) Hàm số, sai phân tích phân số 4 1.1 Các tích phân khơng tính 1.2 Chỉ số CO cung lượng tim – Cardinal Output Giới thiệu số ứng dụng đường cong 2.1 Tính tốn độ dài đường cong - ArcLength 2.2 Bài toán “đường cong mềm mại” 11 Xử lý dãy số chuỗi số thư viện sympy 13 a Dãy số sympy 13 b Chuỗi số sympy 15 BÀI TẬP CHƯƠNG 17 Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu CHƯƠNG 7: DÃY, CHUỖI SỐ VÀ ỨNG DỤNG Mục tiêu: - Tích phân, dãy số (sequence), sai phân tích phân số - Ứng dụng số “kết quả” đường cong; - Chuỗi số (series) ứng dụng Nội dung chính: Một số lưu ý sử dụng sympy (phần 1) Dưới số lưu ý sử dụng sympy mà người sử dụng cần biết:  SymPy chạy ngơn ngữ lập trình Python, đó, nhiều thứ có khác so với hệ đại số máy tính độc lập Maple Mathematica  C, O, S, I, N, E, Q biến đặc biệt riêng; tốt nhất, không nên sử dụng biến Ví dụ, I đại diện cho đơn vị ảo E đại diện cho số Euler  SymPy, giống Python, lệnh nhân phải tường minh, nghĩa ghi 2x mà phải ghi 2*x  Chúng ta chuyển đổi chuỗi vàp biểu thức sử dụng hàm sympify() Điều tự động định nghĩa biến cho Ví dụ: việc nhập lệnh sympify("a^2 + cos(b)")và hoạt động  Chúng ta lưu trữ giá trị đặc biệt biến thường để khơng cần phải thêm ".evalf()" sử dụng biến Ví dụ: x=pi.evalf() y=E.evalf()  Phương pháp tốt để kiểm tra sử dụng hàm simplify để kiểm tra khác hai biểu thức Ví dụ, để kiểm tra (x-1)**2 x**2 2*x + 1, cần lệnh >>> print simplify((x-1) ** - (x**2 - 2*x + 1)) xem kết Nếu nghi ngờ biểu thức khẳng định lần lệnh expr.equals(0); câu trả lời False biểu thức không (khơng thể) None khơng thể định (lúc lúc không)  Một số hàm SymPy đặt tên khác với tên hệ thống Cụ thể, hàm đảo SymPy asin, acos, atan mà khơng phải arcsin/arccos/arctan Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu Hàm số, sai phân tích phân số Dãy số danh sách số theo thứ tự Sai phân hiệu số liền dãy số Các ứng dụng thực tế thường dãy số rời rạc Từ đó, tìm cách xây dựng hàm số chúng để tính tích phân Một cách khác, sử dụng số phương pháp tính tích phân số Simpson để tính tốn tích phân cho dãy số Tuy vậy, lấy tích phân, với số hàm số, cần phải xử lý (như tính khoảng, biến đối x thành y, tính giới hạn…) chứng minh khơng tồn tích phân (giá trị vô không xác định) 1.1 Các tích phân khơng tính Một số tích phân phân kỳ, nghĩa tính tốn giá trị vơ Xét ví dụ sau: Thực hành 1: Tích phân khơng xác định loại 1 = log − >>> from sympy import Symbol, Integral >>> x = Symbol('x') >>> f = 1.0/x >>> unbound1 = Integral(f, (x, 0, 2)) >>> unbound1.doit() ………………………………………………………  sinh viên điền giá trị Thực hành 2: Tích phân khơng xác định loại 2: Nghĩa kiểm sốt giá trị tích phân >>> from sympy import Symbol, Integral >>> x = Symbol('x') >>> f = 1.0/x**2 >>> unbound2 = Integral(f, (x, -1, 1)) Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ mơn Khoa học Dữ liệu >>> unbound2.doit() ………………………………………………………  sinh viên điền giá trị Thực hành 3: Tích phân khơng liên tục | | >>> from sympy import Symbol, Integral, Abs >>> x = Symbol('x') >>> f = Abs(x) >>> discontinous1 = Integral(f, (x, -1, 2)) >>> discontinous1.doit() ………………………………………………………  sinh viên điền giá trị Thực hành 4: Tích phân có hàm thỏa không tồn miền xác định (thực) >>> from sympy import Symbol, Integral >>> x = Symbol('x') >>> f = x**(0.5) >>> undef1 = Integral(f, (x, -1, 1)) >>> undef1.doit() ………………………………………………………  sinh viên điền giá trị Thực hành Tốn cao cấp - 2019 Trang Bộ mơn Khoa học Dữ liệu 1.2 Chỉ số CO cung lượng tim – Cardinal Output Huyết áp – Blood Pressure chia thành số áp lực máu: tâm thu (systolic) tâm trương (diastolic) Bình thường số đọc 120/80 (đơn vị mg thủy ngân) Vấn đề: làm cách có số đo để can thiệp vào chúng nào? Hoặc câu hỏi đơn giản xác thiết bị đo giả định ta biết phương pháp đo thiết bị? Cung lượng tim nói nơm na số áp lực máu phản xạ theo lực vành động mạch (arterial walls) Áp lực tạo thành nhịp đập từ tim Chu trình tuần hồn (Cardiac cycle) máu Với tốn học, sử dụng tích phân để tìm cung lượng tim (lượng máu tim bơm) khoảng thời gian định Công thức gọi CO (cardiac output) với kỹ thuật sử dụng phương thức tiêm thuốc nhuộm (dye-dilution) sau: = Trong đó: i ii iii iv lượng dịng (gọi flow flux), lượng máu bơm tim đơn vị tính lít máu/phút lượng thuốc nhuộm tiêm vào [0, ] thời gian đo hàm mà mơ hình lượng thuốc nhuộm cịn lại sau thời gian t Về phương pháp: + Phương pháp tiêm thuốc nhuộm thực cách tiêm vào bệnh nhân loại thuốc để chạy vào tâm phải (right atrium) tim Theo đó, dịng nhuộm với máu vào động mạch chủ (aorta) Một thiết bị đưa vào động mạch chủ để đo mức độ tập trung thuốc nhuộm khỏi tim khoảng thời gian [0, ] (đến hết hoàn toàn thuốc) Gọi mức độ tập trung thuốc nhuộm thời điểm Thực hành Toán cao cấp - 2019 Trang Bộ môn Khoa học Dữ liệu Bằng cách chia nhỏ khoảng [0, ] thành Δ , lượng thuốc nhuộm chảy qua điểm đo suốt thời gian từ = # đến = # là: Với $ứ& độ ậ* +,- ạ0 ℎờ0 đ0ể$ 4ℎố0 6ượ- = & tỉ lệ dịng tính Tổng số thuốc nhuộm là: > # Δ > c t < FΔ = F c t< Δ