(SKKN 2022) một số giải pháp nhằm tạo hứng thú học tập cho học sinh trường THPT mường lát khi làm các bài toán cơ bản về xác suất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “MỘT SỐ GIẢI PHÁP NHẰM TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT KHI LÀM CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT” Người thực hiện: Lại Văn Chung Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HÓA NĂM 2022 MỤC LỤC T T 10 11 12 Nội dung Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 1 1 1 16 17 19 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Xác suất dạng tốn có nhiều điểm khác biệt so với toán đại số Được đưa vào chương trình mơn Tốn Đại số Giải tích 11 nhằm cung cấp cho học sinh kiến thức ngành toán học quan trọng này.Trong năm gần tốn xác suất ln có mặt hầu hết kỳ thi THPT Quốc Gia Với dạng toán học sinh thường lúng túng, gặp nhiều khó khăn giải khơng giải hay sai Chính giảng dạy việc giúp học sinh nắm vững khái niệm xác suất như: công thức, tính chất, định nghĩa,…giáo viên cần phải giúp học sinh phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, để tìm tịi tìm lời giải nhanh Đặc biệt trường THPT Mường Lát trường miền núi cao biên giới, việc học môn Tốn nói chung dạng tốn nói riêng khơng dễ dàng Đa số em thường có thói quen lười học, ngại tư duy, ý thức học tập chưa cao, kiến thức không nắm rõ, chưa có mục tiêu học tập cụ thể,… Để tạo hứng thú cho học sinh giáo viên cần tạo hấp dẫn, lôi cuốn, vui nhộn tiết dạy, nhẹ nhàng giao tiếp, động viên em kịp thời; Đưa dạng tập dễ tiếp thu gắn liền tới thực tế giúp em tư dễ dàng hơn, hiểu nội dung tốn có cảm giác thoải mái học dạng tốn Vì tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Một số giải pháp nhằm tạo hứng thú học tập cho học sinh trường THPT Mường Lát làm toán xác suất” 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài giúp học sinh trường THPT Mường Lát nhận dạng, làm quen củng cố kiến thức toán xác suất, từ hứng thú tự tin gặp dạng toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu khái niệm xác suất toán xác suất Một số giải pháp nhằm tạo hứng thú học tập học sinh, tăng tính chủ động, tìm tịi, sáng tạo giúp em có tâm lý thoải mái trình học tập 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu tơi sử dụng nhóm phương pháp sau: - Phương pháp suy luận hệ thống hóa tài liệu - Phương pháp vấn đáp trực tiếp - Phương pháp thực nghiệm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận Từ việc để học sinh có hứng thú làm tốt tập mơn tốn trước hết người học phải trang bị đầy đủ kiến thức, kỹ học toán, biết áp dụng kiến thức học vào toán thực tế, liên hệ thực tế Giáo viên giảng dạy phải chuẩn bị dầy đủ hệ thống kiến thức, hệ thống tập, thiết kế dạy linh hoạt phù hợp với đặc điểm tình hình học sinh, em học sinh miền núi Để em phát huy tính tích cực, sáng tạo tư suy luận toán học Các tốn ví dụ phải từ nhất, dễ nâng độ khó để em làm quen, hình thành thói quen giải tập, phát triển khả tư duy, khả vận dụng kiến thức linh hoạt vào tốn Chính ngồi việc lên lớp người giáo viên phải không ngừng học hỏi kinh nghiệm, trau dồi kiến thức, tìm tịi tài liệu có liên quan để truyền thụ kiến thức cách nhẹ nhàng, dể hiểu, phù hợp với khả tiếp thu em Các tốn xác suất có đặc thù riêng, mang tính thực tiễn có nhiều ứng dụng sống Khi giải dạng toán học sinh thường lúng túng, khó tìm lời giải, học sinh tường THPT Mường Lát Các em thường “bỏ qua” khơng làm, lý đơn giản em thấy khó phức tạp Vì chọn đề tài nghiên cứu để giúp học sinh trường THPT Mường Lát tiệm cận gần với dạng toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thuận lợi: Được quan tâm đạo sát quan tâm tạo điều kiện lãnh đạo nhà trường cho giáo viên yên tâm công tác; Đội ngũ giáo viên đạt chuẩn chuẩn nêu cao vai trị nhà giáo, khơng ngừng học tập bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ Đa số giáo viên trẻ vừa vào ngành nên nhiệt tình, nổ, đồn kết phấn đấu nghiệp giáo dục có lịng u thương học sinh Về phía học sinh hầu hết em ngoan lễ phép, chấp hành tốt nội quy, quy chế nhà trường lớp học 2.2.2 Khó khăn: Do trường vùng miền núi đặc biệt khó khăn nên điều kiện mặt hạn chế, trình độ nhận thức, dân trí bậc phụ huynh thấp so với mặt chung xã hội Phụ huynh chưa định hướng học tập cho em, chưa quan tâm tới việc học em, nên em ham chơi ham học kết học tập em theo bị giảm sút Một phần em bị hổng kiến thức từ cấp học Qua thực tế giảng dạy, tơi nhận thấy: Với tốn xác suất, hầu hết học sinh cho phép tốn định lý thường khó hiểu, trừu tượng nên không tạo hứng thú hưng phấn trình học Một nguyên nhân đặc điểm tình hình trường miền núi cao biên giới tiếp cận công nghệ thông tin nhiều hạn chế, sách giáo khoa tài liệu học tập em ít, huyện có trường trung học phổ thơng đóng địa bàn thị trấn nên việc lại học tập em cịn gặp nhiều khó khăn,… tiếp cận với dạng toán chưa nhiều; đầu vào em cịn chưa cao Hơn em chưa có phương pháp học tập hợp lý; tự ti, rụt rè, thiếu hào hứng học tập; đa số bậc phụ huynh nơi không quan tâm đến việc học tập em Xác định rõ nguyên nhân học sinh điều quan trọng Trong công tác giảng dạy giáo viên cần có giải pháp để khắc phục dần thực trạng đó, mang lại niềm hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề A: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ I PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ KHÔNG GIAN MẪU Phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) phép thử mà ta không đốn trước kết nó, biết tập hợp tất kết có phép thử Bắn mũi tên, đánh gôn, gieo súc sắc, gieo đồng tiền, rút quân Khi thực hành động ta phép thử [1] Không gian mẫu Tập hợp kết xẩy phép thử gọi không gian mẫu phép thử ký hiệu  [1] II BIẾN CỐ Một biến cố A (còn gọi kiện A ) liên quan tới phép thử T biến cố mà việc xẩy hay khơng xẩy cịn tùy thuộc vào kết T Mỗi kết phép thử T làm cho biến cố A xảy gọi kết thuận lợi cho A Tập hợp kết thuận lợi cho A kí hiệu  A Để đơn giản, ta dùng chữ A để kí hiệu tập hợp kết thuận lợi cho A Khi ta nói biến cố A mơ tả tập A Biến cố chắn biến cố xẩy thực hiện phép thử T Biến cố chắn mô tả tập  ký hiệu  Biến cố biến cố không xẩy thực phép thử T Biến cố mô tả tập  [1] Các phép toán biến cố * Tập  \ A gọi biến cố đối biến cố A , kí hiệu A Giả sử A B hai biến cố liên quan đến phép thử Ta có: * Tập A  B gọi hợp biến cố A B * Tập A  B gọi giao biến cố A B * Nếu A  B   ta nói A B xung khắc.[1] Bảng đọc ngơn ngữ biến cố Kí hiệu Ngơn ngữ biến cố A  A biến cố A A biến cố không A A biến cố chắn C  A B C biến cố “ A B ” C  A B C biến cố “ A B ” A B   A B xung khắc BA A B đối III XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Định nghĩa cổ điển xác suất: Giả sử phép thử T có số hữu hạn kết đồng khả Khi xác suất biến cố A liên quan tới T tỉ số số kết thuận lợi cho A số kết P  A  n  A n   Trong sống nói biến cố, ta thường nói biến cố có nhiều khả xảy ra, biến có có khả xảy ra, biến cố có nhiều khả xảy biến cố Tốn học định lượng hóa khả cách gán cho biến cố số không âm, nhỏ gọi xác suất biến cố [1] Từ định nghĩa cổ điển xác suất ta có bước để tính xác suất biến cố sau: Bước 1: Xác định khơng gian mẫu  tính số phần tử  , tức đếm số kết phép thử T Bước 2: Xác định tập A mơ tả biến cố A tính số phần tử A , tứ đếm số kết thuận loại cho A Bước 3: Lấy kết bước chia cho bước 1 Quy tắc cộng xác suất a) Quy tắc cộng xác suất [1] * Nếu hai biến cố A, B xung khắc P  A  B   P  A  P  B  * Nếu biến cố A1 , A2 , A3 , , Ak xung khắc P  A1  A2   Ak   P  A1   P  A2    P  Ak  Vì A  A   A  A   nên theo công thức cộng xác suất    P     P  A  P A b) Công thức tính xác suất biến cố đối [1] Xác suất biến cố A biến cố A   P A   P  A Dưới ví dụ để ta hiểu rõ quy tắc