(SKKN 2022) giúp học sinh lớp 8 phát hiện phương pháp phân tích đa thức thành phân tử nhằm nâng cao năng lực giải toán ở trường THCS đông văn

MỤC LỤC STT Nội dung Trang Phần I Mở đầu 2 I Lí chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng, phạm vi nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu Phần II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm I Cơ sở lí luận II.Thực trạng vấn đề nghiên cứu III Các giải pháp tiến hành để giải vấn đề 10 IV.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm mang lại 15 11 Phần III Kết luận, kiến nghị 17 PHẦN I: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Cơ sở lí luận Trong giai đoạn nay, mà khoa học, kinh tế, công nghệ thông tin giới phát triển mạnh mẽ, nước ta trọng tìm kiếm nhân tài hệ trẻ, em học sinh phải nổ lực nhiều trong việc tìm kiếm kiến thức, học thật tốt để bổ sung nhân tài cho đất nước Mơn Tốn THCS có vai trị quan trọng, mặt phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ thái độ mà học sinh lĩnh hội hình thành bậc tiểu học, mặt khác góp phần chuẩn bị kiến thức, kỹ thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề vào lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi hiểu biết định Tốn học Chương trình Tốn THCS khẳng định trình dạy học trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức kỹ Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh kiến thức bản, tìm tịi đủ cách để phát huy tính tích cực học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ Trong chương trình Đại số lớp 8, Phân tích đa thức thành nhân tử phần quan trọng mặt kiến thức lẫn kĩ thực học sinh Nó coi nội dung nịng cốt chương trình Kĩ phân tích đa thức thành nhân tử kĩ quan trọng, nắm vững thành thạo kĩ học sinh có khả giải nhiều vấn đề tốn học có liên quan sau Cơ sở thực tế Xuất phát từ thực tế giảng dạy Trường THCS Đông Văn, qua việc theo dõi kết thực hành, kiểm tra học sinh lớp 8, thấy để làm kết tốn phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề nan giải đa số học sinh Tình trạng chung lúng túng, mơ hồ, khơng biết phương pháp để giải vấn đề đặt Ngồi cịn mắc sai lầm phân tích, đặc biệt học sinh trung bình, học sinh yếu; từ em gặp khơng khó khăn việc giải tốn ứng dụng có liên quan; dẫn đến tượng chán nản, ngại khó Ngược lại, số học sinh khá, giỏi giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử làm cho em thích thú khơng phần say mê Trước tình hình thực tế đó, tơi thấy việc cần thiết phải định hướng phương pháp giải cụ thể, rèn kĩ biến đổi để bổ trợ cho việc vận dụng kiến thức vào giải dạng tập liên quan Ngoài ra, nhằm tạo tảng cho học sinh có ý thức tự học tìm tịi sáng tạo q trình học tập nên thân tơi chọn SKKN:“Giúp học sinh lớp phát phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao lực giải tốn trường THCS Đơng Văn, Đơng Sơn, Thanh Hóa” II Mục đích nghiên cứu Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cho em học sinh lớp 8A trường THCS Đông Văn Từ em tự tin làm tốt tốn vận dụng phân tích đa thức thành nhân tửtrong kỳ thi học sinh Giỏi, tuyển sinh vào trường PTTH, PTTH chuyên Kích thích, giúp em biết cách tìm kiến thức nhiều nữa, khơng tốn phân tích đa thức thành nhân tửmà dạng toán khác III Đối tượng nghiên cứu, khảo sát thực nghiệm Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8A trường THCS Đông Văn IV Phương pháp nghiên cứu Căn vào mục đích nhiệm vụ nghiên cứu, sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: - Phương pháp vấn, điều tra: - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: PHẦN II: NỘI DUNG SKKN I Cơ sở lý luận Mục tiêu giáo dục THCS “Giúp học sinh củng cố phát triển kết giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn THCS hiểu biết ban đầu kỹ thuật hướng nghiệp, học nghề vào sống lao động” Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS thiết kế theo hướng giảm tính lý thuyết hàn lâm, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học lớp, tăng thời gian tự học hoạt động ngoại khóa Trong chương trình lớp 8, học sinh học tiết phân tích đa thức thành nhân tử;2tiết luyện tập học sinh làm tập củng cố tiết lý thuyết vừa học Theo chương trình trên, học sinh học phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khơng có nhiều tiết học sâu khai thác ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử nên em nắm vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tửchưa linh hoạt Là giáo viên nghĩ cần phải bồi dưỡng hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần để tìm phương pháp giải phù hợp với ứng dụng tập II Tình hình thực tế Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Nhiều năm công tác Trường THCS đặc biệt trường nằm địa bàn nông thôn, điều kiện học tập chưa đầy đủ, nhiều em khơng có thời gian học nhà, nhiều gia đình chưa quan tâm đến việc học em, vấn đề xã hội hoá giáo dục chưa ngang tầm với giai đoạn Nên chất lượng học tập chưa cao, số học sinh bị hổng kiến thức cịn nhiều, nhiều em cịn có tâm lý sợ mơn tốn học Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đơn đốc nhắc nhở học tập nhà Các tốn phân tích đa thức thành nhân tửvà ứng dụng quan trọng nêu phần trước, song qua thực tế giảng dạy nhiều năm thấy với học sinh đại trà em lười làm tập Cũng qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi HS đa số HS chưa nắm phương pháp giải, chưa vận dụng biến đổi cách linh hoạt sáng tạo vào cụ thể dẫn đến việc áp dụng vào dạng tốn khác cịn gặp nhiều khó khăn, lúng túng Kết thực trạng Từ thực trạng chất lượng học qua kiểm tra 15 phút học kỳ II, năm học 2020-2021 sau: STT Lớp Sĩ số 8A 32 Giỏi SL % 3,1 Khá SL % 21,9 Kết TB SL % 21 65,7 Yếu SL % 6,2 SL % 3,1 III Giải pháp tổ chức thực Các giải pháp thực 1.1 Giải pháp SKKN * SKKN đưa giải pháp sau: - Định hướng phương pháp cụ thể cách phân tích phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử Xây dựng trình tự chi tiết bước phương pháp phân tích - Phát triển tư cho học sinh thông qua hai phương pháp phân tích mới: Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác phương pháp thêm bớt hạng tử a) Củng cố kiến thức cho học sinh - Giáo viên cho học sinh tiếp cận phương pháp: Đặt nhân tử; dùng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử - Giáo viên phương pháp chung cho dạng, hướng dẫn chi tiết theo bước cho học sinh lưu ý thứ tự ưu tiên vận dụng ba phương pháp Sau cho học sinh tự trình bày tập tương tự với mức độ nâng dần nhằm cho học sinh thấy sai lầm thường gặp, đồng thời giáo viên chữa cácsai sót cho học sinh trình giải - Khai thác toán mức độ đơn giản b) Vận dụng phát triển kỹ cho học sinh - Giáo viên cho học sinh tiếp cận phương pháp: Phối hợp nhiều phương pháp (Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử) - Trên sở phương pháp học, dạng phối hợp nhiều phương pháp giáo viên hướng dẫn tổng quát, cho học sinh tự thực hành chủ yếu Từ đóchữa sai lầm thường gặp cho học sinh - Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kĩ thực hành (Đặc biệt kĩ lấy dấu ngoặc, bỏ dấu ngoặc đa thức) - Tìm tịi cách giải hay, khai