(SKKN 2022) kĩ thuật sử dụng biệt thức delta trong giải một số bài tập toán 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH THÀNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KỸ THUẬT SỬ DỤNG BIỆT THỨC DELTA TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TOÁN Người thực hiện: Tống Thị Anh Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Thạch Sơn SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA, NĂM 2022 MỤC LỤC Nội dung Trang Phần mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phần nội dung sáng kiến kinh nghiệm 1 1-2 2 2-3 3-17 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, 17-18 đồng nghiệp nhà trường Phần kết luận, kiến nghị 18 18 3.1 Kết luận 18-19 3.2 Kiến nghị 20 Tài liệu tham khảo Phần mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Là giáo viên vừa trực tiếp giảng dạy Toán tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi, nhận thấy HS sử dụng tốt biệt thức “  ” giải tốn phương trình bậc hai mà cịn giải nhiều dạng tốn nâng cao khác như: - Giải phương trình hệ phương trình - Tìm nghiệm nguyên phương trình, hệ phương trình - Chứng minh bất đẳng thức - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đây nội dung khó chương trình Tốn Khi giải tập dạng học sinh gặp nhiều vướng mắc dẫn đến khơng hứng thú, em chưa tìm phương pháp thích hợp Nhằm giúp cho HS có thêm phương pháp để giải dạng tốn đơi sử dụng biệt thức delta lại tìm kết tốn nhanh chóng hơn.Việc sử dụng delta để giải toán cở phương trình bậc hai yêu cầu thiết HS lớp 9.Mặt khác có giải thành thạo tốn giải toán nâng cao Do thấy rõ tầm quan trọng, cần thiết tính ứng dụng rộng rãi phân tích mà tơi tiến hành nghiên cứu đề tài: “ Kỹ thuật sử dụng Biệt thức Delta giải số tập tốn 9” 1.2 Mục đích nghiên cứu Để phát huy tính tích cực học sinh người giáo viên phải đặt học sinh vào tình có vấn đề tạo cho em thách thức trước vấn đề trước hết HS phải nắm kiến thức để giải tập cách thành thạo tiến tới tập nâng cao Trong chương trình tốn sau học biệt thức delta “  ” HS sử dụng để giải số dạng toán nâng cao, góp phần phát triển tư nâng cao kết kì thi, quan trọng giúp em nắm kiến thức toán để học lên PTTH 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng Đối tượng nghiên cứu: Các dạng tập có sử dụng biệt thức Delta Phạm vi nghiên cứu : Chương trình tốn 9- Trung học sở 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp quan sát: Sử dụng phương pháp để nghiên cứu, quan sát hoạt động dạy học giáo viên học sinh - Phương pháp đối thoại: Trực tiếp trò chuyện với học sinh để bổ sung kinh nghiệm cho phương pháp điều tra - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Để nghiên cứu tài liệu, sách báo có liên quan đến đề tài - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động học sinh: Thông qua kiểm tra để thấy kết áp dụng - Phương pháp thống kê tốn học: Sử dụng phương pháp để xử lí số liệu đến kết luận phù hợp với giả thuyết khoa học Phần nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Mơn Tốn coi tảng mơn khoa học khác Trong giáo dục mơn Tốn phát huy cho em tính tự lập, tự tư tìm tịi u cầu cần thiết nói mơn Tốn đóng vai trị quan trọng việc hình thành tư sáng tạo, kỹ suy luận logic học sinh Đặc biệt giai đoạn phát triển khoa học kỹ thuật cơng nghệ nay, tư sáng tạo logic, khả nhanh nhạy khéo léo xác người cần thiết Vì dạy học người giáo viên cần phát triển học sinh lực trí tuệ, phát huy tính tích cực sáng tạo, biết nhìn nhận vấn đề nhiều góc độ khác Tìm tịi cũ mới, cũ để đến kiến thức Để phát huy tính tích cực học sinh người giáo viên phải đặt học sinh vào tình có vấn đề tạo cho em thách thức trước vấn đề trước hết HS phải