Chủ đề 4 quan hệ vuông góc

CHỦ ĐỀ 4 QUAN HỆ VUÔNG GÓC Vấn đề 1 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I Định nghĩa Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) Định lý Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) II Các tính chất ( Tính chất 1 Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước ( Tính chất 2 Có duy.

CHỦ ĐỀ 4: QUAN HỆ VNG GĨC Vấn đề 1: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG I Định nghĩa: Đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng (P) d vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (P) Định lý: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mặt phẳng (P) đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) II Các tính chất  Tính chất 1: Có mặt phẳng (P) qua điểm O cho trước vng góc với đường thẳng a cho trước  Tính chất 2: Có đường thẳng ∆ qua điểm O cho trước vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước  Tính chất 3: a) Mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng lại b) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với Tính chất viết gọn là: a / /b ⇒ (P) ⊥ b  (P) ⊥ a a ⊥ (P)    b ⊥ (P) ⇒ a / /b a ≠ b   Tính chất 4: a) Đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng song song vng góc với mặt phẳng lại b) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Tính chất viết gọn là: (P) / /(Q) ⇒ a ⊥ (Q)  a ⊥ (P) a ⊥ (P)    b ⊥ (P) ⇒ (P) / /(Q) (P) ≠ (Q)   Tính chất 5: a) Cho đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với Đường thẳng vng góc với (P) song song với a b) Nếu đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng chúng song song với Tính chất viết gọn là: a / /(P) ⇒a⊥b   b ⊥ (P) a ⊄ (P)   a ⊥ b ⇒ a / /(P) (P) ⊥ b  III Định lý ba đường vng góc Định lý ba đường vng góc: Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) đường thẳng b nằm mặt phẳng (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) IV Góc đường thẳng mặt phẳng Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (P) 90° (hình 1) Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ (P) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P) (hình 2) Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng khơng vượt q 90°  Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) ta chứng minh:  a vng góc với hai đường thẳng cắt nằm (P)  a song song với đường thẳng b mà b vng góc với (P) Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC BCD hai tam giác cân có chung đáy BC Điểm I trung điểm cạnh BC a) Chứng minh BC ⊥ (ADI) b) Gọi AH đường cao tam giác ADI Chứng minh AH ⊥ (BCD) Lời giải a) Do tam giác ABC BCD hai tam giác cân nên A D  AI ⊥ BC ta có:  (trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời  DI ⊥ BC đường cao) Do BC ⊥ (ADI) b) Do AH đường cao tam giác ADI nên AH ⊥ DI Mặt khác BC ⊥ (ADI) ⇒ BC ⊥ AH Do AH ⊥ (BCD) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SA ⊥ (ABCD) Gọi M N hình chiếu điểm A đường thẳng SB SD a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD) b) Chứng minh AM ⊥ (SBC); AN ⊥ (SCD) c) Chứng minh SC ⊥ (AMN) MN//BD d) Gọi K giao điểm SC với mặt phẳng (AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vng góc Lời giải a) Do SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC Mặt khác ABCD hình vng nên BC ⊥ AB  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) Khi   BC ⊥ SA Tương tự chứng minh ta có: CD ⊥ (SAD) b) Do BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AM Mặt khác AM ⊥ SB ⇒ AM ⊥ (SBC) Tương tự ta có: AN ⊥ (SCD)  AM ⊥ (SBC)  AM ⊥ SC ⇒ ⇒ SC ⊥ (AMN) c) Do   AN ⊥ (SCD)  AN ⊥ SC Hai tam giác vuông SAB SAD có đường cao tương ứng AM AN nên CM = DN Mặt khác tam giác SBD cân đỉnh S nên MN//BD d) Do ABCD hình vng nên AC ⊥ BD , mặt khác SA ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (SAC) Do MN / /BD ⇒ MN ⊥ (SAC) ⇒ MN ⊥ AK Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đơi vng góc a) Chứng minh hình chiếu vng góc đỉnh A lên mặt phẳng (BCD) trùng với trực tâm tam giác BCD b) Chứng minh 1 1 = + + 2 AH AB AC AD c) Chứng minh tam giác BCD có góc nhọn Lời giải a) Gọi H hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng (BCD) AH ⊥ (BCD) Ta có AN = BN = AC − AN = a − x Mặt khác AH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH Tương tự chứng minh ta có: BH ⊥ CD Do H trực tâm tam giác BCD b) Gọi E = DH ∩ BC , BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ AE Xét ∆ ABC vng A có đường cao AE ta có: Lại có: 1 = + 2 AE AB AC2 1 1 1 = + = + + (đpcm) 2 2 AH AD AE AB AC AD BC = x + y   2 c) Đặt AB = x; AC = y; AD = z Ta có: BD = x + z  2 CD = y + z Khi cosB= BC2 + BD − CD x2 = > ⇒ ·CBD < 90o 2.BC.BD BC.BD ·BDC < 90o ⇒ tam giác BCD có góc nhọn Tương tự chứng minh ta có  o ·BCD < 90 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) , tam giác ABC SBC tam giác nhọn Gọi H K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh rằng: a) AH, SK, BC đồng quy b) SC ⊥ (BHK) c) HK ⊥ (SBC) Lời giải a) Giả sử AH ⊥ BC M  BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ (SAM) ⇒ BC ⊥ SM Ta có:   BC ⊥ SA Mặt khác SK ⊥ BC ⇒ S, K, M thẳng hàng AH, SK, BC đồng quy điểm M b) Do H trực tâm tam giác ABC nên BH ⊥ AC Mặt khác BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ SC Lại có: BK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BHK) c) Do SC ⊥ (BHK) ⇒ SC ⊥ HK , mặt khác BC ⊥ (SAM) ⇒ BC ⊥ HK Do HK ⊥ (SBC) Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O có SA = SC, SB = SD a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD) b) Gọi I, K trung điểm BA BC Chứng minh IK ⊥ (SBD) IK ⊥ SD Lời giải a) Do SA = SC ⇒ ∆ SAC cân S có trung tuyến SO đồng thời đường cao suy SO ⊥ AC Tương tự ta có: SO ⊥ BD ⇒ SO ⊥ (ABCD) b) Do ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD Mặt khác SO ⊥ (ABCD) ⇒ AC ⊥ SO Do AC ⊥ (SBD) IK đường trung bình tam giác BAC nên IK / /AC mà AC ⊥ (SBD) ⇒ IK ⊥ (SBD) Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều, SCD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính cạnh tam giác SIJ, suy tam giác SIJ vuông b) Chứng minh SI ⊥ (SCD);SJ ⊥ (SAB) c) Gọi H hình chiếu S lên IJ, chứng minh SH ⊥ (ABCD) Lời giải a) Ta có: ∆SAB cạnh a nên SI = a Tứ giác IBCJ hình chữ nhật nên IJ = BC = a ∆SCD tam giác vuông cân đỉnh S ⇒ SJ = CD a = 2 Do SJ + SI = IJ = a ⇒VSIJ vuông S b) Do ∆SCD cân S nên SJ ⊥ CD Do AB / /CD ⇒ SJ ⊥ AB Mặt khác SJ ⊥ SI ⇒ SJ ⊥ (SAB) Chứng minh tương tự ta có: SI ⊥ (SCD) c) Do SI ⊥ (SCD) ⇒ SI ⊥ CD Mặt khác CD ⊥ IJ ⇒ CD ⊥ (SIJ) ⇒ CD ⊥ SH Do SH ⊥ IJ ⇒ SH ⊥ (ABCD) Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A, điểm I H trung điểm AB BC Trên đoạn CI SA lấy hai điểm M, N cho MC = 2MI, NA = 2NS Biết SH ⊥ (ABC) , chứng minh MN ⊥ (ABC) Lời giải Do điểm M thuộc đường trung tuyến CI MC = 2MI ⇒ M trọng tâm tam giác ABC ⇒ M = AH ∩ CI Ta có : NA