thác tốn dành cho học sinh giỏi 6 - Đối với phương pháp này, giáo viên phân loại tập theo mức độ khác học sinh để học sinh thực đạt yêu cầu Phân nhóm học tập phù hợp để hướng dẫn chi tiết cho đối tượng yếu kém; rèn kĩ thực hành cho đối tượng trung bình; rèn tính logic, phát huy tính sáng tạo cho đối tượng giỏi c) Phát triển tư cho học sinh - Giáo viên cho học sinh tiếp cận với phương pháp: + Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác + Phương pháp thêm bớt hạng tử - Đây hai phương pháp tương đối khó nên giáo viên áp dụng cho đối tượng học sinh khá, giỏi Với đối tượng học sinh trung bình trở xuống, giáo viên giới thiệu phương pháp chung, ví dụ nêu hướng dẫn chi tiết hướng giải để học sinh rèn kĩ thực phương pháp học 1.2 Biện pháp tiến hành 1.2.1 Củng cố kiến thức qua phương pháp * Phương pháp đặt nhân tử chung a) Phương pháp chung - Bước 1: Tìm nhân tử chung hạng tử đa thức + Tìm hệ số nhân tử chung: ƯCLN hệ số nguyên dương + Tìm phần nhân tử chứa biến (nếu có) nhân tử chung: Biến có mặt tất hạng tử, với số mũ nhỏ -Bước 2: Tìm hạng tử ngoặc cách phân tích hạng tử đa thức thành tích nhân tử chung với nhân tử khác sử dụng tích chất: A.B + A.C + …+ A.E = A.(B + C +…+ E) để phân tích đa thức ban đầu thành nhân tử  Chú ý:Nhiều để làm xuất nhân tử ta cần đổi dấu hạng tử b) Các ví dụ Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử (BT39c - SGK-tr19) * Giáo viên gợi ý: Các hạng tử đa thức có nhân tử chung khơng? Hãy tìm nhân tử chung chúng - Tìm nhân tử chung hệ số 14, 21, 28 hạng tử trên? (Đáp án: 7, ƯCLN(14, 21, 28) = 7) - Tìm nhân tử chung chứa biến x2 y, xy2, x2y2?(Đáp án: xy) - Tìm nhân tử chung hạng tử đa thức cho?(Đáp án: 7xy) - Tìm hạng tử ngoặc cách phân tích hạng tử đa thức thành tích nhân tử chung với nhân tử 7 Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử (BT-39e SGK-tr19) * Giáo viên gợi ý - Tìm nhân tử chung hệ số 10 (Đáp án: 2) - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) (Đáp án: (x – y) (y – x)) - Hãy thực đổi dấu tích 10x(x – y) tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) (x – y) Cách 1: Đổi dấu tích - 8y(y - x) = 8y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x - y) = -10x(y - x) (Hs tự giải) Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử (Cho HS tự giải) c) Nhận xét:Quaví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: - Cách tìm nhân tử chung hạng tử (tìm nhân tử chung hệ số nhân tử chung biến, biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) - Lưu ý quy tắc đổi dấu cách đổi dấu nhân tử tích  Chú ý:Tích khơng đổi ta đổi dấu hai nhân tử tích (một cách tổng qt, tích khơng đổi ta đổi dấu số chẵn nhân tử tích đó) d) Vận dụng (mức độ tăng dần) Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung a) 5x – 20yb) 5x(x - 1) - 3x(x – 1)c) x2(x + 1) – x (x + 1) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung a) 6xy – 30y b) 5x (x – 2y) + (2y – x) c) x(x + y) – (2x + 2y) d) 7x(x – 2)2 – (2 – x)3 e) Các tập tương tự:Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 2x + 6y b) 5x2y + 20xy2 c) x2y3 – x y d) a2b4 + a3b – abc e) 5x (x – 11) – 10y(x – 11) f) x (2x – 1) – xy(1 – 2x)g) x3 – 4x2 + x f) x2y2z – 6x3y – 8x4z2 – 9x5y5z5h) 7x(y – 4)2 – (4 – y) i) x2 – x + + 7x (x2 – x + 1) m) 5x5 (y3 + 3y – 13) – 4y (y3 + 3y – 13) – 2x(y3+ 3y – 13) * Phương pháp đẳng thức a) Phương pháp chung:Học sinh cầnphải nắm vững bảy đẳng thức Bình phương tổng: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 Bình phương