Dạy thêm toán 8 bài 2 hình

HÌNH HỌC – CHƯƠNG III BÀI : ĐỊNH LÝ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TA – LET I Tóm tắt lý thuyết Định lý Ta – lét đảo: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại tam giác GT ∆ABC : D ∈ AB,E ∈ AC AD AE = BD EC KL DE PBC Hệ định lý Ta – lét: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho GT KL ∆ABC : DE PBC ( D ∈ AB,E ∈ AC ) AD AE DE = = AB AC BC Chú ý: Hệ cho trường hợp đường thẳng d song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III AD AE DE = = AB AC BC II Các dạng tập Dạng Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh đường thẳng song song Phương pháp giải: Thực theo bước Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ tam giác Bước 2: Sử dụng định lý đảo định lý Ta – let để chứng minh đoạn thẳng song song Bài 1: Cho hình thang ABCD ( AB PCD) Gọi trung điểm đường chéo AC BD M N Chứng minh: MN, AB CD song song với Hướng Dẫn: Gọi P trung điểm AD Ta chứng minh NP MP đường trung bình ∆ABD ∆ADC nên suy NP//AB MP//DC Mặt khác AB//CD nên ta có P, N, M thẳng hàng ⇒ MN / / AB / / DC Bài 2: Cho tam giác ABC có điểm M cạnh BC cho BC = 4CM Trên cạnh AC lấy điểm N CN = Chứng minh MN song song với AB cho AN Hướng Dẫn: CM = BM CM CN = ⇒ MN / / AB Kết hợp với giả thiết ta có BM AN Ta có BC = 4CM ⇒ BM = 3CM ⇒ Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Dạng Sử dụng hệ định lý Ta – lét để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hệ thức, đoạn thẳng Phương pháp giải: Thực theo bước sau: Bước 1: Xét đường thẳng song song với cạnh tam giác, sử dụng hệ để lập đoạn thẳng tỉ lệ Bước 2: Sử dụng tỉ số có, với tính chất tỉ lệ thức, tỉ số trung gian (nếu cần) để tính độ dài đoạn thẳng chứng minh hệ thức có từ hệ quả, từ suy đoạn thẳng Bài 1: Cho tam giác ABC có cạnh BC = m Trên cạnh AB lấy điểm D, E cho AD = DE = EB Từ D, E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC theo thứ tự M N Tính độ dài đoạn thẳng DM EN theo m Hướng Dẫn: Áp dụng hệ định lý Ta-lét ta có: DM AD m = ⇒ DM = BC AB EN AE = ⇒ EN = m BC AB Bài 2: Cho hình thang ABCD ( AB PCD,AB < CD) Gọi trung điểm đường chéo BD M Qua M kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC N Chứng minh: CD − AB a) N trung điểm AC; b) MN = Hướng Dẫn: a) Gợi ý: Gọi Q giao điểm MN với BC ( Q ∈ BC ) Chứng minh Q trung điểm BC NQ//AB suy ĐPCM 2 DC − AB Vậy MN = MQ − NQ = b) Ta có MQ = DC , NQ = AB Bài 3: Cho tam giác ABC, điểm I nằm tam giác, tia AI, BI, CI cắt cạnh BC, AC, AB theo thứ tự D, E, F Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia CI H cắt tia BI K Chứng minh: AK HA AF AE AI = ; + = a) b) BD DC BF CE ID Hướng Dẫn: a) AK / / BD ⇒ AI AH AI AK = ; Từ AH / / DC ⇒ = ID BD ID DC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III AK AH = BD DC AK AH AK + AH HK AI = = = = (1) b) Ta có: BD DC BD + DC BC ID Do Ta chứng minh AF AH AE AK = (2); = (3) BF BC CE BC AE AF AI + = Từ (1), (2), (3) ta có (ĐPCM) CE BF ID $=D µ = 900 Gọi M điểm đường chéo AC Gọi N P Bài 4: Cho tứ giác ABCD có B MN MP + = hình chiếu M BC AD Chứng minh AB CD Hướng Dẫn: Ta chứng minh MN//AB, áp dụng hệ định lý Ta-lét ⇒ Tương tự: PM / / DC ⇒ MN MC = (1) AB AC PM AM = (2) DC AC Lấy (1) + (2) ta ĐPCM Bài 5: ∆ABC; đường caoAH, d// BC, d