(SKKN mới NHẤT) phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phương trình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHOA TOÁN LỚP SƯ PHẠM TOÁN K29 =====0===== Đề tài: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Sinh viên thực hiện: Phan Duy Luân Lê Thị Lư Nguyễn Thị Ly Lê Nguyễn Hoàng Lý Nguyễn Trọng Minh Nguyễn Thị Nga Hồ Văn Nguyên Gv hướng dẫn: Dương Thanh Vỹ Quy Nhơn: 11/2009 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com LỜI NÓI ĐẦU Như biết thực tế giải phương trình học sinh giới thiệu nhiều phương pháp, phương pháp sử dụng điều kiện cần đủ để giải phương trình dùng cách ẩn tàng ( phép giải phương trình hệ phép thử nghiệm) Một khái niệm hình thành ln tiềm tàng nhân rộng cách giải phương trình lên đáng kể Ở định làm sáng tỏ thêm khái niệm để xét ứng dụng đẹp (nhất tốn có chứa tham số) phạm vi cho phép Ở chúng tơi trình bày số tốn điển hình phương pháp mà thường hay xuất Tuy nhiên phương pháp không quen thuộc học sinh nên em thường sử dụng Nhưng em sử dụng có tốn nhanh Vì thời gian có hạn, cịn nhiều dạng tốn khác chun đề khơng trình bày Hy vọng dịp chúng tơi trình bày cách đầy đủ Với phương pháp mong trang bị cho bạn thêm phương pháp giải phương trình Cuối chúng tơi mong nhận góp ý, phê bình độc giả nội dung, cách trình bày chuyên đề Xin chân thành cảm ơn! Nhóm sinh viên thực TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương I: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT DUY NHẤT NGHIỆM Dạng Tìm điều kiện tham số m để phương trình f(x, m) =0 có nghiệm Chương II: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM Dạng Giải tốn tính chất nghiệm cho phương trình Dạng Giải toán tập nghiệm Dạng Giải tốn phương trình hệ Dang Giải tốn hai phương trình tương đương Chương III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ GIẢI BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT THAM SỐ Dạng Phương trình nghiệm với giá trị xác định tham số TÀI LIỆU THAM KHẢO TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com CHƯƠNG I: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM Dạng Tìm điều kiện tham số m để phương trình f(x, m) =0 (1) có nghiệm I PHƯƠNG PHÁP: Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức (1) có nghĩa Bước 2: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x = , đó: a Dựa tính chất đối xứng biểu thức giải tích (1), ta khẳng định x = ( ) nghiệm (1) b Do đó, để hệ có nghiệm cần có: = ( ) Giá trị (2) c Thay (2) vào (1) ta xác định điều kiện cần cho tham số m để (1) có nghiệm nhất, giả sử m Bước 3: Điều kiện đủ: Với m , ta kiểm tra lại tính nghiệm cho (1) Thơng thường bước này, ta phải xét phương trình cụ thể (thường khơng có tham số có đơn giản nhiều) Kết bước cho phép ta loại khỏi tập giá trị khơng thích hợp m Bước 4: Kết hợp ba bước giải ta tìm đáp số TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com II VÍ DỤ MINH HỌA Trước tiên minh họa ví dụ sử dụng tính chất hàm chẵn để xác định điều kiện cần, tức xuất phát từ nhận xét:  Giả sử phương trình có nghiệm khẳng định nhận nghiệm  Vậy để phương trình có nghiệm điều kiện là:  Ví dụ 1:[1] Tìm m để phương trình: (1) Có nghiệm Giải Điều kiện cần: Giải sử (1) có nghiệm , suy Tức là nghiệm phương trình Vậy để phương trình có nghiệm điều kiện là: Khi đó: Điều