nắm kiến thức để giải tập cách thành thạo tiến tới tập nâng cao Trong chương trình tốn sau học biệt thức delta “  ” HS sử dụng để giải số dạng tốn nâng cao, góp phần phát triển tư nâng cao kết kì thi 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Đặc điểm học sinh THCS mơn Tốn Trong chương trình tốn lớp gồm chương trình ơn thi học sinh giỏi tập chương trình tìm giá trị lớn nhỏ nhất, tập giải phương trình, hệ phương trình… học sinh cịn gặp lúng túng khó khăn giải vấn đề , học sinh biết cách sử dụng biệt thức Delta cơng cụ hữu ích để xử lý tình huống, yêu cầu đưa cách có hiệu Tuy nhiên học sinh biết cách sử dụng Vì việc hệ thống hướng dẫn cho em đóng vai trị quan trọng 2.2.2 Nội dung giải Để giúp học sinh học tốt phần thân thấy cần phải giải số nội dung sau: - Rèn luyện kỹ tính Delta thành thạo thông qua công thức cung cấp Phân dạng hệ thống tập đa dạng, phong phú - Cho học sinh làm nhiều tập lớp nhà nhằm khắc sâu kiến thức mở rộng nội dung học 2.2.3 Biện pháp thực - Rèn luyện số kỹ tính tốn thành thạo - Tốc độ dạy phù hợp với khả nhận thức chung đối tượng học sinh.Chọn lọc kiến thức, bám sát vào đặc trưng dạng Cung cấp cho học sinh cách có hệ thống cơng thức nghiệm Delta Ứng dụng phong phú giúp học sinh linh hoạt, sáng tạo, khả suy luận 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Tôi áp dụng số giải pháp sau: Biện pháp chung - Dạy học sát đối tượng , xây dựng cung cấp kiến thức theo chương trình sách giáo khoa theo mức độ từ dễ đến khó Tăng cường kiểm tra , đôn đốc trao đổi thường xuyên với phụ huynh, xây dựng hệ thống tập đa dạng tương tự hướng dẫn có phát triển thêm với học sinh có khả Các biện pháp cụ thể Giải pháp thứ : Xây dựng hệ thống dạng cách giải tổng qt 2.3.1 Lí thuyết Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a  0) (1) '2 Ta có   b  4ac  '  b  ac * Phương trình (1) vô nghiệm  <  ' < * Phương trình (1) có nghiệm    '  * Phương trình (1) có nghiệm kép -b -b' Khi  =0 ( x1 = x2 = 2a )  ' = ( x1= x2= a ) * Phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt -b -Δ -b +Δ  > ( x1= 2a ; x2= 2a ) -b'+Δ' -b'-Δ' a a )  ' > ( x1= ; x2= 2.3.2 SỬ DỤNG BIỆT THỨC DELTA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN 2.3.2.1 Giải phương trình hệ phương trình Ta xét tốn: Ví dụ 1: Giải phương trình 5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + = (1) Đối với tốn HS nêu cách giải phân tích vế trái thành tổng bình phương 2 (1)  (x - y + 1)  ( x  y )  => Tìm (x, y) Tuy nhiên cách giải thời gian việc nhóm phân tích Cách 2: Nếu coi phương trình cho phương trình bậc hai với ẩn y dùng  để giải tiết kiệm thời gian đảm bảo xác cụ thể Giải 2 Phương trình (1)  y  2(3x  1) y  x  x 1  (2) '  (3x  1)2  5(2 x  x  1)  ( x  2)2  (2) có nghiệm  x + = x = -2 Thay x = -2 vào (1)  = y = -1 Vậy nghiệm phương trình x = -2, y = -1 Ngồi cách giải HS chọn cách giải biến đổi (1) dạng phương trình bậc ẩn với ẩn x Cách làm tương tự Ví dụ 2: Giải phương trình x 4) ( 4x – 1) x  = 2x + 2x + (*) (đk : Đối với dạng tập HS điều kiện cho ẩn bình phương hai vế phương trình giải phương trình thu Tuy nhiên, ta hướng dẫn HS đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai để tìm nghiệm cách dễ dàng Bài tốn giải sau: Giải 2 Đặt x  = t (ĐK: t  )  x = t -1 Phương trình ( * ) trở thành phương trình bậc hai với ẩn t ( 4x – 1) t = 2( t2 – 1) + 2x +  2t2 – ( 4x – 1)t + 2x – = ( 2) Δ =  4x -1 -8(2x -1) = 16x - 24x + = (4x - 3)  Ta có: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt t1 = ( loại); t2 = 2x – 2  2 x   x   x 2    x    x  1 3x  x  x   Ta có: =2x – ( tmđk) Vậy phương trình có nghiệm x = Biệt thức “  ” khơng giúp giải nhanh phương trình