Chủ đề 3 véc tơ trong không gian

CHỦ ĐỀ 3 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Định nghĩa Vectơ trong không gian là một đoạn thằng có hướng Kí hiệu chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B Vectơ còn được kí hiệu là , , , 2 Các quy tắc về vectơ Quy tắc 3 điểm hoặc Quy tắc hình bình hành Cho hình bình hành ACBD ta có Quy tắc trung điểm Nếu M là trung điểm của AB thì Quy tắc trung tuyến Nếu AP là trung tuyến của tam giác ABC thì Tương tự hình bên ta có Quy tắc trọng tâm Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì Khi đó với mọi điểm.

CHỦ ĐỀ 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa: uuur Vectơ không gian đoạn thằng có hướng Kí hiệu AB vectơ có điểm đầu A, điểm r r r cuối B Vectơ cịn kí hiệu a , b , c ,… Các quy tắc vectơ  uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r Quy tắc điểm: AC  AB  BC AC  BC  BA  Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ACBD ta uuur uuu r uuur có: AC  AB  AD  Quy tắc trung điểm: Nếu M trung điểm AB uuur uuur r MA  MB   Quy tắc trung tuyến: Nếu AP trung tuyến tam uuur uuu r uuur giác ABC AP  AB  AC uuu r uuur uuur  BA  BC  BN r uuu r uuuu r Tương tự hình bên ta có:  uuu CB  CA  2CM   Quy tắc trọng tâm: Nếu G trọng tâm tam giác ABC uuu r uuu r uuur r GA  GB  GC  uuur uuur uuuu r uuuu r Khi với điểm M ta có: MA  MB  MC  3MG   Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ uuu r uuur uuur uuuu r AB  AD  AA '  AC ' Chứng minh: uuuu r uuur uuur Ta có: ACC’A’ hình bình hành nên AC '  AC  AA ' uuur uuu r uuur uuuu r uuu r uuur uuur Tương tự: AC  AB  AD suy AC '  AB  AD  AA ' Chú ý: Nếu G tâm tứ diện ABCD, ta có: uuu r uuu r uuur uuur r GA  GB  GC  GD  Sự đồng phẳng vectơ, điều kiện để va vectơ đồng phẳng Định nghĩa: Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:  r r r r r Định lí 1: Điều kiện cần đủ để ba vectơ a , b , c đồng phẳng a b phương r r r tồn số m, n cho c  m.a  n.b  r r r u r Định lí 2: Nếu a , b , c ba vectơ khơng đồng phẳng với vectơ d khơng gian, ta tìm số m, n, p cho Tích vơ hướng vectơ r r r Góc vectơ a b khác định nghĩa uuu r r uuu r r góc AOB với OA  a ; OB  b r r r Nếu a b ta quy ước góc chúng nhận giá trị tùy ý r r Tích vơ hướng vectơ a b số, kí rr r r r r rr r r hiệu a.b xác định a.b  a b cos a; b từ suy cosin góc vectơ a b   rr r r a.b cos a; b  r r a.b   r r r r rr Đặc biệt a  b  cos a; b   a.b  r r r Tính chất: Cho vectơ a , b , c số thực k Khi ta có: rr rr r r r rr rr i) a.b  b.a a b  c  a.b  a.c ii) r r rr r r r r2 ka b  k a.b  a kb iii) a a iv)           Vectơ phương đường thằng: r r r Vectơ a  gọi vectơ phương đường thằng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d Một đường thẳng d khơng gian hồn tồn xác định biết điểm A thuộc d vectơ r phương a đường thẳng d Ứng dụng tích vơ hướng uuu r uuur2 Tính độ dài đoạn thẳng AB: AB  AB  AB rr r r a.b Xác định góc hai vectơ: cos a; b  r r a.b   II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chứng minh đằng thức vectơ, chứng minh vectơ đồng phẳng Phương pháp