cắtAB,AC,AH GT theo thứ tự B’, C’, H’ A ‘B H’ C’ KL a) AH ' B ' C ' = AH BC b) Biết AH’ = B H C AH; S∆ABC = 67,5cm2 Tính S∆A’B’C’ Hướng Dẫn: AH ' B ' H ' H ' C ' B ' H '+ H ' C ' B' C ' = = = = (đpcm) AH BH HC BH + HC BC AH ' B ' C ' AH ' AH '.B' C ' S ∆AB 'C ' S ∆AB 'C ' = b) Từ ⇒( ) = = = 2S ∆ABC S ∆ABC AH BC AH AH BC AH ' AH ' 1 Mà AH’ = AH ⇒ = ⇒( ) = ( )2 = AH AH S ∆AB 'C ' Vậy = ⇒ S∆ABC = 67,5cm2 S ∆ABC a) Vì d // BC ⇒ Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III S ∆AB 'C ' S ∆AB 'C ' 1 = ⇒ 67,5 = S ∆ABC 9 67,5 ⇒ S∆AB’C’ = = 7,5(cm2) Nên ta có : Dạng Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh đường thẳng song song Phương pháp giải: Xét cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ tam giác để chứng minh đường thẳng song song (có thể sử dụng định lý Ta – lét thuận hệ định lý Ta – lét để có cặp đoạn thẳng tỉ lệ) Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC Kẻ IM song song với BK (M thuộc AC), kẻ KN song song với CI (N thuộc AB).Chứng minh MN song song với BC Hướng Dẫn: Từ IM//BK KN//IC ta suy Do AI AM AN AK = = AB AK AI AC AN AM = ⇒ ĐPCM AB AC Bài 2: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, điểm I thuộc đoạn AM Gọi E giao điểm BI AC, F giao điểm CI AB Chứng minh EF song song với BC Hướng Dẫn: Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt tia CF H cắt tia BE K Áp dụng kết ý a) 3A MB = MC ta chứng minh AH = AK AH AF AK AE = ; = BC FB BC EC AF AE = nên ⇒ ĐPCM FB EC Lại có Cách khác: Áp dụng định lý Xê va (sẽ chứng minh phần BTVN) Do AM, BE, CF đồng quy I ⇒ MB EC FA =1 MC EA FB Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III MB =1 MC FB EC ⇒ = ⇒ FE / / BC FA EA Mà III Bài tập tự luyện Bài tập Bài 1: Cho tam giácABC vuông A, MN//BC ( M ∈ AB; N ∈ AC ) , AB=9cm; AM = 3cm; AN = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng NC, MN, BC Hướng Dẫn: MB = AB – AM = 6cm Vì MN//BC nên theo hệ định lí Talet ta có AM AN AM AN AM AN = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = MB NC NC AB AC AB − AM AC − AN Suy NC = 8cm Xét tam giác vng AMN có góc A vng, ta có MN = AM + AN = 25 MN = 5cm Vì MN//BC nên theo hệ định lí Talet ta có AM MN = ⇔ = Suy BC = 15cm AB BC BC Bài 2: Qua điểm E thuộc đường chéo BD tứ giác ABCD vẽ EF P AD ( F ∈ AB ) , vẽ EG P DC ( G ∈ BC ) Chứng minh FG P AC Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Áp dụng định lý Talet ∆ABD với EF P AD có: BE BF = (1) ED FA Áp dụng định lý Talet ∆BDC với EG P DC BE BG = (2) ED GC BF BG = ⇒ FG P AC (định lý Talet đảo) Từ (1) (2) ⇒ FA GC có: 3 Bài 3: Cho ∆ABC điểm D ∈ AC , điểm E ∈ AC cho: CD = CA; BE = BA Gọi O giao điểm BD CE Tính tỉ số OD OB Hướng Dẫn: Ta có AE AD = nên DE P BC AB AC Do OD DE AD = = = OB BC AC Bài 4: Cho tứ giác ABCD Đường thẳng qua A song song với BC cắ BD E Đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G Chứng minh rằng: EG P DC Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Gọi O giao điểm AC BD Ta có AE P BC nên BG P AD nên OE OA = (1) OB OC OB OG = (2) OD OA Nhân vế (1) (2) OE OG = EG P DC OD OC Chú ý Cách giải khác Ta có BG P AD nên S ABD = S AGD Cùng trừ S AOD ta S AOB = SDOG (1) Chứng minh tương tự S AOB = SCOE (2) Từ (1) (2) suy S DOG = SCOE Cùng trừ S EOG S DEG = SCEG EG P DC Bài 5: Cho điểm