mà giúp ta giải số tập hệ phương trình Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 2  (1)  x + 4y + x - 4xy - 2y - =  2 (2)  4x + 4xy + y - 2x - y - 56 = Hướng dẫn Xét phương trình (1), ta đưa phương trình (1) dạng phương trình bậc hai với ẩn x x2+ x(1 – 4y) + 4y2 – 2y – =  = (1 - 4y)2 - 4(4y2 - 2y – 2) = > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 2y – 2; x2 = 2y + Tương tự ta đưa PT (2) dạng phương trình bậc hai với ẩn x 4x2+ 4xy + y2 – 2x – y – 56 = 4x2 + (2y – 1) x + y2 – y – 56 =  ' = 4y2– 4y + – 4y2+ 4y + 224 = 225 = 152 2 y  14  y   y  15 16  y  y x3   ; x4    4 Để (x ; y) nghiệm hệ thì: x1 = x3 x1 = x4 x2 = x3 x2 = x4 Giải ta có nghiệm hệ là: (2,8 ; 2,4); (-3,2 ; - 0,6) ; (3,4 ; 1,2) ; (-2,6 ; - 1,8) Bài tập đề nghị: Giải phương trình hệ phương trình sau: a x2+ 2y2 – 2xy + 2y – 4x + = b x2 – 4xy + 5y2 – 2y + =  x - 4xy + y =  y - 3xy = c  2.3.2.2 Phương trình, hệ phương trình nghiệm nguyên Ta viết phương trình f(x ; y …) = dạng phương trình bậc với ẩn x y ; … tham số      A A N  Để phương trình có nghiệm ngun ta cần điều kiện: Ở phương trình f(x,y) = khơng với hệ số ngun viết dạng phương trình bậc ẩn chẳng hạn với x điều kiện Delta lớn để phương trình ẩn x có nghiệm muốn phương trình có nghiệm ngun cần Delta số phương Delta khơng số phương x số vơ tỉ Chú ý Delta số phương điều kiện cần chưa đủ để phương trình có nghiệm ngun phải thử giá trị tìm vào phương trình cho cho tìm cụ thể nghiệm ngun phương trình Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + 3xy+2x+3y+4 = Phương trình viết dạng bậc ẩn x : x2 + (3y +2)x+ 2y2 +3y+4 = (2)  = ( 3y+2) – (2y2 +3y+4 ) = y2 – 12 Để phương trình (2) có nghiệm nguyên cần có y2 – 12 số phương Đặt y2 – 12 = m2 (m N) ta có y2 – m2 = 12  (y+m) (y-m) = 12 Ta có y + m y - m ước 12 ( y + m) – (y - m) = 2m nên y - m y + m y  m   y  m  2   chẵn y+m y- m Do  y  m   y  m  6 Từ y = y = - Với y = thay vào (2) x2 + 14x + 48 = ta có x1 = - ; x2= - Với y = -4 thay vào (2) x2 -10x + 24 = Ta có x3 = ; x4 = Đáp số : Nghiệm (x,y) phương trình (- 6; 4); ( -8 ; 4) ; (4; - 4) ; (6 : - 4) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2x – 4y2+ = (1) Hướng dẫn: Để pt (1) có nghiệm thì:  '   y   4( y  2)   y2   y  Để phương trình có nghiệm ngun điều kiện cần  số phương  4(y2 – 2) phải số phương  ' = 4y2 – = k2 ( k  N )  4y2 – k2 =  (2y – k)(2y + k) = Vì 2y – k; 2y + k có tính chẵn, lẻ  2y - k; 2y + k chẵn y  k  y  k ' 2y - k =  2y + k =   2y - k = -2  y = (lo a i)    2y + k = - k =   y = - (lo a i)   k = - Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Đối với tốn khơng có nghiệm ngun ta cịn thay đề cách chứng minh phương trình khơng có nghiệm ngun Ví dụ 3: Chứng minh phương trình x2 – 2xy + 2010.2011 = Khơng có nghiệm ngun Hướng dẫn Để phương trình cho có nghiệm '  y  2010.2011   y  2010.2011  y  2010.2011 Để phương trình có nghiệm ngun, điều kiện cần  số phương Δ' = y2 - 2010.2011= k2 ( k  N)  y  k  2010.2011   y  k   y  k   2010.2011 Mà tích 2010.2011 số chẵn Do y – k y + k chẵn Suy ( y – k)(y + k) M4 Lại có : 2010.2011 M4 ' Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun Ví dụ 4: Cho y số nguyên tố Hãy tìm nghiệm nguyên phương trình x2 – xy – 228y = (1) Giải Để phương trình cho có nghiệm   y  4.228 y  y ( y  912)  Vì y số nguyên tố nên y( y + 912) > hay   Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Để phương trình có nghiệm ngun “  ” số phương  y( y  912) số phương Vì y số ngun tố.