cộng Ví dụ 1: Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên hai viên biên Xác suất để chọn hai viên bi màu Lời giải Gọi A biến cố : “Chọn hai viên bi xanh” B biến cố : “Chọn hai viên bi đỏ” C biến cố : “Chọn hai viên bi vàng” Khi biến cố: “Chọn hai viên bi màu” biến cố A  B  C Do A, B, C đôi xung khắc với nên theo quy tắc cộng ta có P  A  B  C   P  A  P  B   P  C  C42 C32 C22 P  A   ; P  B    ; P  C    C9 36 C9 36 C9 36 Ta có P A B C     36 36 36 18 Vậy 2) Quy tắc nhân xác suất [1] Biến cố giao Biến cố độc lập Cho biến cố A B Biến cố “ Hai biến cố gọi độc lập việc xảy A B xảy ra” kí hiệu hay khơng xảy biến cố không AB gọi giao hai biến cố A ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố B Một cách tổng quát, cho k biến Một cách tổng quát, cho k biến cố cố A1 , A2 , A3 , , Ak Biến cố: “Tất k biến cố A1 , A2 , A3 , , Ak xảy ra”, kí hiệu A1 A2 A3 Ak gọi giao k biến cố A1 , A2 , A3 , , Ak Chúng gọi độc lập với việc xảy hay không xảy nhóm biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố lại Quy tắc nhân xác suất Nếu A B hai biến cố độc lập P  AB   P  A P  B  Một cách tổng quát, k biến cố A1 , A2 , A3 , , Ak độc lập P  A1 , A2 , A3 , , Ak   P  A1  P  A2  P  Ak  Chú ý: * Nếu A B độc lập A B độc lập, B A độc lập, B A độc lập Do Nếu A B độc lập ta cịn có đẳng thức     P  AB   P  A P  B  P  AB   P  A P  B  P AB  P  A P B * Nếu đẳng thức bị vi phạm hai biến cố A B không độc lập với Khi dạy tốn xác suất biến cố để kích thích tò mò hứng thú học sinh giáo viên cần chuẩn bị, nghiên cứu kỹ giảng trước lên lớp Ln mang tới tốn thực tế gần gũi để đáp ứng cho tất em học tập Đó cần sưu tầm vật dụng cụ thể đồng tiền xu, súc sắc, đồ vật làm phép thử,… chia thành nhóm học tập cho em tự thực hành tìm đáp án Như q trình học em vừa hịa trị chơi vừa tạo sản phẩm học tập cho Trong q trình học giáo viên lồng ghép thêm số trò chơi soạn sẵn phiếu học tập phát phiếu học tập cho em làm B CÁC DẠNG TOÁN VỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Dạng 1: Mô tả không gian mẫu liên hệ biến cố [4] Với học sinh trường THPT Mường Lát trước hết cho em làm quen toán đơn giản, dễ hiểu Trong trình dạy học giáo viên nên mang theo xúc sắc, đồng tiền xu,…và vật dụng có liên quan đến phép thử, tốn để em trực tiếp thực hành Ví dụ 1: Gieo xúc sắc cân đối, đồng chất quan sát số chấm xuất a) Mô tả không gian mẫu; b) Xác định biến cố sau: A: “Xuất mặt chẵn chấm”; B: “Xuất mặt lẽ chấm”; C: “Xuất mặt có số chấm không nhỏ 3” c) Trong biến cố tìm biến cố xung khắc [3] Lời giải a) Kí hiệu kết “ Con xúc sắc xuất mặt k chấm” k ( k=1, 2, …, 6) Khi khơng gian mẫu :    1, 2,3, 4,5, 6       b) Ta có : c) Các biến cố A B xung khắc A  B   Ví dụ 2: Từ hộp chứa bi trắng, bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời A  2, 4, ; B  1,3,5 ; C  3, 4,5, bi a) Xây dựng không gian mẫu; b) Xác định biến cố: A: “Hai bi màu trắng” ; B : “Hai bi màu đỏ” ; C : “Hai bi màu ” ; D : “Hai bi khác màu ” c) Trong biến cố trên, tìm biến cố xung khắc, biến cố đối [3] Lời giải a) Các bi trắng đánh số 1, 2, Các bi đỏ đánh số 4, Khi không gian mẫu gồm tổ hợp chập số Tức là:    (1, 2),(1,3), (1, 4), (1,5),(2,3), (2, 4),(2,5),(3, 4),(3,5), (4,5) b) Ta có: A=  (1, 2), (1,3), (2,3) ; B   (4,5) ; C  A  B; D  C c) Ta có: A  B  ; A  D  ; B  D  ; C  D   Do đó: A B xungkhắc ; D xung khắc với biến cố A, B, C Vì D  C nên C D hai biến cố đối Ví dụ 3: Một xúc sắc gieo ba lần Quan sát số chấm xuất a) Xây dựng không gian mẫu; b) Xác định biến cố sau: A: “Tổng số chấm ba lần gieo 6”; B: “Số chấm lần gieo thứ tổng số chấm lần gieo thứ hai thứ ba” [3] Lời giải a) Khi gieo xúc sắc ba lần không gian mẫu gồm chỉnh hợp chập (số chấm) Khi b) Ta có: c)    (i, j , k ) /1  i, j , k  6 A   (1,1, 4), (1, 4,1), (4,1,1), (1, 2,3), (2,1,3), (1,3, 2), (2,3,1),(3,1, 2), (3, 2,1), (2, 2, 2) B   (2,1,1), (3,1, 2), (3, 2,1), (4,1,3), (4, 2, 2), (5,1, 4), (5, 4,1), (5, 2,3), (5,3, 2),(6,1,5), (6,5,1), (6, 2, 4), (6,3,3) Ví dụ 4: Gieo đơng tiền, sau gieo xúc sắc Quan sát xuất mặt sấp (S), mặt ngửa (N), đồng tiền số chấm xuất xúc sắc a) Xây dựng không gian mẫu; b) Xác định biến cố sau: A: “Đồng tiền xuất mặt sấp xúc sắc xuất mặt chẵn chấm”; B: “Đồng tiền xuất mặt ngửa xúc sắc xuất mặt lẻ chấm”; C: “Mặt chấm xuất hiện” [3] Lời giải a) Khơng gian mẫu có dạng: b) Ta có:    SSS , SSN , SNS , NSS , SNN , NSN , NNS , NNN  A   SSS , SNS , SSN , SNN  ; B   SSS , NNN  ;   C   SSN , SNS , NSS ; D  NNN   \  NNN  Ví dụ 5: Hai xạ thủ bắn vào bia Kí hiệu Ak biến cố : “Người thứ k bắn trúng ”, k  1, a) Hãy biểu diễn biến cố sau qua biến cố A1 , A2 A: “Không bắn trúng”; B: “Cả hai bắn trúng”; C: “Có người bắn trúng”; D:“Có người bắn trúng” b) Chứng tỏ A  D ; B C xung khắc [2] Lời giải Phép thử T xét : “Hai xạ thủ bắn vào bia” a) Theo đề ta có AK = “Người thứ k khơng bắn trúng”, k=1, Từ ta có: A= “Không bắn trúng”= “Người thứ không bắn trúng người thứ hai không bắn trúng” Suy ra: A  A1  A2 Tương tự, ta có B = “Cả hai bắn trúng” = “Người thứ bắn trúng người thứ hai bắn trúng” Suy ra: B  A1  A2 Xét C = “Có người bắn trúng”, ta có C hợp hai biến cố sau: “Người thứ bắn trúng người thứ hai bắn trượt” Suy C  A1  A2 “Người thứ bắn trượt người thứ hai bắn trúng” Suy C  A1  A2 Suy     C  A1  A2  A1  A2 Tương tự, ta có D  A  A2 b) Ta có: biến cố D :“Có người bắn trúng” tức trongcác trường hợp sau: + Một người bắn trúng người bắn không trúng + Cả hai bắn trúng Như biến cố D (trường hợp lại) “Khơng bắn trúng” biến cố A Vậy D  A Ta có C biến cố “Có người bắn trúng” nghĩa người bắn trúng người không bắn trúng, khác hẳn với biến cố B “Cả hai bắn trúng” Hiển nhiên B  C   Vậy theo định nghĩa B C xung khắc với Dạng 2: Sử dụng định nghĩa cổ điển xác suất-quy toán đếm [4] Bài toán Bài toán tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển cách tính trực tiếp số phần tử thuận lợi cho biến cố Phương pháp chung: Trong toán này, việc xác định số phần tử thuận lợi cho biến cố cần tìm dễ dàng xác định (có thể liệt kê phương án, tính cách chọn ngắn gọn) Bước 1: Tìm số phần tử khơng gian mẫu Bước 2: Đếm số phần tử thuận lợi không gian mẫu P  A  n  A n   Bước 3: Tính xác suất Phần lớn tốn xác suất quy toán đếm: * Đếm số phần tử tập thuận lợi với biến cố * Đếm số phần tử không gian mẫu  Các bước làm trình bày rõ lý thuyết trước Ví dụ 1: Gieo ngẫu nhiên xúc sắc cân đối đồng chất hai lần a) Tính số phần tử khơng gian mẫu; b) Xác định biến cố sau: A: “Tổng số chấm xuất hai lần gieo không bé 10”; B: “Mặt chấm xuất lần”; c) Tính P(A); P(B)? [6] Lời giải Bước 1: Tìm số phần tử không gian mẫu     i, j  / i, j  1, 2,3, 4,5,6 a) Số phần tử không gian mẫu   Bước 2: Tìm số kết thuận lợi cho A B n   6.6  36 b) A=  (6, 4),(4, 6), (5,5), (6,5), (5, 6),(6, 6)  n  A  B=   1;5 ;  2;5 ;  3;5 ;  4;5 ;  5;5  ;  6;5  ;  5;1 ;  5;  ;  5;3 ;  5;  ;  5;    n  A  11 Bước 3: Xác suất biến cố A, B P  B  n  B n    P  A  n  A n     36 11 36 Ví dụ : Một tổ có nam nữ Chọn ngẫu nhiên hai người Tìm xác suất cho hai người : a) Cả hai nữ; b) Khơng có nữ ?; c) It người nữ ; d) Có người nữ [6] Lời giải Bước 1: Tìm số phần tử khơng gian mẫu Chọn ngẫu nhiên người tổ 10 người nên số phần tử không gian mẫu   10 Bước 2: Tìm số kết thuận lợi cho biến cố n   C  45 a) Gọi A2 biến cố: “Cả hai nữ” ; A0 biến: “Trong hai người chọn khơng có nữ nào” ; A1 biến: “Trong hai người có nữ ” ; Biến cố A2 chọn người nữ người nữ nên số phần tử biến cố n  A2   C32  Biến cố A0 chọn người nam người nam nên số phần tử biến cố n  A0   C72  21 Biến cố A1 chọn người nữ người nữ chọn người nam bạn n A  C1 C  21 nam nên số phần tử biến cố   Bước 3: a) Xác suất biến cố A2 P  A2   P  A0   n  A2  n     45 15 n  A0  