giải: Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta chứng cách:  Chứng minh giá ba vectơ song song với mặt phẳng r r r Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: tồn tai số m n cho c  m.a  n.b r r r vectơ a , b , c đồng phẳng  r r r r Để biểu diễn vectơ x theo vectơ a , b , c không đồng phẳng ta tìm số m, n, p r r r r cho x  m.a  n.b  p.c Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm AB CD uu r uuur uuur uuur a) Hãy biểu diễn vectơ IJ theo vectơ AB , AC , AD uuur uuur uuur uuur b) Gọi G trọng tâm tam giác BCD Hãy biểu diễn vectơ AG theo vectơ AB , AC , AD Lời giải uu r uu r uuu r uu r uur uuur a) Ta có: IJ  IA  AJ , mặt khác IA   AI   AB uuu r uuur uuur AJ  AC  AD (tính chất trung điểm) uu r uuur uuur uuur Do IJ   AB  AC  AD 2 uuu r uuur uuu r  AB  AG  GB  uuur uuur uuur b) Ta có:  AC  AG  GC cộng vế theo vế ta được:  uuur uuur uuur  AD  AG  GD uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur 3AG  GB  GC  GD  AB  AC  AD uuu r uuur uuur uuur AB  AC  AD uuu r uuur uuur r Mặt khác GB  GC  GD  (do G trọng tâm tam giác BCD) Do AG      uuuu r uuuu r Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M N thuộc AD BC cho AM  3MD , uuur uuur uuu r r uuur r NB  3 NC Biết AB  a , CD  b uuuu r r r a) Hãy biểu diễn vectơ MN theo a b uuuu r uuur uuur b) Gọi P Q trun điểm AD BC Chứng minh ba vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng c) Gọi G trung điểm PQ, chứng minh G trọng tâm tứ diện ABCD Lời giải uuuu r uuuu r uuur uuur a) Ta có: MN  MD  DC  CN  1 uuuu r uuur uuur uuur Lại có: MN  MA  AB  BN   uuuu r uuu r uuur Lấy     1 ta MN  AB  3DC uuuu r 1r 3r Do MN  a  b 4 uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur  MN  MP  PQ  QN r uuuu r uuur uuur  MN  PQ  DC b) Ta có:  uuuu  MN  MD  DC  CN uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur Suy MN  PQ  DC  ba vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur GA  GD  2GP r uuur uuur  GA  GB  GC  GD  GP  GQ c) Theo tính chất trung điểm ta có:  uuu GB  GC  2GQ uuu r uuur r uuu r uuu r uuur uuur r Mặt khác GP  GQ   GA  GB  GC  GD   G trọng tâm tứ diện ABCD     uuur r uuu r r uuur r Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’ B’C' có AA '  a , AB  b , AC  c uuuur uuuu r Gọi I J trung điểm BB' A'C', điểm K thuộc B'C cho KC '  2 KB ' uuuur uur uuu r r r r a) Hãy biểu thị vectơ B ' C ; CI BJ qua vectơ a , b , c uuu r r uuur uur uuur uur uuu b) Biểu thị vectơ AK theo vectơ AI AJ từ suy vectơ AK , AI , AJ đồng phẳng Lời giải uuuur uuuuu r uuuur a) Ta có: B ' C  B ' C '  B ' B (theo quy tắc hình bình hành) uuuur uuur uuuur uuur uuu r uuur r r r Suy B ' C  BC  A ' A  AC  AB  AA '  c  b  a uur uuu r uur uuur uuur uuur r r r Lại có: CI  CB  BI  AB  AC  BB '  b  c  a 2   Mặtkhác: uuu r uuu r uuur uuuu r uuur uuuur r r uuur r r c BJ  BA  AA '  A ' J   AB  A 'C'  b  a  AC  b  a  2 uuur uur uuu r uuuur b) Ta có: AK  AI  IB '  B ' K  1 uuur uuu r uuur uuuur AK  AJ  JC '  C ' K   Lấy  1    ta được: uuur uur uuu r uuu r uuur uuuur uuuur uur uuu r uuur uuuu r uur uuu r uuu