Để y( y + 912 ) số phương y  912My  912My y  2;3;19 Mà 912 = 24 19 nên Với y =  = 1828 khơng số phương Với y =  = 2745 khơng phải số phương Với y = 19  = 17689 = 1332;   133 Phương trình có hai nghiệm ngun x1 = 76; x2 = -57 Vậy phương trình cho có nghiệm ( x; y) = ( 76; 19); ( - 57; 19) Bài tốn 5: Tìm nghiệm ngun hệ phương trình 2   x + 2y + 2xy - 4y - 2x + = ( 1)  2 ( 2)   x + 4y + x - 4xy - 2y - = Hướng dẫn Xét phương trình (1), ta đưa phương trình (1) dạng phương trình bậc hai với ẩn x PT( 1)  x2 + 2(y – 1) x + 2y2 – 4y +2 =  ' = y2– 2y + – 2y2 + 4y - = - ( y – 1)2  Để hệ có nghiệm phương trình (1) phải có nghiệm Suy  ' =  y 1   y   Z Phương trình ( 1) có nghiệm kép x = - ( y – 1) = Với y = phương trình (2) có dạng: x2 - 3x = Giải phương trình ta tìm x = x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ngun ( x; y ) = (0;1) Một số tập tương tự Tìm nghiệm nguyên pt sau: 4xy – y + 4x – = 9x2 x2y2– y2– 2y + = y2– 2xy + 5x2 = x + (x + y + 1)2 = (x2 + y2 + 1) 2.3.2.3 Chứng minh bất đẳng thức *Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a  0) f ( x) b c b b  4ac b   x  x   ( x  )  ( x  )2  2 a a a 2a 4a 2a 4a = f  x 0 Nếu   th× a f(x) lu«n cïng dÊu víi a  f  x  b  b  0 x  0 a 2a   Nếu => f(x) dấu với a (trừ x = 2a ) f  x Nếu  > a = (x – x1) (x – x2) (giả sử x1< x2)  f(x) trái dấu với a x1< x < x2 f(x) dấu với a x < x1 x > x2 *Ngồi cịn sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc để tìm khoảng giá trị biến Vận dụng kiến thức ta giải tốn sau: Ví dụ : Chứng minh bất đẳng thức x2 + 5y2 + 2z2 – 4xy – 2yz – 2z +  với x, y, z giải toán cách coi VT tam thức bậc hai với ẩn x dùng biệt thức delta tốn giải nhanh Giải Xét f(x) = x2 – 4xy + 5y2 + 2z2 – 2yz – 2z +  ' = 4y2 – 5y2 – 2z2 + 2yz + 2z – = - (y – z)2 – ( z – 1)2  VËy f(x)  với x, y, z (điều phải chứng minh) Ví dụ 2: Cho đẳng thức : x2 – x + y2 – y = xy (1) 4   2 Chứng minh (y - 1) ; (x – 1) Giải Ta có ( 1)  x2 – (y + 1) x + (y2 – y ) = (2)  = (y + 1)2 – (y2 – y) = -3y2 + 6y + Để pt (2) có nghiệm ta phải có   tức 3y2 – 6y –   3y2 – 6y +   3(y – 1) 2  (y – 1)   Ta nhận thấy vai trò x y đẳng thức (1) nên: (x – 1)2 Ví dụ 3: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: 2a2 + b2 + c2 – 2a (b + c)  Dấu “ = ” xảy nào? Khi tam giác ABC có đặc điểm gì? Hướng dẫn Nếu chọn a làm ẩn ta có bất phương trình bậc dạng 2a – 2(b + c)a + b2 + c2   '  b  2bc  c   b  c     b  c   Ta có  '    b  c   b  c Nếu tam thức bậc f(a) có nghiệm Trong tam thức f(a) có a = >  f(a) = 2a2- 2( b + c)a + b2 + c2  với a, b, c Dấu đẳng thức xảy  a = b = c Khi tam giác ABC có a = b = c  tam giác ABC Ví dụ 4: Cho x, y thỏa mãn x  1, y  cho x  1y  x   y 125 64 CMR Điều kiện : x  x3  125 TH1: x= 1, y= ta có x3 = 1< 64 ( Đúng ) 2 TH2: x>1 từ x  1y  x   y  x  1y  x   y  (*) Xem (*) phương trình bậc ẩn y x 125  x3  64 ( *) có nghiệm     4( x  1)    4x   Ví dụ 5: Cho số a,b,c số thực thỏa mãn: a +b + c =1 Chứng minh rằng:(3a + 4b + 5c)2  44(ab + bc +ca) Phân tích : Bất đẳng thức có bậc với biến nên ta nghĩ đến đưa tam thức bậc Bất đẳng thức có biến có thêm điều kiện a +b + c = nên ta chuyển bất đẳng thức biến Từ giả thiết : a+ b + c =1 suy c= 1- a –b, thay vào bất đẳng thức ta có (3a + 4b + – 5a – 5b)2  44ab + 44(a +b) (1-a - b)  48a2 + 16 (3b-4)a + 45b2 – 54b + 25  Khi ta có :  ' = 64 (3b- 4)2 – 48(45b2 – 54b +25) = -176(3b – 1)2  Do suy f (a)  hay 48a2 + 16 (3b - 4)a + 45b2 – 54b + 25  Vậy bất đẳng thức chứng minh Các tập đề nghị 1.Chứng minh bất đẳng thức 3( 1- a + a2)(1- b – b2 )  2( 1- ab + a2 b2 ) 3( 1- a + a2)(1- b – b2 )(1 – c – c2 )  + abc + a2 b2 c2 Cho a,b số thực Chứng minh rằng: a 2b  2(a  2)b  4ab  a  4ab3 2 3 x 3.Cho x,y thỏa mãn x  y  xy  x  y CMR 2 Cho a,b số thực thỏa mãn a  4b  CMR 2 a b  2.2.2.4 Tìm GTLN, GTNN ( Phương pháp miền giá trị ) ax  bx  c y mx  nx  p Tìm GTLN, GTNN biểu thức: Điều kiện : mx  nx  p  với x Phương pháp chung để giải Gọi y0 giá trị biểu thức ax  bx  c y0  mx  nx  p ( y0 m  a) x  ( y0 n  b) x  y0 p  c  ( *) Ta xét trường hợp : Trường hợp 1: biểu thức Nếu y0 m  a   y  a m vào (*) tìm x ; y0  y0 m  a  a m giá trị phương trình (*) phương trình bậc Điều kiện để phương   Từ suy điều kiện y0 Trên sở tìm trình có nghiệm GTLN GTNN ( có) biểu thức Ví dụ1: Xác định giá trị a cho nghiệm phương trình x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 2a + = ( 1) Đạt GTLN, GTNN? Ta coi phương trình phương trình bậc với ẩn a Ta việc tìm x để phương trình ẩn a có nghiệm từ ta xác định GTNN, GTLN x Giải: Ta có (1)  a2+2a(x+1)+x4+2x2+1=0 (2)  '   x  1  ( x  1)2  ( x   x 1)( x   x  1)  x(1  x)( x  x  2)  Vì x2 + x + > với xNên x( – x)    x   Nghiệm phương trình đạt GTNN a = -1 Nghiệm phương trình đạt GTLN a = -2 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = ( đề thi vào THPT tỉnh Hải Dương năm học 2009 – 2010) Giải 2 Đặt = a Vì x + > Ta có: a(x + 1) =6 – 8x ax2 + 8x + a – = ( 1) Trường hợp 1: Nếu a = x = Trường hợp 2: Nếu a Điều kiện cần đủ để (1) có nghiệm 42 – a(a – 6) 10 - a2 + 6a + 16 ( - a)( a + 2) - a Với a = - a = nghiệm ( 1) x = Với a = - x = ; Với a = x = Vậy GTLN biểu thức A x = GTNN biểu thức A – x = x2 - x + Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x + x + Hướng dẫn x2  x  Ta đặt x  x  = a (1) Biểu thức A nhận giá trị: a ? HS: Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x có nghiệm Do x2 + x + > nên (1)  ax2 + ax + a = x2 – x +  (a - 1) x2 + (a + 1) x + (a - 1) = (2) Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x = Trường hợp 2: Nếu a  để (2) có nghiệm, điều kiện cần đủ   tức (a + 1)2 – (a - 1)2   (a + + 2a -2) (a + – 2a + 2)   a   a  1  (3a - 1) (a - 3)   Với a = a = x = -1 Kết luận: Gộp hai trường hợp ta có Min A = x = max A = x = - * Giáo viên khắc sâu phương pháp giải Muốn sử dụng biệt thức delta làm công cụ ta cần chuyển toán dạng liên quan đến tam thức bậc hai P( x  ) : (1  ) x 1 x 1 x x  x  x 1 Ví dụ : a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng: P > v ới x để P có nghĩa c) Tìm tất giá trị x để P nhận giá trị nguyên x 1 x  x  với x  0, x  a)Ta có : x 1 x 1 x  0, x  1, P   x  x  ( x  )2  b) P c) Đặt x  a  0; a  11 Nếu tồn x để P có giá trị ngun dương phương trình số P) có nghiệm   3P  P    3( P  1)    P a 1 a  a  ( ẩn a tham 2 3  P  1 3 Vì P > nên Lại có P> ; P nguyên nên P = P = Suy ra: x = 0; x= x= 0,25 2x  2xy  y A x  2xy  y ( y  0) Ví dụ : Tìm GTLN GTNN x 2t  2t  t A  y t  2t  Ta chia tử số mẫu số cho y2 đặt Ta có t  2t   (t  1)   với t Gọi a giá trị biểu thức 2t  2t  t  2t   (a - 2)t2 + (2a + 2)t + 5a – = ( *) 1 t suy a = giá trị biểu thức nhận + Nếu a = a + Nếu a (*) phương trình bậc có = -4a2 + 21a – 17 Điều kiện để a 17 /4 Từ ta có GTLN A t a 1 a  =  x= 2y 17 7 t x y  GTLN A Ví dụ7 : Cho số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện x + y +z = Tìm GTLN biểu thức P= 9xy + 10 yz + 11xz Thay z = - x –y vào P ta có P = 9xy + z (10y + 11x) = 9xy + (1 –x – y) (10y +11x) = = -11x2 + (11- 12y )x - 10y2 + 10y hay 11x2 + ( 12y - 11) x + 10y2 - 10y + P = Để phương trình có nghiệm điều kiện:    ( 12y - 11)2 – 11 ( 10y2 – 10y + P )  296 y  176 y  121  44 P  74 22 121 495 74 11 495 495 P   ( y2  y )  ( y  )2   11 37 1369 148 11 37 148 148 495 25 11 27 x  ;y  ;z  74 37 74 Do GTLN P đạt 148 Ví dụ 8:  xy  yz  xz =8  Cho số thực x,y,z thỏa mãn  x  y  z  Tìm GTLN, GTNN x 12  yz   x( y  z )  yz   x(5  x)   y  z   x  Ta viết laị hệ dạng Hay  y  z   x y, z hai nghiệm phương trình t2 –(5-x) t +8 – 5x + x2 = (*) Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm : 0   ( – x)2 – (8- 5x+ x2) = -3x2 + 10x – ≥ (7- 3x) (1- x) ≥ Khi x= x Khi  t=   1 x  y= z = nên GTNN x 4 t   y z 3 Nên GTLN x Bài tập đề nghị 2x + m Tìm m để giá trị lớn biểu thức x +1 ( đề thi vào PHTH tỉnh Hải Dương năm 2006 – 2007) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn x x  xy  y 2 x2  x  x2  x  2 2 x  c B = x  x  d C = x  xy  y a A = x  b E = Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a y = (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) – b A = x2+ 5y2 + 2z2 – 4xy – 2yz – 2z + 5x  c Cho - < x < Tìm GTNN A =  x Tìm cặp số ( x; y) thỏa mãn x2y + 2xy – 4x + y = cho y đạt GTLN II.3.2.5 Sử dụng công cụ Delta để giải số phương trình bậc cao phương trình vơ tỉ, giải hệ phương trình II.3.2.5.1Phương trình dạng : x4 = ax2 + bx + c Ta thêm bớt vào vế pt lượng : 2mx2 + m2 Khi phương trình trở thành ( x2 +m)2 = (2m+a) x2 + bx+ c + m2 Ta mong muốn vế phải có dạng (Ax + B)2  2m  a   2   b  4(2m  a)(c  m )  13 Ví dụ : Giải phương trình : x4- 10x2 –x +20 =0  x4 = 10x2 +x - 20 Ta thêm vào vế phương trình lượng : 2mx2 + m2 Khi phương trình trở thành : x4 + 2mx2 + m2 = (10 + 2m) x2 + x + m2 – 20  Ta có : = 1- ( m – 20)(10+2m) = Ta viết lại phương trình: 2 9 x  9x     x  x  2 m 9 2 1 1  17  21  9  ;x   x    x     x  2  2 2  II.5.2.5.2 Phương trình dạng : x4 + ax3 = bx2 + cx +d Ta tạo vế phải biểu thức bình phương dạng  a   x  x  m   Bằng cách khai triển biểu thức :  a2   a  x  x  m  x  ax  m   x  amx  m       Ta thấy cộng vào vế lượng: Khi phương trình trở thành:  a   x  x  m   (2m  =  a2  2 m    x  amx  m   a2  b) x  ( am  c) x  m  d a2 2m   b   a2  vp  (am  c)   2m   b (m2  d )    Khi ta cần: >0 Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 – 6x3 + 8x2 +2x -1 = (1)  Ta có (1) x4 – 6x3 = - 8x2- 2x + Ta tạo vế trái dạng : ( x2 – 3x + m)2 = x4 - 6x3 + ( 9+ 2m) x2 – 6mx+ m2 Tức thêm vào vế lượng ( 9+ 2m) x2 – 6mx+ m2 Phương trình trở thành: ( x2 – 3x + m)2 = ( 2m+1)x2 – ( 6m+2)x + m2 +  Ta cần : ∆’ = (3m+1)2 - ( 2m+1)(m2 +1) = m =  Phương trình trở thành: ( x2 – 3x)2 = ( x-1)2 (x2 -4x +1) ( x2 -2x -1) =  x   3; x   Tập nghiệm phương trình:  S   3;1   14 II.3.2.5.3Giải phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Phương trình tổng qt: ax2 + bx + c + ( dx+e) px  qx  r = phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn tỏ hiệu Để giải phương trình ta thường làm theo cách sau : - Đặt f ( x)  t  t2 = f(x) - Ta tạo phương trình : mt2 + g(x) t + h(x) = Ta có :  = [ (x) ] – 4m.h(x) = f1(m) x2 + g1(m)x + h1 (m) Để có dạng [A(x)]2 điều kiện cần đủ = [ g1 (m) ]2 – 4.f1(m)h1(m) =  m= ? Ví dụ 1: Giải phương trình: 10x2 – 9x - 8x 2x  3x  + = Điều kiện : x ≥ x ≤ ½Đặt : 2x  3x  = t Ta tạo phương trình : mt2 – 8xt + ( 10 -2m) x2 + ( 3m -9) x + 3- m = Ta có : = 16 x2 – m [ ( 10 -2m) x2 + ( 3m- 9) x + – m] =( 2m2 – 10m + 16) x2 + ( 9m- 3m2 )x + m2 – 3m Ta cần có: = ( 9m- 3m2 )2 – 4(2m2 – 10m + 16) ( m2 – 3m) = => m= Phương trình cho trở thành : t2 – 8xt + 4x2 =  t x t x  t= 2x Trường hợp 1: x 2x  3x  = x  x  3    x  ;x  2 9(2x  3x  1)  4x 14x  27x       = 2x Trường hợp 2: t = 2x x  x  3  17 3  17   x  x 2 2x  3x   4x 2x  3x   ( x  0)   3  17 3 x x  ;x  Kết luận : phương trình có nghiệm : Ví dụ 2: Giải phương trình Điều kiện : -1 ≤ x≤ ; x  1  3x   x   x2 x    x  3x    x Ta viết phương trình thành Bình phương vế ta thu phương trình 16( x  1)  4(1  x)  16  x  9x  6x   2(3x  1)  x   x2 2  8x  6x  18  (6x  18)  x  15 t   x ta tạo phương trình: Đặt mt2 + (6x+18)t + (8+m)x2 – 6x- 18 – m = Ta có : ∆' = ( 3x + )2 – m[ ( +m) x2 - 6x -18- m]=(9- 8m- m2)x2 + (54 + 6m)x + m2 + 18m + 81 Ta mong muốn : ∆= ( Ax + B)2 ; ∆' m = ( 3m + 27)2 – ( 9- 