Câu 1 TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 10 (1) CHỦ ĐỀ 4 BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƢƠNG TRÌNH PHẦN 01 BẤT ĐẲNG THỨC A LÝ THUYẾT PHƢƠNG PHÁP I – ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 1 Khái niệm bất đẳng thức Các mệnh đề dạng .
TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 10 CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƢƠNG TRÌNH PHẦN 01 BẤT ĐẲNG THỨC A LÝ THUYẾT - PHƢƠNG PHÁP: I – ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Khái niệm bất đẳng thức Các mệnh đề dạng '' a b '' '' a b '' gọi bất đẳng thức Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức tƣơng đƣơng Nếu mệnh đề '' a b c d '' ta nói bất đẳng thức c d bất đẳng thức hệ bất đẳng thức a b viết a b c d Nếu bất đẳng thức a b hệ bất đẳng thức c d ngược lại ta nói hai bất đẳng thức tương đương với viết a b c d Tính chất bất đẳng thức Như để chứng minh bất đẳng thức a b ta cần chứng minh a b Tổng quát hơn, so sánh hai số, hai biểu thức chứng minh bất đẳng thức, ta sử dụng tính chất bất đẳng thức tóm tắt bảng sau Tính chất Tên gọi Điều kiện Nội dung Cộng hai vế bất đẳng thức với a b a c b c số c a b ac bc Nhân hai vế bất đẳng thức với số c a b ac bc Cộng hai bất đẳng thức chiều a b c d a c b d a 0, c n n a a 0 a b c a b a2 n a b 2n a b a b a d ac b2 n a b b Nhân hai bất đẳng thức chiều Nâng hai vế bất đẳng thức lên lũy thừa 2n a bd Khai hai vế bất đẳng thức b Chú ý Ta gặp mệnh đề dạng a b a b Các mệnh đề dạng gọi bất đẳng thức Để phân biệt, ta gọi chúng bất đẳng thức không ngặt gọi bất đẳng thức dạng a b a b bất đẳng thức ngặt Các tính chất nêu bảng cho bất đẳng thức khơng ngặt II– BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CƠ-SI) Bất đẳng thức Cơ-si Định lí Trung bình nhân hai số khơng âm nhỏ trung bình cộng chúng a b ab , a, b a b Đẳng thức ab xảy a b 2 Các hệ Hệ Tổng số dương với nghịch đảo lớn a 2, a a Hệ Nếu x , y dương có tổng khơng đổi tích xy lớn x Hệ Nếu x , y dương có tích khơng đổi tổng x y y nhỏ x (1) y TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 10 III – BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Điều kiện Nội dung x a 0, x x a a x a x a b x, x x x a a x a b a a b B BÀI TẬP MẪU: - Dạng 1: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si với x x b) Tìm giá trị nhỏ g x x với x x 1 c) Tìm giá trị nhỏ h x x với x 2x 1 d) Tìm giá trị nhỏ p x x với x 4x Ví dụ 1: a) Tìm giá trị nhỏ f x x Lời giải a) Do x nên ta có f x x 3 x x x x (thỏa mãn điều kiện x ) x Vậy, f x đạt giá trị nhỏ x Đẳng thức xảy x b) Do x nên ta có g x x 1 x 1 x 1 1 x 1 x (thỏa mãn) x 1 6 2h x x 2x 1 c) Ta có h x x 2x 1 2x 1 2x 1 1 1 Do x nên ta có 2h x x 1 2x 1 2 1 h x 6 1 x Đẳng thức xảy x (thỏa mãn) 2x 1 2 1 1 Vậy, h x đạt giá trị nhỏ x 2 12 p x 4x d) p x x 4x 4x 12 71 p x 4x 7 4x 7 75 x 75 Từ giả thiết ta có x 15 Do Đẳng thức xảy x (2) TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 10 12 71 44 11 15 p x 4x 7 75 x 75 5 12 4 4x 7 Đẳng thức xảy 75 x x (thỏa mãn) x p x Vậy p x đạt giá trị nhỏ 11 x - Dạng 2: Sử dụng biến đổi tƣơng đƣơng bất đẳng thức biết Để tìm giá trị lớn (tương tự giá trị nhỏ nhất) biểu thức f, ta trình bày lời giải sau: - Bước 1: Chứng minh với giá trị biến số thỏa mãn điều kiện T xảy bất đẳng thức f M , M số không phụ thuộc vào biến f - Bước 2: Chứng minh tồn giá trị biến (khơng thiết phải tìm tất cả) thỏa mãn điều kiện T cho f M - Bước 3: Kết luận max f M 3x đoạn 1;3 x2 x2 b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số g x đoạn 1; 2 x2 Ví dụ 1: a) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x Lời giải 3 x 2 7 ĐKXĐ: x 2 3 x2 x2 7 7 Với x 1;3 , ta có: x x2 x2 Do 4 f x , x 1;3 Ta có f x 4 x 1 1;3 ; f x x 1;3 Vậy max f x f 1 4 f