Cho tam giác ABC đều, cạnh bằng 6cm , trọng tâm là G.. Tính diện tích tam giác AMN.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2.. Giám thị không giải thích gì thêm... Đường tròn tâm I, bán k
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2012 (VÒNG 1)
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN, BẢNG A
Ngày thi: 23/10/2012 Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)
Câu 1: ( 5,0 điểm )
a Giải phương trình sau trên tập số thực: x 1 (2 x 1) x 1 2
b Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
2
8 12
xy y xy x y
Câu 2: ( 5,0 điểm )
a Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm A 1;2 , B 4;3
Tìm trên trục hoành điểm M sao cho 0
45
AMB
b Cho tam giác ABC đều, cạnh bằng 6cm , trọng tâm là G Một đường thẳng đi qua G , cắt các đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại hai điểm M và N
sao cho 2 AM 3 AN Tính diện tích tam giác AMN
Câu 3: ( 4,0 điểm )
Cho dãy số u được xác định bởi n u và 1 1 1 2n
u u với mọi n 1
a Chứng minh rằng: 2n 1
n
u
b Tính tổng S u1 u2 u3 un theo n
Câu 4: ( 3,0 điểm )
Cho các số thực dương a b c , ,
a Chứng minh rằng: 2 2 9 2
16
b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
.
P
a b c
Câu 5: ( 3,0 điểm )
Cho hàm số 1 3 2
3
y mx m x m x có đồ thị là Cm , m là tham số Tìm các giá trị của m để trên Cm có duy nhất một điểm có hoành độ âm
mà tiếp tuyến của Cm tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d x : 2 y 0
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:………;Số báo danh:…………
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM
LONG AN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2012 (VÒNG 1)
Môn: TOÁN, BẢNG A Ngày thi: 23/10/2012
ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn này có 03 trang )
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm
từng phần như hướng dẫn quy định
1
(5,0 điểm)
a ( 2,5 điểm )
Điều kiện: 1
2
x Đặt y x (1 2 y 2),
ta thu được hệ
2
0,25 0,25
Suy ra
2
2
0,25 0,25
1 1 2 1 0
0,25 0,25
Do vậy
32
Thay vào, thử lại thấy 15 33
32
x thỏa mãn
32
x
0,25 0,25
b ( 2,5 điểm )
Đặt ux x y v, y y 1, hệ trở thành: 8
12
u v
u v
Giải hệ tìm được 2
6
u v
2
u v
6
u v
2
x y
hoặc
2 3
x y
0,25 + 0,25
Trang 3Với 6
2
u v
ta tìm được: 2
1
x y
1
x y
2
x y
0,25
0,25
Kết luận : Hệ đã cho có các nghiệm
2
x y
,
2 3
x y
1
x y
1
x y
2
x y
0,5
2
(5,0 điểm)
a ( 2,5 điểm )
Gọi I x y ; là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB
Ta có:
AI BI
2 2
3 1
x y
4
x y
Với I3;1 thì IA 5 Đường tròn tâm I bán kính IA có
phương trình x32y12 cắt trục hoành tại hai điểm 5
1 1; 0
M và M25; 0
0,5
Với I2; 4 thì IA 5 Đường tròn tâm I, bán kính IA không
b ( 2,5 điểm )
Đặt AM x AN, y với x0,y0
0
.s in30
AMG
x
ANG
y
0
.s in60
AMN
xy
2 xy 4 xy xy xy Vậy ta có hệ : 2
0,25 0,25
Trang 4Giải hệ tìm được
5 10 3
4 6
AMN
xy
3
(4,0 điểm)
a 2,0 điểm
Khi n : 1 u2u121 1 2 22 đúng 1 0,5
Ta chứng minh: 1 2k 1 1
k
Thật vậy: u k1u k 2k 2k 1 2k 2k11 0,5
b 2,0 điểm
21 1 22 1 2n 1 21 22 2n
1
2 1
2 1
n
n
S n n
4
(3,0 điểm)
a 1,5 điểm
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
Đẳng thức xảy ra khi 1
2
ab
0,5
Đặt ta b , ta có:
2
t c
0,5
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 9
16 khi
1 2
abc
0,25 + 0,25
5
(3,0 điểm)
2( 1) 4 3
y mx m x m Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 0,25 + 0,25
Ta tìm m : mx22(m1)x 4 3m2 * có đúng một nghiệm âm 0,5
* x1mx3m20x hoặc 1 mx2 3 m 0,25 + 0,25
0
Trang 5m , yêu cầu bài toán xảy ra khi
0
2 3
3
m m
0,25 + 0,25
Kết luận:
0 2 3
m m
0,5