Đang tải... (xem toàn văn)
150 Bài tập về bất đẳng thức VnDoc com Bài tập về bất đẳng thức – Toán lớp 9 Bài 1 Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của Giải Bài 2 Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của Giải Bài 3 Cho a, b > 0 và , tìm giá trị nhỏ nhất của Giải Bài 4 Cho a, b, c> 0 và Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải Cách 1 Cách 2 Tương tự Do đó Bài 5 Cho x, y, z là ba số thực dương và Chứng minh rằng Giải Bài 6 Cho a, b, c > 0 và Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải Dự đoán a =2, b = 3, c = 4 Bài 7 Cho x, y, z > 0 và Tìm giá trị lớn nhất của Giải Ta[.]
Bài tập bất đẳng thức – Toán lớp Bài 1: Cho a , tìm giá trị nhỏ S a 8a a 24 a 10 ( ) 2 a 9 a 9 a Giải: S a Bài 2: Cho a , tìm giá trị nhỏ S a Giải: S a a a2 6a a a 12 a a 12 ( ) 33 a 8 a 8 a 4 Bài 3: Cho a, b > a b , tìm giá trị nhỏ S ab Giải: S ab 1 15 (ab ) ab ab 16ab 16ab 16ab 15 ab 16 Bài 4: Cho a, b, c> a b c Tìm giá trị nhỏ S a 1 b2 c 2 b c a Giải: Cách 1: Cách 2: S a2 1 b2 c 2 b c a (12 42 )(a Tương tự 1 1 ) (1.a ) 2 a (a ) b b b b 17 ab 17 b2 1 1 (b ); c (c ) c c a a 17 17 Do đó: 4 36 (a b c ) (a b c ) a b c a bc 17 17 S 17 17 135 (a b c 4(a b c) ) 4(a b c) Bài 5: Cho x, y, z ba số thực dương x y z Chứng minh rằng: x2 1 y z 82 y z x Giải: 1 1 (1.x )2 (12 92 )( x ) x (x ) y y y y 82 1 1 ( y ); z (z ) z z x x 82 82 9 81 S (x y z ) (x y z ) x y z x yz 82 82 TT : y 80 ( x y z x y z ) x y z 82 82 Bài 6: Cho a, b, c > a 2b 3c 20 Tìm giá trị nhỏ S a b c a 2b c Giải: Dự đoán a =2, b = 3, c = 12 18 16 12 18 16 a 2b 3c 3a 2b c a b c a b c 20 3.2.2 2.2.3 2.4 52 S 13 S 4a 4b 4c Bài 7: Cho x, y, z > 1 4 x y z Tìm giá trị lớn P Giải: Ta có 1 2x y z x y z x y 2z 1 1 1 1 4 16 1 1 1 ; x y x y y z yz x y y z x y y z x 2y z x y z 16 x y z TT : 1 2 1 1 1 2 ; x y z 16 x y z x y z 16 x y z 4 4 S 16 x y z Bài 8: x x x 12 15 20 Chứng minh với x R , ta có 3x x x 5 4 Giải: x x x x x x x x 12 15 12 15 15 12 x 20 x 20 x 2.3 ; 2.5 ; 2.4 5 4 5 4 4 5 Cộng vế tương ứng => đpcm Bài 9: Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh 8x y z x 1 y 1 z 1 Giải: Dự đoán x=y=z = 8x.8x 64 x x nên: x 8x 82 3 8x.8x.82 12.4 x ; y y 82 3 y.8 y.82 12.4 y ; z 8z 82 3 8z 8z 82 12.4z x y 8z 3 8x.8 y.8z 3 82.82.82 192 Cộng kết => đpcm Bài 10: Cho x, y, z> xyz = Hãy chứng minh x3 y3 y3 z3 z x3 3 xy yz zx Giải: x y xy x y x3 y xyz xy x y xy x y z 3xy xyz 3xy x3 y3 3xy xy xy yz 1 y3 z3 ; xy yz yz 1 S 3 3 xy yz zx x y2 z2 3 3 z x3 zx ; yz zx zx zx Bài 11: Cho x, y hai số thực khơng âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x y xy biểu thức P 2 1 x 1 y Giải: x y xy x y xy x y xy 1 P P 2 2 x y x y x y xy 4 Khi cho x=0 y= P = -1/4 Khi cho x=1 y = P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy Bài 12: a b3 c Cho a, b, c > Chứng minh rằng: ab bc ca b c a Giải: 3 4 2 2 ab bc ac Cách 1: a b c a b c (a b c ) ab bc ac b c a ab bc ca ab bc ac ab bc ac Cách 2: a3 b3 c3 ab 2a ; bc 2b ; ca 2a b c a a b3 c 2(a b c ) ab bc ac ab bc ac b c a Bài 13: Cho x,y > x y Tìm giá trị nhỏ A 3x y 4x y2 Giải: Dự đoán x = y = A 3x y 3x 1 x y y x y y 4x y x y 4 x 4 y Bài 14: Cho x, y > x+y = Chứng minh P 1 4 3 x y xy Giải: Ta có x y P= x y 3xy(x+y) x y 3xy=1 x y 3xy x y 3xy 3xy x3 y 42 x3 y xy x3 y xy Bài 15: Cho x, y, z > 1 1 Chứng minh xyz 1 x 1 y 1 z Giải: 1 1 y z 2 1 1 2 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z 1 y 1 z TT : 2 1 y xz ; 2 1 x 1 z 1 z yz 1 y 1 z xy 1 x 1 y Nhân vế BĐT => đpcm Bài 16: Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị lớn S x y z x 1 y 1 z 1 Giải: S x y z 1 9 3 3 x 1 y 1 z 1 x y z 3 4 x 1 y 1 z 1 Bài 17: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 4a 5b 3c 48 a 1 b 1 c 1 Giải: 4a a 1 4 a 1 a 1 16 a 1 a 1 a 1 a 1 5b 3c b 1 10 20; c 1 12 dpcm b 1 b 1 c 1 c 1 Bài 18: Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng: 1 1 3 a b c a 2b b 2c c 2a Giải: 1 1 1 ; ; cộng ba bất đẳng thức =>đpcm a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a Bài 19: Với a, b, c > chứng minh rằng: 36 a b c a bc Giải: 3 36 a b c abc abc Bài 20: Cho a, b, c, d > chứng minh rằng: 1 16 64 a b c d abcd Giải: 1 16 16 16 64 ; a b c a b c a b c d a b c d Cần nhớ: a2 b2 c2 a b c x y z x yz Bài 21: Với a, b, c > chứng minh rằng: 4 a b c ab bc ca Giải: 1 3 1 