x f 3 1;3 1;3 b) Với x 1; 2 x 0; 4 a) Ta có f x x2 x 1 1 1 Ta có 2 2x 1 2x 1 2 2x 1 Với x thuộc đoạn 1; 2 x 2x 1 1 1 0 2x 1 2 2x 1 Do g x , x 1; 2 Mặt khác g x x 1; 2 ; g x x 1; 2 Vậy max g x g g x g 1;2 1;2 1 2 (3) TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 10 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng? A a c b d a c b d B a c b d a c C a c b d a d b c D a c b d 0 b d a c b d Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sau sai? A C a a b c b a c a a B b c a c b a D a b c a c Câu Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? a b a c A a c b d C 0 a c b c ac bd b d ac bd B a c b d D a c b d ac b bd ac bd Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng? A a b ac C c a b B bc ac D bc a c b ac a b ac bc 0 a b bc Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng? A 0 a c C a c b d b d a c a c b d B a c b d 0 a c b d b d a c D b d d c Câu Nếu a 2c b 2c bất đẳng thức sau đúng? A 3a 3b B a2 C b2 2a D 2b a b Câu Nếu a b a b a b bất đẳng thức sau đúng? A ab Câu Nếu a A a B b a C a b D bất đẳng thức sau đúng? B a a a C a D a a a3 b a2 Câu Cho hai số thực dương a, b Bất đẳng thức sau đúng? A a2 a 1 B ab ab Câu 10 Cho a, b x a , y a a2 C a2 a2 b b b2 D Tất Mệnh đề sau đúng? A x y B C x y D Không so sánh x y Câu 11 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x A m 2 B m 2 C m Câu 12 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x x x x m B m C m với D 2 x A x m 1 D Khơng tồn (4) m TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 10 x2 Câu 13 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x A m B m C m m B m 18 C m x m B m C m m B m C m x m B m C m x m B m C m m B m C m x 32 x 2x x x M B M 24 C M M B M C M 6x M B M C M x x M B M C M 16 với x D m với x D m 10 với với x Câu 23 Tìm giá trị lớn M hàm số f x A m D x 2 x D D m 2, M m 2, M Câu 25 Tìm giá trị nhỏ m A C m 0; M m 2; M Câu 26 Tìm giá trị nhỏ m A m B m 10 19 m với M x x D M với x D M m (5) D m ; 2 x 30 M B m 3, M D m 3, M lớn M hàm số f x B m 2; M D m 0; M 2 2x 3x hàm số f x C 2 Câu 24 Tìm giá trị nhỏ m lớn M hàm số f x A C x x m 2x x x x với với 27 m với D Câu 22 Tìm giá trị lớn M hàm số f x A 13 Câu 21 Tìm giá trị lớn M hàm số f x A x Câu 20 Tìm giá trị lớn M hàm số f x A x Câu 19 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x A 1 với D Câu 18 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x A x x Câu 17 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x A D 16 Câu 16 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x A x x m x Câu 15 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x A với D Câu 14 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f x A 2x x x x 87 3 x x TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 10 Câu 27 Tìm giá trị lớn M hàm số f x A B M Câu 28 Cho hai số thực x , A 0;3 Câu 29 Cho hai số thực x , A M 0; 1 B thỏa mãn y thỏa mãn y 1;1 C x A B y 2 B 0;2 x2 y2 C ;1 Câu 30 Cho hai số thực x , y thỏa mãn x M x y xy xy x2 D M Tập giá trị biểu thức C 2;2 D 2;2 Tập giá trị biểu thức D xy C (6) 1; là: S x y P xy là: Giá trị nhỏ biểu thức D S x y là: ... d d c Câu Nếu a 2c b 2c bất đẳng thức sau đúng? A 3a 3b B a2 C b2 2a D 2b a b Câu Nếu a b a b a b bất đẳng thức sau đúng? A ab Câu Nếu a A a B b a C a b D bất đẳng thức sau đúng? B a a a C... đƣơng bất đẳng thức biết Để tìm giá trị lớn (tương tự giá trị nhỏ nhất) biểu thức f, ta trình bày lời giải sau: - Bước 1: Chứng minh với giá trị biến số thỏa mãn điều kiện T xảy bất đẳng thức. .. TẬP MƠN TỐN 10 III – BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Điều kiện Nội dung x a 0, x x a a x a x a b x, x x x a a x a b a a b B BÀI TẬP MẪU: - Dạng 1: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si với x