(SKKN mới NHẤT) những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài dãy số

Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng I ĐẶT VẤN ĐỀ Cơ sở thực tiễn vấn đề nghiên cứu Với 13 năm đứng bục giảng năm tham gia giảng dạy cho học sinh lớp 11 có số năm dạy cho học sinh ôn thi Học sinh giỏi Khi dạy chương dãy số tơi thấy có số vấn đề sau cần phải giải quyết: Một là: Theo qua điểm ngành Giáo dục thời lượng chương trình dạy học nên nội dung chương dãy số giảm tải đáng kể Tuy nhiên việc giảm tải tập trung vào tập cịn lí thuyết giảm tải khơng đáng kể u cầu tối thiểu Nên giáo viên dạy lí thuyết chương vất vả, học sinh học lí thuyết vất vả làm tập Sách giáo khoa học sinh thấy đơn giản tập khó giảm tải, tập cịn lại tương tự ví dụ có phần lí thuyết nên hầu hết học sinh làm theo cách máy móc hiểu rõ vấn đề đề thay đổi chút học sinh cảm thấy khó khăn, chán ngán Hai là: Các vấn đề dãy số không xuất đề thi tuyển sinh Đại học nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung Tài liệu tham khảo dãy số học sinh có nhu cầu tìm hiểu sau thêm dãy số học sinh có ý đinh ơn thi Học sinh giỏi khó tìm cho tài liệu dễ đọc Những vấn đề lý để tơi chọn đề tài: Dãy số Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Những vấn đề tơi trình bày sáng kiến với mục đích sau: Một là: Truyền đạt đến học sinh nhìn tồn diện dãy số theo quan điểm học sinh trung học phổ thơng khơng chun Hệ thống phân tích tập dãy số cách logic từ khó đến khó Hai là: Qua việc luyện tập tốn dãy số ta thấy phép tuyệt đệp, phép quy nạp từ vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát phép biến đổi điển hình đại số giải tích Ba là: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cách tự nhiên cho toán dãy số chánh gượng ép máy móc Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu tốn dãy số: phương pháp quy nạp toán học, cấp số cộng, cấp số nhân giới hạn dãy số Phạm vi nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung vào chương dãy số, giới hạn dãy số thuộc chương trình trung học phổ thơng khơng chun tập thi Học sinh giỏi cấp thành phố TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Kế hoạch nghiên cứu Trong trình dạy học với trăn trở trình bày phần sở thực tiến để đưa lý chọn đề tài thấy cho em học sinh lớp 11 làm tập dãy số hầu hết đề máy móc hiểu vấn đề lờ mờ khơng hệ thống số học sinh có hứng thú với phần dãy số khó tìm tài liệu tham khảo cho học sinh trung học phổ thông không chuyên hầu hết đề thi học sinh giỏi cấp thành phố có dãy số Từ khúc mắc nói tơi nghiên cứu đề tài dãy số qua số tự chon nâng cao lớp 11A2 năm học 2011 – 2012 lớp 11A1 năm học 2012 – 2013 từ xây dựng, hồn thiện viết TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận a) Phương pháp quy nạp toán học b) Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số gọi dãy số tăng * Dãy số gọi dãy số giảm Vậy: Nếu suy dãy số tăng Nếu suy dãy số giảm * Nếu tồn số * Nếu tồn số cho cho thì bị chặn bị chặn * Nếu dãy số bị chặn bị chặng gọi dãy só bị chặn c) Cấp số cộng * Dãy số cấp số cộng với , số khơng đổi gọi cơng sai cấp số cộng * Nếu dãy số cấp số cộng * Nếu dãy số cấp số cộng tổng d) Cấp số nhân * Dãy số cấp số nhân số không đổi gọi công bội cấp số nhân * Nếu dãy số cấp số nhân * Nếu dãy số với cấp số nhân vơi , tổng e) Một số đinh lí giới hạn - Nếu - Nếu - Nếu dãy số - Nếu dãy số tăng bị chặn Nếu dãy số giảm bị chặn có giới hạn có giới hạn TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Thực trạng vấn đề Để thực đề tài tơi thực khảo sát thực tế sau: Trong năm học 2011 – 2012 sau học sinh lớp 11 học hết chương III IV tức nghiên cứu đầy đủ dãy số giới hạn dãy số theo chương trình trung học phổ thơng khơng chun cho học sinh lớp 11A2 11A5 làm kiểm tra khảo sát 45 phút tự chọn nâng cao với đề kiểm tra sau: Câu I (3 điểm) Cho dãy số xác định bởi: Hãy tìm giới hạn Câu II (3,5 điểm) Tìm cơng thức thu gọn tính