hiệu: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A – B)(A + B) Lập phương tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 Lập phương hiệu: (A – B)3 = A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 Tổng hai lập phương: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) * Phương pháp Bước 1: - Nhận dạng dạng tổng đẳng thức phân tích qua số mũ hạng tử đa thức - Nhận dạng dạng tổng đẳng thức thơng qua số hạng tử, hệ số hạng tử (Vấn đề Giáo viên cho học sinh nhận dạng tiết học lí thuyết.) Bước 2: Áp dụng đẳng thức nhận dạng để phân tích đa thức thành nhân tử * Lưu ý: Có thể cần thay đổi vị trí hạng tử để nhận dạng đẳng thức dễ dàng b) Ví dụ :Ví dụ 4: Phân tích đa thức x2 – 6x + thành nhân tử * Giáo viên gợi ý - Đa thức x2 – 6x + có dạng tổng đẳng thức nào? - Biến đổi đa thức để xác định A, B Ví dụ 5: Phân tích đa thức 8x3 – y3 thành nhân tử (Cho Hs giải) * Giáo viên gợi ý - Đa thức có dạng tổng đẳng thức nào? (Đáp án: A3 – B3) * Lời giải sai: 8x3 – y3 = 2x3 – y = (2x – y)(2x2 + 2x y + y2) * Sai lầm học sinh: Thực thiếu dấu ngoặc * Lời giải đúng: 8x3 – y3 = (2x)3 – y = (2x – y)[ (2x)2 + 2x y + y2] Ví dụ 6: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x– y)2 thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức (BT- 28a- SBT-Tr 9) (cho Hs giải) * Giáo viên gợi ý - Đa thức có dạng đẳng thức nào? (Đáp án: A2 – B2) * Khai thác toán: (Đối với học sinh giỏi) - Với ví dụ 6, thay “bình phương” “lập phương” ta có tốn: Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử (BT- 44b-SGK-tr20) - Với ví dụ 6, đặt x + y = a, x –y = b, thay mũ “3” mũ “6” ta có tốn: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c-SBT-tr9) c) Nhận xét:Giáo viên cho học sinh thấy được: - Các sai lầm dễ mắc phải: + Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc quy tắc dấu + Cho học sinh thấy giống khác dạng hiệu hai bình phương tổng hai bình phương, tổng hai lập phương hiệu hai lập phương để tránh nhầm lẫn - Rèn kĩ nhận dạng đẳng thức qua toán, dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử mà sử dụng đẳng thức cho thích hợp d) Vận dụng Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 – 9b) 4x2 – 25c) x4 – y4 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 9x2 + 6xy +y2b) x2 + 4y2 + 4xyc) (3x + 1)2 – (x+1)2 e) Các tập tương tự Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 + 10x + 25 b) x2 + 14x + 49 c) 16x2 + 24xy +9y2 d) (x2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + e) 6x - – x2f) x3 + y3+ z3- 3xyz * Phương pháp nhóm nhiều hạng tử a) Phương pháp chung Đặc điểm phương pháp nhóm hạng tử đa thức phải có từ hạng tử trở lên Dùng tính chất : giao hoán, kết hợp phép cộng đa thức ta lựa chọn hạng tử thích hợp để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau: đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Thông thường ta dựa vào mối quan hệ sau: - Quan hệ hệ số, biến hạng tử tốn - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực * Phương pháp chung - Bước 1: Phát nhân tử chung hoặchằng đẳng thức đa thức - Bước 2: Nhóm hạng tử phát lại để áp dụng phương pháp đẳng thức nhân tử chung cho nhóm - Bước 3: Đặt nhân tử chung dùng đẳng thức cho toàn đa thức để phân tích đa thức thành nhân tử * Chú ý: Đôi ta phải khai triển (bỏ ngoặc) chọn (sắp xếp) hạng tử để nhóm hợp lí b) Ví dụ * Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung 10 Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử (Bài tập 47a – SGK - tr22) * Giáo viên gợi ý: Cách 1: Nhóm (x2 – xy) (x – y)Cách 