MA = = 2⇒ MN / /SH NS MH Mặt khác SH ⊥ (ABC) ⇒ MN ⊥ (ABC)  Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc cách chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng Phương pháp giải:  Muốn chứng minh đường thẳng a vng góc với đường thẳng b, ta tìm mặt phẳng (β) chứa đường thẳng b cho việc chứng minh a ⊥ (β) dễ thực  Sử dụng định lý ba đường vng góc Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Chứng minh cặp cạnh đối diện tứ diện vng góc với đôi Lời giải Gọi M trung điểm AB Tứ diện ABCD nên ∆ABD ∆ABC tam giác suy  DM ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (MCD)  CM ⊥ AB Do AB ⊥ CD Chứng minh tương tự ta có BC ⊥ AD, AC ⊥ BD Ví dụ 2: Hình chóp S.ABCD có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) đáy ABCD hình thang vng A D với AD = CD = AB a) Gọi I trung điểm đoạn AB, chứng minh CI ⊥ AB DI ⊥ SC b) Chứng minh mặt bên hình chóp S.ABCD tam giác vuông Lời giải a) Đặt AB = 2a ⇒ AD = CD = a Do AB = 2CD ⇒ AI = AD = CD = CI = a Khi AICD hình vng cạnh a Do CI ⊥ AB  AC ⊥ DI ⇒ DI ⊥ (SAC) ⇒ DI ⊥ SC Mặt khác   DI ⊥ SA b) Do SA ⊥ (ABCD) ⇒ ∆SAD, ∆SAB vuông S CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD Mặt khác  CD ⊥ SA nên ∆SDC vng D Xét ∆ACD có trung tuyến CI = AB ⇒ ∆ACD vuông C ⇒ BC ⊥ AC Mặt khác BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC ⇒ ∆SCB vuông C Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên CC’ vng góc với đáy CC’ = a a) Gọi I trung điểm BC Chứng minh AI ⊥ BC ' b) Gọi M trung điểm BB’ Chứng minh BC ' ⊥ AM c) Gọi K điểm đoạn A’B’ cho B' K = a J trung điểm B’C’ Chứng minh rằng: AM ⊥ MK AM ⊥ KJ Lời giải a) Do ∆ABC tam giác I trung điểm BC nên AI ⊥ BC Mặt khác AI ⊥ CC ' ⇒ AI ⊥ (BCC ' B') ⇒ AI ⊥ BC ' b) Dễ thấy BCC’B’ hình vng nên B 'C ⊥ BC ' Mặt khác MI đường trung bình tam giác B’BC nên MI//B’C suy MI ⊥ BC ' Lại có: AI ⊥ BC ' ⇒ BC' ⊥ (AIM) ⇒ BC ' ⊥ AM KB' AB = ; tan·AMB = =2 c) Ta có: tan·KMB' = MB' BM Suy tan·KMB ' = cot·AMB ⇒·KMB ' +·AMB = 90o Do ·AMK = 90o ⇒ AM ⊥ MK  AM ⊥ BC ' ⇒ AM ⊥ MJ Mặt khác   MJ / /BC ' Suy AM ⊥ (MKJ) ⇒ AM ⊥ KJ Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC Chứng minh MN ⊥ BD Lời giải Gọi I, P trung điểm AB SA, O giao điểm AC BD  IN/ / AC ⇒ BD ⊥ IN (1) Ta có:   AC ⊥ BD  IM/ / BE ⇒ IM ⊥ PO (*) Mặt khác   BE ⊥ PO Mà PO ⊥ BD (**) (Do ∆BPD tam giác cân P có đường trung tuyến PO) Từ (*) (**) ta có: BD ⊥ IM (2) Từ (1) (2) ta có: BD ⊥ (IMN) ⇒ BD ⊥ MN Vấn đề 2: HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I Góc hai mặt phẳng  Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng  Cách xác định góc hai mặt phẳng: Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (P) ; (Q) Lấy A ∈ mp(Q), dựng AB ⊥ mp(P)(B ∈ (P)) Vẽ BH vng góc với d AH vng góc d Vậy ·AHB = α (0 < α ≤ 90°) góc hai mặt phẳng (P) (Q)  Định lý : Gọi S diện tích đa giác H mặt phẳng (P) S’ diện tích hình chiếu H’ H mặt phẳng (P’) S’ = S cosφ, φ góc hai mặt phẳng (P) (P’) II Hai mặt phẳng vng góc  Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 90°  Định lý 1: Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với  Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với đường thẳng a nằm (P), vng góc với giao tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (Q) - Hệ 1: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với A điểm nẳm (P) đường thẳng a qua điểm A vng góc với (Q) nằm (P) Hệ viết gọn là: (P) ⊥ (Q) A ∈ (P)  ⇒ a ⊂ (P)  a ⊥ (Q) A ∈ a - Hệ 2: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba Hệ viết gọn là: (P) ∩ (Q) = a  ⇒ a ⊥ (R) (P) ⊥ (R) (Q) ⊥ (R)  - Hệ 3: Qua đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) có mặt phẳng (Q) vng góc với mặt phẳng (P)  Hình lăng trụ đứng: Là hình lăng trụ có tất cạnh bên vng góc với mặt đáy  Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy đa giác  Hình hộp đứng: Là hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành  Hình hộp chữ nhật: Là hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật  Hình lập phương: Là hình lăng trụ đứng có đáy hình vng mặt bên hình vng  Hình chóp đều: Một hình chóp gọi hình chóp đáy đa giác cạnh bên Dưới hình vẽ hình chóp tam giác đều, tứ giác hình chóp lục giác  Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc Phương pháp giải: Để chứng minh hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với ta chứng minh  Một đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) vng góc với mặt phẳng (Q) ngược lại, đường thằng nằm mặt phẳng (Q) vng góc với mặt phẳng (P)  Góc hai mặt phẳng (P) (Q) 90° Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B SA ⊥ (ABC) a) Chứng minh (SBC) ⊥ (SAB) b) Gọi AH AK đường cao tam giác SAB SAC Chứng minh (SBC) ⊥ (AKH) c) Gọi D giao điểm HK BC Chứng minh (SAD) ⊥ (SAC) Lời giải a) Do SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC Tam giác ABC vng B nên AB ⊥ BC Do BC ⊥ (SAB) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB) Câu 30: Tam giác SAB vuông A tam giác SCD vuông D SA ⊥ AB ⇒ SD ⊥ CD Mặt khác AB / / CD ⇒ SD ⊥ AB Do AB ⊥ (SAD) ⇒ AB ⊥ AD ⇒ ABCD hình chữ nhật Các khẳng định A, C, D Khẳng định sai B Chọn B Câu 31: AECD hình chữ nhật AE = CD = a AD ⊥ AE ⇒ CE ⊥ AE Lại có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CE Do CE ⊥ (SAB) Chọn A Câu 32: Dựng SH ⊥ (ABCD) HA = SA − SH  2 Ta có: HB = SB − SH Mặt khác SA = SB = SC HC2 = SC2 − SH  Do HA = HB = HC ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC vuông B ⇒ H trung điểm AC Chọn C Câu 33: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC Mặt khác BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ B hình chiếu vng góc C lên mặt phẳng (SAB) Tương tự ta có: CD ⊥ (SAB) ⇒ D hình chiếu vng góc C lên mặt phẳng (SAD) Các khẳng định A, B, C Khẳng định sai D Chọn D Câu 34: ABCD hình thoi nên BD ⊥ AC Mặt khác SA ⊥ (ABCD) ⇒ BD ⊥ S A Do BD ⊥ (SAC) O hay O hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng (SAC) Chọn D Câu 35: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC Mặt khác BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB Chọn C Câu 36: ABCD hình vng nên AC ⊥ BD Lại có SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD BD ⊥ SO Do BD ⊥ (SAC) ⇒  Chọn B BD ⊥ SC Câu 37: ABCD ABEF hình chữ nhật  AB ⊥ FA ⇒ AB ⊥ (FAD) ⇒ AB ⊥ FH Khi   AB ⊥ AD Lại có: FH ⊥ AD ⇒ FH ⊥ (ABCD) ⇒ FH ⊥ BH Chọn D Câu 38: Do I trực tâm tam giác HBC ⇒ CI ⊥ HB Do HC ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ CI Do CI ⊥ (S HB) ⇒ CI ⊥ SB Chọn B Câu 39: Gọi H = CM ∩ DN ta có: ·MCD = ·NAD (Do tan·MCD = tan·NAD = ) Lại có: ·ADN + ·NDC = 90o ⇒ ·MCD + ·HDC = 90o Do ·CHD = 90o ⇒ CH ⊥ HD ⇒ CM ⊥ DN (1) Mặt khác KM đường trung bình tam giác SAD ⇒ KM / /SA ⇒ KM ⊥ (ABCD) ⇒ KM ⊥ DN (2) Từ (1) (2) suy DN ⊥ (KMC) ⇒ DN ⊥ KC Chọn D Câu 40: Gọi M trung điểm AB Ta có AM / /CD AD = AM = CD = AB ⇒ AMCD hình vng ⇒ AC = BC = a ⇒ AC ⊥ BC Lại có SA ⊥ BC → BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC Chọn B Câu 41: Xét ∆ SAB có HK đường trung bình ⇒ HK / / SA  HK ⊥ AC Mà SA ⊥ (ABC) ⇒ HK ⊥ (ABC) ⇒   HK ⊥ BC Tam giác ABC cân C, có H trung điểm AB → CH ⊥ AB mà CH ⊥ SA ⇒ CH ⊥ (SAB) ⇒ CH ⊥ AK Chọn D Câu 42: Xét ∆ SAC có IO đường trung bình ⇒ IO / / SA Mà SA ⊥ (ABCD) ⇒ IO ⊥ (ABCD)  Ta có SA ⊥ BC; AB ⊥ BC → BC ⊥ (SAB)  Vì IO ⊥ (ABCD) ⇒ IO ⊥ AC mà AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ (BID)  Lại có AD ⊥ CD;SA ⊥ CD → CD ⊥ (SAD) Suy SD ⊥ CD ⇒VSCD vuông D Chọn D Câu 43: Xét ∆ SAC có IO đường trung bình ⇒ IO / / SA Mà SA ⊥ (ABCD) ⇒ IO ⊥ (ABCD)  Xét ∆ SCD có IF đường trung bình ⇒ IF / /CD Mà AB / /CD → IF / /AB  Ta có AD ⊥ CD;SA ⊥ CD → CD ⊥ (SAD) Mà IF / /CD → IF ⊥ (SAD) Chọn D Câu 44: Xét ∆ SCD có IF đường trung bình ⇒ IF / /CD Mà AB / /CD → IF / /AB Xét ∆ SAC có IO đường trung bình ⇒ IO / / SA Suy mp (FIO) // mp (SAB) Vì IO ⊥ AB mà IF / / AB ⇒ IO ⊥ IF Chọn C Câu 45: Xét ∆ SAC có IO đường trung bình ⇒ IO / / SA Mà SA ⊥ (ABCD) ⇒ IO ⊥ (ABCD) Chọn D IF / /CD  Câu 46: Xét ∆ SCD có IF đường trung bình ⇒  IF = 2CD IE / / BC  Xét ∆ SBC có IE đường trung bình ⇒  IE = BC EF / / BD  Xét ∆ SBD có EF đường trung bình ⇒  EF = 2BD Suy IE = IF ≠ EF BD = BC  Xét ∆ SAC có IO đường trung bình ⇒ IO / / SA mà SA ⊥ (ABCD) ⇒ IO ⊥ (ABCD) BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) mà EF / / BD → EF ⊥ (SAC) Chọn D  Ta có  BD ⊥ SA Câu 47: Xét ∆ SAB có MN đường trung bình ⇒ MN/ / AB ⇒ MN/ /(ABCD) mà SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ MN  Vì MP/ / AC; NQ/ / BD mà AC ⊥ BD ⇒ MP ⊥ QN  Vì NP / / BC ⇒ NP/ /(ABCD) ⇒ (MNPQ) / /(ABCD) Mà SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ (MNPQ) 1  Ta có MN = NP = PQ = QM = AB ⇒ SMNPQ = SABCD Chọn D Câu 48: Xét ∆ ABD có IF đường trung bình ⇒ IF / /BD ⇒ BD / /(SIF ) Mà AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ (SIF) ⇒ AC ⊥ SF  Ta có SI ⊥ (ABCD) ⇒ SI ⊥ CF Mà CF khơng vng góc với IF Suy CF khơng vng góc với mp (SIF) Chọn B Câu 49: Ta có SI ⊥ (ABCD) ⇒ SI ⊥ CD  Lại có SI ⊥ CF; CF ⊥ ID → CF ⊥ (SID)  Vì SI ⊥ (ABCD) ⇒ SI ⊥ IF ⇒VSIF vuông I Chọn D Câu 50: Vì ABCD hình thoi ⇒ AC = BD = 2a Tam giác SBO vng O, có SO = SB2 − OB2 = SB2 − BD a = Tam giác SAO vng O, có 2 a 3 a 6 SA = SO + OA =  ÷ ÷ ÷ +  ÷ =a     2 Suy SA = SC ≠ AC → ∆ SAC cân S Chọn B Câu 51: Ta có S = (SAB) ∩ (SCD) mà AB / /CD → d đường thẳng qua S, song song AB (hoặc CD) Lại có S = (SAB) ∩ (SCD) mà AD / /BC → d đường thẳng qua S, song song AD (hoặc BC) Do d1 ⊥ mp(d ;d ), d ⊥ mp(d ; d1 ) , d ⊥ mp(d1 ;d ) Chọn D Câu 52: Ta có AH ⊥ DI mà DI ⊂ (ABC) → AH ⊥ (ABC) Chọn A Câu 53: Ta có SA ⊥ BD; AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC Mà BD ∩ (SAC) = O trung điểm BD ⇒ (SAC) mặt phẳng trung trực BD Xét ∆ SAC có IO đường trung bình ⇒ IO / /SA Mà SA ⊥ (ABCD) → IO ⊥ (ABCD) Chọn D Câu 54: Ta có AB ⊥ BC;SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB Mà SB ⊥ mp(α) → BC / /mp(α) Qua M kẻ đường thẳng d1 ⊥ SB, cắt SB Q Qua Q kẻ đường thẳng d / /BC , cắt SC P Qua M kẻ đường thẳng d / /BC , cắt AC N Suy thiết diện cần tìm hình chữ nhật MNPQ Chọn D Câu 55: Tam giác ABC khơng vng ⇒ BC khơng vng góc với mp (SAB) Chọn C  AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AE Câu 56: Ta có  SA ⊥ BC  AD ⊥ DC ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AF Lại có  SA ⊥ DC AE ⊥ SB  AE ⊥ (SBC)  AE ⊥ SC ⇒ ⇒ ⇒ SC ⊥ (AEF) Mà  AF ⊥ SD  AF ⊥ (SCD)  AF ⊥ SC Chọn D Câu 57: Gọi M trung điểm BC Tam giác ABC cân A → AM ⊥ BC Tam giác DBC cân D → DM ⊥ BC Suy BC ⊥ (ADM) → BC ⊥ AD Chọn B Câu 58: Nối AM ∩ SO = I Vì BD ⊥ SC ⇒ BD / /mp(AHMK) Qua I kẻ đường thẳng d//BD, cắt SB, SD H, K Ta có SC ⊥ (AHMK) → AH ⊥ SC Mà BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SB Tương tự, ta chứng minh AK ⊥ SD Lại có AM ⊥ BD mà HK / /BD → HK ⊥ AM Chọn D Câu 59: Gọi H hình chiếu D AB ⇒ AH = Tam giác ADH vng H, có cosA= Suy cosA= a AH = AD AD →VABD vuông D ⇒ AD ⊥ BD AB BC ⊥ (SAC) BC ⊥ SC ⇒ Tương tự, ta có AC ⊥ BC ⇒  BD ⊥ (SAD) BD ⊥ SD Do ∆SAB, ∆SAD, ∆SBC, ∆SBD vng Chọn D Câu 60: Nối AM ∩ SO = I Vì BD ⊥ SC ⇒ BD / /mp(AHMK) Qua I kẻ đường thẳng d//BD, cắt SB, SD H, K Ta có SC ⊥ (AHMK) → AH ⊥ SC Mà BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SB Tương tự, ta chứng minh AK ⊥ SD Lại có AM ⊥ BD mà HK / /BD → HK ⊥ AM Chọn C Câu 61: Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến (nếu có) chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba ⇒ Mệnh đề A sai Mệnh đề B C sai Chọn D Câu 62: Dễ thấy mệnh đề B D sai Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến (nếu có) chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba ⇒ Mệnh đề C sai Mệnh đề A Chọn A Câu 63: Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến (nếu có) chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba ⇒ Mệnh đề A sai Nếu hai đường thẳng song song khơng tồn mặt phẳng vng góc với đường thẳng cho trước ⇒ B sai Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Qua điểm có vơ số mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước ⇒ D sai Chọn C Câu 64: Mệnh đề A B sai, mệnh đề C đúng: Do (α) ⊥ (β) nên đường thẳng a nằm (α) vng góc với giao tuyến m a ⊥ (β) Mệnh đề C sai c//m c song song nằm (α) c song song nằm (β) Chọn C Câu 65: Có vơ số mặt phẳng qua M vng góc với (P) ⇒ A sai Có mặt phẳng qua M vng góc với (P) vng góc với (Q) (mặt phẳng qua M vng góc với giao tuyến (P) (Q)) ⇒ B sai Suy C D sai Chọn C Câu 66: Qua điểm có vơ số mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước ⇒ A sai Khẳng định C sai, khẳng định D hai đường thẳng cho không song song Khẳng định B Chọn B Câu 67: Có vơ số đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước ⇒ Mệnh đề A sai Mệnh đề B đường thẳng cho trước khơng vng góc với mặt phẳng cho trước Có vơ số mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước ⇒ Mệnh đề C sai Chọn D Câu 68: Mệnh đề A sai mặt phẳng vng góc với đường song song chứa với đường Mệnh đề C sai trường hợp a khơng vng góc với b khơng tồn mặt phẳng chứa đường vng góc với đường thẳng Mệnh đề D sai Chọn B Câu 69: Các mệnh đề A, B, C sai Chọn D Câu 70: Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song chéo ⇒ A sai Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng giao tuyến có chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba ⇒ C sai Mệnh đề D sai Chọn B Câu 71: Khẳng định B sai chưa thể khẳng định (P) vng góc với (Q) Chọn B Câu 72: Nếu a ⊂ (P) a ⊥ (Q) (P) ⊥ (Q) Chọn D (SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ có mặt bên vng góc với mặt đáy Chọn C Câu 73: Do SA ⊥ (ABCD) ⇒  (SAD) ⊥ (ABCD) Câu 74: Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC Do ABCD hình chữ nhật nên BC ⊥ AB (ABCD) ⊥ (SAB) Do BC ⊥ (SAB) ⇒  (SBC) ⊥ (SAB) Tương tự ta có: AD ⊥ (SAB) ⇒ (SAD) ⊥ (SAB) Vậy có mặt phẳng chứa mặt bên mặt đáy hình chóp vng góc với mặt phẳng (SAB) Chọn B Câu 75: SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ BD; ( SAC ) ⊥ ( ABCD) Do ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD Suy BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBD) ⊥ ( SAC ) Khằng định A Chọn A Câu 76: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC Do ABC tam giác vuông B ⇒ AB ⊥ BC Do BC ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SAB) ⊥ ( SBC )  AH ⊥ BC Lại có: BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH nên   AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ (AHK) ⊥ (SBC);(AHC) ⊥ (SBC) Khẳng định sai D Chọn D Câu 77: Ta có: ( SAD) ⊥ (ABCD) Do V SAD nên đường trung tuyến SI đồng thời đường cao suy SI ⊥ AD ( SAD ) ⊥ (ABCD)  Ta có:  AD = (SAD) ∩ (ABCD) ⇒ SI ⊥ (ABCD)  SI ⊥ AD  Chọn C Câu 78: Ta có: O = AC ∩ BD ⇒ SO = ( SAC ) ∩ ( SBD ) ( SAC ) ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) Mặt khác  ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) Chọn C  SI = ( SCI ) ∩ ( SDI )  Câu 79: Ta có: ( SCI ) ⊥ (ABCD) ⇒ SI ⊥ ( ABCD) ( SDI ) ⊥ ( ABCD)  Do SI ⊥ BC  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) Mặt khác   BC ⊥ SI Tương tự AD ⊥ (SAB); IJ ⊥ ( SAB) Mệnh đề sai C Chọn C Câu 80: ABCD hình vng nên AC ⊥ BD O Lại có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SOA) ¼ = 60o Khi góc (SBD) (ABCD) SOA Mặt khác OA = AC a = ;SOcos60o = OA 2 Do SO = a Chọn C  AB ⊥ AC ⇒ AB ⊥ ( SAC ) Câu 81: Ta có   AB ⊥ SA Mà AB ⊂ ( SAB) ⇒ ( SAB) ⊥ ( SAC ) Chọn C  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB) Câu 82: Ta có   BC ⊥ SA Mà BC ⊂ ( SBC ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB) Chọn D ( SMC ) ⊥ (ABC) Câu 83: Ta có  (SBN) ⊥ ( ABC ) Mà SG = ( SMC ) ∩ ( SBN ) ⇒ SG ⊥ ( ABC )  BC ⊥ AI ⇒ BC ⊥ ( SAI ) Chọn C Ta có   BC ⊥ SG ( SMC ) ⊥ (ABC) Câu 84: Ta có  (SBN) ⊥ ( ABC ) Mà SG = ( SMC ) ∩ ( SBN ) ⇒ SG ⊥ ( ABC )  BC ⊥ AI ⇒ BC ⊥ ( SAI ) ⇒ MN ⊥ (SAI) Ta có   BC ⊥ SG Mà MN ⊂ (SMN) ⇒ (SMN) ⊥ (SAI) Chọn D CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SAD) Câu 85: Ta có  CD ⊥ SA Mà CD ⊂ ( SCD ) ⇒ ( SCD ) ⊥ (SAD ) Chọn A Câu 86: Gọi I trung điểm BC, kẻ AH ⊥ SI  BC ⊥ AI ⇒ BC ⊥ ( SAI ) ⇒ BC ⊥ AH Ta có   BC ⊥ SA Mà AH ⊥ SI ⇒ AH ⊥ (SBC) Chọn D Câu 87: Gọi M trung điểm CD, kẻ BH ⊥ AM CD ⊥ AM ⇒ CD ⊥ ( ABM ) ⇒ CD ⊥ BH Ta có  CD ⊥ BM Mà BH ⊥ AM ⇒ B H ⊥ (ACD) Mà BH ⊂ (ABH) ⇒ (ABH) ⊥ (ACD) nên A, B Do CD ⊥ (MAB) M trung điểm CD nên (MAB) mặt phẳng trung trực CD nên C ( ) Ta có (·ACD ), (BCD) = ·AMB nên D sai Chọn D  BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) Câu 88: Ta có   BD ⊥ SA Mà BD ⊂ (SBD) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC) Chọn C  BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) Câu 89: Ta có   BD ⊥ SA Mà BD ⊂ (SBD) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC) Chọn B Câu 90: Gọi H trung điểm AB ( SAB ) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Ta có   SH ⊥ AB  BC ⊥ AB ( SBC ) ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒  Ta có   BC ⊥ SA ( ABCD ) ⊥ ( SAB ) Mà AD / / BC ⇒ AD ⊥ ( SAB) ⇒ ( SAD ) ⊥ ( SAB ) Chọn C Câu 91: Gọi I giao điểm AC BD ( SAC ) ⊥ (ABCD) ⇒ SI ⊥ ( ABCD) Ta có   SI ⊥ AC Mà SI ⊂ (SBD) ⇒ (SBD) ⊥ (ABCD) Chọn B Câu 92: Gọi H trung điểm CD  HB = HC = HD ⇒ AH ⊥ ( BCD ) Ta có   AB = AC = AD Mà AH ⊂ (ACD) ⇒ (ACD) ⊥ (BCD) Chọn