theo Câu III (3,5 điểm) Tìm số hạng tổng quát dãy số biết: xác định bởi: Với đáp án thang điểm sau : CÂU I (3đ) NỘI DUNG ĐIỂM Theo đề suy 1.0 … Cộng theo vế … đẳng thức ta 1,0 1,0 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Vậy II (3,5đ) Ta có , thay bới 1, 2, 3, …, ta được : 1,5 … … Cộng đẳng thức theo vế ta được  Ta có (theo cấp số cộng) Và (học sinh phải 0,5 1,0 chứng minh đẳng thức theo quy nạp) 0,5 III (3,5 đ) Theo đề Ta nghĩ đến Mà 2,0 nên ta phải có Đặt cấp số nhân có cơng bội 1,5 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho l Chú ý: Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà đợc đủ điểm phần nh đáp án quy định TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Kết thu với mức điểm tính tỉ lệ phần trăm sau: Điểm Lớp Lớp 11A2 ( 50 HS ) Lớp 11A5 ( 49 HS ) – 2,5 – 4,5 – 6,5 – 8,5 – 10 4,0% 20% 60% 12% 4,0% 6,1% 30,6% 51,3% 10% 2% Học sinh có điểm kiểm tra thấp lí sau : Câu I – Một số học sinh khơng có lời giải - Một số học sinh có lời giải tương tự đáp án tính tốn khơng xác Câu II – Nhiều học sinh khơng có lời giải - Một số học sinh có giải tương tự đáp án tính tốn khơng xác chưa đến kết cuối Câu III – Hầu hết học sinh khơng có lời giải - Một số học sinh chăm học làm nhiều tập Sách tập Cơ Nâng cao có dự đốn chứng minh theo quy nạp đẳng thức đáp án - rát học sinh có cách giải đáp án Các phương pháp tiến hành Vì hạn chế học sinh trình bày phần lý chọn đề tài phần khảo sát thực tiễn nên trình dạy lớp 11A2 năm học 2012 – 2013 dạy chương III IV tức phần dãy số giới hạn dãy số với số tiết tự chọn nâng cao tội tiến hành triển khai việc thực đề tài sáng kiến Nhưng thời gian khơng có nhiều, để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với phần cho học sinh số tập để em thảo luận, trao đổi nhà nghiên cứu tìm lời giải Trên lớp cho số học sinh lên bảng làm số học sinh khác nhận xét lời giải Sau tơi phân tích lời giải cho lớp để em tìm lời giải tối ưu nhấn mạnh số điểm quan trọng bài, qua dạng Để cho việc tiếp thu học dễ dàng chia nội dung viết thành ba phần sau: - Dãy số với phương pháp quy nạp toán học - Dãy số quy cấp số cộng cấp số nhân - Bài tập dãy số số đề thi Học sinh giỏi TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng PHẦN I: DÃY SỐ VỚI PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bài chứng minh đẳng thức sau: a) (1) b) (2) c) (3) Ba tập toán dễ dàng giải theo phương pháp quy nạp Ta thực lời giải cho ý b) Bước 1: Khi (2) Vậy (2) với Bước 1: Giả sử đẳng thức (2) với tức (giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh (2) với tức phải chứng minh: (*) Thật Vế trái (*) suy (*) Theo nguyên tắc quy nạp suy đẳng thức (2) Các ý a) c) chứng minh hoàn toàn tương tự Từ tập ta có lời giải đẹp cho tập sau đây: Bài Rút gọn biểu thức biểu thức  a) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng b) Giải a) ta có Khi Khi Khi … … Khi Cộng theo vế b) đẳng thức ta ta có Khi Khi Khi … Khi Cộng … đẳng thức theo vế ta Bài Tìm cơng thức tính giá trị biểu thức sau theo a) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng b) c) d) Giải a) ta có Khi Khi Khi … … Khi Cộng đẳng thức theo vế ta b) ta có Khi Khi Khi … … Khi Cộng đẳng thức theo vế ta Vậy Từ dễ dàng dự đốn cơng thức tính tổng c) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng d) Tổng chứng minh theo phương pháp quy nạp Trong trình giải toán ta khai thác sau đẳng thức (1), (2) (3) nêu có học sinh lại đặt câu hỏi đến đẳng thức (1), (2) (3) tốn giải nào ? Vấn đề giải sau : Đặt Và Trừ hai đẳng thức theo vế suy Vậy Tương tự Và Trừ hai đẳng thức theo vế suy Vậu Theo cách ta tìm Đến ta sử dụng tổng , để xây dựng đẳng thức (2) (3) Từ TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 10 Sáng kiến kinh nghiệm Cộng theo vế Nguyễn Hà Hưng đẳng thức ta Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Bài 17 Tìm số hạng tổng quát dãy số cho bới công thức