1 TRƯỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƯU Môn: TOÁN ; Khối D.. Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian phát đề.. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa AB và SC.. Viết phương trình m
Trang 11
TRƯỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƯU Môn: TOÁN ; Khối D
Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 −3x2 +4
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) : x – 3y + 2 = 0
Câu II (2.0 điểm) 1 Giải phương trình: 2x3− 3 2− x =1
2 Giải phương trình 2 sin 2 3sin cos 2
4
Câu III (1,0 điểm) Tính:
1
2
=
+ −
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D
Biết SA ⊥(ABCD), SA= a, AB = 2a, AD = DC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa AB và SC
Câu V (1.0 điểm) Cho a, b, c ∈[0;2] Tìm GTLN của P = 2(a + b + c) – (ab + bc + ca)
Câu VI (3,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình thoi ABCD có B(-2;5), D(2;1),
cosABC = 3
5 Biết hoành độ A dương Tìm tọa độ A, C
2 Trong không gian Oxyz cho điểm M(1; 2; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm M cắt mặt phẳng Oxy theo thiết diện là đường tròn (C) có chu vi là 8π
3 Tìm hệ số của x5trong khai triển của (x 1)+ n biết n là số tự nhiên chẵn thỏa
mãn: 2 4 3
2 + =
****************************** Hết *********************************
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Cảm ơn lovemath@gmail.com gửi tới www.laisac.page.tl
Trang 2
Họ và tên: ……… SBD: ………
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM – MÔN TOÁN, KHỐI D - 2013
Câu 1
(2 điểm)
1 (1 điểm)
+) Tập xác định: D = ℝ
+) Sự biến thiên:
-) Chiều biến thiên: y' 3x= 2 −6x 0= ⇔ x = 0 và x = 2
y’ > 0, h/s đồng biến trên (-∞; 0) và (2;+∞),
y’ < 0, h/s nghịch biến trên (0; 2)
-) Cực trị: H/s đạt cực đại tại x = 0, y(CĐ) = 4,
H/s đạt cực tiểu tại x = 2, y(CT) = 0
-) Giới hạn:
xlim
-) Bảng biến thiên:
+) Đồ thị:
0.25
0.25
0.25
0.25
Trang 32.(1 điểm):
Giả sử (x ,0 y ) là tiếp điểm, khi đó f’(0 x ) = 0 2
3x −6x là hệ số góc của tiếp tuyến
Do tiếp tuyến tại (x ,0 y ) vuông góc (d) nên 0
2
1
3 = − ⇔ − = − ⇔ = − ⇒ = Vậy tiếp tuyến cần tìm là : y = -3(x + 1) +2 ⇔3x + y + 1 = 0
0.25
0.5
0.25
Câu 2
(2 điểm)
1 (1 điểm) Đk : x 3
2
≤
Xét h/s f(x) = 2x3 − 3 2x− Do f ' 6x2 1 0, x 3.
2
3 2x
= + > ∀ <
−
Nên h/s đồng biến trên ( ;3]
2
−∞
Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình
Vậy pt có một nghiêm duy nhất là x = 1
2 (1 điểm)
Pt ⇔Sin2x + Cos2x = 3Sinx + Cosx + 2
⇔ 2C x 2SinxCosx 3Sinx C x 3 0os2 + − − os − =
0.25
0.5
0.25
0.25
Trang 4⇔
os inx+1=0(**) 2Cosx 3(*)
C x S
+
Ta có (*) vô nghiệm Giải (**) ta được 2 nghiệm x k2
2
= − +π π
= π + π
0.25
0.5
Câu 3
(1 điểm) Ta có
2 2
x
x 1 x
+ −
=
= 2 2
3
0.25
0.5
0.25
Câu 4
(1 điểm) +) VS.ABCD= 1
3.SA.dt(ABCD) =
1
3a.
3
1a(a 2a) a
2 + = 2 (đvtt)
S
+) Do AB//CD ⇒ AB//(SCD)
⇒ k/c(AB,SC) = k/c(AB,(SCD))
= k/c(A,(SCD)) H
Gọi H là chân đường cao hạ từ A A B
trong ∆SAD Do SA⊥(ABCD) D C
và CD⊥DA ⇒ AH⊥(SCD) ⇒ k/c(AB,SC) = AH
Do ∆SAD vuông cân tại A nên AH = 1
2SD =
a 2
2
Vậy k/c(AB,SC) = a 2
2
0.5
0.25
0.25
Câu 5
(1 điểm)
Do a, b, c ∈[0;2] ⇒ (2 - a)(2 - b)(2 - c) ≥0
⇔8 – 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) – abc ≥0
⇔2(a + b + c) – (ab + bc + ca) ≤4 - abc
2 ≤ 4
0.5
Trang 5Vậy Max P = 4 đạt được khi
abc 0
=
trong 3 số a, b, c bằng 0, số còn lại bằng 2 và ngược lại
0.5
Câu 6
(3 điểm)
1.(1 điểm) Gọi I là trung điểm BD ⇒ I(0;3) Do A, C nằm trên đường
thẳng qua I và vuông góc BD nên AC có phương trình: x – y + 3 = 0
Gọi A (x ;3 + 0 x ) ⇒ C(-0 x , 3 - 0 x ) (0 x > 0) 0
⇒ BA (x= 0 +2;x0 −2),BC ( x= − + − −0 2; x0 2)
⇒ Cos ABC = Cos( BA,BC
) =
2 0
5 (2x 8)
− − + = +
⇒ x = 1 ⇒A(1; 4), C(-1; 2) 0
2 (1 điểm)
Thiết diện là đường tròn (C) có chu vi là 8π nên có bán kính là r = 4
Khoảng cách từ M tới mp(Oxy) là d = 3
Suy ra bán kính mặt cầu tâm M là R = d2+ =r2 5
Vậy phương trình mặt cầu tâm M cần tìm là:
(x 1)− + −(y 2) + −(z 3) =25
3 (1 điểm)
Ta có C2n C4n 3C3n
2 + = (n N,n 4∈ ≥ , n chẵn.)
2!(n 2)! 4!(n 4)! 3!(n 3)!
2
n 11n 30 0
n 6
=
⇔
=
Trong khai triển (x + 1)n ta có Tk 1+ =C xk kn
Với n = 6 thì hệ số của x5 là C56 =6
0.25
0.25
0.25
0.25 0.25
0.25 0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Trang 6Lưu ý : Đáp án chỉ trình bày một cách giải nếu thí sinh giải cách khác đúng vẫn cho
điểm tối đa
Cảm ơn lovemath@gmail.com gửi tới www.laisac.page.tl