21   n    45 15 b) Xác suất biến cố A0 c) Biến cố hai người chọn có người nữ biến cố đối biến cố A0 khơng có người nữ Do theo hệ với biến cố A ta có :     P A   P  A   P A0   P  A0     15 15 10 P  A1   n  A1   21  45 15 n   d) Xác suất biến cố A1 Bài tốn ví dụ liên quan chặt chẽ với tổ hợp Ta cần nắm phần quy tắc tính chất tổ hợp để giải tốn tính xác suất theo phương pháp cổ điển Ví dụ 3: Từ cỗ tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên lúc bốn Tính xác suất cho: a) Cả bốn át; b) Được át; c) Được hai át hai K [2] Lời giải Mỗi kết có tổ hợp chập 52 Do : n     C524  270725 a) Gọi biến cố A : “Rút át”,  n  A   P  A  n  A n     0, 0000037 270725 b) Gọi biến cố B : “Rút át”, ta có : B  “Rút không át” Mỗi kết thuận lợi cho B tổ hợp chập 48 át Suy số kết có thuận lợi cho B là:     n B  C484  194580  P B    194580  0, 7187  P  B    P B  0, 2813 270725 c) Gọi C biến cố : “Rút hai át hai K”, kết thuận lợi cho C tổ hợp gồm át K Áp dụng quy tắc nhân tính số kết có thuận lợi cho C : n  C   C42 C42  6.6  36  P  C   36  0, 000133 270725 Ví dụ 4: Một hộp đựng 15 viên bi, có biên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi (không kể thứ tự) khỏi hộp Tính xác suất để viên bi lấy có viên màu đỏ [4] Lời giải Chọn ngẫu nhiên viên bi từ 15 viên bi số cách chọn C15  445 Gọi A biến cố “trong viên bi lấy có viên màu đỏ” Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: * Trường hợp 1: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C8 C7 *Trường hợp 2: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C8 C7 *Trường hợp 3: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C8 11 n A  C81.C72  C82 C71  C83  420 Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A   Vậy P  A  C81.C72  C82 C71  C83 12  C153 13 Ví dụ 5: Gieo đồng thời ba xúc sắc Tính xác suất để tổng số chấm xuất ba 10? Lời giải Khi gieo xúc sắc ba lần số phần tử không gian mẫu n     6.6.6  216 Gọi C biến cố: “Tổng số chấm xuất ba 10” Các khả thuận lợi C tổ hợp có tổng 10 sau đây: (1;3;6); (1;4;5); (2;2;6); (2;3;5); (3;3;4) hốn vị tổ hợp Trong (1;3;6); (1;4;5); (2;3;5) có hốn vị, (2;2;6); (3;3;4) có hốn vị Do đó: n  C        24 P C  n C n    Vậy xác suất biến cố C là: 24  216 Trong ví dụ để tính phần tử biến cố hay kết thuận lợi cho biến cố, kết xảy phép thử ta sử dụng phép liệt kê phần tử tập hợp Bài toán 2: Tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển phương pháp gián tiếp Trong nhiều tốn tính xác suất, việc tính số phần tử thuận lợi cho biến cố A trở nên khó khăn có nhiều trường hợp, ta tìm số phần tử thuận lợi cho biến cố đối biến cố A Sau lấy số phần tử khơng gian mẫu trừ kết vừa tìm ta có số phần tử thuận lợi cho biến cố A Ví dụ : Gieo súc xắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất để lần xuất mặt sáu chấm [2] Lời giải Gieo xúc sắc cân đối đồng chất hai lần số phần tử không gian mẫu là: n()  6.6  36 Gọi A :”ít lần xuất mặt sáu chấm” Khi A :”khơng có lần xuất mặt sáu chấm” 25 11  36 36 Ta có n( A)  5.5  25 Vậy Ví dụ 2: Gieo đồng tiền liên tiếp lần Tính xác suất biến cố A :”ít P( A)   P( A)   lần xuất mặt sấp” [3] Lời giải Ta có: biến cố A : “khơng có lần xuất mặt sấp” hay lần mặt ngửa 12 1 1 P(A)   P( A)   P(A)    2 Vậy: 8 Theo quy tắc nhân xác suất: Ví dụ 3: Một hộp đựng 15 viên bi, có biên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi (không kể thứ tự) khỏi hộp Tính xác suất để viên bi lấy có viên màu đỏ.