r AK  AI  AJ  IB '  JC '  21B4'4K24C '3K  AI  AJ  BB '  A ' J  AI  AJ  AJ uuur uur uuu r Vậy AK  AI  AJ   uuu r r uuur r uuur r Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Đặt BA  a , BB '  b , BC  c Gọi M N hai điểm nằm AC DC’ cho MN//BD’ Tính tỷ số MN BD ' Lời giải uuuu r uuur uuuur uuuur Giả sử: MC  nAC , C ' N  mC ' D uuuu r uuur uuuur uuu r uuur uuuur r r r Ta có: BD '  BD  DD '  BA  BC  DD '  a  b  c uuuu r uuuu r uuuu r uuuur uuur r uuuur Lại có: MN  MC  CC '  C 'N  n AC  b  mC ' D uuur uuu r r uuuur  n BC  BA  b  m C ' C  CD     r r r r r r r  n  c  a   b  m  b  a    m  n  a    m  b  nc uuuu r uuuu r Khi MN / / BD '  MN  k BD '  m  m  n 1 m n MN    k   k 1 B'D' n   Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi I giao điểm hai đường chéo hình bình hành uuur ABB'A' K giao điểm hai đường chéo hình bình hành BCC'A Biểu thị vectơ BD theo vectơ uuuuu r r uur uuur uur uuuuu IK C ' B ' từ suy ba vectơ BD , IK , C ' B ' đồng phẳng Lời giải uuur uuur uuur uuuur uuur uuur Ta có: BD  BC  CD  C ' B  AD  AC   uuuuu r uuuuu r uur uuur uur  C ' B '  B ' C '  IK (vì AC  IK ) uuur uuuuu r uur Suy BD  2C ' B '  IK r uuur uur uuuuu Do ba vectơ BD , IK , C ' B ' đồng phẳng Ví dụ 6: Trong không gian cho tam giác ABC Chứng minh có điểm O khơng gian uuuu r uuu r uuu r uuur cho OM  xOA  yOB  zOC , đồng thời , x  y  z  điểm M thuộc mặt phẳng  ABC  Lời giải uuuu r uuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuur uuur Ta có: OM  xOA  yOB  zOC   x  y  z  OM  xOA  yOB  zOC uuur uuur uuuu r r  xMA  yMB  zMC  uuur uuuu r r Nếu x   yMB  zMC   M, B, C thẳng hàng nên A, B, C, M đồng phẳng uuur  y uuur z uuuu r MB  MC  A, B, C, M đồng phẳng Nếu x   MA  x x Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD Gọi P P trung điểm cạnh AB CD Trên cạnh AB CD lấy điểm M, N cho uuur uuuu r AM BN   k  k   Chứng minh vectơ PQ , PM , AC BD uuur PN đồng phẳng Lời giải uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r Ta có: PQ  PC  PD   AC  AP  BD  BP  2 uuuu r uuur r uuu r  uuur uuur uuu AM  BN  AC  BD  AP  BP     2 k uuuu r uuu r uuuu r  AM  AP  PM uuur uuuu r uuur PM  PN r uuur nên PQ  Lại có:  uuur uuu 2k  BN  BP  PN           uuu r uuu r r (Do AP  BP  ) uuur uuuu r uuur PM  PN  M, N, P, Q đồng phẳng Do PQ  2k   Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng, góc hai vectơ, chứng minh đường thẳng vng góc Phương pháp giải:  uuu r uuur2 r Để tính độ dài đoạn thằng AB ta sử dụng công thức: AB  AB  AB , để tính độ dài vectơ u ta r r2 sử dung công thức u  u   rr r r a.b Để tính góc vectơ ta sử dụng công thức: cos a; b  r r a.b   uuu r uuur Để chứng minh đường thẳng AB CD vng góc với ta chứng minh: AB.CD  Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a BC  a Tính góc hai uuu r uuur vectơ AB SC Lời giải Do SB = SC = a; BC  a  SBC vuông cân S uuu r uur uur Lấy điểm S làm điểm gốc ta phân tích: AB  SB  SA uuu r uuu r uur uur uuu r uur uuu r uur uuu r Ta có: AB.SC  SB  SA SC  SB.SC  SA.SC   a2  a cos 90  a cos 60   2 2 uuu r uuu r a uuu r uuu r AB.SC Do