2: Nhóm (x2 + x) (– xy – y) * Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử * Giáo viên gợi ý: Đa thức có hạng tử? Các hạng tử đa thức có nhân tử chung khơng? Em có nhận xét hạng tử đa thức? Nhóm hạng tử với nhau? * Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp: Đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Ví dụ 9: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử * Gợi ý: Đa thức có hạng tử? Các hạng tử đa thức có nhân tử chung khơng? Em có nhận xét hạng tử đa thức? Nhóm hạng tử với nhau? Nhóm hạng tử hạng tử 3, nhóm hạng tử hạng tử c) Nhận xét:Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: - Cách nhóm hạng tử đặt dấu trừ “–” dấu cộng “+” trước dấu ngoặc - Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sai dấu, học sinh cần ý cách nhóm kiểm tra lại kết sau nhóm Lưu ý:Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử khơng thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại d) Vận dụng Bài 1: Phân tích thành nhân tử a) x2 – x – y2 – yb) x2 - 2xy + y2 – z2 c) 5x – 5y + ax – ayd) 2x2 + 4x + xy +2y Bài 2: Phân tích thành nhân tử a) x6 – x4 + 2x3 + 2x2 b) x3 – x2 – 5x + 125 c) a3 – a2x - ay + x d) x2- 2xy - 4z2 + y2 e) Các tập tương tự:Phân tích đa thức sau thành nhân tử a(x – y) + bx – by b) x2 + xy – 7x – 7y c) ac + bc + a + b 2 d) x + 2xy + y – e) – 5ax – 7a + 7x f) – y3 + 6xy2 – 12x2y + 8x3 h) 7z2 – 7yz – 4z + 4y i) b2c + bc2 + ac2 – a2 c – ab (a + b) k) x3 + 3x2 + 3x + q) x3 + 2x2 – 6x – 27 g) 12x3 + 4x2 – 27x – m) 2a2b + 4ab2 – a2c – 2abc + ac2 + 2bc2 – 4b2c – 2abc 11 n) ax – 34bx – 15a + 17b p) x3 – x2y- x2z – xyz 1.2.2 Vận dụng phát triển kĩ qua phương pháp: Phối hợp phương pháp thông thường a) Phương pháp chung Phối hợp nhiều phương pháp kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp:đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử Vì phương pháp khó khăn học sinh yếu kém, trung bình Khi tiếp xúc tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà đề chưa nêu phương pháp cụ thể, tình trạng chung lúng túng, bế tắc khâu chọn phương pháp, sử dụng phương pháp trước, số khác phân tích chưa triệt để Vì tơi cho học sinh nhận xét toán cách cụ thể, xem mối quan hệ hạng tử để tìm hướng giải thích hợp * Phương pháp:Giáo viên cho học sinh xét phương pháp: Đặt nhân tử; dùng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử - Bước 1: Đầu tiên xét xem hạng tử có xuất nhân tử chung hay khơng? + Nếu đa thức có nhân tử chung áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung Sau xem đa thức ngoặc tốn quay lại bước 1, tiếp tục thực phương pháp để phân tích ( có thể) đến kết cuối + Nếu đa thức nhân tử chung chuyển sang bước - Bước 2: Xét xem đa thức có dạng đẳng thức khơng? + Nếu đa thức có dạng đẳng thức ta vận dụng phương pháp đẳng thức để phân tích + Nếu đa thức khơng có dạng đẳng thức chuyển sang bước - Bước 3: Dùng phương pháp nhóm để đưa hạng tử vào nhóm thỏa mãn điều kiện: nhóm có nhân tử chung, làm xuất nhân tử chung nhóm xuất đẳng thức để tìm nhân tử tốn b) Ví dụ :Ví dụ 10: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử (BT- ?2 - SGK-tr22) * Gợi ý phân tích: Xét phương pháp: Đặt nhân tử; dùng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử c) Nhận xét:Quacác ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Khi phân tích tốn theo phương pháp chọn cần xem lại đa thức phân tích triệt để chưa Nếu chưa triệt để tìm phương pháp để phân tích tiếp Trong số có nhiều cách giải, học sinh cần linh hoạt lựa chọn cách giải