2 1 ; ; a b ab a b a b b c bc b c bc c a ca Bài 22: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác , p nửa chu vi tam giác Chứng minh 1 1 1 2 p a p b p c a b c Giải: 1 2 p a p b p c a b c a b c a b c 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c Bài 23: Cho x, y, z> x y x Tìm giá trị nhỏ P x2 y2 z2 yz zx x y Giải: x y z x y z x2 y2 z2 Cách1: P y z z x x y 2 x y z 2 Cách 2: x2 yz y2 zx z2 xy x; y; z yz zx x y x yz x yz P x yx 2 2 Bài 24: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x+2y+3z =18 Chứng minh y 3z 3z x x y 51 1 x 1 y 3z Giải: y 3z z x x y 1 x 1 y 3z y 3z 3z x x 2y 1 1 1 1 x 1 2y 3z 1 x y 3z 3 24 x y 3z x y 3z 51 24 21 Bài 25: Chứng minh bất đẳng thức: a b ab a b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26: Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p a p b p c 3p Giải: Bu- nhi -a ta có: p a p b p c (1 )( p a p b p c ) 3(3 p p ) p 2 Bài 27: Cho hai số a, b thỏa mãn: a 1; b Tìm giá trị nhỏ tổng A a Giải: a 1 15b b 15.4 17 21 2; b A a b 16 16 b 16 4 Bài 28: Chứng minh a b a 3b ab3 Giải: 1 b a b a b (12 12 ) a b a b a b 2ab a b a b a 3b ab Bài 29: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: ( x y 1) xy y x A (Với x; y số thực dương) xy y x ( x y 1) Giải: ( x y 1) a; a A a Đặt xy y x a a Có A a 8a a a 10 10 ( ) A 9 a 9 a 3 3 Bài 30: Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh a2 b2 c2 2 (b c) (c a) ( a b) Giải: a b b c c a 1 (b c) (c a) (c a) ( a b) ( a b) (b c) a b c VT 0 (b c) (c a) (a b) (Không cần dấu = xảy hoặ cần cho a= 1,b=0 => c=-1 xảy dấu =) Bài 31: Cho số dương a; b; c thoả mãn a + b + c Chứng ming 2009 670 2 a b c ab bc ca Giải: 2009 2 a b c ab bc ca 1 2007 2007 2 2 670 2 a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c a b c Bài 32: Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b2 c2 ab bc ca a 2b b 2c c 2a Giải: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2 2a2b ;b3 + bc2 2b2c;c3 + ca2 2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2) 3(a2b + b2c + c2a) > ab bc ca (a b c ) 2 Pa b c Suy P a b c a b2 c 2(a b2 c ) 2 t = a2 + b2 + c2, với t Suy P t 9t t t 3 P 2t 2t 2 2 a=b=c=1 Bài 33: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ P= 1 16 x y z Giải: P= 1 1 1 y x z x y z 16x y z 16x y z 16 x y 16 x x z y 21 z y z 16 y x z y z x có =khi y=2x; z=2y z=4x; 16 x y 4y z 16 x z Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 Bài 34: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 23 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B 8x Giải: 18y x y =>P 49/16 B 8x 2 2 4 5 18y 8x 18y 12 23 43 x y x y x y 1 1 3 1 1 3 Dấu xảy x; y ; .Vậy Min B 43 x; y ; Bài 35 Cho x, y z ba số thực thuộc đoạn [1;2] có tổng khơng vượt q Chứng minh x2 + y2 + z2 Giải: x 2 x 0 x 0 ( x 1)( x 2) 0 x 3x Tương tự y 3y z 3z x2 + y2 + z2 3( x + y +z) – – = Bài 36: Cho a, b, c số thuộc 1; 2 thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh a bc Giải: a 1 a a a 0; b2 b 0; c c a b c a b2 c Bài 37: Cho số dương a,b,c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a2 1 97 b2 c b c a Giải: 81 ; 1.a 1 a a a b 16 b b 4b 97 b b ; c c c 4c a 4a 97 97 cộng vế lại Bài 38: Cho tam giác có ba cạnh a,b,c chu vi 2p Chứng minh p p p 9 p a p b p c Giải: p p p 1 9 hay p a p b p c p a p b p c p a p b p c p Cách 2: A x 1 x 3 x 1 4 x 3 2 2 2 A x 1 x 3 x 1 x 3 A 2x 8x 10 x 4x A 2( x 2) ( x 2) 1 2 A 4( x 2) 8( x 2) 4( x 2) 8( x 2) A 8( x 2) Bài 45: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca c 1 a 1 b 1 Giải: Bài 46 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = Chứng minh rằng: 1 1 3 3 x y y z z x3 Giải: x y 2xy x y x y 2xy x y x y xy x y x y xy x y z 1 x y 3 xy x y z z x y ; ; dpcm 3 3 x y z 1 y z x y z 1 z x x y z 1 x y Bài 47 Cho a,b số thực dương Chứng minh rằng: ab 2a b 2b a a b Giải: ab 1 1 a b a b a b a b ab a b 2a b 2b a a b 2 4 Bài 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 1 3 8a 8b 8c3 Giải: 1 2 8a 2a 1 4a 2a 1 2a 4a 2a 4a 2a 1 1 ; ; 3 2b 1 8c 2c 1 8b VT Bài 49 2a 2b 2c 2 2a 2b 2c Với a,b,c ba số thực dương Chứng minh rằng: Giải: Cách 1: 1 a b3 c a b2 c2 b c a 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a b3 c a b c a b c a2 b2 c2 b c a ab bc ca ab bc ca ab bc ca Cách a3 b3 c3 ab 2a ; bc 2b ; ca 2c VT a b c (ab bc ca) a b c b c a Bài 50 