cos AB; SC    AB.SC a.a uuu r uuu r AB; SC  1200     Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD uuu r uuur uuur uuur uuur uuur a) Chứng minh rằng: AB.CD  AC.DB  AD.BC  b) Từ đẳng thức suy tứ diện ABCD có AB  CD AC  DB AD  BC Lời giải a) Lấy điểm A làm điểm gốc uuu r uuur uuur uuur uuur uuur Ta có: AB.CD  AC.DB  AD.BC uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r AB AD  AC  AC AB  AD  AD AC  AB        uuu r uuur uuur uuur uuur uuur b) Do AB.CD  AC DB  AD.BC  uuu r uuur uuur uuur  AB.CD   AB  CD   uuur uuur  AD.BC  Mặt khác:   AC  DB  AC DB  Do AD  BC Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD góc BAC = 600, góc BAD = 600, góc CAD = 900 Chứng minh rằng: a) AB  CD b) Nếu I J trung điểm AB CD IJ  AB Lời giải uuu r uuur uuu r uuur uuur a) Lấy điểm A điểm gốc ta có AB.CD  AB AD  AC   uuu r uuur uuu r uuur  AB AD  AB.AC  a cos 600  a cos 600   AB  CD uu r uu r uuu r r uuur uuur uuu b) Ta có: IJ  IA  AJ   AB  AC  AD 2 uu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r Do IJ AB   AB  AC  AD AB          r uuur uuur uuur2 uuur uuu  AB  AC AB  AD AB r2    a  a cos 600  a cos 600   IJ  AB   Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC ASB = BSC = CSA Chứng minh SA  BC , SB  AC SC  AB Lời giải Giả sử ASB  BSC  CSA   SA = SB = SC = a uur uuur uur uuu r uur Lấy điểm S làm điểm gốc ta có: SA.BC  SA SC  SB uur uuu r uur uur  SA.SC  SA.SB  a cos   a cos     Tương tự chứng ta có SB  AC SC  AB Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD Gọi P Q trung điểm AB CD Biết AB  AC , AB  BD Chứng minh AB PQ vng góc với Lời giải uuu r uuur  AB AC  r uuur Ta có: AB  AC , AB  BD   uuu  AB.BD  uuur uuu r uuur r uuur uuur uuu Lại có: PQ  PA  AQ   AB  AC  AD 2   uuu r uuur uuu r  uuu r uuur uuur  Do AB.PQ  AB   AB  AC  AD    uuu r uuu r uuur uuu r uuu r r AB AB AD AB uuur uuu AB uuur    AD  AB  BD  2 2     Do AB  PQ r r r r Ví dụ 6: Trong khơng gian cho vectơ a b tạo với góc 1200 Biết a  b  r r r r Tính a  b a  b r r2 r r Ta có: a  b  a  b   r r2 r r Lại có: a  b  a  b  Lời giải r2 r r r2 r r r r r r  a  2a.b  b  a  a b cos a; b  b  32  2.3.5.cos1200  52  19   r r Do a  b  19  r2 r r r2 r r r r r r  a  2a.b  b  a  a b cos a; b  b  32  2.3.5.cos1200  52  49   r r Do a  b  Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Tính góc hai vectơ AC DA' Lời giải uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuuur uuur uuur Ta có: AC  AB  AD DA '  DA  DD '   AD  AA ' Đặt AB  a  AC  a  DA ' uuuu r uuuu r uuu r uuur uuuur uuur 2 Mặt khác AC '.DA '  AB  AD  AD '  AA '   AD   a    uuur uuuu r a uuur uuuu r Suy cos AC; DA '     AC ; DA '  1200 2a     BÀI TẬP TỰ LUYỆN r r r Câu 1: Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng r r r r r r r u r r Xét vectơ x  2a  b , y  4a  2b ; z  3b  2c Chọn khẳng định dúng? u r r r r u A Hai vectơ y , z phương B Hai vectơ x , y phương, r r r r r u C Hai vectơ x , z phương D Ba vectơ x , y , z đồng phẳng r r r r r r r r r r u r r Câu 2: Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng Xét vectơ x  2a  b , y  a  b , z  3b  2c Chọn khẳng định đúng? r r r u A Ba vectơ x , y , z đồng phẳng r r C Hai vectơ x , b phương r r B Hai vectơ x , a phương r r r u D Ba vectơ x , y , z đôi phương uuur r uuur r uuur r uuur ur Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1B1C1 Đặt AA1  a , AB  b , AC  c , BC  d , đẳng thức sau, đẳng thức đúng? r r r ur r r r r u r A a  b  c  d  B a  b  c  d r r u r r C b  c  d  r r r D a  b  c Câu 4: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuuu r r uuuu r uuur uuur uuur uuur uuuu r A AC1  A1C  AC B AC1  CA1  2CC1  C AC1  A1C  AA1 D CA1  AC  CC1 Câu 5: Hãy chọn mệnh đề mệnh đề sau đây: uuu r uuur uuur uuur r A Tứ giác ABCD hình bình hành AB  BC  CD  DA  uuu r uuur B Tứ giác ABCD hình bình hành AB  CD uur uuu r uur uuu r C Cho hình chóp S.ABCD Nếu có SB  SD  SA  SC tứ giác ABCD hình hình hành uuu r uuur uuur D Tứ giác ABCD hình bình hành AB  AC  AD Câu 6: Trong không gian cho điềm O bốn điểm A, B, A, B, c, D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để c, D tạo thành hình bình hành là: uuu r uuur uuur uuur A OA  OB  OC  OD 2 uuu r uuur uuu r uuur C OA  OC  OB  OD uuu r uuur uuu r uuur B OA  OC  OB  OD 2 uuu r uuur uuu r uuur r D OA  OC  OB  OD  Câu 7: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD BC lấy M, N cho AM = 3MD, BN = 3NC Gọi P, Q trung điểm cùa AD BC Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuur A Các vectơ BD, AC , MN không đồng phẳng B Các vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng uuu r uuur uuur uuu r uuuuruuuu r C Các vectơ AB, DC , PQ đồng phẳng D Các vectơ AB, DC ,MN đồng phẳng Câu 8: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hãy mệnh đề sai mệnh đề sau đây: uuur uuur uuur uuur r A AD  CD  BC  DA  uuur uuur uuur uuur C AC AD  AC.CD uuur uuur a B AB AC  uuu r uuur D AB  CD  AB.CD  Câu 9: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? uuu r uuur uuu r uuu r A TỪ AB  AC ta suy BA  3CA uuur uuur B Nếu AB  BC B trung điểm đoạn AC uuu r uuur uuur C Vì AB  2 AC  AD nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng uuu r uuur uuur uuur D Tìr AB  3 AC ta suy BC  AC Câu 10: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD G trung điểm MN Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r A MA  MB  MC  MD  MG uuu r uuu r uuur uuur r C GA  GB  GC  GD  uuu r uuu r uuur uuur B GA  GB  GC  GD uuuu r uuur r D GM  GN  Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi G điểm thòa mãn: uuu r uuu r uuu r uuur uuur r GS  GA  GB  GC  GD  Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? uuu r uuur A G, s, O không thẳng hàng B GS  4OG uuu r uuur uuu r uuur C GS  5OG D GS  3OG uuur r uuu r r uuur r Câu 12: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C’ có AA '  a , AB  b , AC  c Hãy phân tích (biểu thị) vectơ uuuu r r r r BC ' qua vectơ a , b , c uuuu r r r r uuuu r r r r uuuu r r r r uuuu r r r r A BC '  a  b  c B BC '  a  b  c C BC '  a  b  c D BC '  a  b  c Câu 13: Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Tìm giá trị