[4] Lời giải Chọn ngẫu nhiên viên bi từ 15 viên bi số cách chọn C15  445 Gọi A biến cố “trong viên bi lấy có viên màu đỏ” biến cố A “ ba viên bi lấy khơng có màu đỏ” ( tức lấy ba viên bi màu xanh”   Số cách chọn viên bi mà viên bi màu xanh  Số cách chọn viên bi mà có viên bi màu đỏ C  35  n A  35 455  35  420 cách  n  A   420  P  A  n  A n    420 12  455 13 Giải thích thực tế: Dấu hiệu nhận biết toán thực tế chọn đồ vật mà sử dụng cách tính gián tiếp câu hỏi xuất từ “có …” thường ta giải theo cách gián tiếp tìm số cách chọn cho “khơng xuất hiện…” Ví dụ 4: Một hộp quà đựng 16 dây buộc tóc chất liệu, kiểu dáng khác màu sắc Cụ thể hộp có dây xanh, dây đỏ, dây vàng Bạn An chọn ngẫu nhiên dây từ hộp quà để làm phần thưởng cho Tính xác suất để dây bạn An chọn có dây vàng khơng q dây đỏ [4] Lời giải n     C166  8008 Chọn ngẫu nhiên dây từ 16 dây số cách chọn Gọi A biến cố “ dây bạn An chọn có dây vàng không dây đỏ” Do tính trực tiếp có q nhiều trường hợp, ta sử dụng biến cố đối để giải tốn: Trường hợp 1: Khơng có dây vàng, số cách lấy là: C13 Trường hợp 2: Có dây vàng dây đỏ, số cách lấy là: C3.C5 n  A   C166  C136  C31.C55  6289 Suy Nên n  A  C166  C136  C31.C55 6289 P  A    n   C166 8008 Ví dụ 5: Một trường THPT có 18 học sinh giỏi tồn diện, có học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Chọn ngẫu nhiên 13 học sinh từ 18 học sinh để dự trại hè Tính xác suất để khối có học sinh chọn [4] Lời giải Chọn học sinh 18 học sinh số cách chọn   18 cách Tương tự với dấu hiệu mà STUDY TIP đưa ta tìm số trường hợp thuận lợi cho biến cố đối biến cố cần tìm n   C8 Chọn học sinh mà khơng có khối 10, có C13 cách Chọn học sinh mà khơng có khối 11, có C12 cách Chọn học sinh mà khơng có khối 12, có C11 cách Gọi A biến cố “ học sinh chọn, khối có học sinh” Số trường hợp thuận lợi cho A P  A  n  A   C188   C138  C128  C118   41811 n  A  41811 1267   n   C188 1326 Vậy xác suất cần tìm Ví dụ 6: Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số 1, 3, 5, 7, Tính xác suất để tìm số khơng bắt đầu 135 [4] Lời giải Số phần tử không gian mẫu là:   Gọi A biến cố “số tìm khơng bắt đầu 135 ” Thì biến cố A biến cố “số tìm bắt đầu 135 ” Buộc số 135 lại ta cịn phần tử Số số tạo thành thỏa mãn số 135 n   5! đứng đầu 1.2.1  cách P  A  n  A   n  A   120   118 cách 118 59  120 60 n   Nên Phương pháp “buộc” phần tử giới thiệu kĩ phần quy tắc đếm, áp dụng phần tử có điều kiện đứng liền kề Dạng 3: Sử dụng quy tắc tính xác suất [4] Bước 1: Xác định biến cố xác suất, gọi tên biến cố A; B; C ; D để biểu diễn Bước 2: Tìm mối quan hệ biến cố vừa đặt tên, biểu diễn biến cố trung gian quan trọng biến cố đề yêu cầu tính xác suất thơng qua biến cố bước Bước 3: Sử dụng mối quan hệ vừa xác định bước để chọn công thức cộng hay cơng thức nhân phù hợp Ví dụ 1: Ba xạ thủ bắn độc lập vào bia, người viên đạn Xác suất bắn trúng xạ thủ 0,6; 0,7 0,8 Tính xác suất để có xạ thủ bắn trúng bia? [4] Lời giải 14 Gọi  Ai i  1,3  biến cố: “Người thứ i bắn trúng bia”; theo ta có:       P  A1   0, 6; P  A2   0, 7; P  A3   0,8  P A1  0, 4; P A2  0,3; P A3  0, Gọi A biến cố: “Có xạ thủ bắn trúng bia”, ta có A biến cố: “Cả ba xạ thủ khơng bắn trúng bia” Khi đó:   A  A1 A2 A3  P A  0, 4.0,3.0,  0, 024   Vậy xác suất cần tìm là: Ví dụ 2: Một ơtơ với hai động độc lập gặp trục trặc kĩ thuật Xác suất để động gặp trục trặc 0,5 Xác suất để động gặp trục trặc 0,4 Biết xe chạy hai động bị hỏng Tính xác suất để xe [6] Lời giải Gọi A biến cố “động bị hỏng”, gọi B biến cố “động bị hỏng” Suy AB biến cố “cả hai động bị hỏng”  “ xe không chạy nữa” Lại thấy hai động hoạt động độc lập nên A B hai biến cố độc lập  Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta xác suất để xe phải dừng lại P  A    P A   0, 024  0,976 P AB  0,5.0,  0, đường   Vậy xác suất để xe  0,  0,8 Các tốn khơng nói đối tượng mà cho giá trị xác suất ta bắt buộc phải sử dụng công thức cộng công thức nhân xác suất Ở hai động độc lập nên A B hai biến cố độc lập, ta áp dụng cơng thức nhân xác suất Ví dụ 3: Túi I chứa bi trắng, bi đỏ, 15 bi xanh Túi II chứa 10 bi trắng, bi đỏ, bi xanh Từ túi lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để lấy hai viên màu [6] Lời giải Gọi At , Ad , A x biến cố bi rút từ túi I