truy hồi Giải Theo đề suy Đặt Xét cho Mà nên ta phải có Đặt Do cấp số nhân có cơng bội nên TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 31 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Theo cách tư tập nêu ta tìm số hạng tổng quát dãy số cho cơng thức truy hồi có dạng sau: Trong số thực cho trước, thức theo biến số tự nhiên Ví dụ: Tìm số hạng tổng qt dãy số ; đa cho bới công thức truy hồi: a) b) c) d) e) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 32 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng PHẦN III : MỘT SỐ BÀI TẬP DÃY SỐ THI HỌC SINH GIỎI Sau tập dãy số trích từ số đề thi Học sinh giỏi để học sinh tham khảo qua nhận thấy việc thực lời giải khơng q phức tạp nhìn đề phức tạp Bài (Học sinh giỏi Hà Nội 2012 – 2013) Cho dãy số xác định 1) Chứng minh dãy số giảm bị chặn 2) Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số Giải 1) Ta có , Giả sử (giả thiết quy nạp) Ta chứng minh (*) Theo cơng thức truy hồi, (*) (vì (vì Vậy suy ) ) bị chặn +) Xét hiệu (vì ) giảm bị chặn Vậy dãy số 2) giảm bị chặn Từ TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 33 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Đặt Từ suy , , Gải sử , (giả thiết quy nạp) Do Mà Vậy số hạng tổng quát dãy số Bài (Học sinh giỏi Hà Nội 2011 – 2012) Cho dãy số thỏa mãn Hãy tìm Giải Theo đề ta có … Cộng theo … đẳng thức ta Vậy Bài (Học sinh giỏi Hà Nội 2011 – 2012) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 34 Sáng kiến kinh nghiệm Cho dãy số Nguyễn Hà Hưng thỏa mãn: Chứng minh rằng: Giải Theo đề suy … … Cộng theo vế đẳng thức theo vế ta Và Ta phải chứng minh Ta chứng minh tăng không bị chặn +) Ta có Giả sử Xét (giả thiết quy nạp) (*) Bất đẳng thức (*) Vậy (*) Theo nguyên tắc quy nạp suy +) giả sử bị chặng (vì tăng Đặt TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 35 ) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Mà Vậy (cả hai nghiệm bị loại) khơng bị chặng Do Bài (Học sinh giỏi Hà Nội 2010 – 2011) Cho dãy số Tìm Giải xác định Đặt Ta có +) Xét tổng hạng thứ số hạng đầu cấp số nhân có số cơng bội +) Theo quy nạp ta dễ dàng chứng minh được: ta có Vậy TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 36 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Bài (Học sinh giỏi Hà Nội 2009 – 2010) Cho dãy số tử, xác định số chỉnh hợp chập Tìm Giải phần phần tử Đặt , Bài Cho dãy số xác định số thực dương cho trước Hãy tìm Theo đề , Giả sử (giả thiết quy nạp) Ta chứng minh (*) Theo đề (*) nạp) Vậy dãy số Vì số hốn vị Ta có Với Giải (theo giả thiết quy tăng tăng Mà Do dãy số tăng bị chặng TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 37 Sáng kiến kinh nghiệm Đặt Nguyễn Hà Hưng Mà (vì ) Vậy Bài (Học sinh giỏi Hà Tây 2004 – 2015) Cho dãy số xác định Hãy tìm Giải Ta có … … Theo đề Giả sử (giả thiết quy nạp) Ta chứng minh (*) Theo đề bài, (*) (theo giả thiết quy nạp) Vậy dãy số tăng TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 38 Sáng kiến kinh nghiệm Ta lại chứng minh Giả sử Nguyễn Hà Hưng không bị chặn bị chặn Đặt Mà loại) suy giả sử Do bị chặn sai Vậy Bài Cho dãy số có : Tìm số hạng tổng quát Giải Theo đề Đặt Do cấp số nhân có cơng bội Nên Mà suy … … Cộng theo vế đẳng thức ta TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 39 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Bài Cho dãy số có: Tìm số hạng tổng qt Giải Từ Đặt Suy cấp số nhân có cơng bội Nên Mà Vậy số hạng tổng qt dãy số cho Bài 10 (Học sinh giỏi Việt Nam 2001) Cho dãy số với Giải xác định bởi: Hãy tính tổng 2001 số hạng dãy số Cách Theo đề Theo quy nạp ta dễ dàng chứng minh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 40 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Vậy Cách Từ Nên ta có … … Cộng theo vế đẳng thức ta Từ Bài 11 (Học sinh giỏi Việt Nam 1991) Cho dãy số xác định bởi: Đặt Giải Chứng minh số phương TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 41 Sáng kiến kinh nghiệm Giả sử Nguyễn Hà Hưng (giả thiết quy nạp) Ta chứng minh Thật vậy, theo đề Theo giả thiết quy nạp Theo nguyên tắc quy nạp suy Và Vậy số phương Nhận xét: Trong giải tập dãy số nêu ta thấy cách biến đổi đa dạng, đội có phép biến đổi khéo khơng tự nhiên Nhưng việc tính tốn số phần tử đầu dãy số sau dự đốn chứng minh theo phương pháp quy nạp xem tốt - Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong trình thực đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm số tập người giáo viên nắm bắt tình hình tiếp thu học Nhưng để có kết luận tồn diện nên học kì II năm học 2012 – 2013 học sinh học song phần liên quan đến nội dung viết cho lớp 11A2, 11A5 làm kiểm tra 45 phút với đề tương tự phần khảo sát thực tiễn thay đổi mặt số liệu để thuận tiện cho việc đối chiếu so sánh kết thu Trong lớp 11A2 lớp thực nghiệm q trình triển khai đề tài cịn lớp 11A5 lớp đối chứng không tham gia việc triển khai đề tài TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 42 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Sau chấm kiểm tra thu kết với mức điểm tính phần trăm sau: Lớp thực nghiệm 11A2 (50 học sinh) Lớp đối chứng 11A5 (50 học sinh) Điểm Lớp 1 – 2,53 – 4,5 – 6,5 – 8,5 – 10 Lớp 11A2 0% 2% 18% 20% 60% Lớp 11A5 4% 28% 52% 14% 2% Căn vào kết kiểm tra Đối chiếu so sánh kết làm lớp thực nghiệm lớp cịn lại khơng tham gia thực nghiệm ta thấy: Với nội dung trình bày viết giúp em học sinh lớp 11 có nhìn bao qt cách giải toán dãy số thuộc chương trình trung học phổ thơng khơng chun giúp em tự tin đứng trước toán dãy số đồng thời góp phần làm cho học sinh thấy hứng thú với mơn Tốn thường có phép tuyệt đẹp suy luận rất logic TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 43 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng III KẾT LUẬN Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 11 số tự chọn nâng cao, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung trình bày Tơi thấy em học sinh tự tin đứng trước toán dãy số phép biến đổi dãy số góp phần đáng kể nâng cao khả tư yêu cầu cần thiết người học Tốn nói riêng học mơn tự nhiên nói chung Tơi vui nhiều năm gần bạn đồng nghiệp trường số trường lân cận viết sáng kiến kinh nghiệm nhận thấy việc chấm sáng kiến kinh nghiệm khách quan, xác, việc phổ biến sáng kiến nhà trường góp phần khích lệ tinh thần làm việc say mệ nghiên cứu Với thời gian ngắn, tuổi nghề chưa nhiều nên việc thực đề tài khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong góp ý thầy giáo bạn đồng nghiệp Xác nhận Hiệu trưởng trường Trung học phổ thông Mĩ Đức A Hà Nội ngày tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm tự viết chép Nếu sai xin chịu trách nhiệm! Tác giả Nguyễn Hà Hưng TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 44 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng IV TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo viên, Sách giáo khoa Sách tập Đại số, Giải tích 11 theo chương trình chuẩn chương trình nâng cao nhà xuất Giáo Dục Chuyên đề chọn lọc Dãy số áp dụng tác giả Nguyễn Văn Mậu (chủ biên) – Nhầ xuất giáo dục Rèn luyện khả sáng tạo tốn học trường phổ thơng tác giả Hồng Chúng – Nhà xuất Thành phố Hồ Chí Minh TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 45 ... bị chặn c) Cấp số cộng * Dãy số cấp số cộng với , số khơng đổi gọi cơng sai cấp số cộng * Nếu dãy số cấp số cộng * Nếu dãy số cấp số cộng tổng d) Cấp số nhân * Dãy số cấp số nhân số không đổi gọi... Dãy số gọi dãy số tăng * Dãy số gọi dãy số giảm Vậy: Nếu suy dãy số tăng Nếu suy dãy số giảm * Nếu tồn số * Nếu tồn số cho cho thì bị chặn bị chặn * Nếu dãy số bị chặn bị chặng gọi dãy só bị chặn... sở thực tiến để đưa lý chọn đề tài thấy cho em học sinh lớp 11 làm tập dãy số hầu hết đề máy móc hiểu vấn đề lờ mờ khơng hệ thống số học sinh có hứng thú với phần dãy số khó tìm tài liệu tham