Ôn tập Đại số tuyến tính Câu 1 1 Nhân 2 ma trận (sao cho ma trận kết quả là 2x3, 3x2, 3x3) Điều kiện Để tồn tại tích của 2 ma trận là số cột ma trận A bằng số hàng của ma trận B Lấy lần lượt hàng của ma trận A nhân với cột của ma trận B Trong phép nhân 2 ma trận thì không có tích chất giao hoán Tích ma trận A nhân ma trận B khác tích ma trận B nhân ma trận A Ví dụ 1 Cho A = B = Khi đó AB = Lấy lần lượt hàng của ma trận A nhân với cột của ma trận B 2 C11 = 2x1 + 3x3 + ( 5x0) = 11 C12 = 2x2 + 3x4.
Ôn tập Đại số tuyến tính Câu 1: Nhân ma trận (sao cho ma trận kết 2x3, 3x2, 3x3) Điều kiện: Để tồn tích ma trận số cột ma trận A số hàng ma trận B Lấy hàng ma trận A nhân với cột ma trận B Trong phép nhân ma trận khơng có tích chất giao hốn Tích ma trận A nhân ma trận B khác tích ma trận B nhân ma trận A Ví dụ 1: Cho A = B= Khi đó: AB = Lấy hàng ma trận A nhân với cột ma trận B C11 = 2x1 + 3x3 + ( -5x0) = 11 C21 = 4x1 + 1x3 + 7x0 = C12 = 2x2 + 3x4 + ( -5x5) = - 19 C22 = 4x2 + 1x4 + 7x5 = 47 C13 = 2x (-1) + 3x1 + ( -5x3) = -14 C23 = 4x (-1) + 1x1 + 7x3 = AB = x = Tích ma trận A nhân ma trận B khác tích ma trận B nhân ma trận A Ma trận B nhân với ma trận A rỗng Do số cột ma trận B không số hàng ma trận A Ví dụ 1.1: C = D= Khi CD = Giải hệ phương trình phương pháp Gauss Bước 1: Lập ma trận mở rộng Bước 2: Biến đổi ma trận mở rộng ma trận bậc thang Bước 3: Viết từ ma trận bậc thang hệ có chứa ẩn Bước 4: Giải hệ từ giải lên Ví dụ 2: Cho A= x – 2y + 3z = 2x – 3y + z = -3 3x – 5y + mz = -2 Với m = giải hệ phương trình phương pháp Gauss Giải Với m = ta có hpt: A= x – 2y + 3z = 2x – 3y + z = -3 3x – 5y + 5z = -2 = -2h1+ h2/-3h1 + h3 -h2 + h3 => x – 2y + 3z = y – 5z = -3 => x=1, y = 2, z= z=1 3: Chứng minh tập W không gian R3 Bước 1: Ta cần chứng minh W Bước 2: Lấy u = (x1, y1, z1) v = (x2, y2, z2) u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) Bước 3: kx = (kx1, ky1, kz1) Ví dụ: Chứng minh tập hợp W = (x, y, z) R3: 2x + y – 3z = KGC R3 Giải Ta có: W R3, (0, 0, 0) R3 W (1) Lấy u = (x1, y1, z1) 2x1 + y1 – 3z1 = (*) v = (x2, y2, z2) 2x2 + y2 – 3z2 = (**) Lấy (*) + (**) 2(x1 + x2) + (y1 + y2) – 3(z1 + z2) = u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) (2) Từ (*) k (2x1 + y1 – 3z1) = 2kx1 + ky1 + 3kz1 = (kx1, ky1, kz1) (3) Từ (1), (2), (3) W khơng gian R3 4: Tìm ma trận tắc ánh xạ tuyến tính Bước 1: Chỉ sở tắc khơng gian nguồn (R3) Bước 2: Tính f(e1), f(e2), f(e3), Bước 3: Ghép lại vectơ dạng cột có ma trận tắc Ví dụ 1: Tìm ma trận tắc ánh xạ: f: R3 R4 f (x, y, z) = (x + y, x – y, 2x + 3y, 4z) Giải Cơ sở tắc R3 là: e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) f(e1) = f (1, 0, 0) = ; f(e2) = f (0, 1, 0) = ; f(e3) = f (0, 0, 1) = Ma trận tắc f: Ví dụ 2: Tìm ma trận tắc ánh xạ: f: R3 R3 f (x, y, z) = (x - 4y + 2z, 2x + 3y + 5z, 4x - 5y + 9z) Giải Cơ sở tắc R3 là: e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) f(e1) = f (1, 0, 0) =; f(e2) = f (0, 1, 0) =; f(e3) = f (0, 0, 1) = Ma trận tắc f: 5: Tìm giá trị riêng A Bước 1: Lập ma trận đặc trưng, có định thức = Lấy từ ma trận A lấy tất phần tử đường chéo từ Bước 2: Tính định thức quy tắc đường chéo xuất phương trình Bước 3: Đặt nhân tử chung ta tìm giá trị riêng Ví dụ 5: Cho ma trận A = Tìm giá trị riêng A (định thức) Giải: Ta có phương trình: =0 (6 (6 - =0 => A có giá trị riêng phân biệt là: Câu 2: Tìm hạng ma trận cỡ 3x4 ma trận cỡ 4x4 Tìm điều kiện tham số để hệ cho có