kiện đủ: Với m=1, ta có: nghiệm phương trình Vậy, với m=1 phương trình có nghiệm  Chú ý: u cầu hồn tồn thực phương pháp đặt ẩn phụ, cụ thể: Đặt Phương trình có dạng: f(t) = (2) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Trường hợp Với m = Phương trình có hai nghiệm phân biệt Trường hợp Với Phương trình (1) có nghiệm có nghiệm Vậy, với m=1 phương trình có nghiệm Như vậy, để tìm điều kiện tham số cho phương trình trùng phương: (1) Có nghiệm nhất, phương pháp điều kiện cần đủ thực theo bước: Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm , suy nghiệm phương trình Vậy để phương trình có nghiệm điều kiện là: Khi đó: Đó điều kiện cần để phương trình có nghiệm Bước 2: Điều kiện đủ: Thực việc thử lại với c=0  Ví dụ 2: [1]Tìm m để phương trình sau có nghiệm : (1) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Giải Điều kiện cần: Nhận xét phương trình có nghiệm làm nghiệm , nhận Do phương trình có nghiệm điều kiện cần Khi đó: (1) Điều kiện đủ: Với m=3, phương trình có dạng: Vì: Do phương trình có nghiệm Vậy, phương trình có nghiệm m=3  Ví dụ 3:[1]Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: (1) Giải Nhận xét x=0 khơng phải nghiệm phương trình Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm 0, suy Tức là nghiệm phương trình TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Vậy để phương trình có nghiệm điều kiện là:  Với , ta được: (1)  Với (1) , ta được: , vô nghiệm Vậy, điều kiện cần để phương trình có nghiệm Điều kiện đủ: Với Vậy, , ta có: phương trình có nghiệm  Chú ý: u cầu hồn tồn thực phương pháp đặt ẩn phụ Nhận xét x=0 khơng phải nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho , ta được: Đặt , điều kiện TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Khi phương trình có dạng: f(t) (2) Phương trình (1) có nghiệm pt (2) có nghiệm thỏa mãn Như vậy, để tìm điều kiện tham số cho phương trình hồi quy: với (1) Có nghiệm nhất, phương pháp điều kiện cần đủ thực theo bước: Bước 1: Nhận xét x=0 khơng phải nghiệm phương trình Bước 2: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm , suy nghiệm phương trình Vậy để phương trình có nghiệm điều kiện là: Giá trị tham số Đó điều kiện cần để phương trình có nghiệm Bước 3: Điều kiện đủ: Thực việc thử lại  Ví dụ 4:[1] Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: (1) Giải Điều kiện cần : Giả sử phương trình (1) có nghiệm nghiệm (1) suy 2- TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Vậy (1) có nghiệm Thay =1 vào (1), ta m=4 Điều kiện đủ: Với m=4 , (1) có dạng: (2) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được: Do đó:  Ví dụ 4: Tìm a, b, c để phương trình sau có nghiệm nhất: (1) Giải Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x = suy Suy a + b - nghiệm (1) Vậy (1) có nghiệm Thay vào (1), ta được: c = Đó điều kiện cần để phương trình có nghiệm Điều kiện đủ: Giả sử c = , (1) có dạng: (2) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com  Với , thay vào phương trình ta được:  Với  = 0, thay vào phương trình ta được: sin + m cos =  m =  Với , thay vào phương trình ta được: Vậy với m = 1 điều kiện cần Điều kiện đủ: Với m = 1, thay vào phương trình ta được: sin x + cos x =  sin x cos  x+ = x+ =– + cos x sin + 2k + 2k  =  x = 2k x= + 2k Nhận xét đó: x1 + x2 = , m = thỏa