M nằm cạnh AB tứ giác ABCD Vẽ ME P BD ( E ∈ AD ) , vẽ EG P AC ( G ∈ CD ) , GH P DB ( H ∈ BC ) a) Chứng minh rằng: MEGH hình bình hành b) Tính chu vi hình bình hành MEGH ABCD hình chữ nhật Hướng Dẫn: Cách (khơng dùng định lí Talet đảo) Ta có ME AE CG HG = = = suy ME = HG Ta lại có ME PHG BD AD CD BD Vậy MEGH hình bình hành Cách (dùng định lí Talet đảo) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Ta có BM DE DG BH = = = nên MH P AC Tứ giác MEGH có MH / / EG , ME / / HG nên MA EA GC HC hình bình hành Bài 6: Cho M trung điểm đoạn thẳng AB điểm C nằm đường thẳng AB Lấy điểm D thuộc tia đối tia CB Gọi E giao điểm DM AC , K giao điểm BE AD Chứng minh CK P AB Hướng Dẫn: MG P BK , MH / / AC nên ⇒ DC DE DK DC DK = = = suy CH EM KG 2CH KG DC DK = ⇒ CK P AB CD KA Chú ý Bài toán cho ta tốn dựng hình: cho đoạn thẳng AB trung điểm M Qua điểm C nằm đường thẳng AB , dùng thước dựng đường thẳng song song với AB Bài 7: Cho tam giác ABC, M điểm BC Các đường song song với AM vẽ từ B C cắt AC, AB N P Chứng minh 1 = + AM BN CP Hướng Dẫn: Áp dụng hệ định lí Talet cho tam giác BNC tam giác CPB, ta có AM MC AM BM = = (1) (2) CP BC BN CB Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Lấy (1) + (2) ta AM AM MC + BM + = =1 BN CP CB 1 + = BN CP AM Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB// CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM ⇒ BD, K giao điểm BM AC a) Chứng minh IK//AB b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo E, F Chứng minh EI = IK = KF Hướng Dẫn: a) Theo giải thiết AB//CD nên theo định lý Talet ta có IM DM KM MC = ; = IA AB KB AB Mà CM = DM nên IM KM = ⇒ IK / / AB (theo định lí Talet đảo) IA KB b)Theo chứng minh câu a ta có IE//CD EI AE BF KF EI KF ⇒ = = = ⇒ = DM AD BC MC DM MC Mà DM = MC ⇒ IE = KF Chứng minh tương tự IK = KF Vậy IE = IK = KF Bài 9: Cho tam giác ABC trung tuyến AD Một đường thẳng song song với AD cắt cạnh BC, đường thẳng CA, AB E, N, M Chứng minh EM EN + =2 AD AD Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Gọi AI trung tuyến tam giác ABC, vẽ BD//MN, CE//MM ( D, E ∈ AG ) Ta có BD//CE Xét ∆IBD ∆ICE có ∧ ∧ I1 = I (đối đỉnh) BI = IC (AI trung tuyến) ∧ ∧ DBI = ECI (so lê trong) Do ∆IBD = ∆ICE (c.g.c) nên BD = CE, DI = IE Trong tam giác AMG có MG//BD nên Trong tam giác ANG có NG//EC nên AB AD = (hệ định lí Talet) AM AG AB AD = (hệ định lí Talet) AM AG AB AC AD + AE AI − DI + AI + IE AI + = = = =3 Do AM AN AG AG AI Vì DI = IE (cmt); GA= Vậy AI (G tâm) AC AB + =3 AN AM Bài 3: Cho hình thang ABCD có hai đáy BC AD (BC khác AD) Gọi M, N hai điểm cạnh AB, CD cho AM CN = Đường thẳng MN cắt AC, BD tương ứng E F Vẽ AB CD MP//BD ( P ∈ AD ) a)Chứng minh PN//AC b)Chứng minh ME = NF Hướng Dẫn : Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III a) Ta có MP//BD nên Mà AP AM = (định lí Talet) AD AB AM CN = AB CD Suy (1) AP CN = AD CD Suy PN//AC ( định lí Talet) FN CN = BC CD (1) ME AM = BC AB (2) b) Ta có FN//BC nên ME//BC nên Từ (1), (2) (3) suy ME FN = ⇒ ME = FN BC BC Bài 4: Cho tam giác ABC Kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D cắt AC E Qua C kẻ Cx song song với AB, cắt DE G Gọi H giao điểm AC BG Kẻ HI song song với AB ( I ∈ BC ) Chứng minh a)AD.EG = BD.DE b) HC = HE.HA 1 = + c) HI AB CG Hướng Dẫn : a) Tứ giác DGCB có DG//BC; CG//DB nên tứ giác DGCB hình bình hành Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III ⇒ BD = CG (1) DE DA = (2) EG GC Trong tam giác AD//CG nên Từ (1) (2) suy DE DA = EG BD ⇒ DE.BD = DA.EG (đpcm) b) Ta có BC//EG ⇒ HE HG = (định lí Talet) HC HB Ta lại có AB//CG ⇒ Suy HC HG = HA HB HE HC = HC HA ⇒ HC = HA.HE (đpcm) c) Ta có AB//IH ⇒ HI IC = (định lí Talet) AB BC (3) IH//CG ⇒ IH IB = (định lí Talet) CG BC (4) Lấy (3) +(4) vế theo vế ta ⇒ Hay IH HI IB IC IB + IC + = + = =1 CG AB BC BC BC IH HI 1 + =1⇒ + = (đpcm) CG AB CG AB IH ∧ ∧ Bài 5: Cho tia Ox Oy, Oz tạo thành xOy = yOz = 600 Chứng minh A, B, C điểm 1 = + thẳng hàng Ox, Oy, Oz ta có BD OA OB Hướng Dẫn: Qua B vẽ BD//Ox, D∈ Oz Và DE//Oz, E ∈ Ox Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Ta có tứ giác ODBE hình bình hành mà OB tia phân giác góc AOC, nên ODBE hình thoi Suy DB = BE Tam giác AOC có BD//OA nên BD CB = (hệ định lí Talet) OA AC Tam giác AOC có EB//OC nên BE AB = (hệ định lí Talet) OC AC Do Hay BD BE CB + AB + = =1 OA OC AC BD BD + = BD = BE (cmt) OA OC 1 = + BD OA OB Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi O giao điểm đường chéo Qua O ta kẻ Nên đường thẳng song song với CD cắt BC M Chứng minh 1 = + OM AB CD Hướng Dẫn: Trong tam giác ABC có OM//AB ⇒ OM MC = AB BC Trong tam giác DCB có OM//DC ⇒ OM MB = CD BC Do Hay (1) (2) OM OM MC BM + = + =1 AB CD BC BC 1 + = AB CD OM Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD CE Qua D kẻ DF vng góc với AB (F thuộc AB); qua E kẻ EG vuông góc với AC Chứng minh: a) AD.AE = AB.AG = AC.AF; b) FG song song với BC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Hướng Dẫn: Bài 8: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD Gọi M trung điểm CD, E giao điểm MA BD, F giao điểm MB AC a) Chứng minh EF song song với AB b) Đường thẳng EF cắt AD, BC H N Chứng minh: HE = EF = FN c) Tính độ dài HN Hướng Dẫn: a) Từ AB//DM AB//MC chứng minh b) HF / / DC ⇒ AE BF = ⇒ EF//AB EM FM HE EF = ⇒ HE = EF (1) DM MC Tương tự EF = FN (2) Từ (1) (2) ⇒ HE = EF = FN (ĐPCM) c) Chứng minh AE AE AE = ⇒ = ⇒ = EM AE + EM + AM HE AE 10 = Mà ; Từ tính HE = cm suy HN = 10cm DM AM Bài 9: (ĐỊnh lý Céva) Trên ba cạnh BC, CA, AB tam giác ABC lấy tương ứng ba điểm P, Q, R PB QC RA = Chứng minh AP, BQ, CR đồng quy PC QA RB Hướng Dẫn: Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BQ CR N M Ta chứng minh được: QC BC = (1); AQ AN RA AM = (2); BR BC BP AN = (3) CP AM Từ (1), (2), (3) suy PB QC RA = (ĐPCM) PC QA RB Bài 10: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III a) Cho tia Ax nằm hai tia AB AD Chứng minh rằng, với điểm M thuộc tia Ax , tỉ số khoảng cách từ M đến AB từ M đến AD khơng đổi b) Cho hình bình hành ABCD có AB = a; AD = b; M điểm thuộc đường chéo AC Tính tỉ số khoảng cách từ M đến AB từ M đến AD Hướng Dẫn: a) Lấy C Ax Kẻ ME CH vng góc với AB , kẻ MF CK vng góc với AD Ta có: ME MA MF ME CH = = = nên CH CA CK MF CK ME CH = b) Ta có MF CK CH b ME b = Vậy = Ta lại có CH a = CK b nên CK a MF a Bài 11:Chứng minh định lý Talet tổng quát: Nếu nhiều đường thẳng song song với chúng định cát tuyến cặt đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Ba đường thẳng song song với nhau, cắt hai cát tuyến m n A A' , B