8m- m2) (m2 + 18m +81) = Tính : m= -8 Phương trình cho trở thành: -8t2 + (6x+ 18) t – 6x -10 = ∆' = ( 3x + )2 -8(6x+ 10) = ( 3x+ 1)2 t Phương trình cho có nghiệm : Trường hợp 1: t    x2   x  t Trường hợp 2: 3x  t = ( thỏa mãn) 3x    x  3x   x   Giải phương trình ta có : x ( Thỏa mãn) x Vậy phương trình có nghiệm : x= Chú : Ở bước cuối giải nghiệm cần thử lại phép bình phương l đầu ta giải khơng tương đương Ví dụ 3: Giải phương trình : x4- 2x2 + x +3 - = Ta viết phương trình thành: - (2x2 +1) + x+ x4 = Ta coi phương trình bậc 2 2 Ta có : V (2x  1)  4( x  x )  4x  4x   (2x - 1) Trường hợp 1:  (2 x   2x  1)  x  x  x  x   Phương trình có nghiệm : 3 Trường hợp 2: x1,2  1   (2x   2x  1)  x  x   x  x    Phương trình có nghiệm : x1,2   3  16 a1 x  a2 xy  a3 y  a4 x  a5 y  a6   2 II3.2.5.4 Giải hệ phương trình dạng b1 x  b2 xy  b3 y  b4 x  b5 y  b6  Ta đặt : x = u + a , y= v +b sau tìm điều kiện để phương trình khơng có số hạng bậc khơng có số hạng tự Hoặc ta cộng phương trình (1) với k lần phương trình (2) sau chọn k cho biểu diễn x theo y Để có quan hệ ta cần dựa vào tính chất Phương trình ax2 + bx +c biểu diễn thành dạng ( Ax + B)2 14 x  21 y  x  45 y  14   2 35 x  28 y  41x  122 y  56  Xét a  14  35k ; b  21  28k ; c  0; d  6  41k ; e  45  122k ; f  14  56k 2 Số k nghiệm phương trình dec  4baf  ae  bd  fc k 15 49 hay 49.(1) – 15 (2) Thế vào giải được: Giải: Lấy (1) nhân với 49 trừ 15 nhân với (2) 49.(14x  21 y  6x+ 45y -14) - 15 (35x  28 y  41x  122 y  56)   161x  909x  1449 y  4035 y  1526  218 483  161 161 x   y Suy  y   x  2  Với x   y vào (2) có y  35 y  42    y   x  218 483 x  161 161 vào (2) phương trình vơ nghiệm Với  x  (966 y  1345)2 x   Vậy tập nghiệm hệ phương trình : Giải pháp 3: Hình thành hệ thống tập tương tự để hoc sinh rèn luyện, dạng tập phù hợp với mức độ học sinh Hình thành cho học sinh cách trình bày khoa học , tránh làm tắt làm ấu dẫn đến sai lầm đáng tiếc Yêu cầu học sinh trình bày đủ bước Bước 1: Nhận dạng dạng tập dạng quen thuộc , quy lạ quen Bước 2: Hình thành cách giải, xác đinh phép biên đổi tương đương cần sử dụng kĩ tính tốn cẩn thận, thành thạo, xác định điều kiện xác định Bước 3: Thực biến đổi Bước 4: Kiểm tra lại lời giải kiểm tra nghiệm Theo dõi tiến trình thực để kiểm tra , đánh giá sai lầm , nhấn mạnh nêu cách khắc phục Tăng cường khả tự học cách xây dựng hệ thống tập tương tự để học sinh rèn luyện khắc sâu theo nhóm đối tượng, phù hợp với khả em Giải pháp 4: Tạo tình có vấn đề để học sinh tư S  ( x, y )  (2;3);(1; 2) 17 Giáo viên đưa tập có lỗi sai để học sinh phát sử dụng học sinh làm để bạn khác phát lối sai để học sinh lưu ý ghi nhớ Một tốn học sinh phạm sai lầm giáo viên rõ lỗi sai để học sinh khắc phục Đồng thời thay đổi cách kiểm tra đánh giá, thường xuyên kiểm tra lại mà học sinh mắc lỗi tiết dạy trước để yêu cầu học sinh phát sửa chữa để khắc sâu lỗi sai 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau thực xong chuyên đề nhận thấy: - Học sinh biết cách vận dụng biệt thức Delta để giải phương trình bậc hai liên quan đến phương trình bậc hai, nghiệm phương trình bậc hai Học sinh biết phân biệt nhận dạng loại tập vận dụng linh hoạt kiến thức học để giải toán có lập luận xác.Sáng kiến đưa phương pháp giải toán Song với phương pháp phát huy tính tích cực sáng tạo học sinh Bởi q trình giảng dạy tơi áp dụng phương pháp kết tốt, số học sinh giỏi ngày nhiều Không áp dụng phương pháp nâng cao chất lượng đại trà mơn tốn - Kết dạy thực nghiệm kiểm tra xác xuất nhóm học sinh, nhóm gồm 30 em thu kết sau: Nhóm : Khơng áp dụng theo đề Nhóm : tài Áp dụng theo đề tài Trên TB Dưới TB Trên TB Dưới TB Trước 12/30 18/30 