C (BCD) ⊥ (ABC) ⇒ BD ⊥ ( ABC ) Chọn D Câu 93:   BD ⊥ BC  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB Câu 94: Ta có   BC ⊥ SA ·SBC ), (ABC)) = (¼ ¼ = 60o Ta có (( SB, AB) = SBA ¼ = Ta có tan SBA SA ¼ = 3a ⇒ SA = AB tan SBA AB Ta có SB = SA2 + AB = (3a) + (3a 3) = 6a Ta có S SBC = 1 SB.BC = 6a.4a = 12a Chọn A 2  BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ (SAM) ⇒ BC ⊥ SM Câu 95: Ta có   BC ⊥ SA ·SBC ), (ABC)) = (·SM , AM ) = SMA · Ta có (( = 30o · = Ta có cos SMA AM AM ⇔ SM = · SM cos SMA a a AM Mà AM = ⇒ SM = = o=a · cos SMA cos 30 Ta có S SBC = 1 a2 Chọn B SM BC = a.a = 2 Câu 96: Gọi I giao điểm AC BD Ta có BC = BC + CD = a Ta có S SBD = Ta có AI = 2S 2a SI BD ⇒ SI = SBD = =a 2 BD a AC a a Chọn C = ⇒ SA = SI − AI = 2  BC ⊥ AJ ⇒ BC ⊥ (SAJ) Câu 97: Ta có   BC ⊥ SA ·SBC ), (ABC)) = (·SJ , AJ ) = SJA · Chọn B ⇒ (( (SAB) ⊥ (ABC) ⇒ SI ⊥ ( ABC ) Câu 98: Ta có   SI ⊥ AB Ta có SC ∩ ( ABC ) = { C} SI ⊥ ( ABC ) · ⇒ (·SC , (ABC)) = (·SC , IC) = SCI Ta có SA = SB = AC = BC có cạnh AB nên VSAB =VCAB · Do SI = CI ⇒ SCI = 45o Chọn D  BC ⊥ AJ ⇒ BC ⊥ (SAJ) Câu 99: Ta có  BC ⊥ SA  ·SBC ), (ABC)) = (·SJ , AJ ) = SJA · Chọn B ⇒ (( Câu 100: Gọi H, M trung điểm BC, AC (SBC) ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) Ta có   SH ⊥ BC  AC ⊥ HM ⇒ AC ⊥ (SHM) Ta có   AC ⊥ SH ·SAC ), (ABC)) = (·SM , HM) = SMH · ⇒ (( Ta có AB = a a a , AC = ⇒ HM = AB = 2 a SH · = = = Chọn D Ta có tan SMH HM a Câu 101: Ta có { ( SIB), ( SIC )} ⊥ ( ABCD) ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) · Kẻ IK ⊥ BC ( K ∈ BC ) ⇒ BC ⊥ (SIK) ⇒ SKI = 60o Diện tích hình thang ABCD: S ABCD = 3a Tổng diện tích VABI VCDI 3a 3a ⇒ SVIBC = 2 Lại có BC = ( AB − CD) + AD = a ⇒ IK = Suy SK = SVIBC 5a = BC IK 5a = → SVSBC = SK BC = 3a o cos 60 Chọn A Câu 102: Ta có { ( SIB), ( SIC )} ⊥ ( ABCD) ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) · Kẻ IK ⊥ BC ( K ∈ BC ) ⇒ BC ⊥ (SIK) ⇒ SKI = 60o Diện tích hình thang ABCD: S ABCD = 9a 2 Tổng diện tích VABI VCDI 5a ⇒ SVIBC = 2a 2 2 Mà BC = ( AB − CD) + AD = a 10 ⇒ IK = Suy SK = 2SVIBC 4a = BC 10 IK 4a 8a = : → SK = Chọn B o cos 60 10 10 Câu 103: Gọi M, N trung điểm AB, CD Ta có AN ⊥ CD mà ( ACD ) ⊥ ( BCD ) ⇒ AN ⊥ ( BCD ) ⇒ AN ⊥ BN Tam giác ABC cân C, có M trung điểm AB Suy CM ⊥ AB Giả sử ( ABC ) ⊥ ( BCD) mà CM ⊥ AB Suy CM ⊥ ( ABD ) ⇒ CM ⊥ DM Khi đó, tam giác MCD vuông cân M ⇒ MN = AB CD = ⇒ AB = CD = x 2 Lại có AN = BN = AC − AN = a − x mà AB = AN + BN Suy 2( a − x ) = x ⇔ a = x ⇔ x = a Chọn A Câu 104: Gọi O tâm tam giác ABC ⇒ SO ⊥ ( ABC ) Gọi M trung điểm BC ⇒ BC ⊥ (SAM) ·SBC ), (ABC)) = (·SM , AM) = SMA · Ta có (( = 60o Lại có AM = a a a2 → OM = AM = ; SVABC = · = Tam giác SMO vng O, có tan SMO Vậy đường cao hình chóp h = SO a ⇒ SO = MO a Chọn C ... BD ⊥ (IMN) ⇒ BD ⊥ MN Vấn đề 2: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GĨC I Góc hai mặt phẳng  Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng  Cách xác định góc hai mặt phẳng: Tìm giao... Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Có mặt phẳng qua M vng góc với ( P ) B Có vơ số mặt phẳng qua M vng góc với ( P ) vng góc với ( Q ) C Có mặt phẳng qua M vng góc với ( P ) vng góc với ( Q... CD Các mặt phẳng (SCI) (SDI) vng góc với (ABCD) Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A AD vng góc với (SAB) B BC vng góc với (SAB) C CD vng góc với (SAB) D IJ vng góc với (SAB) Câu 80: Cho hình chóp