B' , C AB A' B' = BC B' C' AB A' B' = Nếu m / / n , hiển nhiên BC B' C' Nếu m không song song với n , qua A' vẽ đường song song với m , cắt BB' CC' theo C' Ta chứng minh thứ tự E F Ta có A' E A' B' AB A' B' = = , A' E = AB, EF = BC nên EF B' C' BC B' C' Bài 12: Một thang tre có gióng ngang cách nhau, gióng dài 30cm , gióng cuối dài 44cm Tính độ dài gióng lại Hướng Dẫn: Chứng minh đoạn thang dài đoạn thang liền độ dài x Ta có 30 + x = 44 nên x = Đáp số: 32,34,36 ,38,40,42 (cm) Bài 13:Hình thang ABCD có đáy CD = a; AB = b ( a > b ) Một đường thẳng song song với hai đáy, cắt cạnh AD BC E F Tính độ dài FE biết AE = AD Hướng Dẫn: EF = b + a − b a + 2b = 3 Bài 14:Hình thang ABCD ( AB P CD ) , O giao điểm hai đường chéo Qua O vẽ đường thẳng song song với hai đấy, cắt AD BC thứu tự E G Tính độ dài OE;OG biết AB = a;CD = b Hướng Dẫn: OE AO = (1) CD AC AO AB a = = ⇒ Do AB // DC nên OC CD b AO a AO a = ⇒ = AO + OC a + b AC a + b Do EO // DC nên (2) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 23 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Từ (1) (2) suy Tương tự: OG = OE a ab = nên OE = b a+b a+b ab a+b Bài 15: Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm E, F, G, H cho AE AH CF CG = = = AB AD CB CD a) Chứng minh tứ giác EFGH hình bình hành b) Chứng minh hình bình hành EFGH có chu vi khơng đổi Hướng Dẫn: b) Gọi I, J giao điểm AC với HE GF ⇒PEFGH = 2( AI + IJ + J C ) = 2AC Bài 16: Cho hình thang ABCD (AB // CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm BM AC a) Chứng minh IK // AB b) Đường thẳng IK cắt AD, BC E F Chứng minh EI = IK = KF Hướng Dẫn: a) Chứng minh MI MK = ⇒ IK P AB IA KB Bài 17: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D, vẽ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt AC M AB K Từ C, vẽ đường thẳng song song với cạnh bên AD, cắt cạnh đáy AB F Qua F, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh bên BC P Chứng minh rằng: a) MP song song với AB b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy Hướng Dẫn: b) Gọi I giao điểm DB với CF Chứng minh P, I, M thẳng hàng Bài 18: Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Đường thẳng song song với BC qua O, cắt AB E đường thẳng song song với CD qua O, cắt AD F a) Chứng minh đường thẳng EF song song với đường chéo BD b) Từ O vẽ đường thẳng song song với AB AD, cắt BC DC G H Chứng minh hệ thức: CG.DH = BG.CH Hướng Dẫn: a) Chứng minh AE AF = AB AD b) Dùng kết câu a) cho đoạn GH Bài 19: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = 2AB Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = 2AC Chứng minh a) ∆ADE∼∆ ABC b) Tìm tỉ số đồng dạng Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 24 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III D E A B a) C AB AC = = =>BC//ED(Định lý Talet đảo) AD AE =>∆ADE∼∆ ABC(định lý hai tam giác đồng dạng) b) AD =2 AB Bài 20: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB lấy điểm I Gọi E giao điểm DI CB Gọi J giao điểm AE CI Chứng minh BJ vng góc DE Hướng Dẫn: Trên tia đối tia AB lấy điểm F cho AF = BE CF cắt EA, ED H, O, EA cắt DF K Ta có ∆ABE = ∆DAF (c-g-c) · · ⇒ AFD = BEA (1), AE = DF (2) , · · · · Vì FAK BAE + BEA = 900 (3) = BAE · · (1), (3) suy AFD + FAK = 900 , hay EA ⊥ DF · · · · , kết hợp với (2), ta được: ADF = BAE ⇒ CDF = DAE · · ∆CDF = ∆DAE (c-g-c), suy DCF (4) = ADE · · · · Mặt khác CDO + DCF = 900 , ta có ED ⊥ CF + ADE = 900 nên CDO Từ suy I trực tâm tam giác CEF H trực tâm tam giác DEF, suy CI ⊥ EF, DH ⊥ EF ⇒ DH // CI Theo định lí Talet thì: EJ EI EB = = , BJ // CH EH ED EC Theo CH ⊥ ED , BJ ⊥ ED Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 25 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Bài 21: Cho tam giác AOB có AB = 18cm,OA = 12cm,OB = 9cm Trên tia đối tia OB lấy điểm D cho OD = 3cm Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt tia AO C Gọi F giao điểm AD BC Tính: FD a) Độ dài OC, CD; b) Tỉ số FA Hướng Dẫn: a)Từ DC//AB, áp dụng hệ định lý Ta-let chứng minh được: OC = 4cm DC =6cm b) Áp dụng hệ Định lý Ta-lét cho ∆AFB tính FD DC = = FA AB Bài 22: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD, M trung điểm AB, O giao điểm AD BC OM cắt CD N Chứng minh N trung điểm CD Hướng Dẫn: Chứng minh AM MB  OM  = = ÷ mà AM = MB ⇒ DN = NC ⇒ N trung điểm CD DN NC  ON  Bài 23: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G a) chứng minh: EG // CD b) Giả sử AB // CD, chứng minh AB2 = CD EG Hướng Dẫn: Gọi O giao điểm AC BD a) Vì AE // BC ⇒ OE OA = (1) OB OC BG // AC ⇒ OB OG = (2) OD OA Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: OE OG ⇒ EG // CD = OD OC b) Khi AB // CD EG // AB // CD, BG // AD nên Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 26 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III AB OA OD CD AB CD = = = ⇒ = ⇒ AB2 = CD EG EG OG OB AB EG AB Bài 24: Cho ABC vuông A, Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD vuông cân B, ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm Ac BF b) AH2 = BH CK Chứng minh rằng:a) AH = AK Hướng Dẫn: a)Đặt AB = c, AC = b BD // AC (cùng vng góc với AB) nên AH AC b AH b AH b = = ⇒ = ⇒ = HB BD c HB c HB + AH b + c Hay AH b AH b b.c = ⇒ = ⇒ AH = (1) AB b + c c b+c b+c AB // CF (cùng vng góc với AC) nên Hay AK AB c AK c AK c = = ⇒ = ⇒ = KC CF b KC b KC + AK b + c AK b AK c b.c = ⇒ = ⇒ AK = (2) AC b + c b b+c b+c Từ (1) (2) suy ra: AH = AK b) Từ AH AC b AK AB c AH KC AH KC = = = = suy = ⇒ = (Vì AH = AK) HB BD c KC CF b HB AK HB AH ⇒ AH2 = BH KC Bài 25: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a qua A cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng: a) AE2 = EK EG b) 1 = + AE AK AG Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 27 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III a) Vì ABCD hình bình hành K ∈ BC nên AD // BK, theo hệ định lí Ta-lét ta có: EK EB AE EK AE = = ⇒ = ⇒ AE = EK.EG AE ED EG AE EG b) Ta có: AE DE AE BE = = ; nên AK DB AG BD AE AE BE DE BD  1  + = + = = ⇒ AE  + (đpcm) = + ÷= ⇒ AK AG BD DB BD AE AK AG  AK AG  c) Ta có: BK AB BK a KC CG KC CG = ⇒ = = ⇒ = (1); (2) KC CG KC CG AD DG b DG Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: BK a = ⇒ BK DG = ab khơng đổi (Vì a = AB; b = AD b DG độ dài hai cạnh hình bình hành ABCD khơng đổi) Bài 26: Cho tứ giác ABCD, điểm E, F, G, H theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2 Chứng minh rằng: a) EG = FH b) EG vng góc với FH Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 28 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III