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: x2 y2 z2 y 1 z 1 x 1 Giải: x2 y 1 y2 z 1 z2 x 1 3 3 x; y; z VT x y z y 1 z 1 x 1 4 4 2 Bài tập bất đẳng thức cực trị đại số Bài 1: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 – 2010) a) Cho x, y, z, a, b, c số dương Chứng minh rằng: b) Từ suy ra: abc + xyz (a + x)(b + y)(c + z) 3 3 3 3 23 Bài 2: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011) 1 1 ( ) ab a b a) Cho số dương a b Chứng minh : b) Cho số dương x, y, z thỏa mãn 1 2010 x y z P Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 2x y z x y z x y 2z Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012) a) Chứng minh với x, y > : x 2y xy y b) Cho số dương a,b,c với abc = Tìm giá trị lớn biểu thức: M 2 a 2b 2 b 2c c 2a Bài 4: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P xy , x, y số thực thoả mãn điều kiện: x 2013 y 2013 x1006 y1006 Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: a b c bc ca ab Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x y a) Chứng minh xy y b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P xy y Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016) Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn Chứng minh xyz 1 2 1 2x 1 y 1 2z 64 Bài 8: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017) Cho m, n số thực thay đổi cho m n Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q m n mn Bài 9: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018) a) Với < x < , chứng minh ³ x x ( - 3x) b) Cho a, b, c ba số dương nhỏ cho a + b + c = Chứng minh rằng: 1 + + ³ a ( 3b + 3c - 5) b ( 3c + 3a - 5) c ( 3a + 3b - 5) Bài 10: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018) Với a, b, c số thực dương, chứng minh rằng: a) a a ; a 2b a b b) a b c 1 a 2b b 2c c 2a Bài 11: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1 1 Chứng minh xyz 21 x y z Đẳng thức xảy nào? Bài 12: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019) Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a b c ab bc ca 6abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 a b2 c Bài 13: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 – 2020) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca Chứng minh a b2 b c c a Dấu “=” xảy nào? Bài 14: ( HSG TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009) Tìm x, y để biểu thức F đạt giá trị nhỏ nhất: F x y xy x y Bài 15: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NM HC 2008 2009) a)Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y x 1 x x 1 b) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam gi¸c cã chu vi b»ng Chøng minh r»ng: 3(a2 + b2 + c2) + 2abc 52 Bài 16: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: ab bc ca c 1 a 1 b 1 Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho ba số dương a, b c thoả mãn abc Chứng minh rằng: 1 1 2 a 2b b 2c c 2a 2 Bài 18: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017) Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh 1 ab a bc b ca c 2 Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z xyz Chứng minh rằng: x2 y z xyz x y z Bài 20: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho ba số không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a b c Tìm giá trị lớn biểu thức P a 3b b3c c 3a abc ab3 bc3 ca3 bca Bài 21: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 – 2010) a)Tìm x y để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất: P = 3x2 + 11y2 – 2xy – 2x + 6y – b)Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 6abc Chứng minh rằng: bc ca ab 2 a c 2b b a 2c c b 2a c)Cho ba số thực , , Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y z Với x, y, z > y z z x x y M Bài 22: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012) Cho x, y số thực dương thõa mãn xy = Chứng minh : (x + y + 1)(x2 + y2) + x y Bài 23: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2014 – 2015) Cho số x, y, z thỏa điều kiện x y z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y z x 1 y 1 z 1 Bài 24: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017) Cho x, y, z ba số dương Chứng minh rằng: 1 1 1 x yz y xz z xy xy yz zx Bài 25: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017– 2018) a)Cho a, b, c ba số