mãn  Với m = -1 thay vào phưong trình, giải nghiệm TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Dạng 2: Giải toán tập nghiệm I PHƯƠNG PHÁP: Với yêu cầu: “Tìm giá trị tham số m để phương trình nghiệm với x thuộc Dx”, ta thực bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức phương trình có nghĩa Bước 2: Điều kiện cần: Giả sử nghiệm với x  Dx suy nghiệm với x0  Dx  Giải toán với x = x0  Giá trị tham số m0 Bước 3: Điều kiện đủ: Thực phép kiểm tra với x = x0  Chú ý: Việc giá trị x0  Dx gọi phương pháp sử dụng điểm thuận lợi việc tìm điều kiện cần và:  Hồn tồn sử dụng nhiều thuận lợi x 0, x1, … việc xác định điều kiện cần  Với câu hỏi “Nên lấy giá trị từ tập Dx để làm điểm thuận lợi” trả lời cần sử dụng trực giác kinh nghiệm người Các em học sinh cần tích lũy dần kinh nghiệm thơng qua ví dụ II VÍ DỤ MINH HỌA:  VD1: Tìm m để phương trình sau nghiệm x  -2: x – m = x + (1) Giải: Điều kiện cần: pt nghiệm x  -2 suy x = -2 nghiệm (1), tức là: TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com m + =  Điều kiện đủ:  Với m = 0, ta có: x = x + Nhận thấy x =  [-2, ) nghiệm phương trình Do đó, m = khơng thỏa mãn  Với m = -4, ta có: x + = x + với x  -2 Vậy, với m = -4 pt nghiệm x  -2  Chú ý: Bài tốn cịn phát biểu dạng: “Tìm m để phương trình x - m= x + tương đương với bất phương trình f(x)  (hoặc f(x)  0)”(2) Trong nghiệm BPT (2) x  -2  VD2: [3]Tìm m để pt sau nghiệm x  -2 lg(x – m)2 = 2(x + 4) (1) Giải: Điều kiện x  m Trước hết để pt nghiệm x  -2, ta phải có m < -2 Biến đổi phương trình dạng: 2lg x – m = 2(x + 4)  x – m = x + (2) Điều kiện cần: pt nghiệm x  -2  x = -2 nghiệm (2), tức là: m=0 m + =  m = -4 Đó điều kiện cần để pt nghiệm với x  -2 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Điều kiện đủ: Với m = -4, ta có: x  -2 x + = x +  x + = x + Vậy, với m = -4 pt nghiệm x  -2  VD3:[3] Tìm a, b để pt sau nghiệm x: (1) Giải: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x  x = nghiệm (1), đó: (1)  a – =  a = Với a = 1: (1)   x2 + = x2 + bx + x  bx =  b = Vậy a = b = điều kiện cần để phương trình nghiệm x Điều kiện đủ: Với a = b = 0, (1) có dạng: =  = ln Vậy, với a = b = pt nghiệm x TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Dạng 3: Giải tốn phương trình hệ I PHƯƠNG PHÁP: Cho hai phương trình: f(x, m) = (1) g(x, m) = (2) Với yêu cầu: “Tìm điều kiện tham số m để pt (1) hệ pt (2)” (nói cách khác: “Để nghiệm (1) nghiệm (2)”), ta thực theo bước sau: Bước 1: Điều kiện cần  Giải tìm nghiệm x = x0 (1)  Để phương trình (1) hệ pt (2), trước hết cần x = x nghiệm (2), tức là: g(x0, m) =  m = m0  Vậy m = m0 điều kiện cần Bước 2: Điều kiện đủ  Với m = m0 (1)  f(x, m0) =  nghiệm (1) (2)  g(x, m0) =  nghiệm (2)  Kết luận II VÍ DỤ MINH HỌA:  VD1: [3]Cho hai phương trình: sin x + m cos x = (1) m sin x + cos x = m2 (2) Tìm m để nghiệm (1) nghiệm (2) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Giải: Điều kiện cần: Nhận xét với m (1) ln có nghiệm + 2k, k  Do để nghiệm (1) nghiệm (2) trước hết cần + 2k (k  ) nghiệm (2), tức là:  m=m m sin  m=0 m=1 Đó điều kiện cần m Điều kiện đủ:  Với m = 0, ta được: (1)  sin x = (2)  cos x = Suy nghiệm (1) nghiệm (2)  Với m = 1, ta được: (1), (2)  sin x + cos x = Suy nghiệm (1) nghiệm (2) Vậy với m = m = thỏa mãn điều kiện đầu  Chú ý: Tồn tốn mà