k thích hợp uuuu r uuur uuur điền vào đẳng thức vectơ: MN  k AC  BD  A k  B k   C k  D k  uuur r uuu r r uuur r Câu 14: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA '  a , AB  b , AC  c Hãy phân tích (biểu thị) vectơ uuuur B ' C qua vectơ ã,b, C uuuur r r r uuuur r r r uuuur r r r uuuur r r r A B ' C  a  b  c B B ' C  a  b  c C B ' C  a  b  c D B ' C  a  b  c Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD Gọi O giao điểm cùa AC BD Trong khẳng định sau, khẳng định sai? uur uur uuu r uuu r uuu r A Nếu SA  SB  SC  2SD  SO ABCD hình thang uur uur uuu r uuu r uuu r B Nếu ABCD hình bình hành SA  SB  SC  SD  4SO uur uur uuu r uuu r uuu r C Nếu ABCD hình thang SA  SB  2SC  2SD  6SO uur uur uuu r uuu r uuu r D Nếu SA  SB  SC  SD  4SO ABCD hình bình hành uuu r r uuur r Câu 16: Cho hình hộp ABCD.A'B’C'D' có tâm O Đặt AB  a , BC  b M điểm xác định uuuu r r r OM  a  b Khẳng định sau đúng?   A M trung diểm BB’ B M tâm hình bình hành BCC'B' C M tâm hình bình hành ABB’A ’ D M trung điểm CC' Câu 17: Gọi M, N trung điểm cạnh AC BD tứ diện ABCD Gọi I trung điểm đoạn MN P điểm khơng gian Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: uur uuu r uuu r uuur uuur PI  k PA  PB  PC  PD   B k  A k  C k  D k  Câu 18: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Chọn đẳng thức sai? uuur uuu r uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur A BC  BA  B1C1  B1 A1 B AD  D1C1  D1 A1  DC uuur uuu r uuur uuuu r uuu r uuuur uuuu r uuur C BC  BA  BB1  BD1 D BA  DD1  BD1  BC Câu 19: Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q trung điểm AB CD Chọn khẳng định đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A PQ  BC  AD B PQ  BC  AD C PQ  BC  AD D PQ  BC  AD 2 uuu r r uuur r Câu 20: Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt AB  b , AC  c , uuur u r AD  d Khẳng định sau đúng?  uuur r ur r A MP  c  d  b     uuur ur r r B MP  d  c  b     uuur r r ur C MP  c  b  d    uuur r ur r D MP  c  d  b   LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN u r r r r r r u Câu 1: Tacó: y  2 2a  b  2 x vectơ x , y phương Chọn B   r r r r r r r r u r r Câu 2: Ta có: x  2a  b  a  b  c  3b  2c  y  z     r r r u Do vectơ x , y , z đồng phẳng Chọn A r r ur uuur uuur uuur uuu r uuur r Câu 3: Ta có b  c  d  AB  AC  BC  CB  BC  Chọn C uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur Câu 4: Ta có: AC1  A1C  AA1  A1C  A1C  AA1  A1C uuur Mặt khác A1C  dó đẳng thức câu C sai Chọn C uur uuu r uur uuu r uur uur uuu r uuu r uuur uuur Câu 5: Ta có: SB  SD  SA  SC  SB  SA  SC  SD  AB  DC Do dó ABCD hình bình hành Chọn C Câu 6: A, B, C, D tạo thành hình bình hành uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r  AB  DC  AO  OB  DO  OC  OB  DO  OC  AO  OB  OD  OC  OA Chọn C uuu r uuur uuur Câu 7: Các vectơ AB, DC , PQ không đồng phẳng nên C sai Chọn C uuur uuur uuur uuur uuur uuur Câu 8: Ta có AD  CD  AC AD  AC.CD Chọn C uuur uuur uuur Câu 9: Vì AB  2 AC  AD nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Chọn C uuu r uuur uuur uuur r Câu 10: Do G trung điểm cùa MN nên GA  GB  GC  GD  uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r  MA  MG  MB  MG  MC  MG  MD  MG   MA  MB  MC  MD  4MG Chọn A         uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur Câu 11: GS  GA  GB  GC  GD   GS  2GO  2GO   GS  4GO Chọn B uuuu r uuur uuuu r uuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur r r r Câu 12: BC '  BC  CC '  BA  AC  CC '  AA '  AB  AC  a  b  c Chọn D uuuu r uuuu r uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuu Câu 13: MN  MC  CN  MA  AC  CN   AB  CD  AC 2 uuuu r r uuu r uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuu  MN   AC  CB  CB  BD  AC  AC  BD  MN  k AC  BD  k  Chọn D 2 2 uuuur uuuuu r uuuur uuur uuuu r uuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur r r r Câu 14: B ' C  B ' C '  C ' C  BC  CC '  BA  AC  CC '   AA '  AB  AC  a  b  c Chọn D         Câu 15: Dựa váo đáp án, ta có nhận xét sau: uur uuu r uuu r  SA  SC  SO r uuu r  ABCD hình bình hành O trung điểm AC BD,  uur uuu  SB  SD  2SO uur uur uuu r uuu r uuu r  SA  SB  SC  SD  4SO điều ngược lại uur uur uuu r uuu r uuu r  Tương tự, SA  SB  2SC  2SD  6SO ABCD hình thang điều ngược lại khơng Chọn C Câu 16: Ta có r uuur r uuu r r uuur r r uuu uuu uuu uuur uuur a  b  AB  BC  AB  CB   BA  BC   BD  DB 2 2 2         uuuu r r r uuuu r uuur OM / / BD Mặt khác OM  a  b  OM  DB   Mà O trung điểm DB’ suy M trung 2 OM  BD    điểm BB’ Chọn A uuur uur r Câu 17: Vì I trung điểm MN  IM  IN  uuu r uuu r uuur uuur uur uu r uur uur uuur uur uur Ta có PA  PB  PC  PD  PI  IA  IB  IC  PI  IM  IN  PI uur uuu r uuu r uuur uuur uur uuu r uuu r uuur uuur Khi PI  PA  PB  PC  PD  PI  k PA  PB  PC  PD  k  Chọn C   Câu 18: Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: uuur uuu r uuuur uuuur  BC  BA  B1C1  B1 A1 uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur  AD  D1C1  D1 A1  AD  DC  DA  DC uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuuu r uuuu r  BC  BA  BB1  BD  BB1  BB1  B1D1  BD1 uuu r uuuur uuuu r uuu r uuur uuuu r uuur uuuu r  BA  DD1  BD1  BA  AA1  BD1  BA1  BD1 Chọn D uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur Câu 19: Ta có PQ  PC  CQ  PB  BC  CD  AB  BC  CD 2 uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur  PQ  AD  DB  BC  CB  BD  AD  BD  BC  BC  BD  AD  BC 2 2 2      Chọn B uuur uuu r uuuu r uuur uuur uuu r r ur r Câu 20: Ta có MP  AP  AM  AC  AD  AB  c  d  b Chọn D 2      ... r r r u r Định lí 2: Nếu a , b , c ba vectơ không đồng phẳng với vectơ d khơng gian, ta tìm số m, n, p cho Tích vơ hướng vectơ r r r Góc vectơ a b khác định nghĩa uuu r r uuu r r góc AOB... Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng r r r r r r r u r r Xét vectơ x  2a  b , y  4a  2b ; z  3b  2c Chọn khẳng định dúng? u r r r r u A Hai vectơ y , z phương B Hai vectơ x , y phương,... r r u C Hai vectơ x , z phương D Ba vectơ x , y , z đồng phẳng r r r r r r r r r r u r r Câu 2: Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng Xét vectơ x  2a  b , y  a  b , z  3b  2c Chọn khẳng