không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c2 ab + bc + ca p, q, r ba số thỏa mãn p + q + r = Chứng minh rằng: apq + bqr + crp b)Cho số dương a, b thỏa mãn điều kiện a.b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 M = a + b + 1 a + b + a+b Bài 26: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018– 2019) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a b3 b c3 c a Bài 27: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018– 2019) Cho x, y số thực thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 2x4 x3 2y y3 2x 2y4 Bài 28: (HSG TĨNH GIA – THANH HểA NM HC 2013 2014) Cho số x,y,z thoả mÃn x+y+z =1 Tìm giá trị bé biểu thøc : M = x xy y y yz z z zx x Bài 29: ( HSG TỈNH DAKLAK NĂM HỌC 2012– 2013) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn: a b c Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 3 b2 c2 a Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016– 2017) a) Cho a, b hai số thực , x, y hai số thực dương a b2 a b Chứng minh rằng: x y x y b) Cho x, y hai số thực dương cho x + y = Chứng minh rằng: x y 2 1 x 1 y Bài 31: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018– 2019) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh: a b c b c a 4 b c a ab bc ca Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009– 2010) Cho số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: 2 a b c ab bc ca ab bc ca Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2012– 2013) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn: a b c Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 3 b2 c2 a Bài 34: ( HSG TỈNH HÀ TNH NM HC 2008 2009) Các số thực x,y,z thoả m·n: x + y4 + z4 = T×m giá trị lớn biểu thức : P = x2(y + z) + y2(x + z) + z2(y + x) Bài 35: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2010– 2011) Cho a, b, c > vµ abc = Chøng minh r»ng a3 b3 c3 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b Bài 36: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012– 2013) Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F x4 y4 z4 x y x y y z y z z x z x Bài 37: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2014– 2015) Cho a,b ¡ thỏa mãn: (2 a )(1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 16 a b4 Bài 38: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2009– 2010) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: ( x y 1) xy y x A (Với x; y số thực dương) xy y x ( x y 1) Bài 39: (HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013– 2014) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2ab 6bc 2ac 7abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức C 4ab 9ac 4bc a 2b a 4c b c Bài 40: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014– 2015) Cho số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: xy yz zx xyz Tìm giá trị lớn 1 biểu thức: M x y z x y 3z 3x y z Bài 41: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016– 2017) Cho a, b, c ba số thực dương thoả mãn a b c Chứng minh rằng: a 3ab b 6a 8ab 11b b 3bc c 6b 8bc 11c c 3ca a 6c 8ca 11a Bài 42: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018– 2019) Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn xy yz xz x2 Chứng minh bất đẳng thức x3 y2 y3 z2 z3 Bài 43: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016– 2017) Cho ba số thực a, b, c dương Chứng minh rằng: a3 a3 b c b3 b3 c a c3 c3 a b Bài 44: (HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2009– 2010) Cho hai sè a, b tho¶ m·n a 1; b , tìm giá trị nhỏ cđa tỉng: Aa 1 b a b Bài 45: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2013– 2014) Cho m số cố định, x y số thay đổi Tìm giá trị nhỏ của: P ( x y 1) (2 x my 4) Bài 46: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG A NĂM HỌC 2010– 2011) 1 x y z 1 1 Chứng minh rằng: 2x +y +z x 2y z x y 2z b) Cho x > 0, y > 0, z > thỏa mãn x2011 y2011 z2011 Tìm giá trị lớn biểu thức: M x2 y2 z2 a) Cho x > 0, y > 0, z > Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2010– 2011) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 4x+3 x2 Bài 48: ( HSG HUYỆN NGHĨA ĐÀN TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2011– 2012) 2 Cho a > 0, b > a + b 1 Tìm GTNN biểu thức A = a b 1 a b Bài 49: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015– 2016) Cho