khơng thể dạng nghiệm tường minh cho phương trình (1) ta cần đánh giá thơng qua tính chất nghiệm phương trình lượng giác, thí dụ pt sin x = m có nghiệm x nhận  – x0 làm nghiệm, cách thay vào (2) x0  – x0 vào (2) ta tìm điều kiện cần cho tham số Cụ thể ta xem xét ví dụ sau: TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com  VD2:[2] Cho hai phương trình: cos(x + y) = a (1) sin(x + y) = b (2) Tìm a, b để nghiệm (1) nghiệm (2) Giải: Điều kiện cần: Nhận xét (x0, y0) nghiệm (1) (-x0, -y0) nghiệm (1), để nghiệm (1) nghiệm pt (2) trước hết (x0, y0) (-x0, -y0) nghiệm (2), tức là: sin(x0 + y0) = b sin(-x0 – y0) = b  b=0   x0 + y0 = k sin(x0 + y0) = b -sin(x0 + y0) = b b=0 cosk = a   b=0 sin(x0+y0)=0 b=0 a = Đó điều kiện cần a b Điều kiện đủ:  Với a = b = 0, ta được: (1)  cos(x + y) = (2)  sin(x + y) = Suy nghiệm (1) nghiệm (2)  Với a = -1 b = 0, ta được: (1)  cos(x + y) = -1 (2)  sin(x + y) = Suy nghiệm (1) nghiệm (2) Vậy, với a = b = a = -1 b = thỏa mãn điều kiện đầu TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Dạng 4: Giải tốn hai phương trình tương đương I PHƯƠNG PHÁP: Cho hai phương trình: f(x, m) = (1) g(x, m) = (2) Với yêu cầu “Tìm điều kiện tham số để hai phương trình tương đương “,ta thực bước sau: Bước 1: Điều kiện cần:  Giải biện luận n0 x = x0 (1)  Để phương trình a (2) tương đương, trước hết cần x = x nghiệm (2) tức là: g(x0, m) =  m = m0  Vậy m = m0 điều kiện cần Bước 2: Điều kiện đủ:  Với m = m0 (1)  f(x, m0) =  nghiệm (1) (2)  g(x, m0) =  nghiệm (2)  Kết luận II MỘT VÀI BÀI TỐN MẪU:  VD1:[2] Cho hai phương trình: (x + 5) (2 – x) = 3m (1) x4 + 6x3 + 9x2 – 16 = (2) Tìm m để (1) (2) tương đương Giải: Giải (2): (2)  (x2 + 3x)2 – 16 =  (x – 1) (x + 4) (x2 + 3x + 4) =  x=1 x = -4 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Điều kiện cần: Giả sử (1) (2) tương đương  x = nghiệm (1) Khi đó: (1)  = 3m  m>0  = m2(m + 3)  m>0 m>0 m3+3m2–4 =0 m=1 (m – 1) (m2 + 4m + 4) = Vậy m = điều kiện cần để (1) (2) tương đương Điều kiện đủ: Với m = Khi (1) có dạng: -x2 – 3x + 10 = = Đặt t = , điều kiện t  Khi (3)  t2 +3t – 10 =  =  x2 + 3x =  x=1 x = -4 Tức (1) (2) tương đương với m =  Chú ý: Chúng ta tồn phương trình chứa mà tập nghiệm khoảng, phương trình chứa thức tương đương với bất phương trình (hoặc phát biểu dạng “nghiệm  x ”) xem ví dụ sau:  VD2:[2] Cho phương trình bất phương trình: (1) x2 + 3x + 2 x2 + 2x + Giải: Giải (2): (2) (2)  (x2 + 3x + 2)2  (x2 + 2x + 5)2  (x – 3)(2x2 + 5x + 7) o  x3 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Điều kiện cần: Giải (1) (2) tương đương  x = nghiệm (1) Khi đó: (1)  Vậy m = 1 điều kiện để (1) (2) tương đương Điều kiện đủ: Với m = (1) có dạng:    Tức (1) (2) tương đương * Với m = -1, tương tự (hoặc nhận xét tính đối xứng m phương trình) Vậy, với m = 1 (1) (2) tương đương  VD3:[2] Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 8mxcos2x = sin2xcos3x - sin5x(1) mcos2x + m cos4x + cos6x = (2) Giải: Điều kiện cần: Giải (1) ta được: TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Do (1) (2) tương đương trước hết cần x = (là nghiệm họ x = ) nghiệm (2), tức là: mcos0 + m cos0 + cos =  m + m =  m  Điều kiện đủ: * Với m = ta được: (2)  cos6x =  – 2sin23x =  sin3x = 3x = k x= Vậy m = thỏa mãn điều kiện đầu * m < ta được: (2)  mcos2x – mcos4x + cos6x =  cos6x – – m(cos4x – cos2x) =  -2sin23x + 2msin3xsinx =  (sin3x – msinx)sin3x =  sin3x = 3sinx – sin3x – msinx =  với m=0 hoăc m>-1 thỏa mãn điều kiện đầu TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Bài tập tham khảo chương 2: 1) Cho phương trình x2 + ax + b = Tìm hệ thức liên hệ a b để phương trình có nghiệm k lần nghiệm cịn lại 2) Cho phương trình x3 + ax2 + bx + c = Có nghiệm phân biệt x1, x2, x3 Chứng minh nghiệm lập thành cấp số cộng 2a3 – 9ab + 27c = 3) Tìm m để phương trình sau nghiệm  x [0, 2] 4) Cho phương trình: 3cosx + cos2x – cos3x + = 28sinx9m2x mcos3x + (4 – 8m)sin2x + (7m – 4)cosx + 8m – = Tìm m để nghiệm (1) nghiệm (2) ************************ TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Chương 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ GIẢI BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT THAM SỐ Dạng : Phương trình nghiệm với giá trị xác định tham số I PHƯƠNG PHÁP: Với yêu cầu “Tìm x để phương trình có nghiệm với giá trị tham số m thuộc Dm” Ta thực theo bước: Bước 1: Điều kiện để biểu thức phương trình có nghĩa Bước 2: Điều kiện cần: Giả sử phương trình nghiệm với  x  Dm suy nghiệm với m0  Dm Bước 3: Điều kiện đủ: Thực phép thử kiểm tra với x = x0  Chú ý: Việc giá trị m0Dm gọi phương pháp sử dụng điểm thuận lợi việc tìm điều kiện cần đủ  Hồn tồn sử dụng nhiều điểm thuận lợi m0, m1 … việc xác định điều kiện cần  Với câu hỏi “Nếu lấy giá trị từ tập Dm để làm điểm thuận lợi” trả lời cần sử dụng trực giá kinh nghiệm người II BÀI TẬP ÁP DỤNG: Ví dụ: [2] Cho phương trình: log = log Tìm x để phương trình sau nghiệm với a Giải: TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Điều kiện cần: Giả sử (1) nghiệm với a  với a = Với a = ta được: (1) x+30  x 0 x+3+x+2  x 0 =3–x  =9 x 0  x=1 3–x0 x(x + 3) = (3 – x)2 Vậy, x = điều kiện cần để phương trình nghiệm với a Điều kiện đủ:với x-1 phương trình (1) có dạng: (Ln đúng) Vậy,x=1 điều kiện cần đủ để phương trình nghiệm với a  Bài tập tham khảo chương 3: 1/Cho phương trình: a/Giải phương trình với m=0 b/Tìm giá trị x nghiệm phương trình cho với m 2/ Cho phương trình; a/Giải phương trình với m=0 b/Tìm giá trị x nghiệm phương trình cho với m *************************** TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1].Lê Hồng Đức-Phương pháp giải tự luận trắc nghiệm mơn tốn [2].Lê Hồng Đức & Trần Phương- Đại số sơ cấp- nhà xuất Hà Nội 2002 [3].Lê Hồng Đức&Lê Bích Ngọc&Lê Hữu Trí- Phương pháp giải toán đại sốnhà xuất Hà Nội 2002 [4].Phan Huy Khải-Toán nâng cao đại số 10,11,12-nhà xuất Hà Nội 2000 *************************** TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ... Chương I: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT DUY NHẤT NGHIỆM Dạng Tìm điều kiện tham số m để phương trình f(x, m) =0 có nghiệm Chương II: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI... ĐẦU Như biết thực tế giải phương trình học sinh giới thiệu nhiều phương pháp, phương pháp sử dụng điều kiện cần đủ để giải phương trình dùng cách ẩn tàng ( phép giải phương trình hệ phép thử nghiệm)... nghiệm phương trình Vậy để phương trình có nghiệm điều kiện là: Khi đó: Đó điều kiện cần để phương trình có nghiệm Bước 2: Điều kiện đủ: Thực việc thử lại với c=0  Ví dụ 2: [1]Tìm m để phương trình