trắng, đỏ, xanh Gọi Bt , Bd , Bx biến cố bi rút từ túi II trắng, đỏ, xanh Các biến cố At , Ad , A x độc lập với Bt , Bd , Bx Vậy xác suất để lấy hai bi màu P  At Bt  Ad Bd  Ax Bx   P  At Bt   P  Ad Bd   P  Ax Bx  10 15 207  P  At  P  Bt   P  Ad  P  Bd   P  Ax  P  Bx   25 25  25 25  25 25  625 Nhận thấy toán bên toán sử dụng hai cơng thức tính cơng thức cộng cơng thức nhân xác suất Bài tốn sử dụng cơng thức cộng xác suất biến cố At Bt ; Ad Bd ; Ax Bx biến cố đôi xung khắc (do biến cố xảy biến cố khơng xảy ra) Trong biến cố At Bt ; Ad Bd ; Ax Bx cặp biến cố độc lập (việc xảy hay không xảy 15 biến cố không làm ảnh hưởng đến biến cố kia) nên sử dụng công thức nhân xác suất Ví dụ 4: Gieo xúc sắc cân đối đồng chất lần Tính xác suất cho tổng số chấm hai lần gieo số chẵn [4] Lời giải Đặt A biến cố “ Lần gieo xuất mặt chấm chẵn”; B biến cố “ Lần gieo thứ hai xuất mặt chấm chẵn”; C biến cố “ Tổng số chấm hai lần gieo số chẵn” Ta có  C   A  B  A  B   A  B  P  A  B    A  B    P  A  B   P  A  B    P  A  B    A  B    P  A  B   P  A  B    Ta thấy  A  B hai biến cố xung khắc nên Vì A B hai biến cố độc lập nên theo STUDY TIP 1 P  A  B   P  A  P  B    2 1 P A  B  P A P B   2 1 P C    4 Vậy         tổng hai chấm xuất hai lần gieo chẵn có Ở nghĩa có trường hợp: *TH1: Hai lần gieo số chẵn A  B *TH2: Hai lần gieo số lẻ A  B C   A  B  A  B xúc sắc có số mặt chẵn số mặt lẻ nhau, vây Ta có ta dễ dàng có xác suất Ví dụ 5: Ba xạ thủ A, B, C độc lập với nổ súng vào mục P  A  P  B   tiêu Xác suất bắn trúng mục tiêu A, B, C tương ứng 0, 4;0,5 0, Tính xác suất để có người bắn trúng mục tiêu [4] Lời giải Gọi A, B, C tương ứng biến cố “ A bắn trúng”; “ B bắn trúng”; “ B bắn trúng” A, B, C ba biến cố độc lập Do A, B, C biến cố đôi nên: Xác suấy để ba người bắn trượt Nhắc lại ý phần lý thuyết nhân xác suất, tơi có đưa ra: Nếu A, B, C hai biến cố độc lập       P A.B  P A P B 16 Và toán ví dụ tốn mở rộng ý ba biến cố đối cách độc lập   P ABC  P  A  P  B  P  C     0,    0,5    0,   0, 09 Vậy xác suất để có ba người bắn trùng  0, 09  0,91 Ví dụ 6: Một xạ thủ bắn bia Biết xác suất bắn trúng vòng tròn 10 0, ; vòng 0, 25 vịng 0,15 Nếu trúng vịng k k điểm Giả sử xạ thủ bắn ba phát súng cách độc lập Xả thủ đạt loại giỏi đạt nhấ 28 điểm Xác suất để xả thủ đạt loại giỏi [4] Lời giải Gọi H biến cố: “Xạ thủ bắn đạt loại giỏi” A; B; C; D biến cố sau: A : “Ba viên trúng vòng 10 ” B : “Hai viên trúng vòng 10 viên trúng vòng ” C : “Một viên trúng vòng 10 hai viên trúng vòng ” D : “Hai viên trúng vòng 10 viên trúng vòng ” Các biến cố A; B; C; D biến cố xung khắc đôi H  A B C  D Suy theo quy tắc cộng mở rộng ta có P  H   P  A  P  B   P  C   P  D  Mặt khác P  A    0,   0,   0,   0, 008 P  B    0,   0,   0, 25    0,   0, 25   0,    0, 25   0,   0,   0, 03 P  C    0,   0, 25   0, 25    0, 25   0,   0, 25    0, 25   0, 25   0,   0, 0375 P  D    0,   0,   0,15    0,   0,15   0,    0,15   0,   0,   0, 018 Do P  H   0, 008  0, 03  0, 0375  0, 018  0, 0935 Ở phần tính xác suất biến cố B, C , D ta có trường hợp thứ tự trúng vịng lần bắn khác trường hợp khác Nhiều độc giả khơng tính trường hợp khác Nhiều độc giả khơng tính trường hợp dẫn đến chọn C sai 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trường THPT Mường Lát thời gian đầu tiếp cận học sinh mơ hồ, nhiên với nỗ lực thân hướng dẫn nhiệt tình thầy tổ mơn, kết thu tích cực, nhiều em tự giải làm tốn liên quan đến dạng tốn tính xác suất biến cố Các em có kết khả quan kiểm tra lớp Một số em lâu khơng thích học tốn thấy chuyển biến tích cực có cảm hứng học mơn tốn: giơ tay phát biểu ý kiến, học cũ nhà để xung phong lên bảng lấy điểm miệng, Những chuyển biến hành trang tốt cho kết học tập sau em Để hiểu rõ hiệu sáng kiến kinh nghiệm tiến hành thực nghiệm sử dụng phương pháp sáng kiến kinh nghiệm dạy lớp 11B, 11C, 11G, 17 11H