a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 3 b2 c2 a Bài 50: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2016– 2017) Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca Tìm giá trị lớn biểu thức P 2a 1 a2 b b2 c c2 Bài 51: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2018– 2019) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 4 a b c P ab bc ca Bài 52: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013– 2014) a , b, c 13 Cho , chứng minh : a b c 4a 8b c a 2b 3c 10 Bài 53: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014– 2015) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ac bc Tìm giá trị nhỏ biểu 19a 19b 19c b2 c2 1 a2 Bài 54: ( THI VÀO LỚP 10 TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016– 2017) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2a ab 2b 2b bc 2c 2c ca 2a Bài 55: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012– 2013) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa hệ thức a b c Chứng minh a b c Bài 56: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014– 2015) thức T Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh 1 1 1 abc bca cab a b c Bài 57: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014– 2015) Cho x, y dương thỏa mãn điều kiện: x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 3x 2y x y Bài 58: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015– 2016) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: Chứng minh rằng: ab bc ca 1 2 2 a b 4 c b 4 a c 4 Bài 59: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018– 2019) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy yz zx 673 x x x Chứng minh rằng: x yz 2019 y zx 2019 z xy 2019 x y z Bài 60: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012) Tìm GTLN y x x Bài 61: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 – 2015) Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= x 3xy y y yz z z 3zx x Bài 62: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2008 – 2009) a) Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè x, y, z có tổng số không âm x y3 z 3xyz b) Cho m, n số thỏa mÃn điều kiện mn biểu thức P Tìm giá trị nhá nhÊt m n mn 2 mn m n2 2 2 Bài 63: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009 – 2010) Cho số dơng x, y, z thoả mÃn điều kiÖn: xy + yz + zx = 670 x y z Chøng minh r»ng x yz 2010 y zx 2010 z xy 2010 x y z Bài 64: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho a,b,c số thực dương CMR: ab bc ca a bc a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b Bài 65: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014) Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn x y z 2x2 y z 2 y z x2 2z x2 y xyz Chứng minh yz zx xy Bài 66: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2014 – 2015) Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x y z 3 x y z 3 xy yz xz Chứng minh yz xz xy Bài 67: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2015 – 2016) Cho số thực phân biệt a, b, c Chứng minh a 1 b c 2 (b c) (c a ) ( a b) Bài 68: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017 – 2018) Chứng minh 3a b 3b c 3c a với a, b, c độ dài ba a ab b bc c ca a b c cạnh tam giác Bài 69: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014) 1 a b c Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn Bài 70: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 – 2016) Cho a, b thỏa mãn a b Tìm giá trị lớn biểu thức sau: M 1 a b2 b a2 Bài 71: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho ba số thực dương thỏa mãn x y z xyz Chứng minh rằng: x y z xy yz zx Bài 72: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013) a3 b3 c3 ab bc ca Cho ba số thực dương a, b, c.Chứng minh rằng: b c a Đẳng thức xảy nào? Bài 73: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014) Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ Bài 74: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017 – 2018) Cho ba số thực a, b, c thỏa a, b, c Chứng a b c a c b 7 b c a c b a minh : Bài 75: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008 – 2009) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x3 + y3 Bài 76: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013 – 2014) Cho a,b,c số dương thoả mãn Q=abc 1 Tìm giá trị lớn 1 a 1 b 1 c Bài 