a)Gọi M, N theo thứ tự trung điểm CF, DG Ta có CM = 1 BM BE BM ⇒ = = = CF = BC ⇒ BC BA BC ⇒ EM // AC ⇒ EM BM 2 = = ⇒ EM = AC (1) AC BE 3 Tương tự, ta có: NF // BD ⇒ NF CF 2 = = ⇒ NF = BD (2) BD CB 3 mà AC = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy : EM = NF (a) Tương tự ta có: MG // BD, NH // AC MG = NH = AC (b) · Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC ⊥ BD ⇒ EM ⊥ MG ⇒ EMG = 900 (4) · Tương tự, ta có: FNH = 900 (5) · · Từ (4) (5) suy EMG = FNH = 900 (c) Từ (a), (b), (c) suy ∆ EMG = ∆ FNH (c.g.c) ⇒ EG = FH b) Gọi giao điểm EG FH O; EM FH P; EM FN Q · · · · · · · (đối đỉnh), OEP ( ∆ EMG = ∆ FNH) PQF = 900 ⇒ QPF + QFP = 900 mà QPF = OPE = QFP · · Suy EOP = PQF = 900 ⇒ EO ⊥ OP ⇒ EG ⊥ FH Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 29 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Bài 27: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC M AB K, Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC P Chứng minh a) MP // AB b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy Hướng Dẫn: a) EP // AC ⇒ CP AF = (1) PB FB AK // CD ⇒ CM DC = (2) AM AK tứ giác AFCD, DCBK la hình bình hành nên AF = DC, FB = AK (3) Kết hợp (1), (2) (3) ta có CP CM ⇒ MP // AB (Định lí Ta-lét đảo) (4) = PB AM b)Gọi I giao điểm BD CF, Ta có: Mà CP CM DC DC = = = PB AM AK FB DC DI CP DI ⇒ IP // DC // AB (5) = = (Do FB // DC) ⇒ FB IB PB IB Từ (4) (5) suy : qua P có hai đường thẳng IP, PM song song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP qua giao điểm CF DB hay ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy Bài 28: Cho ∆ ABC có BC < BA Qua C kẻ đường thẳng vng gốc với tia phân giác BE · ; đường thẳng cắt BE F cắt trung tuyến BD G Chứng minh đoạn thẳng EG ABC bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 30 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Hướng Dẫn: Gọi K giao điểm CF AB; M giao điểm DF BC ∆ KBC có BF vừa phân giác vừa đường cao nên ∆ KBC cân B ⇒ BK = BC FC = FK Mặt khác D trung điểm AC nên DF đường trung bình ∆ AKC ⇒ DF // AK hay DM // AB Suy M trung điểm BC DF = AK (DF đường trung bình ∆ AKC), ta có BG BK BG BK 2BK = = = ( DF // BK) ⇒ (1) GD DF AK GD DF Cách khác CE DC - DE DC AD = = −1 = − (Vì AD = DC) ⇒ DE DE DE DE CE AE - DE DC AD = = −1 = −1 DE DE DE DE Hay CE AE - DE AE AB AE AB = −1 = −2= − (vì = : Do DF // AB) DE DE DE DF DE DF Suy CE AK + BK 2(AK + BK) = −2= − (Do DF = AK) ⇒ DE DE AK CE 2(AK + BK) 2BK = −2 = (2) DE AK AK Từ (1) (2) suy BG CE ⇒ EG // BC = GD DE Gọi giao điểm EG DF O ta có OG OE  FO  = = ÷ ⇒ OG = OE MC MB  FM  Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 31 ... AM BD BD = (1) = Hay BC 2. BM 2. 3 áp dụng định lí Talet vào tam giác MAC với GE//AC ta có Suy EC AG EC = = suy = = 2. MC 2. 3 MC AM hay EC = (2) BC BD EC = = BC BC Bài 18: Hình thang ABCD đáy nhỏ... (vì = : Do DF // AB) DE DE DE DF DE DF Suy CE AK + BK 2( AK + BK) = ? ?2= − (Do DF = AK) ⇒ DE DE AK CE 2( AK + BK) 2BK = ? ?2 = (2) DE AK AK Từ (1) (2) suy BG CE ⇒ EG // BC = GD DE Gọi giao điểm EG DF... chéo đến đỉnh hình thang Hướng Dẫn: OA = 4cm , OB = 3cm , OC = 12cm , OD = 9cm Bài 16: Cho tam giác ABC Hình thoi BEDF có E ∈ AB; D ∈ AC; F ∈ BC a) Biết cạnh hình thoi 30cm ; DA = 24 cm; DC = 36cm