16/30 14/30 Trên TB Dưới TB Trên TB Dưới TB Sau 22/30 8/20 25/30 5/30 Như sử dụng phương pháp dạy học thấy chất lượng đại trà mũi nhọn tăng cao, nhằm góp phần kích thích học sinh tham gia vào đội tuyển học sinh giỏi trường, số học sinh đạt loại giỏi năm 2020 - 2021 20212022 tăng vượt bậc Học sinh thích thú khai thác thêm cách sử dụng Delta, không dừng lại việc sử dụng để giải phương tình bậc đơn sử dụng ứng dụng hệ thức Viet * Bài học kinh nghiệm Qua thời gian nghiên cứu vận dụng phương pháp, rút cho số kinh nghiệm sau: Hồn tồn sử dụng phương pháp nêu để giúp học sinh họat động tìm kiến thức, rèn luyện kĩ vận dụng vào tập cụ thể mơn tốn học trường trung học sở Yêu cầu giáo viên phải làm tốt khâu 18 chuẩn bị khéo léo phối hợp phương pháp cho phù hợp với nội dung mức độ kiến thức học sinh Phương pháp nêu đề tài có khả phát huy tốt lực tư độc lập học sinh, làm cho khơng khí học tập học sinh hào hứng sôi hơn.Học sinh thực chủ động khơng cịn gượng ép, em biết tự lĩnh hội tri thức Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Trên số cách giúp học sinh giải nhanh,chính xác phù hợp với trình độ nhận thức chung em lớp mà áp dụng vào giảng dạy cho em thu kết định Mặt khác SGK không đề cập đến vấn đề chưa tổng hợp thành hệ thống sách tham khảo Các biện pháp đưa chắn tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp chân thành đồng nghiệp hội đồng khoa học giáo dục để tơi sửa chữa bổ sung nhằm nâng cao hiệu dạy học Chân thành cảm ơn 3.2 Kiến nghị * Đối với giáo viên: Cần phải xác định rõ dạng toán đồng thời phải thấy mối quan hệ tập mà chuẩn bị dạy cho học sinh với trình tự hợp lý lơgíc - Phải dẫn dắt học sinh từ dễ đến khó, từ đến nâng cao, toán ta phải cho nhiều hình thức, nhiều góc độ khác địi hỏi học sinh phải suy nghĩ đưa thể loại quen biết - Giáo viên phải hướng học sinh cách chọn phương pháp giải hợp lý, nhanh gọn dễ hiểu * Đối với học sinh - Rèn luyện ý thức tự giác suy nghĩ - Phải say sưa tìm tịi nghiên cứu sáng tạo giải tốn Nếu có vướng mắc trao đổi bạn bè nhờ thầy cô giải đáp * Đối với nhà trường: - Cần phân loại học sinh phụ đạo để giáo viên dùng kiến thức phù hợp với đối tượng phương pháp hợp lý để dạy - Tổ chức thường xuyên buổi họp chuyên môn bàn xây dựng chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm để tổ thảo luận - Tổ chức tiết giảng thực nghiệm chuyên đề, kinh nghiệm lớp đại trà, đội tuyển để tìm biện pháp giảng dạy hợp lý - Có thêm nhiều tài liệu, sách tham khảo thư viện nhà trường phục vụ cho giáo viên học sinh - Xây dựng số giáo án có sử dụng dạng toán chọn lọc làm tài liệu tham khảo cho giáo viên XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thạch Sơn, ngày 20 tháng4 năm 2022 ĐƠN VỊ 19 (đã ký) Tôi xin cam đoan SKKNcủa viết, khơng chép nội dung người khác Hoàng Vũ Trường Người viết Tống Thị Anh DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Phương trình nghiệm nguyên kinh nghiệm giải- Vũ Hữu Bình Tạp chí toán học tuổi trẻ Sách Nâng cao phát triển tốn – Vũ Hữu Bình Các chun đề nâng cao chọn lọc lớp 9- Bùi Văn Tuyên 20 21 ... giải dạng tốn đơi sử dụng biệt thức delta lại tìm kết tốn nhanh chóng hơn.Việc sử dụng delta để giải toán cở phương trình bậc hai yêu cầu thiết HS lớp 9. Mặt khác có giải thành thạo tốn giải toán. .. thách thức trước vấn đề trước hết HS phải nắm kiến thức để giải tập cách thành thạo tiến tới tập nâng cao Trong chương trình tốn sau học biệt thức delta “  ” HS sử dụng để giải số dạng toán nâng... nghiệm phân biệt -b -Δ -b +Δ  > ( x1= 2a ; x2= 2a ) -b'+Δ' -b'-Δ' a a )  ' > ( x1= ; x2= 2.3.2 SỬ DỤNG BIỆT THỨC DELTA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN 2.3.2.1 Giải phương