77: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016 – 2017) Cho a, b, c Chứng minh a b c bc ca ab Bài 78: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2005 – 2006) Chøng minh r»ng: 1 80 víi a 3, b 21. a + b b a DÊu xảy nào? Bi 79: ( HSG TNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho a , b hai số dương thỏa mãn a + b = 2 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = a b a b a b Bài 80: ( HSG TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2013 – 2014) Cho x + y = CMR :x5 + y5 ≥ Bài 81: ( HSG TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c Biết P(x) > với x thuộc R a > Chứng minh rằng: 5a 3b 2c 1 a bc Bài 82: ( HSG TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho a R thỏa mãn a5 – a3 + a = Chứng minh : < a6 < Bài 83: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2010 – 2011) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a b b c c a 2011 a2 b2 c2 2011 Chứng minh rằng: bc ca ab 2 Bài 84: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014) Cho x, y số thực dương thoả mãn x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức B x y3 xy Bài 85: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2014 – 2015) b a b a c Tìm giá trị a b a b bc ca 4ab nhỏ biểu thức P a(2b c) b(2a c ) c(a b) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn Bài 86: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016 – 2017) Cho số thực a, b, c thỏa mãn : a, b, c a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A a b c Bài 87: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2017 – 2018) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x z Chứng minh xz y2 x 2z y yz xz yz x z Bài 88: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z x3 y3 P Tìm giá trị lớn biểu thức: x yz y xz z xy Bài 89: ( HSG TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2016 – 2017) 2y x Cho số thực dương x, y thỏa điều kiện 1 x 1 y 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy2 Bài 90: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 – 2018) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn P= ab c ab bc a bc ca b ca Bài 91: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007 – 2008) Cho số thực dương a, b, c thoả mãn abc Chứng minh a b3 c a b c b c a c a b Bài 92: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008 – 2009) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc Chứng minh a b3 c a b c b c a c a b Dấu đẳng thức xảy nào? Bài 93: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2009 – 2010) Chứng minh rằng: a b c abc 1 1 với a, b, c a b b c c a abc (a b)(b c )(c a ) Bài 94: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011) Cho a, b, c ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức a 3c 4b 8c P a 2b c a b 2c a b 3c Bài 95: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011 – 2012) Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn điều kiện: abc bcd cda dab a b c d 2012 Chứng minh rằng: a 1 b2 1 c 1 d 1 2012 Bài 96: ( HSG TP VĨNH YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013) Cho a, b, c số dương Chứng minh a b c a) b 2c c 2a a 2b a b 2c b c 2a c a 2b abc b) 2 2 3b 6c 3c 6a 3a 6b2 Bài 97: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2003 – 2004) Cho biểu thức M = a2 + b2 biết a b nghiệm phương trình 5a + 5b2 + 8ab = 18 Tìm giá trị a b để : a) M đạt giá trị lớn b) M đạt giá trị nhỏ Bài 98: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2006 – 2007) Cho ≤ m ≤ ≤ n ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức: A (m n) m3 n3 Bài 99: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2011 – 2012) Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn xyz = Chứng minh + + ≥ ... VT x y z y 1 z 1 x 1 4 4 2 Bài tập bất đẳng thức cực trị đại số Bài 1: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 20 09 – 2010) a) Cho x, y, z, a, b, c số dương Chứng minh... c a b Bài 92 : ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008 – 20 09) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc Chứng minh a b3 c a b c b c a c a b Dấu đẳng thức xảy nào? Bài 93 : ( HSG... 51 24 21 Bài 25: Chứng minh bất đẳng thức: a b ab a b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26: Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p