dạy theo giáo án bình thường lớp sau tơi cho học sinh thực kiểm tra 45 phút kết sau: Stt Lớp Sĩ số TB trở lên Giỏi Khá T Bình Yếu Kém SL % SL % SL % S L % SL % SL % 5.26 0 0 11B 38 36 94,97 0 10 26,32 26 26,32 2 11C 37 34 91,89 5,41 21,62 24 64,86 3 11G 34 30 88,24 2,94 14,71 24 70,59 11,76 0 11H 36 31 86,11 2,78 22,22 22 61,11 13,89 0 145 131 90,34 3,05 31 21,37 96 66,20 14 9,66 0 Tổng 08,11 Nhận xét: * Đã có số em đạt loại giỏi tăng so với kiểm tra trước * Tỉ lệ học sinh đạt loại tăng đáng kể so với kết kiểm tra trước * Tỉ lệ học sinh yếu giảm mạnh * Khơng cịn học sinh Qua số liệu bảng, chứng tỏ biện pháp giúp đỡ học sinh giải dạng toán xác suất biến cố cho kết khả quan Tuy tỉ lệ học sinh giỏi chưa cao, tỉ lệ học sinh tăng lên đáng kể Và qua số liệu bảng, tơi thấy tự tin mừng tạo hứng thú cho em học sinh thích học dạng tốn chất lượng tăng lên rõ rệt, giúp em tự tin tiến tới chặng đường phía trước, đặc biệt chinh phục kì thi THPT Quốc Gia năm tới Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến vận dụng sáng kiến vào giảng dạy rút số kết sau: + Đối với học sinh: Đã hình thành phương pháp tư duy, suy luận tốn học Bước đầu khẳng định tính khả thi, tính hiệu qua việc kiểm nghiệm thực nghiệm sư phạm + Đối với giáo viên: Có thêm phương pháp để rèn luyện giải nhanh trắc nghiệm, hướng giáo viên tới tư tưởng thuật giải định hướng giải toán giúp học sinh miền núi tiếp thu kiến thức cách linh hoạt hơn, sáng tạo Tuy nhiên trường huyện biên giới nghèo Mường Lát trình độ học sinh cịn chưa cao, với đề tài thân tơi mong muốn tìm biện pháp hữu hiệu, phù hợp hiệu để tạo nguồn cảm hứng giúp học sinh nơi yêu thích giải toán dạng Rất mong với danh nghĩa “Những kỹ sư tâm hồn” thường xuyên trau dồi kiến 18 thức, suy nghĩ sáng tạo để tìm cách giải hay, phương pháp giảng dạy hiệu nhằm giúp em học sinh đạt tới phương châm “dễ hiểu – nhớ lâu – vận dụng tốt” Rất mong đóng góp chân thành từ thầy cô, bạn đồng nghiệp để đề tài ngày hoàn thiện áp dụng rộng rãi dạy học mơn Tốn 3.2 Kiến nghị 3.2.1 Về phía học sinh: Cần vượt qua khó khăn hồn cảnh, vị trí địa lí, để dần tiệm cận với trường miền xi, xóa bỏ tự ti mặc cảm, cố gắng nỗ lực để học tập tốt 3.2.2 Về phía giáo viên: Tìm tịi phương pháp dạy học cách hợp lý, khoa học, phù hợp với đặc điểm tình hình học sinh nhà trường 3.2.3 Về phía nhà trường: Thống kê tổ chức phụ đạo riêng cho học sinh từ đầu năm Trang bị thêm tài liệu thiết bị đồ dùng dạy học Tổ chức buổi trao đổi, thảo luận phương pháp dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Mường Lát, ngày 15 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác NGƯỜI VIẾT Lại Văn Chung 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Sách giáo khoa giải tích 11 bản, NXB Giáo dục, 2011 [2] Các tập Sách giáo khoa giải tích 11 – Vũ Tuấn (Chủ biên) [3] Các tập Sách tập đại số giải tích 11 - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên) [4] Các dạng Tốn tính xác suất biến cố phần cơng phá Tốn CLB- CM TỐN THPT THANH HĨA [5] Các nguồn Facebook, Zalo: CLB Tốn học Thanh Hóa [6].Zalo: CLB- CM TỐN THPT THANH HĨA Do Cm Tốn thpt làm trưởng nhóm Ga Nam, Ngọc Ánh làm phó nhóm [7] Nguồn Internet khác 20 ... hiểu nội dung toán có cảm giác thoải mái học dạng tốn Vì tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: ? ?Một số giải pháp nhằm tạo hứng thú học tập cho học sinh trường THPT Mường Lát làm tốn xác suất? ?? 1.2 Mục... viên cần có giải pháp để khắc phục dần thực trạng đó, mang lại niềm hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề A: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN... phiếu học tập phát phiếu học tập cho em làm B CÁC DẠNG TOÁN VỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Dạng 1: Mô tả không gian mẫu liên hệ biến cố [4] Với học sinh trường THPT Mường Lát trước hết cho em làm quen toán