nghiệm nhất, vơ nghiệm, vơ số nghiệm A= = Hệ phương trình có nghiệm a, Hệ có nghiệm b, Hệ có vơ số nghiệm c, Hệ vơ nghiệm Ví dụ 2: Cho A = 2x – y + 3z = 3x – 3y + z = Tìm m để hệ có nghiệm 5x – 7y + mz = Giải = - 2h1 + h3 – 3h1+h2/-5h1+h3 -2h2+h3 Để hệ phương trình có ngiệm => + m => m Tìm sở số chiều khơng gian W khơng gian R3 Bước 1: Tìm hệ sinh Bước 2: Chứng minh hệ sinh đọc lập tuyến tính Bước 3: Vectơ hệ số chiều (dim) Ví dụ: Cho W = (x, y, z) R3: x - 3y + 2z = Tìm sở số chiều R3 W x - 3y + 2z = Suy ra: x = 3y - 2z thay vào u ta u = (3y - 2z, y, z) = y (3, 1, 0) + z (- 2, 0, 1) Từ đó: S = (3, 1, 0); hệ sinh W mà (3, 1, 0) có tọa độ khơng tương ứng S – độc lập tuyến tính Vậy S sở W dim(W3) = Tìm hạng hệ vectơ R4 Bước 1: Lập ma trận hàng A (mỗi vectơ hàng) Bước 2: Biến đổi sơ cấp đưa ma trận A ma trận bậc thang * Hạng hệ S = hạng A tức r(S) = r(A) * Cơ sở không gian sinh hệ S hệ H (gồm vecto hàng khác ma trận bậc thang) Ví dụ: Trong khơng gian vectơ R4 cho hệ: S= Tìm hạng hệ S Giải Lập A = r(S) = r(A) = Tìm điều kiện tham số để hệ vectơ S sở R (Nếu biết số chiều khơng gian vectơ n, để tìm cở sở S cần S hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính) Bước 1: Tìm số chiều khơng gian vectơ Bước 2: Chứng minh S độc lập tuyến tính Ví dụ: Cho Tìm m để S sở R3 Giải Vì S có vectơ R3 dim (R3) = nên ta cần tìm m để S độc lập tuyến tính Xét tương đương với hệ Có ma trận A = Ta có: Để hệ S độc lập tuyến tính ≠ 0, ta m ≠ Vậy với m ≠ S sở R3 Tìm tọa độ vectơ theo chiều sở cho trước (trong không gian R3) Bước 1: Lập ma trận mở rộng Bước 2: Biến đổi ma trận mở rộng ma trận bậc thang Bước 3: Viết từ ma trận bậc thang hệ có chứa ẩn Bước 4: Giải hệ từ giải lên Ví dụ: Trong khơng gian R3, cho hệ Tìm tọa độ vectơ v sở S Giải Gọi tọa độ (v)S = (c1, c2, c3) Xét tương đương với hệ: xét = c1 = 3, c2 = 2, c3 = Vậy (v)S = (3,2,1) Tìm Ker(f), cở sở số chiều Ker(f) Bước 1: Tìm hệ sinh cho không gian Ker(f) Lập ma trận mở rộng Bước 2: Đặt xi = t Tính xj theo t (j≠i) Ví dụ: Cho ánh xạ tuyến tính f: R3 R3 f(x) = f(x, y, z) = ( x + 2y + 3z, 2x – y + z, x + z) Tìm Ker(f), cở sở số chiều Ker(f) ta có f(u) = f(x, y, z) = = Đặt z = t Vậy Ker(f) = : u = , t Vậy S = tập sinh mà S độc lập tuyến tính (det (A) ≠ 0) nên sở Ker(f) S = Tìm Im(f), cở sở số chiều Im(f) Bước 1: Lập ma trận mở rộng Bước 2: Biến đổi sơ cấp ma trận bậc thang Bước 3: Tính r(A), r( Ví dụ: Cho ánh xạ tuyến tính f: R3 R3 f(x) = f(x, y, z) = ( x + 2y + 3z, 2x – y + z, x + z) Tìm Ker(f), cở sở số chiều Ker(f) Giải Với ⇔ f(u) = v có nghiệm, tương đương với hệ = Vì hệ có nghiệm nên = -2b + 5c – a = Vậy Im(f) = Từ suy a = -2b + 5c Do v = (- 2b + 5c,b,c) = b( -2,1,0) + c(5,0,1) Ta có S = {( - 2,1,0), (5,0,1)} hệ sinh Im(f), mà S độc lập tuyến tính (Chú ý 3.5) nên S sở Im(f) dim(Im(f))=2 ... số để hệ vectơ S sở R (Nếu biết số chiều không gian vectơ n, để tìm cở sở S cần S hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính) Bước 1: Tìm số chiều không gian vectơ Bước 2: Chứng minh S độc lập tuyến tính. .. sở số chiều không gian W không gian R3 Bước 1: Tìm hệ sinh Bước 2: Chứng minh hệ sinh đọc lập tuyến tính Bước 3: Vectơ hệ số chiều (dim) Ví dụ: Cho W = (x, y, z) R3: x - 3y + 2z = Tìm sở số chiều... Vì S có vectơ R3 dim (R3) = nên ta cần tìm m để S độc lập tuyến tính Xét tương đương với hệ Có ma trận A = Ta có: Để hệ S độc lập tuyến tính ≠ 0, ta m ≠ Vậy với m ≠ S sở R3 Tìm tọa độ vectơ theo