ngắn gọn phù hợp cuối phân tích triệt để toán d) Khai thác toán (Đối với học sinh giỏi) 12 1) Cho a + b + c = Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc (Bài tập 38- SBTtr10) - Hướng dẫn: Dùng a3 + b3 = (a + b)3 + 3ab(a + b) a + b + c =  a+b=-c 2) Phân tích đa thức x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c SBT-tr9) - Hướng dẫn:Dùng x3 + y3 = (x + y)3 + 3xy(x + y) e) Vận dụng:Phân tích đa thức thành nhân tử (Cho học sinh thực theo nhóm thích hợp) a) x4+2x3 + x2 (Nhóm yếu kém) b) x – x + 3x y + 3xy2 + y3 – y (Nhóm trung bình) c) 5x2- 10xy + 5y2 - 20z2(Nhóm giỏi) f) Một số tập đề nghị:Phân tích đa thức thành nhân tử a) x3- 2x2 + xb) 2x2 + 4x + - 2y2c) 2xy – x2 – y2 +16d) x3 + 2x e) 2(x +1) – x2 – x f) 2x3- 12x2 + 18xg) x3 + 5x2 + 4x +20 1.2.3 Phát triển tư qua phương pháp phân tích Trong chương trình sách giáo khoa Tốn hành giới thiệu ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử Tuy nhiên phần tập lại có khơng thể áp dụng ba phương pháp để giải, (Chẳng hạn tập 53, 57 sgk/tr24-25) Sách giáo khoa có gợi ý cách “tách” hạng tử thành hai hạng tử khác “thêm bớt hạng tử” thích hợp áp dụng phương pháp để giải Tuy nhiên mức độ phương pháp tương đối khó nên tơi áp dụng nhiều cho đối tượng khá, giỏi Cịn riêng đối tượng trung bình trở xuống hướng dẫn phương pháp, chi tiết ví dụ cụ thể với mức độ đơn giản * Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác a) Phương pháp Việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất phương pháp học như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, việc làm cần thiết học sinh giải toán Đối với phương pháp này, gợiý học sinh giải theo hướng giải thông dụng sau: - Hướng giải 1: Tách hạng tử bậc thành hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Hướng giải áp dụng phân tích đa thức có dạng ax2 + bx + cthành nhân tử Phương pháp sau: + Bước 1: Tìm tích a.c + Bước 2: Phân tích a.c thành tích thừa số nguyên cách 13 + Bước 3: Chọn thừa số b1, b2 có tổng b Khi bx tách thành hạng tử bậc b1 x, b2x - Hướng giải 2: Tách hạng tử không đổi (tự do) thành hạng tử đưa đa thức dạng hiệu hai bình phương làm xuất đẳng thức có nhân tử chung với hạng tử cịn lại - Hướng giải 3: Tách hạng tử bậc hai thành hạng tử đưa đa thức dạng đẳng thức (thơng thường hiệu hai bình phương) b) Ví dụ:Ví dụ 11: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + thành nhân tử * Gợi ý: - Áp dụng hướng giải c) Nhận xét:Từ ví dụ trên, ta thấy để tách hạng tử thành nhiều hạng tử để phân tích đa thức học sinh phải nắm vững phương hướng giải Đối với hướng giải hướng giải yêu cầu học sinh nhận dạng đẳng thức: Bình phương tổng, bình phương hiệu, hiệu hai bình phương để tốn giải xác Có số cách giải sử dụng đồng thời hướng giải với Vì phương pháp tách hạng tử tốn giải theo nhiều cách khác nhau, yêu cầu đối tượng giỏi tìm tịi cách giải thực Lưu ý:Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để phân tích đa thức ta sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm Sử dụng Định lí sau: Nếu f(x) có nghiệm x = a f(a) = Khi đó, f(x) có nhân tử x – a f(x) viết dạng: f(x) = (x – a).q(x) - Nếu tổng hệ số hạng tử đa thức có nghiệm - Nếu tổng hệ số hạng tử bậc chẵn với hệ số đối hạng tử bậc lẻ đa thức có nghiệm -1 d) Vận dụng Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 + 5x – 6b) x2 + 4x + Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x3 – 7x – b) x2 – 8x + 12 e) Các tậptương tự:Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x2 + 3x – 5b) 16x – 5x2–3c) 2x2 - 2x – 3d) x3 – 7x + e) x4 – 30x2 + 31x – 30 f) x5+ x + 1g) x2+ 4xy + 3y2 * Phương pháp thêm, bớt hạng tử a) Phương pháp chung:Phương pháp thêm bớt hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để xuất dạng đặt nhân tử chung dạng đẳng thức * Phương pháp 14 - Bước 1: Dựa vào hạng tử đa thức để nhận dạng phương pháp: dạng đặt nhân tử chung hay dạng đẳng thức xuất - Bước 2: Nhóm hạng tử thuộc dạng xác định với phân tích tiếp Q trình phân tích phải xuất dạng đặt nhân tử chung - Bước 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức b) Ví dụ:Ví dụ 12: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử * Gợi ý: - Thêm x bớt x: (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Ví dụ 13: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử * Gợi ý: Cách 1:Thêm x3 bớt x3(làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Cách 2:Thêm x3, x2, x bớt x3, x2, x (làm xuất đặt nhân tử chung) c) Nhận xét:Từ ví dụ trên, ta thấy việc thêm, bớt hạng tử để xuất dạng nhân tử chung hay đẳng thức.Và bước phân tích cuối phải xuất dạng nhân tử chung Vì trước thêm, bớt hạng tử học sinh phải nhận dạng phương pháp cần phân tích để tìm hạng tử thêm, bớt cho thích hợp triệt để tốn d) Vận dụng:Phân tích đa thức thành nhân tử a) 4x4 + 81b) x8 + 98x4 + c) x7 + x2 + 1d) x7 + x5 + e) Các tập tương tự:Phân tích đa thức thành nhân tử a) 4x4 + 81b) x4 + 324c) x5 + x4 +1d) x5 - x4 – 1h) x8 + x4 + đ) x3 +y3 +z3 – 3xyze) x7 + x2 + 1f) x8 + x7 + 1g) x10 + x5 + 1.2.4 Các dạng tập ứng dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử * Các dạng tập liên quan Dạng 1: Tính giá trị biểu thức Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau a) x2 + xy + x x = 77; y = 22 b) x(x - y) + y (y - x) x = 53; y = c) x2 - 2xy - 4z2 + y2 x = 6; y = - 4; z = 45 * Gợi ý: Phân tích đa thức thành nhân tử thay số để tính Bài 2: Tính nhanh a) 15,8 35 + 15,8 65b) 1,43 141 – 1.43 41 Dạng 2: Tìm x Bài 1:Tìm x, biết a) 5x(x – 2022) – x + 2022 = 0b) 5x2 = 13x 15 Bài 2:Tìm x biết :a) x(x – 2) + x – = b) (2x – 1)2 – (x +3)2 = 0c) (5 – 2x)(2x + 7) = 4x2 – 25 Dạng 3: Chứng minh chia hết (Dành cho học sinh giỏi) Bài 1: CMR : a) 55n+1 – 55n chia hết cho 54 (Với n số tự nhiên) b) Hiệu bình phương hai số lẻ liên tiếp chia hết cho Bài 2: Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho với n  Z Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc * Các tập tương tự * Bài tập áp dụng chung Bài 1: Tính giá trị biểu thức 1 x a) x2 + 16 với x = 49,75 b) x2 – y2 – 2y – với x = 93, y = Bài 2: Tính nhanh a) 732 – 272 b) 372 – 132 c) 20222 – 222 d) 872 +732 - 272 -132 e) 85.12,7 + 5.3.12,7 f) 52.143 - 52.39 - 8.26 Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau a) M = (a + 4)2 + 2(a + 4)(6 – a) + (6 – a)2 với a = 1982 b) N = x2 – xy – 3x + 3y với x = 5,1; y = 3,1 Bài 4: Tính giá trị biểu thức x(x – 1) – y(1 – x) x = 2022, y = 2021 Bài 5: Chứng minh (5n + 2)2 – chia hết cho với số nguyên n Bài 6: Tìm x, biết a) 5x(x – 3) – x + = b) x + = (x+1)2 c) x3 + x = d) x2 - 10x = -25 e) 4x2 - 4x = -1 f) 8x3 +12x2 + 6x +1 = g) 2(x+5) - x2 - 5x = h) x2 - 2x - = k) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = m) 4(2x + 7) – 9(x + 3)2 = n) (5x2 + 3x – 2)2 = (4x2 – 3x – 2)2 * Bài tập dành cho học sinh giỏi Bài 7: CMR :a) Bình phương số lẻ chia cho dư b) Bình phương số lẻ chia cho dư Bài 8:a) CMR: Hiệu bình phương hai số lẻ liên tiếp chia hết cho b) CMR: Hiệu bình phương hai số chẳn liên tiếp chia hết cho 16 Bài 9: CMR: a) Biểu thức : 4x(x + y) (x + y + z)(x + y) y2z2 luôn không âm với giá trị x, y z b) Với số nguyên n số A = n3(n2 – 7)2 – 36n chia hết cho 105 IV Hiệu củaSKKN 16 Kết thu Từ thực tế giảng dạy áp dụng đề tài vào giảng dạy thấy chất lượng cải thiện rõ rệt qua khảo sát kiểm tra 15 phút toán sau học xong chủ đề học sinh sinh lớp 8A, kết đạt sau: Kết Sĩ STT Lớp Giỏi Khá TB Yếu số SL % SL % SL % SL % SL % 8A 32 18,8 16 53,1 28,1 0 0 Giải pháp cải tiến Với đề tài tơi áp dụng cho đối tượng học sinh phù hợp với yêu cầu thực tế giảng dạy Từ để bước nâng cao chất lượng đại trà chất lượng học sinh giỏi Điều kiện khả áp dụng Đề tài áp dụng cho đối tượng học sinh khối nên em nắm dạng tập hành trang vững để em tự tin bước vào phòng thi 17 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận Qua tìm hiểu, trị chuyện với học sinh, nhận thấy đa số em nhận thức tầm quan trọng việc học phổ thơng địn bẩy đưa em đến tương lai tươi đẹp Đa số em học sinh khá, giỏi muốn mở rộng, nâng cao kiến thức em cách nào, đọc sách tốt sách tham khảo nhiều loại.Vì giáo viên cần nghiên cứu tìm cách hướng dẫn học sinh cách tự học nhà, tự chọn sách tham khảo,… Mong đề tài góp phần giúp em thêm kiến thức, biết ứng dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán để em thêm tự tin kỳ thi tuyển Trong đề tài này, cịn nhiều thiếu sót, mong góp ý quý thầy, cô giáo em học sinh II Kiến nghị Đối với giáo viên: Cần nghiên cứu kĩ đề tài, nắm phương pháp giải dạng tốn; chuẩn bị kĩ giáo án; tích cực nghiên cứu tài liệu bắt tay giải toán học sinh Đối với học sinh: Sáng kiến áp dụng với học sinh khối cho kết tốt học sinh nắm phương pháp giải dạng tốn phát huy tính chủ động sáng tạo, chăm rèn luyện, làm nhiều tập luyện để nâng cao kĩ giải toán Xác nhận thủ trưởng đơn vị Đông Văn, ngày 15 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Lê Thị Hưng 18 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Thị Hưng Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS Đơng Văn – Đơng Sơn – Thanh Hóa TT Tên đề tài SKKN Đổi phương pháp dạy học tiết thứ học có nội dung hai tiết dạy học tốn THCS Đổi phương pháp dạy học mơn Tốn qua “ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung” Áp dụng chuẩn kiến thức, kĩ kiểm tra, đánh giá kết học tập mơn Tốn học sinh Áp dụng chuẩn kiến thức, kĩ kiểm tra, đánh giá kết học tập môn Toán học sinh Dùng thuật toán “Giải tốn cách lập phương trình” giải tập tích hợp, rèn kỹ giải tốn cách lập phương trình cho học sinh khối 8,9 Dùng thuật tốn “Giải tốn cách lập phương trình” giải tập tích hợp, rèn kỹ giải tốn cách lập phương trình cho học sinh khối 8,9 Phân loại dạng “Ứng dụng hệ thức Vi-ét ” Đại số lớp trường THCS Đông Văn Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) (A, B, C) Huyện C 2009-2010 Huyện B 2010-2011 Huyện A 2011-2012 Tỉnh C 2011-2012 Huyện A 2014-2015 Tỉnh C 2014-2015 Tỉnh B 2020-2021 ... trình lớp 8, học sinh học tiết phân tích đa thức thành nhân tử; 2tiết luyện tập học sinh làm tập củng cố tiết lý thuyết vừa học Theo chương trình trên, học sinh học phương pháp phân tích đa thức thành. .. đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao lực giải tốn trường THCS Đơng Văn, Đơng Sơn, Thanh Hóa” II Mục đích nghiên cứu Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải toán phân tích đa thức thành. .. pháp phân tích - Phát triển tư cho học sinh thông qua hai phương pháp phân tích mới: Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác phương pháp thêm bớt hạng tử a) Củng cố kiến thức cho học sinh